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文档简介
北京东城区2024年高考数学倒计时模拟卷
注意事项:
1.答卷前,考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。
2.回答选择题时,选出每小题答案后,用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑,如需改动,用橡皮擦干净后,再
选涂其它答案标号。回答非选择题时,将答案写在答题卡上,写在本试卷上无效。
3.考试结束后,将本试卷和答题卡一并交回。
一、选择题:本题共12小题,每小题5分,共60分。在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的。
1.函数y=cos2x-6sin2xxe的单调递增区间是()
7in7171
A.0,-B.0,-C.D.
L6_L3__n_2J
22
2.已知双曲线?—2=1(/?>0)的渐近线方程为氐±y=0,则6=()
A.273B.6C.D.4石
2
3.已知集合A={y|y=|x|-1,xGR},B={x|x>2},则下列结论正确的是()
A.-3GAB.3^BC.AHB=BD.AUB=B
/(m)+/(n-2)>0
4.已知奇函数/(%)是R上的减函数,若以〃满足不等式组/(-1)20,则2/71—〃的最小值为()
/(m)<0
A.-4B.-2C.0D.4
5.1%-W]的展开式中,含丁项的系数为()
A.-60B.-12C.12D.60
6.祖迪原理:“事势既同,则积不容异”.意思是说:两个同高的几何体,如在等高处的截面积恒相等,则体积相等.设4、
3为两个同高的几何体,P-A,3的体积不相等,q:a、3在等高处的截面积不恒相等.根据祖眶原理可知,P是q
的()
A.充分不必要条件B.必要不充分条件
C.充要条件D.既不充分也不必要条件
7.已知复数z=0。为虚数单位),则下列说法正确的是()
A.z的虚部为4B.复数z在复平面内对应的点位于第三象限
c.z的共朝复数1=4—2iD.|Z|=2A/5
8.阅读如图所示的程序框图,运行相应的程序,则输出的结果为()
_3
9.已知。,b,c分别为AABC内角A,B,C的对边,a=l,4csinA=3cosC,AABC的面积为一,贝!1。=()
2
A.272B.4C.5D.3后
10.将函数/(x)=sin[x+1^图象上每一点的横坐标变为原来的2倍,再将图像向左平移?个单位长度,得到函数
y=g(x)的图象,则函数y=g(x)图象的一个对称中心为()
A.信B•序°)C.(肛0)D.件,0)
11.从抛物线上一点P(P点在x轴上方)引抛物线准线的垂线,垂足为",且|PM|=5,设抛物线的焦点
为尸,则直线的斜率为()
44
A.—2B.2C.-----D.一
33
12.已知集合4={-2,—1,0,1,2},B^[X\JC-X+2>Q],则AB=()
A.{-1,0}B.{0,1}C.{-1,0,1}D.{-2,-1,0,1,2}
二、填空题:本题共4小题,每小题5分,共20分。
13.若函数/(x)=sin(2ox+f-;在区间[0,句上恰有4个不同的零点,则正数。的取值范围是.
24
14.直线znr+/y-2=0(.m>0,〃>0)过圆C:/-2%一2丁一1=0的圆心,则一+一的最小值是.
mn
15.函数/(x)=cos2x的最小正周期是,单调递增区间是.
16.已知全集。=卜2,-1,0,1,2},集合A={-2,-l/},则gA=.
三、解答题:共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
17.(12分)如图所示,在四棱锥尸—ABCD中,底面ABC。为正方形,PA±AB,PA=6,AB=8,PD=1O,
N为PC的中点,尸为棱BC上的一点.
(1)证明:面“皿_1面43。。;
(2)当尸为中点时,求二面角A—A下—C余弦值.
3
18.(12分)在锐角ABC中,角A,B,C所对的边分别为a,b,c.已知COS2C=—-.
4
(1)求sinC的值;
(2)当c=2a,且6=3夜时,求ABC的面积.
19.(12分)已知抛物线C:y2=2px(〃>0),点产为抛物线的焦点,焦点尸到直线3x—4y+2=。的距离为4,
d,1
焦点尸到抛物线。的准线的距离为4,且十='.
(1)求抛物线C的标准方程;
11
(2)若x轴上存在点过点M的直线/与抛物线C相交于P、。两点,且函/产+两下为定值,求点"的
坐标.
