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文档简介

2024年高三数学二轮备考真题演练

不等式

一、选择题

1.(2023•天津卷)函数/(%)的图象如下图所示,则/(%)的解析式可能为()

•%2+2・%2+1

【答案】D

【解析】【解答】根据图象可知该函数为偶函数,

对A,f(r)=-/(%),故该函数为奇函数,不符合题意,错误;

对B,f(-%)=鬻三=一八%),故该函数为奇函数,不符合题意,错误;

对C,/(%)=5丁多F〉0,故此函数函数值均为正数,不符

7V72

X+2久2+2X2+2

合题意,错误;

故选:D.

【分析】由函数结合奇偶性判断可排除A、B,对C得特殊结构利用基本不等式得

出函数值为大于0可排除,从而得出答案D.

2.(2023•全国乙卷)已知实数%,y满足/+y2—4%—2y—4=0,则%—y的

最大值是()

A.1+这B.4C.1+3V2D.7

2

1

【答案】c

【解析】【解答】x2+y2-4x-2y-4=0,整理得(%-2)2+(y-I)2=9

其中圆心。为(2,1),半径r=3.

另x-y=k,如下图,易知当直线x-y=k与圆-2/+(y-1尸=9相切时取得最

|2X11k|

即点0到直线x-y=k的距离为0A=R=3=/2^=3.解得k=1+3A/2

由k最大,即k取1+3企

故选:C

【分析】将圆的一般方程化为圆的标准方程得出圆心与半径,将x-y最大值转化

为线性规划问题,在可行域范围内分析并计算可得答案。

3.(2023•新高考I卷)已知集合乂={4,-1,0,1,2},N={X|X2^-6>0},则M

AN=()

A.{-2,-1,0,1}B.{0,1,2}

C.{-2}D.{2}

【答案】C

【解析】【解答】V%2-X-6>0,?.(%-3)(%+2)>0,即

N={x/x>3或x4—2},则MN={—2}o故选C

【分析】利用一元二次不等求解集合N,进而求集合M与N的交集。

2

(%-2>0,

4.(2022•浙江)若实数x,y满足约束条件12%+y—7<0,则z=3%+4y

\x-y-2<0,

的最大值是()

A.20B.18C.13D.6

【答案】B

(x—2>0,

【解析】【解答】根据约束条件<2x+y-7<0,画出可行域,

\x-y-2<0,

可知过点a,3?时取到最大值18.

故答案为:B

【分析】先作出不等式组表示的平面区域,然后结合图象求解即可.

(%+y:2,

5.(2022•全国乙卷)若x,y满足约束条件1%+2y44,则z=2久—y的最大

(y>。,

值是()

A.-2B.4C.8D.12

【答案】C

3

【解析】【解答】由题意作出可行域(阴影部分所示),目标函数z=2%-y转化

为y=2x-z,

上下平移直线y=2%-z,可知当直线过点(4,0)时,直线截距最小,z最

大,

所以zmax=2X4-0=8.

故选:C

【分析】作出可行域,数形结合即可得解.

6.(2022•全国甲卷)设全集U={—2,—1,0,1,2,3),集合A=

{-1,2},B={%|/一叔+3=0},则Cu(AUB)=()

A.{1,3}B.{0,3}C.{-2,1}D.{-2,0}

【答案】D

【解析】【解答】解:由题意得,B={%|/—4%+3=0}={1,3},所以AU

B={-1,1,2,3},

所以QQ4UB)={-2,0}.

故选:D

【分析】先求解方程求出集合B,再由集合的并集、补集运算即可得解.

