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文档简介
2024年高三数学二轮备考真题演练
不等式
一、选择题
1.(2023•天津卷)函数/(%)的图象如下图所示,则/(%)的解析式可能为()
•%2+2・%2+1
【答案】D
【解析】【解答】根据图象可知该函数为偶函数,
对A,f(r)=-/(%),故该函数为奇函数,不符合题意,错误;
对B,f(-%)=鬻三=一八%),故该函数为奇函数,不符合题意,错误;
对C,/(%)=5丁多F〉0,故此函数函数值均为正数,不符
7V72
X+2久2+2X2+2
合题意,错误;
故选:D.
【分析】由函数结合奇偶性判断可排除A、B,对C得特殊结构利用基本不等式得
出函数值为大于0可排除,从而得出答案D.
2.(2023•全国乙卷)已知实数%,y满足/+y2—4%—2y—4=0,则%—y的
最大值是()
A.1+这B.4C.1+3V2D.7
2
1
【答案】c
【解析】【解答】x2+y2-4x-2y-4=0,整理得(%-2)2+(y-I)2=9
其中圆心。为(2,1),半径r=3.
另x-y=k,如下图,易知当直线x-y=k与圆-2/+(y-1尸=9相切时取得最
大
|2X11k|
即点0到直线x-y=k的距离为0A=R=3=/2^=3.解得k=1+3A/2
由k最大,即k取1+3企
故选:C
【分析】将圆的一般方程化为圆的标准方程得出圆心与半径,将x-y最大值转化
为线性规划问题,在可行域范围内分析并计算可得答案。
3.(2023•新高考I卷)已知集合乂={4,-1,0,1,2},N={X|X2^-6>0},则M
AN=()
A.{-2,-1,0,1}B.{0,1,2}
C.{-2}D.{2}
【答案】C
【解析】【解答】V%2-X-6>0,?.(%-3)(%+2)>0,即
N={x/x>3或x4—2},则MN={—2}o故选C
【分析】利用一元二次不等求解集合N,进而求集合M与N的交集。
2
(%-2>0,
4.(2022•浙江)若实数x,y满足约束条件12%+y—7<0,则z=3%+4y
\x-y-2<0,
的最大值是()
A.20B.18C.13D.6
【答案】B
(x—2>0,
【解析】【解答】根据约束条件<2x+y-7<0,画出可行域,
\x-y-2<0,
可知过点a,3?时取到最大值18.
故答案为:B
【分析】先作出不等式组表示的平面区域,然后结合图象求解即可.
(%+y:2,
5.(2022•全国乙卷)若x,y满足约束条件1%+2y44,则z=2久—y的最大
(y>。,
值是()
A.-2B.4C.8D.12
【答案】C
3
【解析】【解答】由题意作出可行域(阴影部分所示),目标函数z=2%-y转化
为y=2x-z,
上下平移直线y=2%-z,可知当直线过点(4,0)时,直线截距最小,z最
大,
所以zmax=2X4-0=8.
故选:C
【分析】作出可行域,数形结合即可得解.
6.(2022•全国甲卷)设全集U={—2,—1,0,1,2,3),集合A=
{-1,2},B={%|/一叔+3=0},则Cu(AUB)=()
A.{1,3}B.{0,3}C.{-2,1}D.{-2,0}
【答案】D
【解析】【解答】解:由题意得,B={%|/—4%+3=0}={1,3},所以AU
B={-1,1,2,3},
所以QQ4UB)={-2,0}.
故选:D
【分析】先求解方程求出集合B,再由集合的并集、补集运算即可得解.