20.(12分)已知数列{。“}为公差为d的等差数列,d>0,%=4,且%,生,为依次成等比数列,b“=2%
(1)求数列也}的前"项和s“;
2b、
(2)若。〃=不寸,求数列{t%}的前〃项和为T..
X=1+COS(P
21.(12分)在平面直角坐标系xOy中,曲线C的参数方程为.(。为参数),以坐标原点为极点,x轴
y=sin夕
的正半轴为极轴建立极坐标系,直线I的极坐标方程为夕sin(6+f]=2.
(1)求曲线C的极坐标方程和直线/的直角坐标方程;
(2)若射线e=a0<£<W与曲线C交于点A(不同于极点O),与直线/交于点员求察的最大值.
<2JI
x=sin。-3cos。一2
22.(10分)在直角坐标系九0y中,曲线G的参数方程为八。.八(。为参数),坐标原点为极点,x轴
y=cos〃+3sm〃
正半轴为极轴建立极坐标系,曲线。2的极坐标方程为夕sin[6+彳]=-2.
(1)求曲线G的普通方程和曲线°2的直角坐标方程;
(2)若曲线G、G交于A、B两点,。是曲线G上的动点,求△ABD面积的最大值.
参考答案
一、选择题:本题共12小题,每小题5分,共60分。在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的。
1、D
【解析】
利用辅助角公式,化简函数的解析式,再根据正弦函数的单调性,并采用整体法,可得结果.
【详解】
因为y=cos2x-gsin2x=2sin(--2x)=-2sin(2x由生+2k兀W2x+2k兀,左eZ,解得
66262
jr57r7TSTT
-+k7l<X<—+k7l,k^Z即函数的增区间为[—+左肛——+左"]/£Z,所以当k=0时,增区间的一个子集为
36936
号名
故选D.
【点睛】
本题考查了辅助角公式,考查正弦型函数的单调递增区间,重点在于把握正弦函数的单调性,同时对于整体法的应用,使
问题化繁为简,难度较易.
2、A
【解析】
22r
根据双曲线方程土-4=1(6>0),确定焦点位置,再根据渐近线方程氐±y=0得到」=百求解.
4b2a
【详解】
22
因为双曲线上—当=1(Z?>0),
4b2
所以a=2,又因为渐近线方程为6x±y=0,
所以2=2=6,
a2
所以b=26.
故选:A.
【点睛】
本题主要考查双曲线的几何性质,还考查了运算求解的能力,属于基础题.
3、C
【解析】
试题分析:集合A={y|y»—1}.-.JBcA.-.AnB=B
考点:集合间的关系
4、B
【解析】
根据函数的奇偶性和单调性得到可行域,画出可行域和目标函数,根据目标函数的几何意义平移得到答案.
【详解】
m<2-n
奇函数/(尤)是R上的减函数,则"0)=0,m-n-l<Q,画出可行域和目标函数,
m>0
z=2m—n,即〃=2根—z,z表示直线与y轴截距的相反数,
根据平移得到:当直线过点(0,2),即加=0.〃=2时,2=2〃?-〃有最小值为-2.
故选:B.
【点睛】
本题考查了函数的单调性和奇偶性,线性规划问题,意在考查学生的综合应用能力,画出图像是解题的关键.
5,B
【解析】
在二项展开式的通项公式中,令x的塞指数等于3,求出厂的值,即可求得含/项的系数.
【详解】
(x—3]的展开式通项为4+]=G>x6f•1—N)=C;-(-2)r-x6-3r,
令6—3r=3,得r=1,可得含Y项的系数为^义(—2)=—12.
故选:B.
【点睛】
本题主要考查二项式定理的应用,二项展开式的通项公式,二项式系数的性质,属于基础题.
6、A
【解析】
由题意分别判断命题的充分性与必要性,可得答案.
【详解】
解:由题意,若A、6的体积不相等,则A、3在等高处的截面积不恒相等,充分性成立;反之,4、6在等高处的
截面积不恒相等,但4、3的体积可能相等,例如A是一个正放的正四面体,3一个倒放的正四面体,必要性不成立,
所以。是4的充分不必要条件,
故选:A.
