山东省枣庄市2024届高三年级下册3月模拟考试数学试题（含答案解析）

山东省枣庄市2024届高三下学期3月模拟考试数学试题

学校:姓名：班级：考号：

一、单选题

1.已知集合”=词1083%<0},"=卜卜=«+丁不卜则Af做N)=()

A.(-oo,l)B.(-℃,1]C.(-8,0)5°/)D.(-w,O)u(O,l]

2.某儿童医院用甲、乙两种疗法治疗小儿消化不良.采用有放回简单随机抽样的方法

对治疗情况进行检查，得到两种疗法治疗数据的列联表：

疗效

疗法合计

未治愈治愈

甲155267

乙66369

合计21115136

经计算得到Z2«4.881,根据小概率值a=0.005的独立性检验(已知/独立性检验中

Zoos=7.879),则可以认为()

A.两种疗法的效果存在差异

B.两种疗法的效果存在差异，这种判断犯错误的概率不超过0.005

C.两种疗法的效果没有差异

D.两种疗法的效果没有差异，这种判断犯错误的概率不超过0.005

3.已知。>0,6>0,则“a+b>2”是"4+廿>2”的()

A.充分不必要条件B.必要不充分条件

C.充要条件D.既不充分也不必要条件

4.在平面直角坐标系无。V中，已知4(-3,0),3(1,0),P为圆C:+(,-3)2=1上动

点,则+|尸3「的最小值为()

A.34B.40C.44D.48

5.已知圆台的上、下底面半径分别为1和3,侧面展开图是半个圆环，则圆台的侧面

积为()

A.6KB.16TIC.26KD.32K

6.下列命题错误的是（）

A.若数据占,工2,无3,…，X"的标准差为S,则数据3孙3%,3w，…,3%的标准差为3s

377

B.若*~3（4,。）,。9）=7,贝i］P（X=2）=该

4IZo

C.若X~N（1,<T2）,P（X>0）=0.75,则尸（0<X<2）=0.5

D.若X为取有限个值的离散型随机变量，则［E（X）］%E（X2）

7.在侧棱长为2的正三棱锥A-BCD中，点E为线段5c上一点，且则以A

为球心，夜为半径的球面与该三棱锥三个侧面交线长的和为（）

A.B.缶C.D.3缶

42

8.已知F为抛物线E：y2=4x的焦点，ABC的三个顶点都在E上，尸为A3的中点,

且CF=2JFP，则|可+|冏的最大值为（）

A.4B.5C.3#）D.4A/2

二、多选题

9.已知函数小）=5出心+|^+3］2”胃，则（）

A./（X）的最大值为2

B.“X）在上单调递增

86_

c.”X）在［0,可上有2个零点

D.把/（尤）的图象向左平移白个单位长度，得到的图象关于原点对称

10.已知z^ZzwC,则()

A.若卒2=阂12R0,则Z[=Z2B.若Z：=Zz2,则㈤=闾

D.若Z2W。，贝/至］=三

C.若L+ZzITzi-zJ,贝1"送2=。

\Z1）Z?

H.将数列｛%｝中的所有项排成如下数阵:

ax

试卷第2页，共4页

从第2行开始每一行比上一行多两项，且从左到右均构成以2为公比的等比数列；第1

列数%“，生，…成等差数列.若%=2,为=8,则()

9

A.4=-1B.Z生=168

；=2

C.%。24位于第45行第88列D.2024在数阵中出现两次

三、填空题

12.(x+y)<x-y)5的展开式中尤3y3的系数为.(用数字作答)

13.已知/(X+2)为偶函数，且y(x+2)+y(x)=-6,则/(2027)=.

14.盒子内装有编号为1,2,3,…，10的10个除编号外完全相同的玻璃球.从中任

取三球，则其编号之和能被3整除的概率为.

四、解答题

15.在，ABC中，角A,8,C的对边分别为"c,且—=sinAtanC.

2c2

⑴求c；

m

(2)若a=8,6=5,CH是边AB上的高，S.CH=mCA+nCB,求一.

n

16.如图，在四棱锥尸-ABCD中，底面ABCD为正方形，平面与底面

所成的角为45。，E为尸£>的中点.

