第9章《中心对称图形-平行四边形》（教师版）

2023-2024学年苏科版数学八年级下册章节拔高检测卷（易错专练）第9章《中心对称图形—平行四边形》考试时间：100分钟试卷满分：100分难度系数：0.50一、选择题（本大题共10小题，每小题2分，共20分．在每小题所给出的四个选项中，恰有一项是符合题目要求的，请将正确选项前的字母代号填写在括号内）1．（2分）（2023秋•雷州市期末）如图，将△ABC绕点A逆时针旋转110°，得到△ADE，若点D落在线段BC的延长线上，则∠B大小为（）A．30° B．35° C．40° D．45°解：∵△ABC绕点A逆时针旋转110°，得到△ADE∴AB＝AD，∠BAD＝110°由三角形内角和∠B＝故选：B．2．（2分）（2023•攸县一模）已知△ABC中，AB＝AC，求证：∠B＜90°，下面写出运用反证法证明这个命题的四个步骤：①∴∠A+∠B+∠C＞180°，这与三角形内角和为180°矛盾②因此假设不成立．∴∠B＜90°③假设在△ABC中，∠B≥90°④由AB＝AC，得∠B＝∠C≥90°，即∠B+∠C≥180°．这四个步骤正确的顺序应是（）A．④③①② B．③④②① C．①②③④ D．③④①②解：运用反证法证明这个命题的四个步骤：1、假设在△ABC中，∠B≥90°，2、由AB＝AC，得∠B＝∠C≥90°，即∠B+∠C≥180°，3、∴∠A+∠B+∠C＞180°，这与三角形内角和为180°矛盾，4、因此假设不成立．∴∠B＜90°，故选：D．3．（2分）（2022秋•洛江区期末）用反证法证明命题“已知在△ABC中，AB＝AC，则∠B＜90°”时，首先应该假设（）A．∠B≥90° B．∠B＞90° C．AB≠AC D．AB≠AC且∠B≥90°解：用反证法证明命题“已知在△ABC中，AB＝AC，则∠B＜90°”时，首先假设∠B≥90°，故选：A．4．（2分）（2023•蒙阴县三模）两个矩形的位置如图所示，若∠1＝α，则∠2＝（）A．α﹣90° B．180°﹣α C．α﹣45° D．270°﹣α解：如图：∵四边形ABCD，四边形EFGH都是矩形，∴∠B＝∠EHG＝90°，∵∠1是△EBH的一个外角，∴∠3＝∠1﹣∠B＝α﹣90°，∴∠2＝∠EHG﹣∠3＝90°﹣（α﹣90°）＝180°﹣α，故选：B．5．（2分）（2023春•汉阳区期末）下列说法正确的是（）A．对角线互相垂直的平行四边形是正方形 B．一组对边平行另一组对边相等的四边形是平行四边形 C．一组对边平行且一组对角相等的四边形是平行四边形 D．对角线互相垂直的四边形是菱形解：A、对角线互相垂直且相等的平行四边形是正方形，所以A选项错误．B、当一组对边平行，另一组对边相等时，该四边形可能为等腰梯形，故B选项错误．C、由一组对边平行，一组对角相等可得另一组对边平行，所以是平行四边形，故C选项正确．D、对角线互相垂直的平行四边形是菱形，所以D选项错误；故选：C．6．（2分）（2023秋•泗水县期中）如图，①是一个三角形，分别连接这个三角形三边中点得到图②，再连接图②中间小三角形三边的中点得到图③，按这样的方法进行下去，第n个图形中共有4005个三角形，则n的值是（）A．1002 B．1001 C．1000 D．999解：分别数出图①、图②、图③中的三角形的个数，图①中三角形的个数为1＝4×1﹣3；图②中三角形的个数为5＝4×2﹣3；图③中三角形的个数为9＝4×3﹣3；…可以发现，第几个图形中三角形的个数就是4与几的乘积减去3．