北京东城区2024年高考数学倒计时模拟卷含解析

北京东城区2024年高考数学倒计时模拟卷

注意事项：

1.答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。

2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再

选涂其它答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效。

3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。

一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1.函数y=cos2x-6sin2xxe的单调递增区间是()

7in7171

A.0,-B.0,-C.D.

L6_L3__n_2J

22

2.已知双曲线?—2=1(/?>0)的渐近线方程为氐±y=0,则6=()

A.273B.6C.D.4石

2

3.已知集合A={y|y=|x|-1,xGR},B={x|x>2},则下列结论正确的是()

A.-3GAB.3^BC.AHB=BD.AUB=B

/(m)+/(n-2)>0

4.已知奇函数/(%)是R上的减函数，若以〃满足不等式组/(-1)20,则2/71—〃的最小值为()

/(m)<0

A.-4B.-2C.0D.4

5.1%-W］的展开式中，含丁项的系数为()

A.-60B.-12C.12D.60

6.祖迪原理：“事势既同，则积不容异”.意思是说：两个同高的几何体，如在等高处的截面积恒相等，则体积相等.设4、

3为两个同高的几何体，P-A,3的体积不相等，q：a、3在等高处的截面积不恒相等.根据祖眶原理可知，P是q

的()

A.充分不必要条件B.必要不充分条件

C.充要条件D.既不充分也不必要条件

7.已知复数z=0。为虚数单位)，则下列说法正确的是()

A.z的虚部为4B.复数z在复平面内对应的点位于第三象限

c.z的共朝复数1=4—2iD.|Z|=2A/5

8.阅读如图所示的程序框图，运行相应的程序，则输出的结果为()

_3

9.已知。，b,c分别为AABC内角A,B,C的对边，a=l,4csinA=3cosC,AABC的面积为一，贝！1。=()

2

A.272B.4C.5D.3后

10.将函数/(x)=sin[x+1^图象上每一点的横坐标变为原来的2倍，再将图像向左平移?个单位长度，得到函数

y=g(x)的图象，则函数y=g(x)图象的一个对称中心为()

A.信B•序°)C.(肛0)D.件,0)

11.从抛物线上一点P(P点在x轴上方)引抛物线准线的垂线，垂足为"，且|PM|=5,设抛物线的焦点

为尸，则直线的斜率为()

44

A.—2B.2C.-----D.一

33

12.已知集合4={-2,—1,0,1,2},B^[X\JC-X+2>Q],则AB=()

A.{-1,0}B.{0,1}C.{-1,0,1}D.{-2,-1,0,1,2}

二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。

13.若函数/(x)=sin(2ox+f-；在区间[0,句上恰有4个不同的零点，则正数。的取值范围是.

24

14.直线znr+/y-2=0(.m>0,〃>0)过圆C：/-2%一2丁一1=0的圆心，则一+一的最小值是.

mn

15.函数/(x)=cos2x的最小正周期是,单调递增区间是.

16.已知全集。=卜2,-1,0,1,2},集合A={-2,-l/},则gA=.

三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

17.(12分)如图所示，在四棱锥尸—ABCD中，底面ABC。为正方形，PA±AB,PA=6,AB=8,PD=1O,

N为PC的中点，尸为棱BC上的一点.

(1)证明：面“皿_1面43。。；

(2)当尸为中点时，求二面角A—A下—C余弦值.

3

18.(12分)在锐角ABC中，角A,B,C所对的边分别为a,b,c.已知COS2C=—-.

4

(1)求sinC的值；

(2)当c=2a,且6=3夜时，求ABC的面积.

19.(12分)已知抛物线C：y2=2px(〃>0),点产为抛物线的焦点，焦点尸到直线3x—4y+2=。的距离为4，

d,1

焦点尸到抛物线。的准线的距离为4,且十='.

(1)求抛物线C的标准方程；

11

(2)若x轴上存在点过点M的直线/与抛物线C相交于P、。两点，且函/产+两下为定值，求点"的

坐标.

20.(12分)已知数列｛。“｝为公差为d的等差数列，d>0,%=4,且％,生，为依次成等比数列，b“=2%

(1)求数列也｝的前"项和s“；

2b、

(2)若。〃=不寸，求数列｛t%｝的前〃项和为T..

