2023-2024学年江苏省泰州市靖江中考数学五模试卷含解析

2023-2024学年江苏省泰州市靖江外国语校中考数学五模试卷

注意事项：

1.答题前，考生先将自己的姓名、准考证号码填写清楚，将条形码准确粘贴在条形码区域内。

2.答题时请按要求用笔。

3.请按照题号顺序在答题卡各题目的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效；在草稿纸、试卷上答题无效。

4.作图可先使用铅笔画出，确定后必须用黑色字迹的签字笔描黑。

5.保持卡面清洁，不要折暴、不要弄破、弄皱，不准使用涂改液、修正带、刮纸刀。

一、选择题(每小题只有一个正确答案，每小题3分，满分30分)

1.如图，在矩形ABCD中，AB=2,BC=1.若点E是边CD的中点，连接AE,过点B作BFJ_AE交AE于点F,则

BF的长为()

55

A.cos60°B.]3C.半径为1cm的圆周长D.双

3.半径为R的正六边形的边心距和面积分别是()

A.BR,-V37?2B./，（A。

22

C.2R,走&D—R,同R2

2424

4.在一次酒会上，每两人都只碰一次杯，如果一共碰杯55次，则参加酒会的人数为()

A.9人B.10人C.11人D.12人

5.浙江省陆域面积为101800平方千米。数据101800用科学记数法表示为()

A.1.018X104B.1.018X105C.10.18x10sD.0.1018xl06

6.我国第一艘航母“辽宁舰”最大排水量为67500吨，用科学记数法表示这个数字是

A.6.75x103吨B.67.5x103吨c.6.75xl04mfeD.6.75xl051^

7.点A(—2,5)关于原点对称的点的坐标是()

A.(2,5)B.(2,-5)C.(-2,-5)D.(-5,-2)

XX,

8.设XI,X2是方程x2-2x-l=0的两个实数根，则9上+」的值是（

X]x2

C.-6或-5D.6或5

9.如图，正方形A3C。的边长为2,其面积标记为Si,以CD为斜边作等腰直角三角形，以该等腰直角三角形的一条

直角边为边向外作正方形，其面积标记为S2,…，按照此规律继续下去，则S2018的值为（）

10.如图，正六边形ABCDEF中，P、Q两点分别为ZkACF、△CEF的内心.若AF=2,则PQ的长度为何？（）

C.273-2D.4-273

二、填空题（共7小题，每小题3分，满分21分）

11.已知一组数据一3,x,-2,3,1,6的众数为3,则这组数据的中位数为.

12.在RtAABC内有边长分别为2,X,3的三个正方形如图摆放，则中间的正方形的边长x的值为

13.方程x-l=jm的解为：.

14.设△ABC的面积为1,如图①，将边BC、AC分别2等分，BEi、ADi相交于点O,ZkAOB的面积记为Si；如图

②将边BC、AC分别3等分，BEi、ADi相交于点O,△AOB的面积记为S2；...»依此类推，则Sn可表示为.（用

含n的代数式表示，其中n为正整数）

图①图②图③

15.如图，10块相同的小长方形墙砖拼成一个大长方形，设小长方形墙砖的长和宽分别为x厘米和y厘米，则列出的

16.如图，在矩形ABCD中，AD=2,CD=1,连接AC,以对角线AC为边，按逆时针方向作矩形ABCD的相似矩形

ABiCiC,再连接ACi,以对角线AC为边作矩形ABiCiC的相似矩形AB2c2G,…，按此规律继续下去，则矩形

17.方程（2%-4=2的根是.

三、解答题（共7小题，满分69分）

18.（10分）向阳中学校园内有一条林萌道叫“勤学路”，道路两边有如图所示的路灯（在铅垂面内的示意图），灯柱

BC的高为10米，灯柱BC与灯杆AB的夹角为120。.路灯采用锥形灯罩，在地面上的照射区域DE的长为13.3米,

从D、E两处测得路灯A的仰角分别为a和45°,且tana=l.求灯杆AB的长度.

