河北省鸡泽县第一中学2024年高考冲刺押题（最后一卷）数学试卷含解析

河北省鸡泽县第一中学2024年高考冲刺押题（最后一卷）数学试卷

注意事项：

1.答题前，考生先将自己的姓名、准考证号码填写清楚，将条形码准确粘贴在条形码区域内。

2.答题时请按要求用笔。

3.请按照题号顺序在答题卡各题目的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效；在草稿纸、试卷上答题无效。

4.作图可先使用铅笔画出，确定后必须用黑色字迹的签字笔描黑。

5.保持卡面清洁，不要折暴、不要弄破、弄皱，不准使用涂改液、修正带、刮纸刀。

一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1.如图所示，正方体ABC。-A4GA的棱A5,A2的中点分别为E，F,则直线所与平面相2。所成角的

正弦值为（）

7

2.为了进一步提升驾驶人交通安全文明意识，驾考新规要求驾校学员必须到街道路口执勤站岗，协助交警劝导交通.

现有甲、乙等5名驾校学员按要求分配到三个不同的路口站岗，每个路口至少一人，且甲、乙在同一路口的分配方案

共有（）

A.12种B.24种C.36种D.48种

3.某中学有高中生1500人，初中生1000人为了解该校学生自主锻炼的时间，采用分层抽样的方法从高生和初中生中

抽取一个容量为九的样本.若样本中高中生恰有30人，则〃的值为（）

A.20B.50C.40D.60

已知a4'兀3兀、j,tan(cif-7i)=_3

4.9贝(1sini+coscir等于().

4

,1117

A.土一B.——C.-D.—

5555

/'0

5.设实数二二满足条件三-二二，则二十二一二的最大值为（）

Ic-□0

A.1B.2C.3D.4

6.已知双曲线：=/二；。，二丁。），其右焦点F的坐标为二：，点二是第一象限内双曲线渐近线上的一点，二为

坐标原点，满足一一=「，线段二二交双曲线于点二.若二为二二的中点，则双曲线的离心率为（）

A.B.2C."D.7

JM

7.已知等差数列｛4｝中，。4+〃6=8贝！1〃3+〃4+。5+。6+%=（）

A.10B.16C.20D.24

8.已知4（5,力）是圆心为坐标原点。，半径为1的圆上的任意一点，将射线。4绕点。逆时针旋转斗到08交圆

于点8（4,%），贝！|2%+力的最大值为（）

A.3B.2C.73D.石

9.已知耳，鸟是双曲线C:=1（。>0/>0）的左、右焦点，A,3是。的左、右顶点，点P在过耳且斜率为走的

ab4

直线上，△243为等腰三角形，ZABP=120°,则C的渐近线方程为（）

A.y=+-xB.y=±2xC.y=±xD.y=+y/3x

.23

10.一艘海轮从A处出发，以每小时24海里的速度沿南偏东40。的方向直线航行，30分钟后到达5处，在C处有一

座灯塔，海轮在A处观察灯塔，其方向是南偏东70。，在5处观察灯塔，其方向是北偏东65。，那么8,C两点间的距

A.6近海里B.6G海里C.80海里D.8G海里

11.为了研究国民收入在国民之间的分配，避免贫富过分悬殊，美国统计学家劳伦茨提出了著名的劳伦茨曲线，如图

所示.劳伦茨曲线为直线OL时，表示收入完全平等.劳伦茨曲线为折线3Z时，表示收入完全不平等.记区域A为不平

等区域，。表示其面积，S为△。虫的面积，将Gini=?称为基尼系数.

13

£

累

计

收100

入80

百60

分40

比

20

(%)

0K

(0)050100

累计人口百分比(%)

对于下列说法:

①Gini越小，则国民分配越公平；

②设劳伦茨曲线对应的函数为y=/(%),则对Vxe(0,l),均有改>1；

X

③若某国家某年的劳伦茨曲线近似为y=/(xe[0,l]),则Gini=；；

④若某国家某年的劳伦茨曲线近似为y=x3(x^[0,1]),则Gini=；.