7.(2022•新高考I卷)设a=0.1e°,,b=-,c=—ln0.9,则()

9

A.a<b<cB.c<b<aC.c<a<bD.a<c<b

4

【答案】c

【解析】【解答】解:令2=乂口b=^~,c=-ln(l-x),

1-x

贝ljlna-lnb=x+lnx-[lnx-ln(1-x)]=x+ln(1-x),

令y=x+ln(l-x),x£(0,0.1],

则y/=]_--=会<0,

1-x1-x

所以y<0,

所以InaWlnb,

所以b>a,

a-c=xex+ln(l-x),x£(0,0.1],

令y=xe*+ln(l-x),x£(0,0.1],

/,1(l+x)(l-x)ex-l

y—xev+ev----=----------,

,1-x1-x

令k(x)=(l+x)(l—x)ex—1,

所以k'(x)=(l-2x-x2)e'>0,

所以k(x)>k(0)〉0,

所以y'>0,

所以a-c>0,

所以a>c,

综上可得,c<a<b,

故选:C

【分析】分别构造函数y=x+ln(l-x),x£(0,0.1],y=xex+ln(l-x),x£(0,

0.1],根据导数判断函数的单调性,再运用作差法比较大小即可得解.

8.(2022•新高考I卷)若集合M={%|«<4},N={%|3%>1},则MnN

)

5

1

A.{%|0<%<2]B.<%|-<%<2]

1

C.[%I3<%<16]D.<%|-<%<16}

【答案】D

【解析】【解答】解:由题意得,M=(%|0<%<16},N={x\x>|),则Mn

1

N-{%|-<%<16},

故选:D

【分析】先由不等式的解法求得集合M,N,再根据交集的运算求得答案.

9.(2022•浙江学考)不等式%2-4%<0的解集是()

A.(0,4)B.(—4,0)

C.(一,4)D.(—8,0)u(4,+8)

【答案】A

【解析】【解答】%2_4%<0=%。_4)<0,解得0<%<4,所以解集为

(0,4)-

故答案为:A

【分析】利用一元二次不等式求解集的方法,进而得出不等式%2-4%<0的

解集。

xX

10.(2022•浙江学考)若log2(2-1)-%<log2(Z-2+32)对任意%e(0,

+8)恒成立,则2的取值范围是O

1111

A.怠,+8)B.(0,-)C.(-,+8)D.(0,-)

【答案】A

xXx

【解析】【解答】由log2(2-1)-%<log2(A-2+3A),可得log2(2-1)-

%X

log22<log2(A-2+3A),所以<logzU,2久+32),因为函数y=

6

10g2x在(0,+8)上单调递增,所以蜂!<(2久+3)4=房二<4在(0,

+8)上恒成立,令t=2x(t>1),则点上<4在(1,+8)上恒成立,令

t_11_1V1_1

y—t(t+3)—(1)+告+5'则'(1)+占+5—2l(t-D±+59'当且仅当t=

3,即%=log23时,取等号,所以A>|o

故答案为:A

xX

【分析】由log2(2-1)-%<log2(A-2+3A),可得log2^-<log2(A-

2X+32),再利用函数y=log2%在(0,+°°)上单调递增,所以

(2久+3)A=2;2,3)<4在(0,+8)上恒成立,令t=2\t>1),则

f—1t—11

石石<4在(1,+8)上恒成立,令y=近西=(-)+j,再利用均值不等

'Jt—1

1

式求最值的方法得出y=(i)+*+5的最大值,再结合不等式恒成立问题求解方

法,进而得出实数a的取值范围。

「%+1>0

11.(2021•浙江)若实数X,y满足约束条件x-y<0,则z=%—

.2%+3y—1<0~

的最小值是()

311

A.-2B.--C.——D.—

2210

【答案】B

「%+1>0

【解析】【解答】画出满足约束条件%-y<o的可行域,

.2%+3y—1<0

如下图所示:

7

将目标函数z=%-2y化为y=2x-2z,由丫二_;_0,解得

乙(乙%।□V-_L—U

,即4(T,1),

当直线y=2x-2z过A点时,

z=x—取得最小值为一日.

故答案为:B.

