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第二章《平面向量及其应用》综合测评参考答案选择题题号1234567891011答案DDBABBDDACABCAD一、单项选择题(本大题共8小题,每小题5分,共40分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的)1.下列命题中正确的是()A.零向量没有方向 B.共线向量一定是相等向量C.若向量同向,且,则 D.单位向量的模都相等解:对于选项A,由零向量的定义知,零向量方向任意,所以选项A错误,对于选项B,当共线向量方向相反时,它们肯定不是相等向量,所以选项B错误,对于选项C,向量不能比较大小,所以选项C错误,对于选项D,单位向量的模长均为1个单位长,所以选项D正确,2.在四边形中,若,则四边形为()A.正方形 B.矩形 C.等腰梯形 D.菱形解:由,可得,即,则四边形为平行四边形;又由,可得,则平行四边形四边形为菱形3.已知向量.若,则实数()A.1 B. C.9 D.解:因为向量,且,得,得.4.在中,角的对边分别为,且,则等于()A.1 B. C.2 D.3解:由题意及余弦定理可得:,所以.5.已知非零向量,满足,且,则与的夹角为()A. B. C. D.解:由,所以,即,因为,设向量的夹角为,所以,所以.6.如图所示,在中,点在线段上,且,若,则()A. B. C.2 D.解:由向量的运算法则,可得,因为,所以,从而求得,7.已知,且满足,则在上的投影向量为()A B. C. D.解:因为,,所以在上的投影向量为.8.在中,角、、的对边分别为、、,且的面积,,则()A. B. C. D.解:的面积,,,则,,,,,,,,.二、多选题:本题共3小题,每小题6分,共18分.在每小题给出的选项中,有多项符合题目要求.全部选对的得6分,部分选对的得部分分,有选错的得0分.9.已知单位向量,,则使成立的充分条件是()A. B. C. D.解:因为,为单位向量,所以,若,则,即,即,所以或,则或,故使成立的充分条件可以是、.10.设平面向量,,()A.若,则 B.若,则C., D.,使解:A:当时,,故A正确;B:若,,,所以,所以,故B正确;C:,故C正确;D:若,则,等式不成立,故D错误.11.已知的三个内角的对边分别为,且,若角的平分线交于点,且,则下列结论正确的是()A. B.C.的最小值为2 D.的最小值为4解:对于AB,由,得到,又,所以,所以,即,又,所以,故选项A正确,选项B错误,对于CD,又角的平分线交于点,且,由,得到,即,得到,当且仅当时,取等号,所以选项C错误,选项D正确,三、填空题:本题共3小题,每小题5分,共15分.12.已知向量,,,若、、三点共线,则__________.解:已知向量,,,则,,因为、、三点共线,则,所以,,解得.13.在中,,,,则________.解:在中,,,,,.14.中,,,,O是的外心,若,则______.解:由题意可知,为的外心,设半径为r,在圆O中,过O作,垂足分别为,因为,两边乘以,即,的夹角为,而,则,得①,同理两边乘,即,,则,得②,①②联立解得,.四、解答题:本题共5小题,共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.15.已知向量,且与的夹角为.(1)求;(2)若与垂直,求实数的值.解:(1)因为,且与的夹角为,所以.因为,故,解得或(舍).所以,则.(2)因为,与垂直,所以,即,解得.16.如图,在平面四边形中,与互补,,(1)求的长;(2)求.解:(1)由题意,在中,根据余弦定理得:,;(2)因为且,,又与互补,则由正弦定理得:.17.如图,,分别是矩形的边和的中点,是线段上的一动点.(1)若,求:的值(要有计算过程);(2)设,试用,表示;(3)若,,是线段上的中点,求的值.解:(1)因为是线段上的一动点,设,则,又,和不共线,所以,所以.(2)因为,又,,所以,即,所以,所以.(3)因为,,所以,又,,所以.18.在中,内角A、B、C所对的边分别是a、b、c,已知,A为锐角.(1)求角A的大小;(2)在①的面积为,②,③这三个条件中任选一个补充在下面的横线上.问题:若,___________,求b、c的值.解:(1)∵,∴,∴,∴即,又A为锐角,∴,∴,即;(2)选①,的面积为,∴,∴,又,∴,,∴,又,解得;选②,,∴,即,又,∴,,∴,又,解得;选③,,∴,∴即,又,,∴.19.元向量()也叫维向量,是平面向量的推广,设为正整数,数集中的个元素构成的有序组称为上的元向量,其中为该向量的第个分量.元向量通常用希腊字母等表示,如上全体元向量构成的集合记为.对于,记,定义如下运算:加法法则,模公式,内积,设的夹角为,则.(1)设,解决下面问题:①求;②设与的夹角为,求;(2)对于一个元向量,若,称为维信号
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