-4sin60-（7i-l）°

1a.--4a—2

（2）化简:____________________________:_________

a+1a?+2a+la+1

20.(8分)先化简，再计算：—厂+―+其中％=_3+2丁.

x+3x+3x-2

21.(10分)某药厂销售部门根据市场调研结果，对该厂生产的一种新型原料药未来两年的销售进行预测，并建立如

下模型：设第t个月该原料药的月销售量为P(单位：吨)，P与t之间存在如图所示的函数关系，其图象是函数P=」120

t+4-

(0<t<8)的图象与线段AB的组合；设第t个月销售该原料药每吨的毛利润为Q(单位：万元)，Q与t之间满足如

j2?+8,0<?<12

下关系:Q=

[_?+44,12<?<24

(1)当8VtW24时，求P关于t的函数解析式；

(2)设第t个月销售该原料药的月毛利润为w(单位：万元)

①求w关于t的函数解析式；

②该药厂销售部门分析认为，336WWS513是最有利于该原料药可持续生产和销售的月毛利润范围，求此范围所对应的

月销售量P的最小值和最大值.

23.(12分)P是。O内一点，过点P作。O的任意一条弦AB,我们把PA・PB的值称为点P关于。。的“基值”

(1)。。的半径为6,OP=1.

①如图1,若点P恰为弦AB的中点，则点P关于。。的“塞值”为；

②判断当弦AB的位置改变时，点P关于。O的“幕值”是否为定值，若是定值，证明你的结论；若不是定值，求点P

关于。。的“塞值”的取值范围；

(2)若。。的半径为r,OP=d,请参考(1)的思路，用含r、d的式子表示点P关于。。的“塞值”或“募值”的取值

范围_____;

(3)在平面直角坐标系xOy中，C(1,0),G)C的半径为3,若在直线y=&x+b上存在点P,使得点P关于。C的

“塞值”为6,请直接写出b的取值范围.

B

24.（14分）对几何命题进行逆向思考是几何研究中的重要策略，我们知道，等腰三角形两腰上的高线相等，那么等

腰三角形两腰上的中线，两底角的角平分线也分别相等吗？它们的逆命题会正确吗？

（1）请判断下列命题的真假，并在相应命题后面的括号内填上“真”或“假”.

①等腰三角形两腰上的中线相等；

②等腰三角形两底角的角平分线相等;

③有两条角平分线相等的三角形是等腰三角形；

（2）请写出“等腰三角形两腰上的中线相等”的逆命题，如果逆命题为真，请画出图形，写出已知、求证并进行证明，

如果不是，请举出反例.

参考答案

一、选择题（每小题只有一个正确答案，每小题3分，满分30分）

1、B

【解析】

根据SAABE=^S矩形ABCD=1=^・AE・BF,先求出AE,再求出BF即可.

22

【详解】

如图，连接BE.

•.•四边形ABCD是矩形，

/.AB=CD=2,BC=AD=1,ZD=90°,

在RtAADE中，AE=飞AD?+DE?=^32+l2=弧，

■:SAABE=—S矩形ABCD=1=—*AE*BF,

22

.丽_3710

5

故选：B.

【点睛】

本题考查矩形的性质、勾股定理、三角形的面积公式等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，学会用面积

法解决有关线段问题，属于中考常考题型.

2、C

【解析】

分析：根据“无理数”的定义进行判断即可.

详解：

A选项中，因为COS60=-,所以A选项中的数是有理数，不能选A；

2

B选项中，因为1.3是无限循环小数，属于有理数，所以不能选B；

C选项中，因为半径为1cm的圆的周长是2万cm,2%是个无理数，所以可以选C；

D选项中，因为般=2,2是有理数，所以不能选D.

故选.C.