X=1+COS(P

21.(12分)在平面直角坐标系xOy中，曲线C的参数方程为.(。为参数)，以坐标原点为极点，x轴

y=sin夕

的正半轴为极轴建立极坐标系，直线I的极坐标方程为夕sin(6+f]=2.

(1)求曲线C的极坐标方程和直线/的直角坐标方程;

(2)若射线e=a0<£<W与曲线C交于点A(不同于极点O),与直线/交于点员求察的最大值.

<2JI

x=sin。-3cos。一2

22.(10分)在直角坐标系九0y中，曲线G的参数方程为八。.八(。为参数)，坐标原点为极点，x轴

y=cos〃+3sm〃

正半轴为极轴建立极坐标系，曲线。2的极坐标方程为夕sin[6+彳]=-2.

(1)求曲线G的普通方程和曲线°2的直角坐标方程；

(2)若曲线G、G交于A、B两点,。是曲线G上的动点，求△ABD面积的最大值.

参考答案

一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1、D

【解析】

利用辅助角公式，化简函数的解析式，再根据正弦函数的单调性，并采用整体法，可得结果.

【详解】

因为y=cos2x-gsin2x=2sin(--2x)=-2sin(2x由生+2k兀W2x+2k兀,左eZ,解得

66262

jr57r7TSTT

-+k7l<X<—+k7l,k^Z即函数的增区间为[—+左肛——+左"]/£Z,所以当k=0时，增区间的一个子集为

36936

号名

故选D.

【点睛】

本题考查了辅助角公式，考查正弦型函数的单调递增区间，重点在于把握正弦函数的单调性，同时对于整体法的应用，使

问题化繁为简，难度较易.

2、A

【解析】

22r

根据双曲线方程土-4=1(6>0),确定焦点位置，再根据渐近线方程氐±y=0得到」=百求解.

4b2a

【详解】

22

因为双曲线上—当=1（Z?>0）,

4b2

所以a=2,又因为渐近线方程为6x±y=0,

所以2=2=6,

a2

所以b=26.

故选：A.

【点睛】

本题主要考查双曲线的几何性质，还考查了运算求解的能力，属于基础题.

3、C

【解析】

试题分析：集合A={y|y»—1}.-.JBcA.-.AnB=B

考点：集合间的关系

4、B

【解析】

根据函数的奇偶性和单调性得到可行域，画出可行域和目标函数，根据目标函数的几何意义平移得到答案.

【详解】

m<2-n

奇函数/（尤）是R上的减函数，则"0）=0,m-n-l<Q,画出可行域和目标函数，

m>0

z=2m—n,即〃=2根—z,z表示直线与y轴截距的相反数，

根据平移得到：当直线过点（0,2）,即加=0.〃=2时，2=2〃?-〃有最小值为-2.

故选：B.

【点睛】

本题考查了函数的单调性和奇偶性，线性规划问题，意在考查学生的综合应用能力，画出图像是解题的关键.

5,B

【解析】

在二项展开式的通项公式中，令x的塞指数等于3,求出厂的值，即可求得含/项的系数.

【详解】

(x—3]的展开式通项为4+]=G>x6f•1—N)=C；-(-2)r-x6-3r,

令6—3r=3,得r=1,可得含Y项的系数为^义(—2)=—12.

故选：B.

【点睛】

本题主要考查二项式定理的应用，二项展开式的通项公式，二项式系数的性质，属于基础题.

6、A

【解析】

由题意分别判断命题的充分性与必要性，可得答案.

【详解】

解：由题意，若A、6的体积不相等，则A、3在等高处的截面积不恒相等，充分性成立；反之，4、6在等高处的

截面积不恒相等，但4、3的体积可能相等，例如A是一个正放的正四面体，3一个倒放的正四面体，必要性不成立,

所以。是4的充分不必要条件，

故选：A.

【点睛】

本题主要考查充分条件、必要条件的判定，意在考查学生的逻辑推理能力.

7、D

【解析】

利用i的周期性先将复数z化简为z=Y+2i即可得到答案.