【分析】先画出可行域,然后由目标函数,作出直线y=2%-2z,当直线过A

点时,得到最优解,从而计算出结果。

12.(2022•浙江学考)不等式组+0表示的平面区域是()

(%+y+z<U

【解析】【解答】画出直线%—2y+5=0,经过一、二、三象限,对应图中的

实线,代入(0,0)可得5之0成立,所以%—2y+5之0表示的区域为直线

8

%-2y+5=0及直线右下方;画出直线x+y+2=0,经过二、三、四象限,

对应图中的虚线,代入(0,0)可得2<0不成立,所以%+y+2<0表示的

区域为直线%+y+2=0及直线左下方,所以对应的平面区域为B.

故答案为:B

【分析】利用已知条件结合二元一次不等式组画出可行域,从而找出不等式组表

示的平面区域。

二、填空题

—2x+3y<3

13.(2023•全国甲卷)设x,y满足约束条件3%-2y<3,设z=3%+2y,则

、%+y>1

z的最大值为.

【答案】15

O1

【解析】【解答】由Z=3%+2y得y=+』z,

故当直线/:y=-弓%+紧截距最大时,z取得最大值,

根据题意画出可行域如上图,易得当直线Z过点A时,z取得最大值,

解布口,即4(3,3)

9

zmI/vay=3x3+2x3=15

故答案为:15

【分析】利用约束条件画出可行域,由目标函数分析求截距最大值。

3%—2y<3,

14.(2023•全国甲卷)若x,y满足约束条件—2%+3y<3,则z=3x+2y的

x+y>1,

最大值为

【答案】15

【解析】【解答】由z=3%+2y得y=-万%+]Z,

故当直线/:y=-日久+/z截距最大时,z取得最大值,

根据题意画出可行域如上图,易得当直线/过点A时,z取得最大值,

即4(3,3)

=3x3+2x3=15

【分析】利用约束条件画出可行域,由目标函数分析求截距最大值。

15.(2023•天津卷)在△ABC中,4=60。,BC=1,点。为4B的中点,点E为

CD的中点,若设通=a,AC=b,则标可用出B表不为;若

10

BF=^BC,则荏的最大值为

【答案】三五十工木-

4224

【解析】【解答】如图所示,

第一空:•.•点。为4B的中点,点E为CD的中点

-1-

=-AB,

2

->1->-1->q—>1_、1~》

由平行四边形法则易得

4E=-2(^1AC+AD7)=-2AC+-4AB=4-a+-2b

第二空:由•.,衣=]就,

T1T

;・BF=-BC.

3

TT——1—T1TT2717

^AF=AB+BF=AB+-3BC=AB+-3C1BA+AC)7=3-a+-3b.

-'-AE-AF=(-a+-b)-(-a+-b}=-a2+-b2+-\a\\b\cos^A=-a2+

\427\3376612II||6

川二胴w

又•「4=60°,BC=1,

lai+M-11_>->72T2

根据余弦定理得:cos/4=——,1,—=-,即a-b=a+b—1

2I4H2

又.b4庄忖,

-2

・t2t2lai+1^1冷刀4曰t272c

••a+b_]v-!_L,角牛得CL+b工2,

-2

11

T2T272

•1T2—>215J—>29T2

।•—a+-b+引矶a+6b+△a+bT)J(a+

6624

—>2513

b)———V-

,24—24

—>T

故当且仅当a=b时,荏的最大为捺

,4

故答案填:n.

【分析】根据题意,将其中两边视为基底向量,由平行四边形法则易表示AE;

同理利用基底向量可表示/,进而表示版.方,表示后的结构易联想到使用基

本不等式求其最大值,由基底夹角结合第三边=1可联想使用余弦定理得出平

方和与乘积的等量关系,消元且使用基本不等式可求得荏.荏的最大值.

X—3y<—1

16.(2023•全国乙卷)若x,y满足约束条件%+2y<9,则z=2%—y的最大

、3x+y>7

值为..

【答案】8

【解析】【解答】根据题意作出满足不等式组表示的平面可行域,如下图:

y=2。x-z/I

由z=2%-y,得y=2%—z,—z表示直线y=2%-z在y轴上的截距,

•••截距越小z越大,

由上图可只当直线y=2x-z经过点C时z最大,

12

由kFX二91解得即C(5,2),此时L2X5—2=8.