点睛：正确理解无理数的定义：“无限不循环小数叫做无理数”是解答本题的关键.

3、A

【解析】

首先根据题意画出图形，易得AOBC是等边三角形，继而可得正六边形的边长为R,然后利用解直角三角形求得边心

距，又由S正六边形二6sOBC求得正六边形的面积.

【详解】

解：如图，。为正六边形外接圆的圆心，连接05,OC,过点。作于

V六边形ABCDEF是正六边形，半径为R,

:.ZBOC=-x360°=60°,

6

'：OB=OC=R,

/\OBC是等边三角形，

BC=OB=OC=R,ZOBC=60°

'：OH±BC,

CH

:,在RtOBH中,sinNO5H=sin600=——,

OB

即也=立，

R2

;，OH=—R,即边心距为且R；

22

,/sOBC=LBCOH=LR正R=2R2,

OBC2224

2

S正大边形=6SOBC=6x7?=3^^R。,

0BC42

故选：A.

【点睛】

本题考查了正多边形和圆的知识；求得正六边形的中心角为60。，得到等边三角形是正确解答本题的关键.

4、C

【解析】

设参加酒会的人数为x人，根据每两人都只碰一次杯，如果一共碰杯55次，列出一元二次方程，解之即可得出答案.

【详解】

设参加酒会的人数为X人，依题可得：

—x(x-1)=55,

2

化简得：x2-x-110=0,

解得：Xl=ll,X2=-10(舍去),

故答案为C.

【点睛】

考查了一元二次方程的应用，解题的关键是根据题中的等量关系列出方程.

5、B

【解析】

101800=1.018xl05.

故选B.

点睛:在把一个绝对值较大的数用科学记数法表示为oxi。”的形式时，我们要注意两点：①。必须满足：14同＜10；

②〃比原来的数的整数位数少1(也可以通过小数点移位来确定“).

6、C

【解析】

试题分析：根据科学记数法的定义，科学记数法的表示形式为axlO,其中lw|a|V10,n为整数，表示时关键要正确

确定a的值以及n的值.在确定n的值时，看该数是大于或等于1还是小于1.当该数大于或等于1时，n为它的整

数位数减1;当该数小于1时，一n为它第一个有效数字前0的个数(含小数点前的1个0).67500一共5位，从而

67500=6.75x2.故选C.

7、B

【解析】

根据平面直角坐标系中任意一点P(x,y),关于原点的对称点是(-x,-y).

【详解】

根据中心对称的性质，得点P(-2,5)关于原点对称点的点的坐标是(2,-5).

故选:B.

【点睛】

考查关于原点对称的点的坐标特征，平面直角坐标系中任意一点P(x,y),关于原点的对称点是(-X,-y).

8、A

【解析】

试题解析：；Xl,X2是方程x2-2x-l=0的两个实数根，

/.Xl+X2=2，X1*X2=-1

.%：+X2(X1十马了-2国94+2

•*'———

工112国入2%入2-1

故选A.

9、A

【解析】

根据等腰直角三角形的性质可得出2s2=Si,根据数的变化找出变化规律"S"=(《)"一2”，依此规律即可得出结论.

2

【详解】

如图所示,

•••正方形ABCD的边长为2,△CDE为等腰直角三角形,

:.DE2+CE2=CD2,DE=CE,

：.2Si=Si.

观察，发现规律：SI—22=4,S2——Si=2,Si——Sz=l,S4——Sz=—，…,

2222

；.S,=(-)n'2.

2

当“=2018时，S2018=(-)2018-2=(1)3.

22

故选A.

【点睛】

本题考查了等腰直角三角形的性质、勾股定理，解题的关键是利用图形找出规律"s“=(L)"-2”.

2

10、C

【解析】

先判断出PQLCF,再求出AC=26,AF=2,CF=2AF=4,利用AACF的面积的两种算法即可求出PG,然后计算出

PQ即可.