B

⑴求证：平面PCD；

⑵若=2,G为ABCD的内心，求直线PG与平面尸CD所成角的正弦值.

17.已知/(x)=Inx+ga/+尤,。eR.

⑴讨论的单调性;

(2)若Vxe(0,+co),/(x)+ax+1<xfe3t+1ax+1j,求a的取值范围.

18.有甲、乙两个不透明的罐子，甲罐有3个红球，2个黑球，球除颜色外大小完全相

同.某人做摸球答题游戏.规则如下:每次答题前先从甲罐内随机摸出一球，然后答题.若

答题正确，则将该球放入乙罐；若答题错误，则将该球放回甲罐.此人答对每一道题目

的概率均为g.当甲罐内无球时，游戏停止.假设开始时乙罐无球.

(1)求此人三次答题后，乙罐内恰有红球、黑球各1个的概率；

⑵设第〃(〃eN*,n>5)次答题后游戏停止的概率为a,.

①求;

②。,是否存在最大值？若存在，求出最大值；若不存在，试说明理由.

19.在平面直角坐标系中，椭圆C§+/l(a>6>0)的离心率为当，直线x=l

被C截得的线段长为

⑴求C的方程；

(2)已知直线>=丘+〃7与圆。:炉+/=/相切，且与C相交于两点，尸为C的右焦

点，求.RWN的周长L的取值范围.

试卷第4页，共4页

参考答案:

1.D

【分析】首先解对数不等式求出集合再根据函数的定义求出集合N,最后根据补集、

并集的定义计算可得.

【详解】由log3X<。，可得logsXVlogsl,所以0Vx<1,

即Af=|x|log3x<0}={x[0<x<1},

L1fx>0

对于函数y=4+—则[,c，解得0Wx<l或x>l,

x-1[x-1^0

所以N=Ny=«+^^}=[0,l)51,+8),

所以4N=(-e,0)u{l},

所以Mu低N)=(y,0)50,l].

故选：D

2.C

【分析】根据条件可得列联表，计算/的值，结合临界值表可得结论.

【详解】零假设为“。：疗法与疗效独立，即两种疗法效果没有差异.

根据列联表中的数据，**4.881<7.879=*5，根据小概率值《=0.005的独立性检验,

没有充分证据推断不成立,

因此可以认为“。成立，

即认为两种疗法效果没有差异.

故选:C.

3.A

【分析】根据基本不等式与不等式的性质，对两个条件进行正反推理论证，即可得到本题的

答案.

【详解】若。>0,b>0,a+b>2,则/+62N；(a+6)2>2,充分性成立；

若a。+M>2,可能q=6=0.1,此时。+6<2,所以必要性不成立.

综上所述，“a+b>2”是“^+从〉？”的充分不必要条件.

答案第1页，共16页

故选：A.

4.B

【分析】借助点到直线的距离公式与圆上的点到定点距离的最值计算即可得.

【详解】设P（x,y）,贝制「+|%「=（%+3）2+）2+（%—1）2+/=2%2+2/+4%+10

=2[（X+1）2+/]+8,

即向「+陷「等价于点尸到点。（TO）的距离的平方的两倍加八，

X|Pe|>|ec|-|PC|=7（3+l）2+32-l=5-l=4,

即倒2+1哨22x4?+8=40.

【分析】根据给定条件求出圆台的母线长，再利用圆台侧面积公式计算得解.

【详解】圆台的上底面圆半径/=1,下底面圆半径r=3,

「2兀*3=兀（7+%）

设圆台的母线长为/,扇环所在的小圆的半径为X,依题意有：c,I乙解

2兀X1=7LX

所以圆台的侧面积5=兀（/+「）/=兀（1+3*4=16兀.

故选：B

6.D

【分析】根据方差以及标准差的性质即可求解A；结合二项分布的概率公式，即可求解B；

答案第2页，共16页

结合正态分布的对称性，即可求解C；结合方差的非负性，即可求解D.