其中正确的是：

A.①④B.②③C.①③④D.①②④

12.已知三棱锥P-ABC的四个顶点都在球。的球面上，上4,平面ABC,AABC是边长为26的等边三角形，若球。

的表面积为2(%■，则直线PC与平面所成角的正切值为()

AR—/yn不

A..3B・a-----Cr•7/13•------

4374

二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。

13.已知函数〃同=学，g(x)=±,若函数/za)=g(〃X))+7”有3个不同的零点XI,X2,X3(X1<X2<X3),则

2xx—m

2/(X1)+/(X2)+/(X3)的取值范围是.

14.已知x,ye火，i为虚数单位，且(x—2)i—y=—1+i,贝！|x+y=.

15.已知r>0,iBf(t)=£(1-C*2x+Cl4x2-C/8x3+...-Cj128x7+256x8,则/⑺的展开式中各项系数

和为.

16.在AABC中，ZBAC=60,40为NR4c的角平分线，且AD=；AC+总48,若43=2,贝!|5C=.

三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

17.(12分)如图，在正四棱柱ABCD—A4GA中，AB=1,M=3,过顶点A,Q的平面与棱8月，分

别交于M,N两点(不在棱的端点处).

D,

（1）求证：四边形AMC|N是平行四边形；

（2）求证：与AN不垂直；

（3）若平面AMGN与棱所在直线交于点P,当四边形AMGN为菱形时，求PC长.

18.（12分）设抛物线C:V=2°x（p〉0）过点（m,2j^）（〃z〉0）.

（1）求抛物线C的方程；

（2）歹是抛物线C的焦点，过焦点的直线与抛物线交于A,B两点,若B户=2FA，求|AB|的值.

19.（12分）随着改革开放的不断深入，祖国不断富强，人民的生活水平逐步提高，为了进一步改善民生，2019年1

月1日起我国实施了个人所得税的新政策，其政策的主要内容包括：（1）个税起征点为5000元；（2）每月应纳税所得

额（含税）=收入一个税起征点-专项附加扣除；（3）专项附加扣除包括①赡养老人费用②子女教育费用③继续教育

费用④大病医疗费用……等.其中前两项的扣除标准为：①赡养老人费用：每月扣除2000元②子女教育费用：每个

子女每月扣除1000元.新个税政策的税率表部分内容如下：

级数一级二级三级四级

超过3000元超过12000元超过25000元

每月应纳税所不超过3000

至12000元的至25000元的至35000元的

得额（含税）元的部分

部分部分部分

税率（%）3102025

（1）现有李某月收入29600元，膝下有一名子女，需要赡养老人，除此之外，无其它专项附加扣除.请问李某月应缴

纳的个税金额为多少？

（2）为研究月薪为20000元的群体的纳税情况，现收集了某城市500名的公司白领的相关资料，通过整理资料可知，

有一个孩子的有400人，没有孩子的有100人，有一个孩子的人中有300人需要赡养老人，没有孩子的人中有50人需

要赡养老人，并且他们均不符合其它专项附加扣除（受统计的500人中，任何两人均不在一个家庭）.若他们的月收入

均为20000元，依据样本估计总体的思想，试估计在新个税政策下这类人群缴纳个税金额X的分布列与期望.

20.(12分)如图，在直角AA0B中，OA=OB=2,AAOC通过AAO3以直线。4为轴顺时针旋转120。得到

(ZBC>C=120°).点。为斜边AB上一点.点M为线段上一点，且“3=逑.

(1)证明：MO_L平面AOB；

(2)当直线血。与平面所成的角取最大值时，求二面角3-CD-O的正弦值.

21.（12分）如图，在三棱柱A3C—4用G中，43,平面ABC,ABLAC,且43=AC=A5=2.

(1)求棱A4与8C所成的角的大小；

(2)在棱耳G上确定一点尸，使二面角P-A3-4的平面角的余弦值为年.