【详解】

解：如图，连接PF,QF,PC,QC

VP,Q两点分别为AACF、ACEF的内心，

，PF是NAFC的角平分线，FQ是NCFE的角平分线，

11

:.ZPFC=-ZAFC=30°,ZQFC=-ZCFE=30°,

/.ZPFC=ZQFC=30o,

同理，ZPCF=ZQCF

/.PQ±CF,

.,.△PQF是等边三角形，

；.PQ=2PG；

易得AACF之△ECF,且内角是30。，60°,90。的三角形,

:.NC=26,AF=2,CF=2AF=4,

**•SAACF=~AFxAC=_x2x2—2

过点P作PM_LAF,PN±AC,PQ交CF于G,

；点P是△ACF的内心,

；.PM=PN=PG,

•••SAACF=SAPAF+SAPAC+SAPCF

111

=-AFxPM+-ACxPN+-CFxPG

222

111

=—x2xPG+—x2V3rxPG+—x4xPG

2272

=(1+73+2)PG

=(3+73)PG

=2^/3，

:.PG二=y/3—1,

3+V3

:.PQ=2PG=2(73-1)=273-2.

故选C.

【点睛】

本题是三角形的内切圆与内心，主要考查了三角形的内心的特点，三角形的全等，解本题的关键是知道三角形的内心

的意义.

二、填空题（共7小题，每小题3分，满分21分）

11,2

【解析】

分析：找中位数要把数据按从小到大的顺序排列，位于最中间的一个数（或两个数的平均数）为中位数；众数是一组

数据中出现次数最多的数据，注意众数可以不只一个.

详解：•.•一3,x,-1,3,1,6的众数是3,

；.x=3,

先对这组数据按从小到大的顺序重新排序-3、-1、1、3、3、6位于最中间的数是1,3,

•••这组数的中位数是9=1.

2

故答案为：1.

点睛：本题属于基础题，考查了确定一组数据的中位数和众数的能力.一些学生往往对这个概念掌握不清楚，计算方

法不明确而误选其它选项，注意找中位数的时候一定要先排好顺序，然后再根据奇数和偶数个来确定中位数，如果数

据有奇数个，则正中间的数字即为所求，如果是偶数个则找中间两位数的平均数.

12、1

【解析】

解：如图.；在R3A3C中（NC=90。），放置边长分别2,3,x的三个正方形，.'.△CE歹s^o“EsZ\p尸N,...0E：

PN=OM：PF.'：EF=x,MO=2,PN=3,：.OE=x-2,PF=x-3,（x-2）：3=2：（x-3）,.\x=0（不符合题意，

舍去），x=l.故答案为1.

点睛：本题主要考查相似三角形的判定和性质、正方形的性质，解题的关键在于找到相似三角形，用x的表达式表示

出对应边是解题的关键.

13、x=l

【解析】

两边平方解答即可.

【详解】

原方程可化为：(x-1)2=l-x,

解得：Xl=o,X2=l,

经检验，x=0不是原方程的解，

X=1是原方程的解

故答案为x=l.

【点睛】

此题考查无理方程的解法，关键是把两边平方解答，要注意解答后一定要检验.

【解析】

试题解析：如图，连接D1E1,设AD1、BE1交于点M,

SAABEI：SAABC=1：(n+1),

1

AB_BM_n+l

DRME】n

BM〃+1

BE[2n+1

**•SAABM:SAABEI=(n+1)：(2n+l),

：•SAABM:-------=(n+1)：(2n+l),

n+1

1

•*.s„=------.

2n+l

故答案为」一

2n+l

x+2y=75

15、＜

x=3y

【解析】

根据图示可得：长方形的长可以表示为x+2y,长又是75厘米，故x+2y=75,长方形的宽可以表示为2x,或x+3y,故

2x=3y+x,整理得x=3y,联立两个方程即可.