故答案为:8

【分析】找出满足题意的可行域,对目标函数分析结合一次函数分析得出z的最大

值。

17.(2022•全国甲卷)已知△ABC中,点D在边BC上,ZADB=

Ar一

120°,AD=2,CD=2BD.当—取得最小值时,BD=________________.

AD

【答案】V3—1或-1+V^

【解析】【解答】解:设CD=2BD=2m>0,

则在4ABD中,AB=BD2+AD2-2BD•ADcosZADB=m2+4+2m,

i^AACD中,AC=CD2+AD2-2CD•ADcosZADC=4m2+4-4m,

AC2_4m2+4-4m_4(m2+4+2m)-12(l+m)/12、/12

=4--------o—-4—

所以海=m2+4+2mm2+4+2m(m+l)+------2|(m+l)x^

'7m+l

4-2V3,

当且仅当加+1=高即…遍一1时,等号成立,

所以当当取最小值时,m=V3—1,即BD=遍—1.

AD

故答案为:V3-1.

【分析】设CD=2BD=2m>0,利用余弦定理表示出与后,结合基本不等式即可得

AB2

解.

18.(2022•新高考I卷)若曲线y=(%+a)靖有两条过坐标原点的切线,则a

13

的取值范围是.

【答案】a>0或a<-4

【解析】【解答】解:易得曲线不过原点,设切点为(x。,(x0+a)e、。),则切线斜率

为f(xo)=(xo+a+l)e*o,

可得切线方程为y-(xo+a)e*o=(xo+a+l)e*o(x-xo),又切线过原点,

xx

可得-(xo+a)eo=-xo(xo+a+l)e0,化简得总+ax0—a=0(>K),

又切线有两条,即方程※有两不等实根,由判别式△:a2+4a>0,得a〈-4或a>0.

故答案为:a〈-4或a>0.

【分析】由导数的几何意义,求得切线方程,再结合切线过原点,易得方程贿+

a%。-a=0有两不等实根,由△>()求解即可.

三、解答题

19.(2023•全国甲卷)已知/(%)=2|%—a|—a,a>0.

(1)解不等式/(%)<%

(2)若y=/(%)与坐标轴围成的面积为2,求a.

【答案】(1)依题意"%)去绝对值得

(a—2%,%《a

/(%)=2|x—a\—a=\

(2%—3a,x>a

①当%4a时,由/(%)<%,即a—2x<x,解得%>;,*/a>0,此时;<%<

a

②当%>a时,由f(%)<%,即2%—3a<%,解得%<3a,Va>0,此时a<%V

3a

综上/(%)<%的解集是%E3a);

(2)令f(%)=0,解得%=§或当,

当%=a时/⑷——a,

14

Va>0,此时OV^VaV:,且—a<0,故其函数图象大致为

AQ,0),B(*0),C(a,-a),D(0,a)

:•SAABC+S^AOD-~|•|ycI+[x\0A\'\0D\=^a2+^a2=2,解得a=2V6.

【解析】【分析】(1)根据%<a和%>a分段去绝对值求解不等式;

⑵结合a>0分析画出草图利用面积建立等量关系求出a.

20.(2023•全国甲卷)已知f(%)=2|%-a|—匿a>0.

(1)求不等式/(%)<%的解集;

(2)若曲线y=/(%)与%轴所围成的图形的面积为2,求a.