【详解】

因为i2=—l，r=1，j5=i，所以i的周期为4,故2=舞/=曳¥=曳±2=-4+2i,

11—1

故Z的虚部为2,A错误；Z在复平面内对应的点为(-4,2),在第二象限，B错误；Z的共

物复数为"=—4—2i，C错误；忖=心斤百=2石，D正确.

故选：D.

【点睛】

本题考查复数的四则运算，涉及到复数的虚部、共飘复数、复数的几何意义、复数的模等知识，是一道基础题.

8,D

【解析】

用列举法，通过循环过程直接得出S与〃的值，得到〃=8时退出循环，即可求得.

【详解】

1113

执行程序框图，可得S=0,n=2,满足条件，S=7，附=4,满足条件，S=-+-=-,n=6,满足条件，

2244

S=-+-+-=—,n=^,由题意，此时应该不满足条件，退出循环，输出S的值为口乂8=丝.

24612123

故选D.

【点睛】

本题主要考查了循环结构的程序框图的应用，正确依次写出每次循环得到的S与〃的值是解题的关键，难度较易.

9、D

【解析】

一341.3

由正弦定理可知4csinA=4asinC=3cosC,从而可求出sinC=—,cosC二］通过又瓯=—absinC二万可求出

5=5,结合余弦定理即可求出。的值.

【详解】

解:4csinA=3cosC,BP4csinA-3acosC

/.4sinAsinC=3sinAcosC,即4sinC=3cosC.

34

•,­sin2C+cos2C=l，贝!|sinC=m，cosC=G・

1133

/.S.=—absinC=—xlxZ?x-=—,解得人=5.

AABRCr2252

j+LsC=l+52-2小5子18,.3逝

故选:D.

【点睛】

本题考查了正弦定理，考查了余弦定理，考查了三角形的面积公式，考查同角三角函数的基本关系.本题的关键是通过

正弦定理结合已知条件，得到角C的正弦值余弦值.

10、D

【解析】

根据函数图象的变换规律可得到y=g(%)解析式，然后将四个选项代入逐一判断即可.

【详解】

解：〃%)=5皿1+胃)图象上每一点的横坐标变为原来的2倍,得到5布卜+高

再将图像向左平移机个单位长度，得到函数g(x)=sin++的图象

故选:D

【点睛】

考查三角函数图象的变换规律以及其有关性质，基础题.

11、A

【解析】

根据抛物线的性质求出点P坐标和焦点产坐标，进而求出点"的坐标，代入斜率公式即可求解.

【详解】

设点P的坐标为(毛,%),%>0,

由题意知，焦点b(1,0),准线方程/:尤=—1,

所以归叫=%+1=5,解得/=4,

把点P(4,%)代入抛物线方程可得，

%=土4,因为%>0,所以%=4,

所以点M坐标为(—1,4),

代入斜率公式可得，k=--=-2.

MF-1-1

故选：A

【点睛】

本题考查抛物线的性质，考查运算求解能力；属于基础题.

12、D

【解析】

先求出集合8,再与集合A求交集即可.

【详解】

17

由已知，X2-X+2=(X-2)2+4>0,故5=火，所以A5={-2,-1,0,1,2).

故选：D.

【点睛】

本题考查集合的交集运算，考查学生的基本运算能力，是一道容易题.

二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。

13、"；

【解析】

求出函数/(%)的零点，让正数零点从小到大排列，第三个正数零点落在区间［0,1］上，第四个零点在区间［0,1］外即

可.

【详解】

由/(x)=sin|2G)XH—|—=0,得2ct)xH—=kzr+(—1)，—>keZ,

V6J266

x——［kjr+(-1)^--------］tkeZ,

Ico66

・・•"))=0,

4.

解得一工刃<2.

3

——(4»+--------)>n

[2。66

4

故答案为：［§,2).

【点睛】

本题考查函数的零点，根据正弦函数性质求出函数零点，然后题意，把正数零点从小到大排列，由于0已经是一个零

点，因此只有前3个零点在区间上.由此可得。的不等关系，从而得出结论，本题解法属于中档题.