【详解】数据毛，巧，尤3，…，匕的标准差为S,则数据3者，3%,3%,…，3匕的标准

差为如=3S，故A正确；

333

X~B(4,p),D(X)=-,贝！]4。(1一。)=:,得p(l_p)=”,

4416

P(X=2)=C”(l-p)2=6[p(l-p)T=6x偿]=芸，故B正确；

\lo712o

X~N(l,cr2),P(X>0)=0.75,

贝IjP(0<X<2)=2P(0<X<1)=2[P(X>0)-P(X>l)]=2x(0.75-0.5)=0.5,故C正确；

X为取有限个值的离散型随机变量，

则。(X)=E(X2)-W(X)fN0,故D错误.

故选：D.

7.C

【分析】借助线面垂直的判定定理与性质定理可得AD、AB、AC两两垂直，即以A为球

心，夜为半径的球面与该三棱锥三个侧面交线分别为三段半径为应，圆心角为方的弧，

借助弧长公式计算即可得.

【详解】取8C中点尸，连接■、DF,则有AF4BC,DF1BC,

又AFcDF=F,AF,。产u平面故3C，平面4",

又ADu平面皿L故BC_LAD,又AD_LAE,

BCAE=E,BC、AEu平面ABC,故ADJ_平面ABC,

又AC、ABu平面ABC,故AD_LAC,ADJ.AB,

由正三棱锥的性质可得AD、AB.AC两两垂直，

^AF=1V22+22=A/2,即以A为球心，夜为半径的球面与侧面ABC的交线长为：

白0=多，即与该三棱锥三个侧面交线长的和为3乂变兀=也.

2222

故选：C.

答案第3页，共16页

8.B

【分析】结合向量的线性运算可得否+%=3-忍，结合焦半径公式与当2。即可得解.

【详解】设4(%,%)、3(无2,%)、。三,%),由可得。(1,0),

由。k=2/P，尸为的中点，

则有CF=2FP=FA+FB，FA+FB+FC=0,

即玉+%+退=3,故$+%=3—/，

|FA^+1FB^=菁++x?+=玉+w+2=5—x2,

又与20,故|阳+|冏=5-$<5-0=5,此时点C在原点.

【点睛】关键点点睛：本题关键点在于借助向量的线性运算，得到%+%+退=3,从而可结

答案第4页，共16页

合焦半径公式得到|明+|阳卜石+々+2=5-马・

9.AC

【分析】根据诱导公式化简〃x)=2sin[2x+g；则可判断A选项；整体代入法计算

的范围可判断BC选项；由图象的平移可判断D选项.

【详解】函数/(X)=sin[2x+])+cos12]一.J=sin|2x+-1-j+cosf2x+^-^-

/(x)=sinI2x+—j+sinI2x+—=2sinf2x+y

/(x)=2sin(2x+y1,xeR,故〃x)最大值为2,A正确;

选项A：

7171RL兀/c兀,27r〃x)=2sin0x+；]不单调递增,

选项B：XG时，—<2x+-<——,故B错误;

i'61233

选项C：xe[0,兀]时，^<2x+^<y,可知当2x+1=兀以及2工+1=2n时，即x以及

尤=?时，〃x)=0在[。，可上有2个零点，故C正确；

选项D：的图象向左平移巳个单位长度，得到g(x)=2sin(2x+[+j=2cos2x,不

关于原点对称，故D错误.

故选：AC.

10.ABD

【分析】根据共物复数的概念和复数的四则运算，结合复数模的计算及性质，逐项判断即可.

【详解】T§：zl=a+bi,z2=c+di(a,b,c,deR),则以=。一历,z?=c—di.

对于A：若2送2=22「，且Z2Z2=(c+必+=22『,

可得Z[Z2=Z2Z2，所以Z[=Z2，正确;

对于B：若z；=z；,则z；-z；=0,gp(zj+z2)(zj-z2)=0,

得Z1=Z2或Z]=-Z2,所以㈤=闾，正确;

选项C：令Z]=1+i、z2=1—i,贝°Z]+z?=2,Z]—z?=2i,

所以k+ZzITz—ZzI，但是Z]%=(l+D(l-i)=2,错误;

a+bi(a+Z7i)(c-di)(ac+Z?d)+(Z?c-ad)i

选项D：因为五二

(c+6?i)(c—6?i)22

z?c+dic+d

答案第5页，共16页

所以，2]=(ac+，d)-(bid)i

c2+d2

4_a-bi_(tz-Z?i)(c+6?i)^ac+bd)-{be-ad^i,所以］3住正确.