按照这个规律，第n个图形中共有三角形的个数为4n﹣3，即4n﹣3＝4005，n＝1002，故选：A．7．（2分）（2023春•高邮市期中）如图，在四边形ABCD中，∠A＝∠B＝90°，AB＝BC＝4，AD＝3，E是边AB上一点，且∠DCE＝45°，则DE的长度是（）A．3.2 B．3.4 C．3.6 D．4解：如图，过C作CG⊥AD于G，并延长DG至F，使GF＝BE，∵∠A＝∠B＝∠CGA＝90°，AB＝BC，∴四边形ABCG为正方形，∴AG＝BC＝4，∠BCG＝90°，BC＝CG，∵AD＝3，∴DG＝4﹣3＝1，∵BC＝CG，∠B＝∠CGF，BE＝FG，∴△EBC≌△FGC（SAS），∴CE＝CF，∠ECB＝∠FCG，∵∠DCE＝45°，∴∠BCE+∠DCG＝∠DCG+∠FCG＝45°，∴∠DCE＝∠DCF，∵CE＝CF，∠DCF＝∠DCE，DC＝DC，∴△ECD≌△FCD（SAS），∴ED＝DF，设ED＝x，则EB＝FG＝x﹣1，∴AE＝4﹣（x﹣1）＝5﹣x，Rt△AED中，AE2+AD2＝DE2，∴（5﹣x）2+32＝x2，解得：x＝3.4，∴DE＝3.4．故选：B．8．（2分）（2023春•德州期中）如图，在△ABC中，AB＝6，AC＝8，BC＝10，P为边BC上一动点，PE⊥AB于点E，PF⊥AC于点F，则EF的最小值为（）A．5 B．4 C． D．3解：连接AP，∵AB＝6，AC＝8，BC＝10，∴AB2+AC2＝62+82＝100，BC2＝102＝100，∴AB2+AC2＝BC2，∴△ABC是直角三角形，∴∠BAC＝90°，∵PE⊥AB，PF⊥AC，∴∠PEA＝∠PFA＝90°，∴四边形AEPF是矩形，∴AP＝EF，∴当AP⊥BC时，AP有最小值，即EF有最小值，∵△ABC的面积＝BC•AP＝AB•AC，∴BC•AP＝AB•AC，∴10AP＝6×8，∴AP＝，∴AP＝EF＝，∴EF的最小值为，故选：C．9．（2分）（2023春•开江县校级期末）如图，在平行四边形ABCD中，分别以AB、AD为边向外作等边△ABE和等边△ADF，延长CB交AE于点G，点G在点A、E之间，连接CE、CF、EF，则以下四个结论，正确的是（）①△CDF≌△EBC；②∠CDF＝∠EAF；③CG⊥AE；④△CEF是等边三角形．A．③④ B．①②④ C．①②③ D．①②③④解：∵△ABE、△ADF是等边三角形，∴FD＝AD，BE＝AB，∵AD＝BC，AB＝DC，∴FD＝BC，BE＝DC，∵∠CBE＝∠FDC，∠FDA＝∠ABE，∴∠CDF＝∠EBC，∴△CDF≌△EBC（SAS），故①正确；∵∠FAE＝∠FAD+∠EAB+∠BAD＝60°+60°+（180°﹣∠CDA）＝300°﹣∠CDA，∠FDC＝360°﹣∠FDA﹣∠ADC＝300°﹣∠CDA，∴∠CDF＝∠EAF，故②正确；在等边三角形ABE中，∵等边三角形顶角平分线、底边上的中线、高和垂直平分线是同一条线段，∴如果CG⊥AE，则G是AE的中点，∠ABG＝30°，∠ABC＝150°，题目缺少这个条件，CG⊥AE不能求证，故③错误；同理①②可得：∠CBE＝∠EAF＝∠CDF，∵BC＝AD＝AF，BE＝AE，∴△EAF≌△EBC（SAS），∴∠AEF＝∠BEC，∵∠AEF+∠FEB＝∠BEC+∠FEB＝∠AEB＝60°，∴∠FEC＝60°，∵CF＝CE，∴△ECF是等边三角形，故④正确．