山东省淄博市大园中学高三数学理测试题含解析

山东省淄博市大园中学高三数学理测试题含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1.已知直线，平面，且，给出下列四个命题：

①若α//β，则；

②若

③若，则；

④若

其中正确命题的个数是

(

）A．0

B．1

C．2

D．3参考答案：C2.设集合，则

A.{0，1}

B.{-1，0，1}

C.{0，1，2}

D.{-1，0，1，2}参考答案：A因为，，所以，选A.3.如图，点O为坐标原点，点A（1，1），若函数y=ax（a＞0，且a≠1）及logbx（b＞0，且b≠1）的图象与线段OA分别交于点M，N，且M，N恰好是线段OA的两个三等分点，则a，b满足(

)A．a＜b＜1 B．b＜a＜1 C．b＞a＞1 D．a＞b＞1参考答案：A【考点】指数函数的图像与性质．【专题】函数的性质及应用．【分析】先由图象得到0＜a＜1，0＜b＜1，再根据反函数的定义可以得出y=ax经过点M，则它的反函数y=logax也经过点M，根据对数函数的图象即可得到a＜b．【解答】解：由图象可知，函数均为减函数，所以0＜a＜1，0＜b＜1，因为点O为坐标原点，点A（1，1），所以直线OA为y=x，因为y=ax经过点M，则它的反函数y=logax也经过点M，又因为logbx（b＞0，且b≠1）的图象经过点N，根据对数函数的图象和性质，∴a＜b，∴a＜b＜1故选：A．【点评】本题考查了对数函数和指数函数的图象及性质，以及反函数的概念和性质，属于基础题．4.已知A、B是抛物线上的两点，直线AB垂直于x轴，F为抛物线的焦点，射线BF交抛物线的准线于点C，且，的面积为，则p的值为（

）A. B.1 C.2 D.4参考答案：C【分析】根据抛物线的定义，即抛物线上一点到焦点的距离等于它到准线的距离。注意到，然后结合三角形的面积来列出方程解出.【详解】过点A做AH垂直于准线，垂足为H，做CG垂直于AB，垂足为G，根据抛物线的定义AH=AF，，因此DE=AH=CG=AF，由，，得又，则，，可得，又因，所以EF=2，因为EF正好是焦点到准线的距离，即.故选C.【点睛】本题考查了抛物线的性质和利用三角形剖分和切补来计算其面积，是一道有难度的综合题.5.已知集合，.若A=B，则a的值为（）A.2

B.1

C.－1

D.－2参考答案：A因为A=B，所以2∈B，可得a=2.6.若都是锐角，且，，则（）A．

B．

C．或

D．或参考答案：A略7.阅读如图所示的程序框图，运行相应的程序，输出的结果是（）A．20 B．21 C．200 D．210参考答案：D【考点】程序框图．【专题】算法和程序框图．【分析】执行程序框图，依次写出每次循环得到的s，i的值，当i=21时，满足条件i＞20，退出循环，输出s的值为210．【解答】解：执行程序框图，有s=0，i=1s=1，i=2，不满足条件i＞20，s=3，i=3，不满足条件i＞20，s=6，i=4，不满足条件i＞20，s=10，i=5，不满足条件i＞20，s=15=1+2+3+4+5，i=6，不满足条件i＞20，s=21=1+2+3+4+5+6，…观察规律可知，i=20，不满足条件i＞20，s=1+2+3+…+20==210，i=21，满足条件i＞20，退出循环，输出s的值为210．故选：D．【点评】本题主要考查了程序框图和算法，等差数列的求和，属于基本知识的考查．8.若﹁p∨q是假命题，则A.p∧q是假命题B.p∨q是假命题C.p是假命题D.﹁q是假命题参考答案：A略9.函数（）的反函数为

（A）

（B）

（C）

（D）参考答案：答案：C10.设sin，则sin2=

A．

B．

D．

D．参考答案：二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11.给出下列四个命题：

①命题“”的否定是“”；

②若，则函数只有一个零点；

③若，则的最小值为4；

④对于任意实数，有，且当时，，则当时，

.其中正确命题的序号是

（填所有正确命题的序号）参考答案：①③④12.已知实数满足约束条件（为常数），若目标函数的最大值是，则实数的值是

▲

.参考答案：13.当x>1时，的最小值为

.参考答案：14.已知三棱锥S－ABC中，SA⊥面ABC，AB⊥BC，SA＝AB＝1，BC＝，则此三棱锥外接球的体积为________．参考答案：略15.如图，点（x,y）在四边形ABCD内部和边界上运动，那么2x-y的最小值为________．参考答案：1本题考查了线性规划知识以及利用数形结合求最值的能力，难度中等。