7.(2022•新高考I卷)设a=0.1e°,,b=-,c=—ln0.9,则()
9
A.a<b<cB.c<b<aC.c<a<bD.a<c<b
4
【答案】c
【解析】【解答】解:令2=乂口b=^~,c=-ln(l-x),
1-x
贝ljlna-lnb=x+lnx-[lnx-ln(1-x)]=x+ln(1-x),
令y=x+ln(l-x),x£(0,0.1],
则y/=]_--=会<0,
1-x1-x
所以y<0,
所以InaWlnb,
所以b>a,
a-c=xex+ln(l-x),x£(0,0.1],
令y=xe*+ln(l-x),x£(0,0.1],
/,1(l+x)(l-x)ex-l
y—xev+ev----=----------,
,1-x1-x
令k(x)=(l+x)(l—x)ex—1,
所以k'(x)=(l-2x-x2)e'>0,
所以k(x)>k(0)〉0,
所以y'>0,
所以a-c>0,
所以a>c,
综上可得,c<a<b,
故选:C
【分析】分别构造函数y=x+ln(l-x),x£(0,0.1],y=xex+ln(l-x),x£(0,
0.1],根据导数判断函数的单调性,再运用作差法比较大小即可得解.
8.(2022•新高考I卷)若集合M={%|«<4},N={%|3%>1},则MnN
)
5
1
A.{%|0<%<2]B.<%|-<%<2]
1
C.[%I3<%<16]D.<%|-<%<16}
【答案】D
【解析】【解答】解:由题意得,M=(%|0<%<16},N={x\x>|),则Mn
1
N-{%|-<%<16},
故选:D
【分析】先由不等式的解法求得集合M,N,再根据交集的运算求得答案.
9.(2022•浙江学考)不等式%2-4%<0的解集是()
A.(0,4)B.(—4,0)
C.(一,4)D.(—8,0)u(4,+8)
【答案】A
【解析】【解答】%2_4%<0=%。_4)<0,解得0<%<4,所以解集为
(0,4)-
故答案为:A
【分析】利用一元二次不等式求解集的方法,进而得出不等式%2-4%<0的
解集。
xX
10.(2022•浙江学考)若log2(2-1)-%<log2(Z-2+32)对任意%e(0,
+8)恒成立,则2的取值范围是O
1111
A.怠,+8)B.(0,-)C.(-,+8)D.(0,-)
【答案】A
xXx
【解析】【解答】由log2(2-1)-%<log2(A-2+3A),可得log2(2-1)-
%X
log22<log2(A-2+3A),所以<logzU,2久+32),因为函数y=
6
10g2x在(0,+8)上单调递增,所以蜂!<(2久+3)4=房二<4在(0,
+8)上恒成立,令t=2x(t>1),则点上<4在(1,+8)上恒成立,令
t_11_1V1_1
y—t(t+3)—(1)+告+5'则'(1)+占+5—2l(t-D±+59'当且仅当t=
3,即%=log23时,取等号,所以A>|o
故答案为:A
xX
【分析】由log2(2-1)-%<log2(A-2+3A),可得log2^-<log2(A-
2X+32),再利用函数y=log2%在(0,+°°)上单调递增,所以
(2久+3)A=2;2,3)<4在(0,+8)上恒成立,令t=2\t>1),则
f—1t—11
石石<4在(1,+8)上恒成立,令y=近西=(-)+j,再利用均值不等
'Jt—1
1
式求最值的方法得出y=(i)+*+5的最大值,再结合不等式恒成立问题求解方
法,进而得出实数a的取值范围。
「%+1>0
11.(2021•浙江)若实数X,y满足约束条件x-y<0,则z=%—
.2%+3y—1<0~
的最小值是()
311
A.-2B.--C.——D.—
2210
【答案】B
「%+1>0
【解析】【解答】画出满足约束条件%-y<o的可行域,
.2%+3y—1<0
如下图所示:
7
将目标函数z=%-2y化为y=2x-2z,由丫二_;_0,解得
乙(乙%।□V-_L—U
,即4(T,1),
当直线y=2x-2z过A点时,
z=x—取得最小值为一日.
故答案为:B.