故选：B．10．（2分）（2023春•沭阳县月考）如图，BD为平行四边形ABCD的对角线，∠DBC＝45°，DE⊥BC于点E，BF⊥CD于点F，DE、BF相交于点H，直线BF交线段AD的延长线于点G，下列结论：①CE＝BE；②∠A＝∠BHE；③AB＝BH；④∠BHD＝∠BDG；⑤BH2+BG2＝AG2．其中正确的结论有（）个．A．1 B．2 C．3 D．4解：∵∠DBC＝45°，DE⊥BC，∴△DEB是等腰直角三角形，∴BE＝DE，∵BF⊥CD，∴∠FHD+∠FDH＝90°，∵∠C+∠FDH＝90°，∴∠C＝∠FHD，∵∠C＝∠A，∠FHD＝∠BHE，∴∠A＝∠BHE，故②正确；在△BEH和△DEC中，，∴△BEH≌△DEC（AAS），∴EH＝EC，∵H不是DE的中点，∴BE＝DE≠2EC，故①错误；∵AB＝CD，BH＝CD，∴AB＝BH，故③正确；∵∠BHD＝90°+∠HBE，∠BDG＝90°+∠BDE，∵∠BDE＞∠HBE，∴∠BDG＞∠BHD，故④错误；∵BF⊥CD，AB∥CD，∴BF⊥AB，∴∠ABG＝90°，∴AB2+BG2＝AG2，∵AB＝BH，∴BH2+BG2＝AG2，故⑤正确．∴其中正确的结论有②③⑤，共3个．故选：C．二、填空题（本大题共10小题，每题2分，共20分．不需写出解答过程，请将正确答案填写在横线上）11．（2分）（2023秋•大埔县期中）如图，在△ABC中，∠ABC＝90°，点D是边AC的中点，若BD＝5，BC＝6，则AB＝8．解：∵∠ABC＝90°，点D是边AC的中点，BD＝5，∴AC＝2BD＝10，∵BC＝6，∴AB＝＝＝8，故答案为：8．12．（2分）（2023春•启东市期末）如图，将△ABC绕点A按逆时针方向旋转70°，得到△AED，连接BE，若AD∥BE，则∠CAE的度数为15．解：∵将△ABC绕点A按逆时针方向旋转70°，得到△AED，∴AB＝AE，∠BAC＝∠EAD，∠BAE＝70°，∴∠AEB＝＝55°，∵AD∥BE，∴∠EAD＝∠AEB＝55°，∴∠BAC＝55°，∴∠CAE＝∠BAE﹣∠BAC＝15°．故答案为：15．13．（2分）（2023春•朝阳区期中）如图，将平行四边形ABCO放置在平面直角坐标系xOy中，O为坐标原点，若点A的坐标是（8，0），点C的坐标是（2，6），则点B的坐标是（10，6）．解：∵四边形ABCD是平行四边形，∴OA＝BC，OA∥BC，∵A（8，0），∴OA＝BC＝8，∵C（2，6），∴B（10，6），故答案为：（10，6）14．（2分）（2023春•吉林期末）如图，在平面直角坐标系中，Rt△AOC的斜边OA在第一象限，过点A作AB⊥x轴于点B，若AB＝3，OB＝4，点E为OA的中点，则CE＝2.5．解：∵AB⊥x轴，∴∠ABO＝90°，∵AB＝3，OB＝4，∴OA＝＝＝5，在Rt△AOC中，点E为OA的中点，∴CE＝OA＝2.5，故答案为：2.5．15．（2分）（2023秋•郸城县期末）如图，在Rt△ABC中，∠ABC＝90°，∠ACB＝30°，AB＝2cm，E、F分别是AB、AC的中点，动点P从点E出发，沿EF方向匀速运动，速度为1cm/s，同时动点Q从点B出发，沿BF方向匀速运动，速度为2cm/s，连接PQ，设运动时间为ts（0＜t＜1），则当t＝2﹣或时，△PQF为等腰三角形．