[4、3+272;

【解析】

求出圆心坐标，代入直线方程得以〃的关系，再由基本不等式求得题中最小值.

【详解】

圆C：/+y2—2x—2y—1=0的标准方程为(x—l)2+(y—1)2=3,圆心为C(l/)，

由题意小+〃—2=0,即m+n=2.

.24,12、/、_2mn__—X-=3+2A/2,当且仅当2竺=二，即

»•—I—二(—I—)(m+〃)=3-i--------1—>3+2,

mnmnnmnmnm

m=2(、巧-l),n=2(2-JI)时等号成立,

故答案为：3+2点.

【点睛】

本题考查用基本不等式求最值，考查圆的标准方程，解题方法是配方法求圆心坐标，“1”的代换法求最小值，目的是凑

配出基本不等式中所需的“定值”.

兀

15、1[kjrH—,左》十1],kGZ

2

【解析】

化简函数的解析式，利用余弦函数的图象和性质求解即可.

【详解】

函数/(%)=cos2x=geos2x+g,

二•最小正周期丁=二=%，

2

_jr

令2kr+/爻必r2左万+2»,keZ,可得左——领kkn-^n,k^Z,

2

所以单调递增区间是次乃+(k兀+兀1,丘z.

故答案为：万，[k7t+—,左乃+乃],k&z.

2

【点睛】

本题主要考查了二倍角的公式的应用，余弦函数的图象与性质，属于中档题.

16、{0,2}

【解析】

根据补集的定义求解即可.

【详解】

解：.,U={-2,T,0,L2},A={-2,T,l},

・•・丘{。，2}.

故答案为{0,2}.

【点睛】

本题主要考查了补集的运算，属于基础题.

三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

17、(1)证明见解析；(2)一包亘.

61

【解析】

(1)要证明面面ABC。，只需证明B4上面ABC。即可；

(2)以A为坐标原点，以AB,AD,AP分别为％,V,z轴建系，分别计算出面4\不法向量；］,面尸5C的法

UU

向量乙，再利用公式计算即可.

【详解】

证明：(1)因为底面ABC。为正方形，所以A£>=A3=8

又因为PA=6,P£)=10,满足E42+A02=p02,

所以Q41.A。

又？AJ_AB,ADu面ABC。，ABI面ABC。，

ABryAD=A,

所以24_1_面ABC。.

又因为K4u面P4广，所以，面上铲_1面43。。.

(2)由(1)知A5,AD,AP两两垂直，以A为坐标原点，以AB,AD,AP分别为x,y,z轴建系如图所示,

C

Bx

则A（0,0,0）,尸（0,0,6）,B（8,0,0）,C（8,8,0）,。（0,8,0）则一（4,4,3）,-8,4,0）.

所以衣=（8,4,0）,前=（4,4,3）,BC=（0,8,0）,PC=（8,8,-6）,

/、71,•AF=0（8玉+4%=0

设面ANE法向量为四二冷弘，4,则由I八得/；'。八,

7

\nA-AN=0[4玉+4乂+3Z]=0

33/33、

令4=1得玉=（,x=—],即％=[1—5,1〉

同理，设面尸5c的法向量为%=（九2,%，Z2），

nPC=Q8X+8%-6Z=0

则由＜2得＜22

n2-BC-08y2=0

令22=4得％=3,%=°，即%=（3,0,4）,

3

-x3+0+lx4

所以……而=45A/61

61，

设二面角A—八丁―c的大小为。，则

cos，=—cos<%,〃2〉=—警

所以二面角A—断―c余弦值为—士叵.

61

【点睛】

本题考查面面垂直的证明以及利用向量法求二面角，考查学生的运算求解能力，此类问题关键是准确写出点的坐标，

是一道中档题.

18、（1）巫；（2）生自

44

【解析】

（1）利用二倍角公式cos2c=1—2sin2c求解即可，注意隐含条件sinC＞0.

（2）利用（1）中的结论，结合正弦定理和同角三角函数的关系易得sinA,cosAcosC的值，又由

sinB=sin（A+C）=sinAcosC+cosAsinC求出sinB的值，最后由正弦定理求出a的值，根据三角形的面积公式

即可计算得出.