22

z2c—di(c—t/i)(c+6?i)c+d

故选：ABD

11.ABC

【分析】根据题意，由等差数列的通项公式求得第一列的通项公式，再由等比数列的通项公

式，对各个选项分析，即可求解.

【详解】由第1列数%，的，%%。，成等差数列，设公差为d,

又由的=2,%0=8,可得q+"=2,q+3d=8,解得q=_l,d=3,

则第一列的通项公式为以=-1+(左-l)x3=3"4,

又从第2行开始每一行比上一行多两项，且从左到右均构成以2为公比的等比数列，

可q+/+/++%=—1+2+4+8+5+10+20+40+80=168,所1以A、B正确；

又因为每一行的最后一个数为4，。4，。9吗6，-，

且45z=2025,可得。2024是%25的前一个数,且见025在第45行，

因为这一行共有2x45-1=89个数，则。2024在第45行的第88列，所以C正确；

257

又因为2024=253x23,令弘-4=253,解得％=亍百，

所以2024不出现在其它列中，所以D错误.

故答案为：ABC.

12.0

【分析】由(x+y)・(x-y)5=Mx—y)5+Mx—y)5,再写出(龙一y)5展开式的通项，即可求出

展开式中的系数.

【详解】因为(x+y>(x—JO,=x(x-yr+y(x-y)5,

其中(x->)5展开式的通项为Tr+X=q/r(_打(0<r<5,reN),

所以(X+y),(x-y)5的展开式含尤3y3的项为(-»+yC1x1,(-y)2=+Cjx3y3=0,

答案第6页，共16页

即(x+y)《x-y)5的展开式中X3/的系数为0.

故答案为：。

13.-3

【分析】由条件结合偶函数定义可得〃x+2)=〃f+2),由〃x+2)+〃x)=-6结合周期

函数定义证明/(x)为周期函数，利用周期性及赋值法求结论.

【详解】因为〃x+2)为偶函数，

所以〃X+2)=〃T+2),Xf(x+2)+f(x)=-6,

所以/(f+2)+〃x)=-6,

因为〃x+2)+/(x)=.6,所以/(x+4)+/(x+2)=-6,

所以〃x+4)=〃x),

所以函数〃x)为周期函数，周期为4,

所以*2027)=4(3)=『(—1),

由/(—x+2)+/(x)=-6,可得〃1)+〃1)=-6,

由〃x+2)+〃x)=-6,可得〃l)+〃T)=-6,

所以"1)=〃T)=—3,

所以*2027)=-3,

故答案为：-3.

7

14.—/0.35

20

【分析】把前10个正整数按除以3的余数情况分类，求出取出的3个数和能被3整除的基

本事件数，借助古典概率求解即得.

【详解】依题意，问题相当于从1,2,3,…，10的10个数中任取3个，这3个数的和能

被3整除的概率，

显然试验含有的基本事件总数为C：。=120,它们等可能，

10个数中能整除3的有3,6,9；除以3余数是1的有1,4,7,10；除以3余数是2的有

答案第7页，共16页

2,5,8,

取出的3个数的和能被3整除的事件A含有的基本事件数有2C；+C；+C；C；C；=42,

所以P(A)=W42=，7

12020

7

故答案为：—

【点睛】关键点点睛：把前10个正整数按除以3的余数情况分类是解决本问题的关键.

15.(1)C=

⑵*?

n5

【分析】（1）由*=sinAtan£,利用正弦定理边化角，再切化弦由倍角公式化简，得

2c2

r1

2

sinT=-,可求C的值.

24

（2）以CACB为基底，由C〃.A8=0,代入数据运算得相，〃的关系；或利用余弦定理和勾

股定理，求出由平面向量基本定理求根，n的值.

【详解】（1）ABC中，£=sinAtan^,由正弦定理和同角三角函数的商数关系,

sinA•sin—sinAsin-

sinA由倍角公式得一?7

得________2_________2

2sinCCC

cos——4sin--cos—cos—

2222

C

又因为A,C为.ABC的内角，所以sinAwO,cos»wO.