解：∵∠ABC＝90°，∠ACB＝30°，AB＝2cm，∴AC＝2AB＝4cm，BC＝＝2，∵E、F分别是AB、AC的中点，∴EF＝BC＝cm，BF＝AC＝2cm，由题意得：EP＝t，BQ＝2t，∴PF＝﹣t，FQ＝2﹣2t，分三种情况：①当PF＝FQ时，如图1，△PQF为等腰三角形．则﹣t＝2﹣2t，t＝2﹣；②如图2，当PQ＝FQ时，△PQF为等腰三角形，过Q作QD⊥EF于D，∴PF＝2DF，∵BF＝CF，∴∠FBC＝∠C＝30°，∵E、F分别是AB、AC的中点，∴EF∥BC，∴∠PFQ＝∠FBC＝30°，∵FQ＝2﹣2t，∴DQ＝FQ＝1﹣t，∴DF＝（1﹣t），∴PF＝2DF＝2（1﹣t），∵EF＝EP+PF＝，∴t+2（1﹣t）＝，t＝；③因为当PF＝PQ时，∠PFQ＝∠PQF＝30°，∴∠FPQ＝120°，而在P、Q运动过程中，∠FPQ最大为90°，所以此种情况不成立；综上，当t＝2﹣或时，△PQF为等腰三角形．故答案为：2﹣或．16．（2分）（2023春•雅安期末）如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，∠A＝30°，将△ABC绕点C逆时针旋转得到△A1B1C，点M是BC的中点，点N是A1B1的中点，连接MN，若AB＝12，则线段MN的最大值是9．解：连接CN，∵∠ACB＝90°，∠A＝30°，AB＝12，∴BC＝AB＝6，∵点M是BC的中点，∴CM＝CB＝3，由旋转得：∠ACB＝∠A1CB1＝90°，AB＝A1B1＝12，∵点N是A1B1的中点，∴CN＝A1B1＝6，∵MN≤CM+CN，∴MN≤9，∴线段MN的最大值是9，故答案为：9．17．（2分）（2023•徐州二模）如图，矩形ABCD中，AB＝4，AD＝3，点Q在对角线AC上，且AQ＝AD，连接DQ并延长，与边BC交于点P，则线段AP＝．解：∵矩形ABCD中，AB＝4，AD＝3＝BC，∴Rt△ACD中，AC＝＝5，又∵AQ＝AD＝3，AD∥CP，∴CQ＝5﹣3＝2，∠CQP＝∠AQD＝∠ADQ＝∠CPQ，∴CP＝CQ＝2，∴BP＝3﹣2＝1，∴Rt△ABP中，AP＝＝＝，故答案为：．18．（2分）（2023春•新罗区校级期中）如图，P为AB上任意一点，分别以AP、PB为边在AB同侧作正方形APCD、正方形PBEF，设∠CBE＝25°，则∠AFP的度数为65°．解：∵四边形PBEF为正方形，∴∠PBE＝90°，∵∠CBE＝25°，∴∠PBC＝90°﹣25°＝65°，∵四边形APCD、PBEF是正方形，∴AP＝CP，∠APF＝∠CPB＝90°，PF＝PB，在△APF和△CPB中，，∴△APF≌△CPB（SAS），∴∠AFP＝∠PBC＝65°．故答案为：65°．19．（2分）（2023秋•伊金霍洛旗期末）如图，在正方形ABCD中，AB＝3cm，延长BC到点E，使CE＝1cm，连接DE，动点P从点A出发，以每秒1cm的速度沿AB→BC→CD→DA向终点A运动．设点P的运动时间为t秒，当△PBC和△DCE全等时，t的值为2或7．解：∵△DCE是直角三角形，∴△PBC为直角三角形，∴点P只能在AB上或者CD上，当点P在AB上时，有BP＝CE，∴BP＝CE＝1，∴AP＝2，∴t＝2÷1＝2，当点P在CD上时，有CP＝CE＝1，∴t＝（3+3+1）÷1＝7，故答案为：2或7．20．