22.(10分)已知函数/(x)=lnx.

(1)求函数g(x)=〃x)-x+l的零点;

(2)设函数/(九)的图象与函数y=x+—~1的图象交于A(%，M),巩占,%)(占<々)两点，求证：a<西九2一%;

(3)若%>0,且不等式尤)对一切正实数x恒成立，求上的取值范围.

参考答案

一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1、C

【解析】

以D为原点，DA,DC,DDi分别为苍轴，建立空间直角坐标系，由向量法求出直线EF与平面AAiDiD所成角

的正弦值.

【详解】

以D为原点，DA为x轴，DC为y轴，DDi为z轴，建立空间直角坐标系，设正方体ABCD-AiBiGDi的棱长为2,

则石（2,1,0）,*1,0,2）,EF=（-1-1,2）,

取平面AA.D.D的法向量为n=（0,1,0）,

设直线EF与平面AAiDiD所成角为0,则sin0=|cosER,〃卜||巴1手，

EFMn|6

•••直线EF与平面AA.D.D所成角的正弦值为&.

6

故选C.

【点睛】

本题考查了线面角的正弦值的求法，也考查数形结合思想和向量法的应用，属于中档题.

2、C

【解析】

先将甲、乙两人看作一个整体，当作一个元素，再将这四个元素分成3个部分，每一个部分至少一个，再将这3部分

分配到3个不同的路口，根据分步计数原理可得选项.

【详解】

把甲、乙两名交警看作一个整体，5个人变成了4个元素，再把这4个元素分成3部分，每部分至少有1个人，共有C：

种方法，再把这3部分分到3个不同的路口，有用种方法，由分步计数原理，共有C>&=36种方案。

故选：c.

【点睛】

本题主要考查排列与组合，常常运用捆绑法，插空法，先分组后分配等一些基本思想和方法解决问题，属于中档题.

3、B

【解析】

利用某一层样本数等于某一层的总体个数乘以抽样比计算即可.

【详解】

由题意，30=1500x--------------,解得”=50.

1500+1000

故选：B.

【点睛】

本题考查简单随机抽样中的分层抽样，某一层样本数等于某一层的总体个数乘以抽样比，本题是一道基础题.

4、B

【解析】

3

由已知条件利用诱导公式得tan。=-二，再利用三角函数的平方关系和象限角的符号，即可得到答案.

4

【详解】

3

由题意得tan(a-7i)=tana=——,

4

34

又aecostz^O,sin(z)0结合sin2(z+cos2a=1解得sin(z=-,costz

3_4__£

所以sincc+coscir

5-5

故选B.

【点睛】

本题考查三角函数的诱导公式、同角三角函数的平方关系以及三角函数的符号与位置关系，属于基础题.

5、C

【解析】

画出可行域和目标函数，根据目标函数的几何意义平移得到答案.

【详解】

如图所示：画出可行域和目标函数，

二二二一二-即二二-二+二-二表示直线在二轴的截距加上1,

根据图像知，当：］+匚=：时，且时，［］=（□+口+i有最大值为;.

12X34

【点睛】

本题考查了线性规划问题，画出图像是解题的关键.

6、C

【解析】

计算得到二（二三，二（二.三，代入双曲线化简得到答案.

【详解】

双曲线的一条渐近线方程为二二"匚是第一象限内双曲线渐近线上的一点，一

故萼），口仁沏，故二（口.野），代入双曲线化简得到：三二.，故二二二.

故选：二

【点睛】

本题考查了双曲线离心率，意在考查学生的计算能力和综合应用能力.

7、C

【解析】

根据等差数列性质得到&+R=8=2%,再计算得到答案.

【详解】

已知等差数列｛。“｝中，%+。6=8=2%=>4=4

%+/+%+%+%=5a5=20

故答案选C

【点睛】

本题考查了等差数列的性质，是数列的常考题型.