【点睛】
本题主要考查充分条件、必要条件的判定,意在考查学生的逻辑推理能力.
7、D
【解析】
利用i的周期性先将复数z化简为z=Y+2i即可得到答案.
【详解】
因为i2=—l,r=1,j5=i,所以i的周期为4,故2=舞/=曳¥=曳±2=-4+2i,
11—1
故Z的虚部为2,A错误;Z在复平面内对应的点为(-4,2),在第二象限,B错误;Z的共
物复数为"=—4—2i,C错误;忖=心斤百=2石,D正确.
故选:D.
【点睛】
本题考查复数的四则运算,涉及到复数的虚部、共飘复数、复数的几何意义、复数的模等知识,是一道基础题.
8,D
【解析】
用列举法,通过循环过程直接得出S与〃的值,得到〃=8时退出循环,即可求得.
【详解】
1113
执行程序框图,可得S=0,n=2,满足条件,S=7,附=4,满足条件,S=-+-=-,n=6,满足条件,
2244
S=-+-+-=—,n=^,由题意,此时应该不满足条件,退出循环,输出S的值为口乂8=丝.
24612123
故选D.
【点睛】
本题主要考查了循环结构的程序框图的应用,正确依次写出每次循环得到的S与〃的值是解题的关键,难度较易.
9、D
【解析】
一341.3
由正弦定理可知4csinA=4asinC=3cosC,从而可求出sinC=—,cosC二]通过又瓯=—absinC二万可求出
5=5,结合余弦定理即可求出。的值.
【详解】
解:4csinA=3cosC,BP4csinA-3acosC
/.4sinAsinC=3sinAcosC,即4sinC=3cosC.
34
•,sin2C+cos2C=l,贝!|sinC=m,cosC=G・
1133
/.S.=—absinC=—xlxZ?x-=—,解得人=5.
AABRCr2252
j+LsC=l+52-2小5子18,.3逝
故选:D.
【点睛】
本题考查了正弦定理,考查了余弦定理,考查了三角形的面积公式,考查同角三角函数的基本关系.本题的关键是通过
正弦定理结合已知条件,得到角C的正弦值余弦值.
10、D
【解析】
根据函数图象的变换规律可得到y=g(%)解析式,然后将四个选项代入逐一判断即可.
【详解】
解:〃%)=5皿1+胃)图象上每一点的横坐标变为原来的2倍,得到5布卜+高
再将图像向左平移机个单位长度,得到函数g(x)=sin++的图象
故选:D
【点睛】
考查三角函数图象的变换规律以及其有关性质,基础题.
11、A
【解析】
根据抛物线的性质求出点P坐标和焦点产坐标,进而求出点"的坐标,代入斜率公式即可求解.
【详解】
设点P的坐标为(毛,%),%>0,
由题意知,焦点b(1,0),准线方程/:尤=—1,
所以归叫=%+1=5,解得/=4,
把点P(4,%)代入抛物线方程可得,
%=土4,因为%>0,所以%=4,
所以点M坐标为(—1,4),
代入斜率公式可得,k=--=-2.
MF-1-1
故选:A
【点睛】
本题考查抛物线的性质,考查运算求解能力;属于基础题.
12、D
【解析】
先求出集合8,再与集合A求交集即可.
【详解】
17
由已知,X2-X+2=(X-2)2+4>0,故5=火,所以A5={-2,-1,0,1,2).
故选:D.
【点睛】
本题考查集合的交集运算,考查学生的基本运算能力,是一道容易题.
二、填空题:本题共4小题,每小题5分,共20分。
13、";
【解析】
求出函数/(%)的零点,让正数零点从小到大排列,第三个正数零点落在区间[0,1]上,第四个零点在区间[0,1]外即
可.
【详解】
由/(x)=sin|2G)XH—|—=0,得2ct)xH—=kzr+(—1),—>keZ,
V6J266
x——[kjr+(-1)^--------]tkeZ,
Ico66
・・•"))=0,
4.
解得一工刃<2.
3
——(4»+--------)>n
[2。66
4
故答案为:[§,2).
【点睛】
本题考查函数的零点,根据正弦函数性质求出函数零点,然后题意,把正数零点从小到大排列,由于0已经是一个零
点,因此只有前3个零点在区间上.由此可得。的不等关系,从而得出结论,本题解法属于中档题.