【详解】

3

(1)由已知可得cos2c=1—2sii9?2=—一,

4

7

所以sir9c=—,

8

因为在锐角ABC中，sinC>0,

所以sinC=

4

(2)因为2〃，

所以sinA=—sinC=延工，

28

因为ABC是锐角三角形，

所以cosC=,cosA=,

48

所以sin5=sin(A+C)=sinAcosC+cosAsinC

A/14V25A/27143s

=---------X----------1-----------X----------=----------・

84848

由正弦定理可得：3且=_=，所以a=J1W，

sinBsinA

所以SABC--absinC=-xV14x3\/7义^^_=生旦

ABC2244

【点睛】

此类问题是高考的常考题型，主要考查了正弦定理、三角函数以及三角恒等变换等知识，同时考查了学生的基本运算

能力和利用三角公式进行恒等变换的技能，属于中档题.

19、(1)>2=4%

⑵(2,0)

【解析】

(1)先分别表示出4,《，然后根据才=3求解出。的值，则。的标准方程可求；

11

(2)设出直线I的方程%=根y+，并联立抛物线方程得到韦达定理形式,然后根据距离公式表示出同下+两下并

11

代入韦达定理形式，由此判断出而"+画下为定值时M的坐标.

【详解】

（1）由题意可得，焦点/P>°，贝U

,3x—2+2"3x2—+2,47=P，

3x〃+2

?

:•d—C—1解得p=2.

ui_J_1

d2p2

抛物线。的标准方程为V=4x

（2）设M«,0）,设点P（玉,乂），。（马，%），显然直线/的斜率不为0.

设直线/的方程为*=叫+/

x=my+tc

联立方程2，整理可得y-4my-4f=0

y=4%

2

A=16(Z+m)>0,%+%=4根，yry2=-4t

111.i।1「才+式

IPM|2IQM|2(l+7〃2)y；(l+7〃2)y；(l+n/2)y；y；

(%+%)2-4%％_2疗+/

(l+m2)y^yl2r/n2+2t2

112t一

要使।na,r+1ca,r为定值,必有二丁=:方，解得f=2,

\PM|2\QM|22t°2t2

11,、

两产+两产为定值时，点M的坐标为（2，°）

【点睛】

本题考查抛物线方程的求解以及抛物线中的定值问题，难度一般.（1）处理直线与抛物线相交对应的定值问题，联立

直线方程借助韦达定理形式是常用方法；（2）直线与圆锥曲线的问题中，直线方程的设法有时能很大程度上起到简化

运算的作用。

n+}

20、(1)Sn=2-2(2)-——J—

"22,,+2-2

【解析】

(1)利用等差数列的通项公式以及等比中项求出公差d=l,从而求出仇=2%=2",再利用等比数列的前〃项和公

式即可求解.

(2)由(1)求出％,再利用裂项求和法即可求解.

【详解】

(1)%=4,且％,右，“9依次成等比数列，，片=%。9，

即：(4-疗=(4-3d)(4+5d),d>Q,:.d=\,

a”=n,bn=20"=2",

2(1-2")

:.S=△------L=2n+1-2<

"1-2

⑵Ocn=2b“b,,+i邑+]_邑二=1____1_

~sn-sn+rsn-sn+rsn-sn+l~snsn+l'

.s=J__±+±_±+L+±_J_=J__J_=l__]_

+2

…"HS2S2S3SnSn+lHSn+l22"-2-

【点睛】

本题考查了等差数列、等比数列的通项公式、等比数列的前九项和公式、裂项求和法，需熟记公式，属于基础题.

21、(1)G：Q=2COS。，直线/：x+y=4；(2)1±且.

4

【解析】

尤=OCOS0

(1)由消参法把参数方程化为普通方程，再由公式,八进行直角坐标方程与极坐标方程的互化；

y=夕sin”

OA

(2)由极径的定义可直接把6代入曲线C和直线/的极坐标方程，求出极径月,夕2,把比值化为&的三角函

数，从而可得最大值、

【详解】

JQ—0cose

(1)消去参数。可得曲线C的普通方程是(x—l)2+y2=l,即f+/—2工=0,代入’,八得夕2=2pcosd,