【分析】先画出可行域,然后由目标函数,作出直线y=2%-2z,当直线过A
点时,得到最优解,从而计算出结果。
12.(2022•浙江学考)不等式组+0表示的平面区域是()
(%+y+z<U
【解析】【解答】画出直线%—2y+5=0,经过一、二、三象限,对应图中的
实线,代入(0,0)可得5之0成立,所以%—2y+5之0表示的区域为直线
8
%-2y+5=0及直线右下方;画出直线x+y+2=0,经过二、三、四象限,
对应图中的虚线,代入(0,0)可得2<0不成立,所以%+y+2<0表示的
区域为直线%+y+2=0及直线左下方,所以对应的平面区域为B.
故答案为:B
【分析】利用已知条件结合二元一次不等式组画出可行域,从而找出不等式组表
示的平面区域。
二、填空题
—2x+3y<3
13.(2023•全国甲卷)设x,y满足约束条件3%-2y<3,设z=3%+2y,则
、%+y>1
z的最大值为.
【答案】15
O1
【解析】【解答】由Z=3%+2y得y=+』z,
故当直线/:y=-弓%+紧截距最大时,z取得最大值,
根据题意画出可行域如上图,易得当直线Z过点A时,z取得最大值,
解布口,即4(3,3)
9
zmI/vay=3x3+2x3=15
故答案为:15
【分析】利用约束条件画出可行域,由目标函数分析求截距最大值。
3%—2y<3,
14.(2023•全国甲卷)若x,y满足约束条件—2%+3y<3,则z=3x+2y的
x+y>1,
最大值为
【答案】15
【解析】【解答】由z=3%+2y得y=-万%+]Z,
故当直线/:y=-日久+/z截距最大时,z取得最大值,
根据题意画出可行域如上图,易得当直线/过点A时,z取得最大值,
即4(3,3)
=3x3+2x3=15
【分析】利用约束条件画出可行域,由目标函数分析求截距最大值。
15.(2023•天津卷)在△ABC中,4=60。,BC=1,点。为4B的中点,点E为
CD的中点,若设通=a,AC=b,则标可用出B表不为;若
10
BF=^BC,则荏的最大值为
【答案】三五十工木-
4224
【解析】【解答】如图所示,
第一空:•.•点。为4B的中点,点E为CD的中点
-1-
=-AB,
2
->1->-1->q—>1_、1~》
由平行四边形法则易得
4E=-2(^1AC+AD7)=-2AC+-4AB=4-a+-2b
第二空:由•.,衣=]就,
T1T
;・BF=-BC.
3
TT——1—T1TT2717
^AF=AB+BF=AB+-3BC=AB+-3C1BA+AC)7=3-a+-3b.
-'-AE-AF=(-a+-b)-(-a+-b}=-a2+-b2+-\a\\b\cos^A=-a2+
\427\3376612II||6
川二胴w
又•「4=60°,BC=1,
lai+M-11_>->72T2
根据余弦定理得:cos/4=——,1,—=-,即a-b=a+b—1
2I4H2
又.b4庄忖,
-2
・t2t2lai+1^1冷刀4曰t272c
••a+b_]v-!_L,角牛得CL+b工2,
-2
11
T2T272
•1T2—>215J—>29T2
।•—a+-b+引矶a+6b+△a+bT)J(a+
6624
—>2513
b)———V-
,24—24
—>T
故当且仅当a=b时,荏的最大为捺
,4
故答案填:n.
【分析】根据题意,将其中两边视为基底向量,由平行四边形法则易表示AE;
同理利用基底向量可表示/,进而表示版.方,表示后的结构易联想到使用基
本不等式求其最大值,由基底夹角结合第三边=1可联想使用余弦定理得出平
方和与乘积的等量关系,消元且使用基本不等式可求得荏.荏的最大值.
X—3y<—1
16.(2023•全国乙卷)若x,y满足约束条件%+2y<9,则z=2%—y的最大
、3x+y>7
值为..
【答案】8
【解析】【解答】根据题意作出满足不等式组表示的平面可行域,如下图:
y=2。x-z/I
由z=2%-y,得y=2%—z,—z表示直线y=2%-z在y轴上的截距,
•••截距越小z越大,
由上图可只当直线y=2x-z经过点C时z最大,
12
由kFX二91解得即C(5,2),此时L2X5—2=8.