[4、3+272;
【解析】
求出圆心坐标,代入直线方程得以〃的关系,再由基本不等式求得题中最小值.
【详解】
圆C:/+y2—2x—2y—1=0的标准方程为(x—l)2+(y—1)2=3,圆心为C(l/),
由题意小+〃—2=0,即m+n=2.
.24,12、/、_2mn__—X-=3+2A/2,当且仅当2竺=二,即
»•—I—二(—I—)(m+〃)=3-i--------1—>3+2,
mnmnnmnmnm
m=2(、巧-l),n=2(2-JI)时等号成立,
故答案为:3+2点.
【点睛】
本题考查用基本不等式求最值,考查圆的标准方程,解题方法是配方法求圆心坐标,“1”的代换法求最小值,目的是凑
配出基本不等式中所需的“定值”.
兀
15、1[kjrH—,左》十1],kGZ
2
【解析】
化简函数的解析式,利用余弦函数的图象和性质求解即可.
【详解】
函数/(%)=cos2x=geos2x+g,
二•最小正周期丁=二=%,
2
_jr
令2kr+/爻必r2左万+2»,keZ,可得左——领kkn-^n,k^Z,
2
所以单调递增区间是次乃+(k兀+兀1,丘z.
故答案为:万,[k7t+—,左乃+乃],k&z.
2
【点睛】
本题主要考查了二倍角的公式的应用,余弦函数的图象与性质,属于中档题.
16、{0,2}
【解析】
根据补集的定义求解即可.
【详解】
解:.,U={-2,T,0,L2},A={-2,T,l},
・•・丘{。,2}.
故答案为{0,2}.
【点睛】
本题主要考查了补集的运算,属于基础题.
三、解答题:共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
17、(1)证明见解析;(2)一包亘.
61
【解析】
(1)要证明面面ABC。,只需证明B4上面ABC。即可;
(2)以A为坐标原点,以AB,AD,AP分别为%,V,z轴建系,分别计算出面4\不法向量;],面尸5C的法
UU
向量乙,再利用公式计算即可.
【详解】
证明:(1)因为底面ABC。为正方形,所以A£>=A3=8
又因为PA=6,P£)=10,满足E42+A02=p02,
所以Q41.A。
又?AJ_AB,ADu面ABC。,ABI面ABC。,
ABryAD=A,
所以24_1_面ABC。.
又因为K4u面P4广,所以,面上铲_1面43。。.
(2)由(1)知A5,AD,AP两两垂直,以A为坐标原点,以AB,AD,AP分别为x,y,z轴建系如图所示,
C
Bx
则A(0,0,0),尸(0,0,6),B(8,0,0),C(8,8,0),。(0,8,0)则一(4,4,3),-8,4,0).
所以衣=(8,4,0),前=(4,4,3),BC=(0,8,0),PC=(8,8,-6),
/、71,•AF=0(8玉+4%=0
设面ANE法向量为四二冷弘,4,则由I八得/;'。八,
7
\nA-AN=0[4玉+4乂+3Z]=0
33/33、
令4=1得玉=(,x=—],即%=[1—5,1〉
同理,设面尸5c的法向量为%=(九2,%,Z2),
nPC=Q8X+8%-6Z=0
则由<2得<22
n2-BC-08y2=0
令22=4得%=3,%=°,即%=(3,0,4),
3
-x3+0+lx4
所以……而=45A/61
61,
设二面角A—八丁―c的大小为。,则
cos,=—cos<%,〃2〉=—警
所以二面角A—断―c余弦值为—士叵.
61
【点睛】
本题考查面面垂直的证明以及利用向量法求二面角,考查学生的运算求解能力,此类问题关键是准确写出点的坐标,
是一道中档题.
18、(1)巫;(2)生自
44
【解析】
(1)利用二倍角公式cos2c=1—2sin2c求解即可,注意隐含条件sinC>0.
(2)利用(1)中的结论,结合正弦定理和同角三角函数的关系易得sinA,cosAcosC的值,又由
sinB=sin(A+C)=sinAcosC+cosAsinC求出sinB的值,最后由正弦定理求出a的值,根据三角形的面积公式
即可计算得出.