8、C

【解析】

27r

设射线。4与x轴正向所成的角为a,由三角函数的定义得力=sina,=sin(«+—),

^yA+yB=-sma+—cosa，利用辅助角公式计算即可•

22

【详解】

设射线。4与x轴正向所成的角为a,由已知，4=cosa,%=sina,

27r27r2TC

xB=cos(cif+—),yB=sin(d<+—),所以2yA+=2sma+sin(cif+—)

2sinor--sinor+^-cosa--sinor+^-cosor二百sin(a+工)<石，

22226

7T

当&=一时，取得等号.

3

故选：C.

【点睛】

本题考查正弦型函数的最值问题，涉及到三角函数的定义、辅助角公式等知识，是一道容易题.

9、D

【解析】

根据为等腰三角形，NABP=120°可求出点尸的坐标，又由尸耳的斜率为更可得出。关系，即可求出渐

4

近线斜率得解.

【详解】

如图，

因为△9为等腰三角形，ZABP=120°,

所以|P3|=|AB|=2〃，N尸5M=60。,

:.xp=|PB\cos600+a=2a,yp=|PB|sin60°=,

7y/3d—0\/3

XkpF----------——，

「A2Q+C4

:.2a=c

3a2=b1，

解得2=后，

a

所以双曲线的渐近线方程为y=土瓜,

故选：D

【点睛】

本题主要考查了双曲线的简单几何性质，属于中档题.

10、A

【解析】

先根据给的条件求出三角形A5C的三个内角，再结合A8可求，应用正弦定理即可求解.

【详解】

由题意可知：ZBAC=70°-40o=30°.ZACD=110°,：.ZACB=110°-65°=45°,

:.ZABC=180°-30°-45°=105°.又45=24x0.5=12.

北

东

4RBC

在△ABC中，由正弦定理得-------=

sin450sin30°

12BC

即农一1，•••BC=6万

V2

故选：A.

【点睛】

本题考查正弦定理的实际应用，关键是将给的角度、线段长度转化为三角形的边角关系，利用正余弦定理求解.属于中

档题.

11、A

【解析】

对于①，根据基尼系数公式Gini=£,可得基尼系数越小，不平等区域的面积。越小，国民分配越公平，所以①正确.

对于②，根据劳伦茨曲线为一条凹向横轴的曲线，由图得Vxe（O,l）,均有y（x）＜x,可得幺工＜1,所以②错误.对于

X

J.

③，因为a=f（尤-/）*=（/一%，所以Gini=?=$=：,所以③错误.对于④，因为

23o3上3

2

1

。=£（无一/）改=§*2-%4冗=；,所以Gini=/=：=；,所以④正确.故选A.

2

12、C

【解析】

设。为A6中点,先证明CD，平面R43,得出NCP。为所求角，利用勾股定理计算PA,PD,CD,得出结论.

【详解】

p

设。,E分别是的中点CD=F

24,平面ABC:.PA±CD

AABC是等边三角形:.CD±AB

又PAAB=A

\CE)A平面R4B尸Z>为PC与平面RIB所成的角

AABC是边长为2百的等边三角形

2

/.CD=AE=3,A/=-A5=2且方为AA5C所在截面圆的圆心

3

球。的表面积为2071.••球。的半径OA=y[5

:.OF=y]OA2-AF2=1

R4,平面ABC:.PA=2OF=2

PD=sIPAr+AD2=V7

:.tan/CPD=&=4=^

PD币1

本题正确选项：C

【点睛】

本题考查了棱锥与外接球的位置关系问题，关键是能够通过垂直关系得到直线与平面所求角，再利用球心位置来求解

出线段长，属于中档题.

二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。

13、(-1>0)

【解析】

先根据题意，求出M尤)=g(〃x))+相的解得/(力=言,或/(X)=T7Z,然后求出f(X)的导函数，求其单调性以及

最值，在根据题意求出函数M%)=g(/(%))+加有3个不同的零点XI,X2,X3(X1<X2<X3),分情况讨论求出

2/h)+/(x2)+/(x3)的取值范围.