故答案为:8
【分析】找出满足题意的可行域,对目标函数分析结合一次函数分析得出z的最大
值。
17.(2022•全国甲卷)已知△ABC中,点D在边BC上,ZADB=
Ar一
120°,AD=2,CD=2BD.当—取得最小值时,BD=________________.
AD
【答案】V3—1或-1+V^
【解析】【解答】解:设CD=2BD=2m>0,
则在4ABD中,AB=BD2+AD2-2BD•ADcosZADB=m2+4+2m,
i^AACD中,AC=CD2+AD2-2CD•ADcosZADC=4m2+4-4m,
AC2_4m2+4-4m_4(m2+4+2m)-12(l+m)/12、/12
=4--------o—-4—
所以海=m2+4+2mm2+4+2m(m+l)+------2|(m+l)x^
'7m+l
4-2V3,
当且仅当加+1=高即…遍一1时,等号成立,
所以当当取最小值时,m=V3—1,即BD=遍—1.
AD
故答案为:V3-1.
【分析】设CD=2BD=2m>0,利用余弦定理表示出与后,结合基本不等式即可得
AB2
解.
18.(2022•新高考I卷)若曲线y=(%+a)靖有两条过坐标原点的切线,则a
13
的取值范围是.
【答案】a>0或a<-4
【解析】【解答】解:易得曲线不过原点,设切点为(x。,(x0+a)e、。),则切线斜率
为f(xo)=(xo+a+l)e*o,
可得切线方程为y-(xo+a)e*o=(xo+a+l)e*o(x-xo),又切线过原点,
xx
可得-(xo+a)eo=-xo(xo+a+l)e0,化简得总+ax0—a=0(>K),
又切线有两条,即方程※有两不等实根,由判别式△:a2+4a>0,得a〈-4或a>0.
故答案为:a〈-4或a>0.
【分析】由导数的几何意义,求得切线方程,再结合切线过原点,易得方程贿+
a%。-a=0有两不等实根,由△>()求解即可.
三、解答题
19.(2023•全国甲卷)已知/(%)=2|%—a|—a,a>0.
(1)解不等式/(%)<%
(2)若y=/(%)与坐标轴围成的面积为2,求a.
【答案】(1)依题意"%)去绝对值得
(a—2%,%《a
/(%)=2|x—a\—a=\
(2%—3a,x>a
①当%4a时,由/(%)<%,即a—2x<x,解得%>;,*/a>0,此时;<%<
a
②当%>a时,由f(%)<%,即2%—3a<%,解得%<3a,Va>0,此时a<%V
3a
综上/(%)<%的解集是%E3a);
(2)令f(%)=0,解得%=§或当,
当%=a时/⑷——a,
14
Va>0,此时OV^VaV:,且—a<0,故其函数图象大致为
AQ,0),B(*0),C(a,-a),D(0,a)
:•SAABC+S^AOD-~|•|ycI+[x\0A\'\0D\=^a2+^a2=2,解得a=2V6.
【解析】【分析】(1)根据%<a和%>a分段去绝对值求解不等式;
⑵结合a>0分析画出草图利用面积建立等量关系求出a.
20.(2023•全国甲卷)已知f(%)=2|%-a|—匿a>0.
(1)求不等式/(%)<%的解集;
(2)若曲线y=/(%)与%轴所围成的图形的面积为2,求a.
【答案】(1)依题意f(%)去绝对值得
(a—2x,%《a
/(%)=2\x—a\—a=\
(2%—3a,x>a
①当%4a时,由/(%)<%,即a—2x<x,解得%>;,Va>0,此时;<%<
a
②当%>a时,由/(%)<%,即2%—3a<%,解得%<3a,Va>0,此时a<%<
3a
综上/(%)<%的解集是%eQ,3a
(2)令/(%)=0,解得%=§或当,
15
当%=a时/⑷=—a,
Va>0,此时0<:a<当,且—a<0,故其函数图象大致为
・•・4傅,0),喉,0),C(a,-a)
2
•*-SRABC-|\AB\'\yc\=|a=2,解得a=2
【解析】【分析】(1)根据%<a和%>a分段去绝对值求解不等式;
⑵结合a>0分析画出草图利用面积建立等量关系求出a。
21.(2023•全国乙卷)已知f(%)=2团+|%—2|
(1)求不等式"%)<6-%的解集;
(2)在直角坐标系%Oy中,求不等式组卜空20所确定的平面区域的面
积.