【答案】(1)依题意f(%)去绝对值得

(a—2x,%《a

/(%)=2\x—a\—a=\

(2%—3a,x>a

①当%4a时,由/(%)<%,即a—2x<x,解得%>;,Va>0,此时;<%<

a

②当%>a时,由/(%)<%,即2%—3a<%,解得%<3a,Va>0,此时a<%<

3a

综上/(%)<%的解集是%eQ,3a

(2)令/(%)=0,解得%=§或当,

15

当%=a时/⑷=—a,

Va>0,此时0<:a<当,且—a<0,故其函数图象大致为

・•・4傅,0),喉,0),C(a,-a)

2

•*-SRABC-|\AB\'\yc\=|a=2,解得a=2

【解析】【分析】(1)根据%<a和%>a分段去绝对值求解不等式;

⑵结合a>0分析画出草图利用面积建立等量关系求出a。

21.(2023•全国乙卷)已知f(%)=2团+|%—2|

(1)求不等式"%)<6-%的解集;

(2)在直角坐标系%Oy中,求不等式组卜空20所确定的平面区域的面

积.

【答案】(1)依题意可得,根据去绝对值零点分段易得

-3%+2,%<0

%+2,0<%<2,画出/(%)和y=6-%图形如下:

{3%—2,x>2

16

联立[:3%+216二%,解得4―2,8),C(2,4),由图形可知/(%)<6—%的解

I_乙_(3—X

集为{%|-2<%<2};

,”鼠。确定的平面区域为⑴中枷配如下图、

(2)分析知不等式组

11

又8(0,2),。(0,6),・,・S>ABC=S^ABD+S^BCD=318。|,孙|+|%cl)=鼻义4X

(2+2)=8,

・•・不等式组1*71c确定的平面区域面积为8.

【解析】【分析】(1)讨论绝对值内的符号分段去绝对值,根据图形联立求交点解

得不等式;

(2)结合(1)得出不等式组表示的平面区域,再求面积。

17

22.(2023•上海卷)函数/(%)=-+(工°x+c(a,ceR)

(1)当a=O是,是否存在实数c,使得/(%)为奇函数;

(2)函数/(%)的图像过点(1,3),且/(%)的图像与%轴负半轴有两个交点,求

实数a的取值范围.

2

【答案】(1)当a=0时,止匕时

.,./(%)的定义域为%W0,

•〃、_x2-x+c_-x2+x-c

••/(-%)=[[=—Z-'

若此时了(%)为奇函数,则/(%)+/(-%)=¥=2W0,

即/(%)。-/(-%),故不存在实数c使得了(%)为奇函数.

(2)由函数/(%)的图像过点(1,3),.•.3=”需上,解得c=l,

令/(%)—0,则%;幼久+1—o,则%2+(3a+1)%+1=0(%W—a)

'."(%)的图像与%轴负半轴有两个交点

方程%2+(3a+1)%+1=0在x轴负半轴有两个解.

(△=(3a+-4>0

二.+&=-3a—1<0,解得a>:

(久1.检=1>0

又W—a,此时a?—(3a+l)a+1W0,解得a。5,aW—1

综上所述:a的取值范围为G,0U(|,+8)

【解析】【分析】(1)由奇函数定义先得出定义域,计算/(%)+/(-%)是否为0即可

判断;

(2)有函数交点分析转化成方程根的分析问题,即分析分子二次函数部分的根分布

情况及考虑分母不为0情况即得答案.

333

-7--1

a2+D2+2-

23.(2022•全国乙卷)已知a,b,c都是正数,

1

(1)abc<-9;

18

(2)+—+.

b+ca+ca+b27abe

33

【答案】(1)证明:因为a>0,b>0c>。,则成〉o,Z)2>0>

3

>0,

333

所以成+>2+c2>3333

02-b2-C2

即(abc^<:所以abc<1当且仅当al=晨=c;即a=b=c=,1

时取等号.

(2)证明:因为a>0,b>0,c>0,

所以b+c>2y[bc,a+c>2y[ac,a+b>2y[ab,

333

所以awa=成b,bb2cjcc2

----———

b+c_2y/bc27abea+c_2y[ac27abea+b_2y[ab27abe

333333

abca2&2c2成+成+1

----1-----1----——H---H-------------------

b+ca+ca+b2y/abc27abe27abe27abe27abe

当且仅当a=b=c时取等号.

【解析】【分析】(1)利用三元均值不等式即可证明;

(2)利用基本不等式及不等式的性质证明即可.

24.(2022•新高考I卷

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