设，当最小时，对应的直线在轴上的截距最大，根据题意，当对应直线过A（1，1）点时，满足条件，代入得16.如图所示，函数y=f（x）的图象由两条射线和三条线段组成．若对?x∈R，都有f（x）≥f（x﹣12asinφ），其中a＞0，0＜φ＜，则φ的最小值为．参考答案：【考点】函数恒成立问题．

【专题】函数的性质及应用．【分析】由题意得到x＞x﹣12asinφ，再由对?x∈R，都有f（x）≥f（x﹣12asinφ），可得x﹣（x﹣12asinφ）≥4a﹣（﹣2a）=6a，即sinφ，由此求得φ的最小值．【解答】解：∵0＜φ＜，∴sinφ∈（0，1），又a＞0，则﹣12asinφ∈（﹣12a，0），∴x＞x﹣12asinφ，∵对?x∈R，都有f（x）≥f（x﹣12asinφ），∴x﹣（x﹣12asinφ）≥4a﹣（﹣2a）=6a，即sinφ，∴φ．故答案为：．【点评】本题考查了函数恒成立问题，考查了数形结合的解题思想方法，考查了数学转化思想方法，关键是对题意的理解，是中档题．17.设Sn是数列{an}的前n项和，an=4Sn﹣3，则S4=．参考答案：考点：数列递推式．专题：等差数列与等比数列．分析：an=4Sn﹣3，当n=1时，a1=4a1﹣3，解得a1．当n≥2时，Sn﹣Sn﹣1=4Sn﹣3，化为，利用等比数列的通项公式即可得出．解答：解：∵an=4Sn﹣3，∴当n=1时，a1=4a1﹣3，解得a1=1．当n≥2时，Sn﹣Sn﹣1=4Sn﹣3，化为，∴数列是等比数列，首项为，公比为﹣，∴=．令n=4，则S4=+=．故答案为：．点评：本题考查了等比数列的通项公式，考查了变形能力，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．三、解答题：本大题共5小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤18.已知函数的图象是由图象经过如下三个步骤变化得到的：①将的图象的纵坐标不变，横坐标缩短为原来的；②将①中图象整体向左平移个单位；③将②中的图象的横坐标不变，纵坐标伸长为原来的2倍．（I）求的单调递增区间；（II）在△中，分别为角的对边，若，，，求△面积．参考答案：解：（I）变换①得到函数图象，

变换②得到函数图象，

变换③得到函数图象， 由，得到函数的单调递增区间是；

（II）∵，∴由于，∵，∴，，

由余弦定理得，即，又，，．略19.（本小题满分13分）如图1，直角梯形中，,，．交于点，点,分别在线段,上，且.将图1中的沿翻折，使平面⊥平面（如图2所示），连结、，、.（Ⅰ）求证：平面平面；（Ⅱ）当三棱锥的体积最大时，求直线与平面所成角的正弦值．参考答案：（Ⅰ）见解析；（Ⅱ）与平面所成角的正弦值为.试题分析：（Ⅰ）由已知，，及交于点.得到四边形是边长为的正方形.，.再据平面，平面，得到，，，得证.（Ⅱ）由（Ⅰ）知，，以为原点，的方向为轴，轴，轴的正方向建立空间直角坐标系.，，，

设，则（）由，得到，从而，根据时，三棱锥体积最大，此时，为中点.也是的中点，求得，.设是面的法向量.由，令，得

………7分则，，，

设，则（）∵，∴

…8分∴

………9分∵，∴时，三棱锥体积最大，此时，为中点.∵，∴也是的中点，∴，.…10分设是面的法向量.则令，得

………11分设与面所成角为则∴与平面所成角的正弦值为.

………13分考点：1.平行关系、垂直关系；2.几何体的体积；3.空间向量方法.20.（12分）如图，长方体中，，，M是AD中点，N是中点．

（1）求证：、M、C、N四点共面；（2）求证：；（3）求证：平面⊥平面；（4）求与平面所成的角．

参考答案：解析：（1）取中点E，连结ME、，∴，MCEC．∴MC．∴，M，C，N四点共面．（2）连结BD，则BD是在平面ABCD内的射影．∵，∴Rt△CDM～Rt△BCD，∠DCM=∠CBD．∴∠CBD+∠BCM=90°．∴MC⊥BD．∴．（3）连结，由是正方形，知⊥．∵⊥MC，∴⊥平面．∴平面⊥平面．（4）∠是与平面所成的角且等于45°．21.设（1）求的解集；（2）若不等式对任意实数恒成立，求的取值范围.参考答案：（1）；（2）.试题分析：（1），利用零点分段法，去绝对值可化为

或或，解得；（2），故原不等式等价于，，同样利用零点分段法，可解得.试题解析：22.已知的最小值为．（Ⅰ）求m的值；（Ⅱ）已知，，且，求证：．参考答案：（Ⅰ）；（Ⅱ）见解析【分析】（Ⅰ）去绝对值变成分段函数，根据分段函数的单调性可求出的最小值，与已知最小值相等列