【详解】

解：令t=f(x),函数/?(x)=g(/(x))+祖有3个不同的零点，

即g(力=—+m=0有两个不同的解，解之得。=-,t2=~m

即/(x)=£，或/(%)=—m

因为=3"的导函数

r(x)=e(l-F)(x〉o),令r(x)<0,解得x>e,/'(x)>0,解得0<x<e,

可得f(X)在(0,e)递增，在(e,+8)递减；

f(x)的最大值为/(e)=；,且x---0

且f(l)=0；

要使函数Mx)=g(/(x))+〃?有3个不同的零点，

(1)/(力=£,有两个不同的解，此时/(%)=—加有一个解；

(2)/(%)=—7〃有两个不同的解，此时〃力=1，有一个解

当;•(%)=£,有两个不同的解，此时/(%)=—加有一个解，

此时-〃Z=L,机=-!,不符合题意；

24

或是—m=0,m=0不符合题意；

—m<0

所以只能是<m1解得0<加<1

0<—<—

I22

/(%)=-和，/(x2)=/(x3)=y,

此时2/(玉)+/(%2)+/(七)=-m,

此时一1<一加<0

/(%)=-机有两个不同的解，此时/(x)=g,有一个解

rn|

此时一=—,根=1,不符合题意；

22

或是'=0,〃7=0不符合题意；

2

m八

—<0

21

所以只能是解得—5<加<。

0<-m<-2

2

=f（x2）=f（x3）=-m

此时2/（%）+/（々）+/（演）=一根，

0<—m<—

2

综上：2/（石）+/（9）+/（七）的取值范围是（—1,0）°］。，；

故答案为（-i，o）u（o，£j

【点睛】

本题主要考查了函数与导函数的综合，考查到了函数的零点，导函数的应用，以及数形结合的思想、分类讨论的思想,

属于综合性极强的题目，属于难题.

14、4

【解析】

解：利用复数相等，可知由工―2=l,y=l有x+y=4.

1

15、-

9

【解析】

根据定积分的计算，得到/（/）=-］（1-2/）9+工，令/=1,求得/。）=:，即可得到答案.

18189

【详解】

根据定积分的计算，可得

7889

/(0=£(1-C*2X+-或8丁+...—CJ128X+C；256x)dx=£(1-2x)公=—f(1—2x)\'Q

=-—(l-2O9+—,

1818

令』，则/⑴=—焉(1-2><+昌，

即f(t)的展开式中各项系数和为B.

【点睛】

本题主要考查了定积分的应用，以及二项式定理的应用，其中解答中根据定积分的计算和二项式定理求得了«）的表示

是解答本题的关键，着重考查了运算与求解能力，属于基础题.

16、2A/7

【解析】

由=+求出8。,。。长度关系，利用角平分线以及面积关系，求出AC边，再由余弦定理，即可求解.

【详解】

AD=iAC+|AB,i(AD-AC)=1(AB-AD),

CD=3DB,:.CD=3DB,

SADCCDgAC・,sinNCADACAC

SADBBD-AB-ADsinZBADAB2

2

AC=6,BC2=AB2+AC2-2ABACCOSABAC=40-2x6=28,

BC=2后.

故答案为：26.

【点睛】

本题考查共线向量的应用、面积公式、余弦定理解三角形，考查计算求解能力，属于中档题.

三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

17、(1)证明见解析；(2)证明见解析；(3)PC=2.

【解析】

(1)由平面A5A4与平面DCG2没有交点，可得与NG不相交，又AM与NG共面，所以AM//NG，同

理可证AN//MC1，得证；⑵由四边形AMGN是平行四边形，且国A。，则AMCN不可能是矩形，所以

AM与AN不垂直；(3)先证R。三Rf—GgM,可得〃为8月的中点，从而得出B是PC的中点，可得PC.