【详解】

x+2y=75

根据图示可得

x=3y

x+2y=75

故答案是：

x=3y

【点睛】

此题主要考查了由实际问题抽象出二元一次方程组，关键是看懂图示，分别表示出长方形的长和宽.

16、J5"或2x（5：）"

22“-14

【解析】

试题分析：AC=VAC2+DC2=VF+F=V5«因为矩形都相似，且每相邻两个矩形的相似比=4,...Sj=2x1=2,

…冷（骂6尸一=2x（骂筋="=工

224"22"-1

S"

故答案为

22"-1

考点：L相似多边形的性质；2.勾股定理；3.规律型；4.矩形的性质；5.综合题.

17、1.

【解析】

把无理方程转化为整式方程即可解决问题.

【详解】

两边平方得到：2x-1=1,解得：x=l,经检验：x=l是原方程的解.

故答案为：L

【点睛】

本题考查了无理方程，解题的关键是学会用转化的思想思考问题，注意必须检验.

三、解答题（共7小题，满分69分）

18、灯杆AB的长度为2.3米.

【解析】

过点A作A/UCE,交CE于点F,过点5作3GLA尸，交4歹于点G,则FG=8C=2.设A/三x知EF=A/=x、

DF=----------=一，由OE=13.3求得x=11.4,据此知AG=AF-GF=1.4,再求得N43G=NABC-NCBG=30°可得

tanNADF6

AB^2AG=2.3.

【详解】

过点A作APLCE,交CE于点F,过点5作5GLAF,交AF于点G,则FG=8C=2.

由题意得：ZADE=a,ZE=45°.

设AF=x.

VZ£=45°,：.EF=AF=x.

.,AFAFx

在RtAADF中，VtanZADF=-----,:.DF=-----------------=—.

DFtan^ADF6

x

VDE=13.3,.\x+-=13.3,：.x^ll.4,：.AG=AF-GF=11.4-2=1.4.

6

■:ZABC=120°,:.ZABG=ZABC-ZCBG=120°-90°=30°,：.AB=2AG=2.3.

答：灯杆A5的长度为2.3米.

【点睛】

本题主要考查解直角三角形-仰角俯角问题，解题的关键是结合题意构建直角三角形并熟练掌握三角函数的定义及其

应用能力.

19、(1)2-273;(2)-1；

【解析】

(1)根据负整数指数塞、特殊角的三角函数、零指数塞可以解答本题;

(2)根据分式的除法和减法可以解答本题.

【详解】

(1)(―g)-?—(―I)?。*—4S加60—(1—1)°

=4—1—4x^—1

2

=4-1-273-1

=2-2技

/〜、1矿_4a—2

(2)---------------+----

a+1a+2〃+1a+1

1(Q+2)(Q-2)〃+1

a+1(a+1)2a—2

1a+2

a+1a+1

_l-a-2

a+1

__(a+1)

a+1

=-l

【点睛】

本题考查分式的混合运算、负整数指数塞、特殊角的三角函数、零指数塞，解答本题的关键是明确它们各自的计算方

法.

2026

zu、------;-----

x+32

【解析】

根据分式的化简求值，先把分子分母因式分解，再算乘除，通分后计算减法，约分化简，最后代入求值即可.

【详解】

xX2+4x+4x~—4

解:________________:______

x+3x+3x-2

_x(%+2)2,(%+2)(%-2)

x+3x+3x-2

x(%+2)2x-2

x+3x+3(x+2)(x-2)

_xx+2

x+3x+3

___2

x+3

当x=—3+2A/2时，原式=-------=•

-3+2V2+32

【点睛】

此题主要考查了分式的化简求值，把分式的除法化为乘法，然后约分是解题关键.

21、(1)P=t+2；(2)①当0VtW8时，w=240；当8V饪12时,w=2t2+12t+16；当12V'24时,w=-t2+42t+88；②此

范围所对应的月销售量P的最小值为12吨，最大值为19吨.