所以sin：］,.C1

sin——二一

22

则有得c=]

26

7T

⑵方法一：a=8,0=5,C=—,CA-CB=|CA|-|CB|-COSC=<7Z?COSC=5X8XCOS|=20,

所以G4?=Z?2=25,CB2=a2=64-

由题意知CW_LAB,所以C”-A8=0,

即(mCA+77CB)-(CB-CA)=(m-n](CB.CA)—，"CA?+nCB=20(m-/z)-25m+64〃=0.

m44

所以5租=44"，所以

n5

答案第8页，共16页

方法二：ABC中，由余弦定理得c2=/+62-2a6cosC=82+52-2x8x5xg=49,

所以c=7.

又因为=g"sinC=；c-CH,

Qx5xer

所以「口absinC20石.

C/i=-----------=-----------------=----------

c77

所以AH=JE审二请5=3,—.

7AB49

5/-44-5

所以CH=C4+A”=CA+—C5—CA=—C4+—C5.

49'>4949

445

由平面向量基本定理知，^=—,^=—,

4949

m44

所以一=二.

n5

16.(1)证明见解析

【分析】(1)由线面垂直的性质以及线面垂直的判定定理可证；

(2)由等腰直角三角形内心的特点确定点G的位置，以A为原点建立空间直角坐标系，写

出各点坐标，根据线面角的空间向量公式计算可得出结果.

【详解】(1)因为上4,平面ABCD,C£>U平面A3c0,所以B4J_CD,

因为PD与平面ABCD所成的角为45。,24,平面A5CD,

所以/PD4=45。，且/PD4=ZAPr>=45。，所以R1=AD,

又E为尸。的中点，所以

因为四边形A3CD为正方形，所以CD_LAD,

又CD,上4,上4AD=A,R4,ADu平面R4D,

所以CD_L平面己4£),

答案第9页，共16页

因为Mu平面所以CD_LA£,

因为尸£＞cCD=D,尸£＞,CDu平面PCD,

所以AE_L平面尸CD.

（2）因为底面ABC£＞为正方形，G为△BCD的内心,

所以G在对角线AC上.

如图，设正方形的对角线的交点为0,

所以OG=G/,CG=0OG,

所以CO=CG+0G=(7^+1)06,40=200=2(0+1)(%；,

所以AG=AO+OG=CO+OG=(0+2)OG=0(1+0)OG,

所以AG=«2AC,又因为AB=2,所以AG=2.

2

由题意知AB，A£）,AP两两垂直，以AB,AD,AP所在的直线分别为*轴，＞轴，z轴建立如图所

示的空间直角坐标系A-盯z.

所以G（虚,女,0）,由（1）知"=AD,

所以尸（0,0,2）,£＞（0,2,0）,E（0,1,1）,

所以尸G=（也在-2）.

又因为平面尸CO,所以平面PCD的一个法向量为AE=（0,1,1）.

设直线PG与平面尸⑦所成角为。，

,,\AE-PG\

则sin。=cos<AE,PG)=―-~

11AEPG5/2xV84

答案第10页，共16页

z

17.（1）答案见解析

（2）a<3

【分析】（1）求导得广（x）="：x+l,分两种情况当时，当a<0时，求方程r（x）=。

的解，分析尸（X）的符号，进而可得的单调性.

（2）方法一：化简不等式，证明e"之％+1,函数，（％）=lnx+3x有唯一零点，由此证明

xe3x>lnx+3x+l,证明aW3时，满足条件，a>3时不满足条件即可；

方法二：化简不等式，并分离变量可得“We3,也-L利用导数研究〃®）=e3「也」的

XXXX

单调性及最小值，由此可求〃的取值范围.

【详解】⑴由题意知/（%）定义域为（0,+。）

口，“、11ax2+x+l

且/（%）=一+〃尤+1=-------------♦

xx

令〃（%）=加+x+1,

①当〃之0时，/i（x）>0，r（x）>0,所以〃兀）在（0,+8）上单调递增.

②当〃<0时，A=l—4〃>0,记人（元）=0的两根为,

则玉=土正9,％=士位亚，且%>0>%.

2a2a

当0<x<3时,尸（x）>0,〃x）在（0,%）上单调递增，

当x>X时，r（x）<o,/（x）在（西,+<»）上单调递减.