【详解】

(1)依题意4M,G，N都在平面AG上，

因此4欣£平面AG，NGu平面AG，

又AM1平面ABBXAX,NJc平面DCCR,

平面与平面DCG2平行，即两个平面没有交点,

则AM与NG不相交，又AM与NG共面,

所以AM//NG，同理可证4V//MG，

所以四边形AMGN是平行四边形；

(2)因为N两点不在棱的端点处，所以|ACV|<|5〃|=|ACj,

又四边形AMGN是平行四边形，|MN|W|ACJ,

则AMC|N不可能是矩形，所以AM与AN不垂直；

(3)如图，延长G"交CB的延长线于点尸，

若四边形AMGN为菱形，则AM=MCX,易证Rt.ABM=RtQB.M,

所以BM=B1M,即M为8瓦的中点，

因此且BM//C£,所以即/是PCG的中位线，

则3是PC的中点，所以PC=2BC=2.

【点睛】

本题考查了立体几何中的线线平行和垂直的判定问题，和线段长的求解问题，意在考查学生的空间想象能力和逻辑推

理能力；解答本题关键在于能利用直线与直线、直线与平面、平面与平面关系的相互转化，属中档题.

、，，9

18^(1)y~=4x(2)—

2

【解析】

⑴代入(办2标)计算即可.

(2)设直线A3的方程为了=以彳-1),再联立直线与抛物线的方程，消去x可得y的一元二次方程，再根据韦达定理与

BF=2E4求解3进而利用弦长公式求解即可•

【详解】

解：

（1）因为抛物线C:_/=2px（p〉0）过点（相,2，而，所以4m=2pm，所以p=2,抛物线的方程为丁=4%

（2）由题意知直线AB的斜率存在，可设直线AB的方程为y=k（x-I）,A（w%）,8（%2,%）•因为BF=2X4,所以

“一2%,联立.y=一k{x-1），化简得9丁4-/4=。，所以%+%=小4跖一,所以y「小4；9=2,解得

k=±2s/2，所以|A5|=

【点睛】

本题考查抛物线的方程以及联立直线与抛物线求弦长的简单应用.属于基础题.

19、（1）李某月应缴纳的个税金额为2910元，（2）分布列详见解析，期望为1150元

【解析】

（1）分段计算个人所得税额；

（2）随机变量X的所有可能的取值为990,1190,1390,1590,分别求出各值对应的概率，列出分布列，求期望即可.

【详解】

解：（1）李某月应纳税所得额（含税）为：29600-5000-1000-2000=21600元

不超过3000的部分税额为3000x3%=90元

超过3000元至12000元的部分税额为9000x10%=900元，

超过12000元至25000元的部分税额为9600x20%=1920元

所以李某月应缴纳的个税金额为90+900+1920=2910元，

（2）有一个孩子需要赡养老人应纳税所得额（含税）为：20000-5000-1000-2000=12000元，

月应缴纳的个税金额为：90+900=990元

有一个孩子不需要赡养老人应纳税所得额（含税）为：20000-5000-1000=14000元，

月应缴纳的个税金额为：90+900+400=1390元；

没有孩子需要赡养老人应纳税所得额（含税）为：20000-5000-2000=13000元，

月应缴纳的个税金额为：90+900+200=1190元；

没有孩子不需要赡养老人应纳税所得额（含税）为：20000-5000=15000元，

月应缴纳的个税金额为：90+900+600=1590元；

3

产(X=990)=不

p(x=1190)=5,

P(X=1390)=1,

P(X=1590)=—

10

所以随机变量X的分布列为:

X990119013901590

3111

p

5io5io

3111

E(x)=990x-+1190x—+1390x-+1590x—=1150.

510510

【点睛】

本题考查了分段函数的应用与函数值计算，考查了随机变量的概率分布列与数学期望，属于中档题.

20、(1)见解析；(2)上叵

35

【解析】

(1)先算出O河的长度，利用勾股定理证明03,再由已知可得Q4LQ0,利用线面垂直的判定定理即可

证明；

(2)由(1)可得NMDO为直线与平面所成的角，要使其最大，则OD应最小，可得。为中点，然后

建系分别求出平面的法向量即可算得二面角的余弦值，进一步得到正弦值.