（2分）（2022秋•乌鲁木齐期末）如图，在Rt△ABC中，∠B＝90°，AB＝3，BC＝4，把△ABC绕BC边的中点O旋转后得△DEF，若直角顶点E恰好落在AC边上，且DF边交AC边于点G，则△FCG的面积为．解：∵在Rt△ABC中，∠B＝90°，AB＝3，BC＝4，∴AC＝5，∵点O是BC边的中点，∴OC＝OB＝BC＝2，∵把△ABC绕BC边的中点O旋转后得△DEF，若直角顶点E恰好落在AC边上，∴CO＝FO＝BO＝OE＝2，∠DFE＝∠ACB，∠ABC＝∠DEF，AC＝DF，∴CO＝OE，∴∠ACB＝∠OEC，∴∠DFE＝∠CEF，∴FG＝EG，如图，连接BE，∵∠DFE+∠D＝∠FEG+∠GED＝90°，∠COF＝∠BOE，∴∠D＝∠DEG，△COF≌△BOE（SAS），∴EG＝DG，BE＝CF，∠FCO＝∠OBE，∴EG＝DF＝，∵CO＝BO＝OE＝BC，∴∠BEC＝90°，∴BE＝＝，∴CE＝，CF＝，∴CG＝CE﹣EG＝﹣＝，∵∠BEC＝90°，∴∠OBE+∠BCE＝90°，∴∠FCO+∠ACB＝90°，即∠FCG＝90°．∴S△FCG＝•FC•CG＝××＝．故答案为：．三、解答题（本大题共8小题，共60分．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤）21．（6分）（2023秋•朔州期中）如图，在△ABC中，∠B＝60°，AB＝3，将△ABC绕点A按逆时针方向旋转得到△ADE，若点B的对应点D恰好落在边BC上，求BD的长．解：由旋转得：AB＝AD＝3，∵∠B＝60°，∴△ABD是等边三角形，∴BD＝AB＝AD＝3，∴BD的长为3．22．（6分）（2023春•开江县校级期末）如图，将△ABC绕点A逆时针旋转60°得到△AEF，点E落在BC边上，EF与AC交于点G．（1）求证：△ABE是等边三角形；（2）若∠ACB＝28°，求∠FGC的度数．（1）证明：∵将△ABC绕点A逆时针旋转60°得到△AEF，∴AB＝AE，∠BAE＝60°，∴△ABE是等边三角形．（2）解：∵将△ABC绕点A逆时针旋转60°得到△AEF，∴∠BAE＝∠CAF＝60°，∠ACB＝∠AFE＝28°，∵∠FGC是△AGF的外角，∴∠FGC＝∠CAF+∠AFE＝88°．23．（8分）（2023春•渠县校级期末）如图，在平面直角坐标系内，已知△ABC的三个顶点坐标分别为A（1，3）、B（4，2）、C（3，4）．（1）将△ABC沿水平方向向左平移4个单位得△A1B1C1，请画出△A1B1C1；（2）画出△ABC关于原点O成中心对称的△A2B2C2；（3）若△A1B1C1与△A2B2C2关于点P成中心对称，则点P的坐标是（﹣2，0）解：（1）如图，△A1B1C1即为所求；（2）如图，△A2B2C2即为所求；（3）如图，点P的坐标是（﹣2，0）．故答案为：（﹣2，0）．24．（8分）（2023春•滨海县期中）在矩形ABCD中，AB＝6，BC＝8，E、F是对角线AC上的两个动点，分别从A、C同时出发相向而行，速度均为每秒1个单位长度，运动时间为t秒，其中0≤t≤10．（1）若G，H分别是AD，BC中点，则四边形EGFH一定是怎样的四边形（E、F相遇时除外）？答：四边形EGFH是平行四边形；（直接填空，不用说理）（2）在（1）条件下，若四边形EGFH为矩形，求t的值；（3）在（1）条件下，若G向D点运动，H向B点运动，且与点E，F以相同的速度同时出发，若四边形EGFH为菱形，求t的值．