【答案】(1)依题意可得,根据去绝对值零点分段易得
-3%+2,%<0
%+2,0<%<2,画出/(%)和y=6-%图形如下:
{3%—2,x>2
16
联立[:3%+216二%,解得4―2,8),C(2,4),由图形可知/(%)<6—%的解
I_乙_(3—X
集为{%|-2<%<2};
,”鼠。确定的平面区域为⑴中枷配如下图、
(2)分析知不等式组
11
又8(0,2),。(0,6),・,・S>ABC=S^ABD+S^BCD=318。|,孙|+|%cl)=鼻义4X
(2+2)=8,
・•・不等式组1*71c确定的平面区域面积为8.
【解析】【分析】(1)讨论绝对值内的符号分段去绝对值,根据图形联立求交点解
得不等式;
(2)结合(1)得出不等式组表示的平面区域,再求面积。
17
22.(2023•上海卷)函数/(%)=-+(工°x+c(a,ceR)
(1)当a=O是,是否存在实数c,使得/(%)为奇函数;
(2)函数/(%)的图像过点(1,3),且/(%)的图像与%轴负半轴有两个交点,求
实数a的取值范围.
2
【答案】(1)当a=0时,止匕时
.,./(%)的定义域为%W0,
•〃、_x2-x+c_-x2+x-c
••/(-%)=[[=—Z-'
若此时了(%)为奇函数,则/(%)+/(-%)=¥=2W0,
即/(%)。-/(-%),故不存在实数c使得了(%)为奇函数.
(2)由函数/(%)的图像过点(1,3),.•.3=”需上,解得c=l,
令/(%)—0,则%;幼久+1—o,则%2+(3a+1)%+1=0(%W—a)
'."(%)的图像与%轴负半轴有两个交点
方程%2+(3a+1)%+1=0在x轴负半轴有两个解.
(△=(3a+-4>0
二.+&=-3a—1<0,解得a>:
(久1.检=1>0
又W—a,此时a?—(3a+l)a+1W0,解得a。5,aW—1
综上所述:a的取值范围为G,0U(|,+8)
【解析】【分析】(1)由奇函数定义先得出定义域,计算/(%)+/(-%)是否为0即可
判断;
(2)有函数交点分析转化成方程根的分析问题,即分析分子二次函数部分的根分布
情况及考虑分母不为0情况即得答案.
333
毗
证
-7--1
a2+D2+2-
23.(2022•全国乙卷)已知a,b,c都是正数,
1
(1)abc<-9;
18
(2)+—+.
b+ca+ca+b27abe
33
【答案】(1)证明:因为a>0,b>0c>。,则成〉o,Z)2>0>
3
>0,
333
所以成+>2+c2>3333
02-b2-C2
即(abc^<:所以abc<1当且仅当al=晨=c;即a=b=c=,1
时取等号.
(2)证明:因为a>0,b>0,c>0,
所以b+c>2y[bc,a+c>2y[ac,a+b>2y[ab,
333
所以awa=成b,bb2cjcc2
----———
b+c_2y/bc27abea+c_2y[ac27abea+b_2y[ab27abe
333333
abca2&2c2成+成+1
----1-----1----——H---H-------------------
b+ca+ca+b2y/abc27abe27abe27abe27abe
当且仅当a=b=c时取等号.
【解析】【分析】(1)利用三元均值不等式即可证明;
(2)利用基本不等式及不等式的性质证明即可.
24.(2022•新高考I卷
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