【详解】

(1)在中，ZOBC=3Q，由余弦定理得

OM=y]OB-+BM2-2OB-BM-cos30=,

3

:.OM2+OB2=MB2,

：.OMLOB,

由题意可知：OA±OC,OBOC=O,

.•・Q4,平面COB,

OMu平面COB,/.OA±OM,

又。4OB=O,

OM_L平面AOB.

(2)以。为坐标原点，以OM，OB，的方向为x，V，z轴的正方向，建立空间直角坐标系.

•/OM±平面AOB,：.MD在平面AOB1.的射影是OD,

工血。与平面所成的角是最大时，即QDLAB,点。为AB中点.

8(020),C(A-l,0),A(0,0,2),D(0,l,l),CD=(—6,2,1),

D5=(0,l,-l),00=(0,1,1),设平面CD3的法向量〃=(x,y,z),

n-CD=0〃-y/3x+2y+z=0

由＜>得，,令z=l,得y=l,x=Q

n-DB=0y-z=0

所以平面CDB的法向量〃=(若,1,1),

mCD-0—y/3x+2y+z=0

同理，设平面CDO的法向量m=(x,y,z),由V,得

m-OD-0y+z=0

/

令y=l,得z=—,所以平面COO的法向量机=

.Vio5

••cos<m,n>=-----

35V3535

故二面角5—CO—O的正弦值为生夕。.

35

【点睛】

本题考查线面垂直的判定定理以及利用向量法求二面角的正弦值，考查学生的运算求解能力，是一道中档题.

21、(1)|(2)P(l,3,2)

【解析】

试题分析：(1)因为ABLAC,AiB,平面ABC,所以以A为坐标原点，分别以AC、AB所在直线分别为x轴和y

轴，以过A,且平行于BAi的直线为z轴建立空间直角坐标系，由AB=AC=AiB=2求出所要用到的点的坐标，求出棱

AAi与BC上的两个向量，由向量的夹角求棱AAi与BC所成的角的大小；

（2）设棱BiCi上的一点P,由向量共线得到P点的坐标，然后求出两个平面PAB与平面ABAi的一个法向量，把二

面角P-AB-Ai的平面角的余弦值为拽，转化为它们法向量所成角的余弦值，由此确定出P点的坐标.

5

试题解析：

解（1）如图，以A为原点建立空间直角坐标系,

则C(2,0,0),5(0,2,0),4(022),4(0,4,2),

刈=(O,2,2),3C=4G=(2,-2,0).

NBC_-4_1

3"西国=乒『5，

7T

故A4与棱所成的角是

（2）p为棱与a中点,

设4/=」4窗=（22,-22,0）,贝！|尸（24,4—24,2）.

设平面的法向量为々=（%,y,z）,AP=（22,4-22,2）,

n.-AP=0%+3y+2z=0z=

则4n4n4

々.A3=012y=0[y=。

故4=(1,0,-2)

%%12^/5

而平面ABA的法向量是%=（1,0,0）,贝丫05々,叼=

同•同4+%5

解得x=g,即p为棱用a中点，其坐标为P。,3,2）.

点睛：本题主要考查线面垂直的判定与性质，以及利用空间向量求二面角.空间向量解答立体几何问题的一般步骤是:

（1）观察图形，建立恰当的空间直角坐标系；（2）写出相应点的坐标，求出相应直线的方向向量；（3）设出相应平面

的法向量，利用两直线垂直数量积为零列出方程组求出法向量；（4）将空间位置关系转化为向量关系；（5）根据定理

结论求出相应的角和距离.

22、(l)x=l(2)证明见解析(3)0＜七，2

【解析】

(1)令g(x)=/nr-x+l,根据导函数确定函数的单调区间，求出极小值，进而求解；

l^uc—liuc