解：（1）∵四边形EGFH是平行四边形，理由如下：由题意得：AE＝CF＝t，∵四边形ABCD是矩形，∴AD∥BC，AD＝BC，∴∠GAE＝∠HCF，∵G，H分别是AD，BC中点，∴AG＝AD，CH＝BC，∴AG＝CH，∴△AEG≌△CFH（SAS），∴EG＝FH，∠AEG＝∠CFH，∴∠FEG＝∠EFH，∴EG∥HF，∴四边形EGFH是平行四边形；故答案为：四边形EGFH是平行四边形；（2）如图1，连接GH，由（1）得AG＝BH，AG∥BH，∠B＝90°，∴四边形ABHG是矩形，∴GH＝AB＝6，①如图1，当四边形EGFH是矩形时，∴EF＝GH＝6，∵AE＝CF＝t，∴EF＝10﹣2t＝6，∴t＝2；②如图2，当四边形EGFH是矩形时，∵EF＝GH＝6，AE＝CF＝t，∴EF＝t+t﹣10＝2t﹣10＝6，∴t＝8；综上，四边形EGFH为矩形时t＝2或t＝8；（3）如图3，M和N分别是AD和BC的中点，连接AH，CG，GH，AC与GH交于O，∵四边形EGFH为菱形，∴GH⊥EF，OG＝OH，OE＝OF，∴OA＝OC，AG＝AH，∴四边形AGCH为菱形，∴AG＝CG，设AG＝CG＝x，则DG＝8﹣x，由勾股定理可得：CD2+DG2＝CG2，即：62+（8﹣x）2＝x2，解得：x＝，∴MG＝﹣4＝，即t＝，∴当t＝时，四边形EGFH为菱形．25．（8分）（2022秋•新泰市期末）如图，在△ABC中，点D，E分别是AC，AB的中点，点F是CB延长线上的一点，且CF＝3BF，连接DB，EF．（1）求证：四边形DEFB是平行四边形：（2）若∠ACB＝90°，AC＝6cm，DE＝2cm，求四边形DEFB的面积．（1）证明：∵点D，E分别是AC，AB的中点，∴DE是△ABC的中位线，∴DE∥BC，BC＝2DE，∵CF＝3BF，∴BC＝2BF，∴DE＝BF，∴四边形DEFB是平行四边形；（2）解：由（1）得：DE＝BF＝2，∵D是AC的中点，AC＝6，∴CD＝AC＝3，∵∠ACB＝90°，∴四边形DEFB的面积＝BF•CD＝2×3＝6（cm2）．26．（8分）（2023春•鼎城区期末）如图，点E在正方形ABCD的边AB上，点F在边BC的延长线上，且AE＝CF．求证：（1）DE＝DF；（2）∠EDF＝90°．证明：（1）∵四边形ABCD是正方形，∴AD＝DC，∠A＝∠BCD＝90°，∴∠DCF＝180°﹣∠BCD＝90°，∴∠A＝∠DCF＝90°，∵AE＝CF，∴△DAE≌△DCF（SAS），∴DE＝DF；（2）∵四边形ABCD是正方形，∴∠ADC＝90°，∴∠ADE+∠EDC＝90°，∵△DAE≌△DCF，∴∠ADE＝∠CDF，∴∠CDF+∠EDC＝90°，∴∠EDF＝90°．27．（8分）（2023春•河源期末）已知△ABC是边长为6的等边三角形，点D是射线BC上的动点，将线段AD绕点D顺时针方向旋转60°得到线段DE，连接CE．（1）如图1，求证：CE＝BD；（2）如图2，当BD等于多少时，∠DEC＝30°．（1）证明：连接AE，∵△ABC是等边三角形∴AB＝AC，∠BAC＝60°，由旋转得：AD＝DE，∠ADE＝60°，∴△ADE是等边三角形，∴AD＝AE，∠DAE＝60°，∴∠BAC＝∠DAE＝60°，∴∠BAC﹣∠DAC＝∠DAE﹣∠DAC，∴∠BAD＝∠CAE，在△BAD和△CAE中，，∴△BAD≌△CAE（SAS），∴C