【解析】

分析：⑴设8Vts24时，P=kt+b,将A(8,10)、B(24,26)代入求解可得P=t+2；

(2)①分0<68、8VtW12和12VtW24三种情况，根据月毛利润=月销量x每吨的毛利润可得函数解析式；

②求出8<t<12和12<t<24时，月毛利润w在满足336<w<513条件下t的取值范围，再根据一次函数的性质可得P

的最大值与最小值，二者综合可得答案.

详解：(1)设8Vts24时，P=kt+b,

将A(8,10)、B(24,26)代入，得：

8k+b=10

124左+。=26'

解得：qc，

[b=2

，P=t+2；

120

(2)①当0<tW8时，w=(2t+8)x------=240；

t+4

当8Vts12时，w=(2t+8)(t+2)=2t2+12t+16；

当12〈饪24时,w=(-t+44)(t+2)=-t2+42t+88；

②当8<t<12时，w=2t2+12t+16=2(t+3)2-2,

.\8<t<12时，w随t的增大而增大，

当2(t+3)2-2=336时，解题t=10或t=-16(舍),

当t=12时，w取得最大值，最大值为448,

此时月销量P=t+2在t=10时取得最小值12,在t=12时取得最大值14；

22

当12cts24时，w=-t+42t+88=-(t-21)+529,

当t=12时，w取得最小值448,

由-(t-21)2+529=513得t=17或t=25,

...当12<t<17时，448<w<513,

此时P=t+2的最小值为14,最大值为19；

综上，此范围所对应的月销售量P的最小值为12吨，最大值为19吨.

点睛：本题主要考查二次函数的应用，掌握待定系数法求函数解析式及根据相等关系列出分段函数的解析式是解题的

前提，利用二次函数的性质求得336<w<513所对应的t的取值范围是解题的关键.

22、-2<x<2.

【解析】

分别解不等式，进而得出不等式组的解集.

【详解】

'3K5①

[-2(x+l)-l〈逸)

解①得：x<2

解②得：x>-2.

故不等式组的解集为：-2<x<2.

【点睛】

本题主要考查了解一元一次不等式组，正确掌握不等式组的解法是解题的关键.

23、(1)①20；②当弦AB的位置改变时，点P关于。。的“塞值”为定值，证明见解析；(2)点P关于。O的“嘉值”

为F-cP；⑶-3^<b<V3.

【解析】

【详解】(1)①如图1所示：连接OA、OB、OP.由等腰三角形的三线合一的性质得到△PBO为直角三角形，然后

依据勾股定理可求得PB的长，然后依据幕值的定义求解即可；

②过点P作。O的弦A'BIOP,连接AA\BB\先证明△APA^ABTB,依据相似三角形的性质得到PA・PB=PA，・PB，

从而得出结论；

(2)连接OP、过点P作AB1OP,交圆O与A、B两点.由等腰三角形三线合一的性质可知AP=PB,然后在RtAAPO

中，依据勾股定理可知AP2=OAZOP2,然后将d、r代入可得到问题的答案；

(3)过点C作CPLAB,先求得OP的解析式，然后由直线AB和OP的解析式，得到点P的坐标，然后由题意圆的

幕值为6,半径为1可求得d的值，再结合两点间的距离公式可得到关于b的方程，从而可求得b的极值，据此即可

确定出b的取值范围.

【详解】(1)①如图1所示：连接OA、OB、OP,

VOA=OB,P为AB的中点,

AOPIAB,

•.•在APBO中，由勾股定理得：PB=7OB2-OP2=V62-4=275»

；.PA=PB=2石，

•••OO的喘值“=2石X2石=20,

故答案为：20；

②当弦AB的位置改变时，点P关于。O的“幕值”为定值，证明如下：

如图，AB为。O中过点P的任意一条弦，且不与OP垂直，过点P作。O的弦A，B，，OP,连接AA，、BBS

图2

•.•在