综上所述：当420时，/（尤）在（0,+。）上单调递增；

答案第11页，共16页

—1—Ji—4〃।—1—J1—4〃

当。<0时，〃尤)在0,一：——上单调递增，在-3——,+8上单调递减.

12alI2a)

(2)方法一:

f(%)+ar+1<+—ax+1],化简得Inx+ox+1<xe3x=elra+3x.

设g(x)=e*—x—1,则g〈x)=eX-l,

当x>0时，g'(x)>0,函数g(x)在(0,+e)上单调递增,

当x<。时，g'(x)<0,函数g(x)在(-力,0)上单调递减,

又g(0)=0,所以e*2x+l,当且仅当x=0取等号，

令f(x)=lnx+3;v,因为y=ln尤,y=3x在(0,+e)上单调递增，

所以/(%)在(。,+8)上单调递增.

又因为《l)=3>0,<£|=l-ln3<0,

所以存在唯一/使得(xo)=3xo+lnxo=(^,

所以—*=e*工2lux+3尤+1,当且仅当x=不时取等号.

①当aV3时，无63，=8岸3,21nx+3x+l2lnx+6a+1成立.

②当a>3时，由①知书3*=eg+3』=6。=1,1叫)+倏+1>1叫,+3%+1=1.

所以书3而<huo+办0+1与限+ox+14xe3x恒成立矛盾，不符合题意.

综上a43.

方法二：

不等式++1<x**+—ax+1),可化为lnx+av+1Wxe3x,

、

所b以ti4“/3%、--I-n-x---1.

XX

3x

令=e_

XX

|，/、c3x1—lnx13x2e3%+liix

则mi机(x)=3e-------+—=--------------.

XXX

令7z(x)=3x2e3x+lux,则//(%)=3xe3x(2+3x)+—>0.

答案第12页，共16页

所以耳尤）在（0,+8）上单调递增.

又/7（l）=3e3+lnl=3e3>0,/<£|=：e+ln；=；（lnee-ln33）<0,

所以叫使/z（x0）=0,

所以g（%）在（。，不）上单调递减，在伍,-H»）上单调递增.

23x

由"(%)=0得3x0e°+lnx0=0,

3x

即3xoe°=—皿=ln—.

X。%o

设0(x)=xe，,x«O,+8),则d(x)=e"+xe'=(l+x)ex>0

所以(p(x)=xex在(0,+“)上单调递增.

1lnx(1A

由3%0©3与=ln—ex°,得《3%)=，ln—,

兀0I%o,

所以3%o=ln，，

%

即有g=-3,l.e3^=—

九0%

所以g(x)min=g(Xo)=e"。-四％-■-=3,

X。X0

所以a«3.

【点睛】方法点睛：对于恒成立问题，常用到以下两个结论:

⑴//⑺恒成立"^斗了⑺工”；

(2)a4/(尤)恒成立=aV["ML.

9

18.(1)—

40

(2)①为,②存在，最大值%=%=蓝

【分析】（1）根据全概率公式即可求解,

（2）根据题意可得,即可利用作商求解单调性，即可求解最值.

答案第13页，共16页

【详解】（1）记”="此人三次答题后，乙罐内恰有红、黑各一个球”,

a="第i次摸出红球，并且答题正确”，，=i,2,3；

吗="第/次摸出黑球，并且答题正确“，J=1,2,3；

G="第左次摸出红球或黑球，并且答题错误"，k=1,2,3,

所以M-2c3+gA2c3+4。2,3+与。2A3++G*2A3•

又*4）=14=^；P（叩A）=：4=5P（C3|AB2）=1X1=1,

所以尸（AB2c3）=尸（4鸟）.尸&|4$）=尸（4）•尸（即A）•尸仁|4区）

3113

=­x—x—=—

104280,

3

同理：。（44。3）=。（*24）=。（4。24）=尸（。4员）=。（。应4）=前

OV

3Q

所以P（M）=P（A32c3）、6=丽、6=布.

（2）①第”次后游戏停止的情况是：前n-1次答题正确恰好为4次，答题错误〃-5次，且

第〃次摸出最后一球时答题正确.

②由①知an=

n\

________x1_