【详解】
3
(1)由已知可得cos2c=1—2sii9?2=—一,
4
7
所以sir9c=—,
8
因为在锐角ABC中,sinC>0,
所以sinC=
4
(2)因为2〃,
所以sinA=—sinC=延工,
28
因为ABC是锐角三角形,
所以cosC=,cosA=,
48
所以sin5=sin(A+C)=sinAcosC+cosAsinC
A/14V25A/27143s
=---------X----------1-----------X----------=----------・
84848
由正弦定理可得:3且=_=,所以a=J1W,
sinBsinA
所以SABC--absinC=-xV14x3\/7义^^_=生旦
ABC2244
【点睛】
此类问题是高考的常考题型,主要考查了正弦定理、三角函数以及三角恒等变换等知识,同时考查了学生的基本运算
能力和利用三角公式进行恒等变换的技能,属于中档题.
19、(1)>2=4%
⑵(2,0)
【解析】
(1)先分别表示出4,《,然后根据才=3求解出。的值,则。的标准方程可求;
11
(2)设出直线I的方程%=根y+,并联立抛物线方程得到韦达定理形式,然后根据距离公式表示出同下+两下并
11
代入韦达定理形式,由此判断出而"+画下为定值时M的坐标.
【详解】
(1)由题意可得,焦点/P>°,贝U
,3x—2+2"3x2—+2,47=P,
3x〃+2
?
:•d—C—1解得p=2.
ui_J_1
d2p2
抛物线。的标准方程为V=4x
(2)设M«,0),设点P(玉,乂),。(马,%),显然直线/的斜率不为0.
设直线/的方程为*=叫+/
x=my+tc
联立方程2,整理可得y-4my-4f=0
y=4%
2
A=16(Z+m)>0,%+%=4根,yry2=-4t
111.i।1「才+式
IPM|2IQM|2(l+7〃2)y;(l+7〃2)y;(l+n/2)y;y;
(%+%)2-4%%_2疗+/
(l+m2)y^yl2r/n2+2t2
112t一
要使।na,r+1ca,r为定值,必有二丁=:方,解得f=2,
\PM|2\QM|22t°2t2
11,、
两产+两产为定值时,点M的坐标为(2,°)
【点睛】
本题考查抛物线方程的求解以及抛物线中的定值问题,难度一般.(1)处理直线与抛物线相交对应的定值问题,联立
直线方程借助韦达定理形式是常用方法;(2)直线与圆锥曲线的问题中,直线方程的设法有时能很大程度上起到简化
运算的作用。
n+}
20、(1)Sn=2-2(2)-——J—
"22,,+2-2
【解析】
(1)利用等差数列的通项公式以及等比中项求出公差d=l,从而求出仇=2%=2",再利用等比数列的前〃项和公
式即可求解.
(2)由(1)求出%,再利用裂项求和法即可求解.
【详解】
(1)%=4,且%,右,“9依次成等比数列,,片=%。9,
即:(4-疗=(4-3d)(4+5d),d>Q,:.d=\,
a”=n,bn=20"=2",
2(1-2")
:.S=△------L=2n+1-2<
"1-2
⑵Ocn=2b“b,,+i邑+]_邑二=1____1_
~sn-sn+rsn-sn+rsn-sn+l~snsn+l'
.s=J__±+±_±+L+±_J_=J__J_=l__]_
+2
…"HS2S2S3SnSn+lHSn+l22"-2-
【点睛】
本题考查了等差数列、等比数列的通项公式、等比数列的前九项和公式、裂项求和法,需熟记公式,属于基础题.
21、(1)G:Q=2COS。,直线/:x+y=4;(2)1±且.
4
【解析】
尤=OCOS0
(1)由消参法把参数方程化为普通方程,再由公式,八进行直角坐标方程与极坐标方程的互化;
y=夕sin”
OA
(2)由极径的定义可直接把6代入曲线C和直线/的极坐标方程,求出极径月,夕2,把比值化为&的三角函
数,从而可得最大值、
【详解】
JQ—0cose
(1)消去参数。可得曲线C的普通方程是(x—l)2+y2=l,即f+/—2工=0,代入’,八得夕2=2pcosd,
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