抚州市2023-2024学年高考临考冲刺数学试卷含解析

抚州市2023-2024学年高考临考冲刺数学试卷

注意事项：

1.答题前，考生先将自己的姓名、准考证号码填写清楚，将条形码准确粘贴在条形码区域内。

2.答题时请按要求用笔。

3.请按照题号顺序在答题卡各题目的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效；在草稿纸、试卷上答题无效。

4.作图可先使用铅笔画出，确定后必须用黑色字迹的签字笔描黑。

5.保持卡面清洁，不要折暴、不要弄破、弄皱，不准使用涂改液、修正带、刮纸刀。

一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1.“完全数”是一些特殊的自然数，它所有的真因子（即除了自身以外的约数）的和恰好等于它本身.古希腊数学家毕

达哥拉斯公元前六世纪发现了第一、二个“完全数”6和28,进一步研究发现后续三个完全数”分别为496,8128,

33550336,现将这五个“完全数”随机分为两组，一组2个，另一组3个，则6和28不在同一组的概率为（）

2.若各项均为正数的等比数列｛%｝满足。3=3%+2%,贝！I公比4=（）

A.1B.2C.3D.4

22

3.已知双曲线?—我=1（6>0）的渐近线方程为瓜±y=0,则匕=（）

A.26B.73C.走D.473

2

4.已知某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积是（）

正（主）视图侧（左）视图

32

C.—D.32

3

5.设/U）是定义在R上的偶函数，且在（0,+oo）单调递减，则（)

34

A./(log30.3)>/(2-°-)>/(2-°-)B./(log30.3)>/(29)〉/(24)

3443

c./(2-°-)>/(2-°-)>/(log30.3)D./(2-°-)>/(2-°-)>/(log30.3)

1a

6.曲线y=§x3+2inx上任意一点处的切线斜率的最小值为()

3

A.3B.2C.-D.1

2

7.下列函数中，值域为R的偶函数是()

A.y=x~+\B.y—ex—eC.y=D.y=

8.点O在AABC所在的平面内，|OA|=|O3|=|oq,|AB|=2,|AC|=1,AO=+(4〃eR),且

,、

44-〃=2(〃#0),则IU岫LB'I=()

A.-B.且C.7D.yfl

32

9.中国古代中的“礼、乐、射、御、书、数”合称“六艺”.“礼”，主要指德育；“乐”，主要指美育；“射”和“御”，就是

体育和劳动；“书”，指各种历史文化知识；“数”，指数学.某校国学社团开展“六艺”课程讲座活动，每艺安排一节，连

排六节，一天课程讲座排课有如下要求：“数”必须排在第三节，且“射”和“御”两门课程相邻排课，贝！1“六艺”课程讲座

不同的排课顺序共有()

A.12种B.24种C.36种D.48种

10.如图所示，网格纸上小正方形的边长为1,粗线画出的是某多面体的三视图，则该几何体的各个面中最大面的面

积为()

A.—B.28C.8D.83

2

x2

11.设椭圆E：=l(a〉6〉0)的右顶点为A,右焦点为尸，B、。为椭圆上关于原点对称的两点，直线5F

b2

交直线AC于且“为AC的中点，则椭圆E的离心率是()

2111

A.-B.-C.一D.-

3234

12.已知函数/(x)=4\且关于x的方程/(%)+%-。=0有且只有一个实数根，则实数4的取值范围

Inx(x>0)

().

A.[0,+oo)B.(1,-H»)C.(0,+oo)D.[-oo,l)

二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。

13.已知〃eN*,满足C：+2C：+22盘++2"禺=243,贝！1(必+x+y)”的展开式中/产的系数为.

14.已知等边三角形ABC的边长为1.AM=2MB点N、T分别为线段BC、C4上的动点，则

ABNT+BCTM+CAMN取值的集合为•

15.函数/(x)=a/与g(x)=-x-1的图象上存在关于x轴的对称点，则实数”的取值范围为.

16.已知a",c分别为ABC内角C的对边，a=0，sinA=/，b=#，则ABC的面积为.

三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

17.(12分)已知｛%｝是等差数列，满足%=3,4=12,数列也｝满足4=4,4=20,且也—%｝是等比数

列.

(1)求数列｛。“｝和也｝的通项公式；

(2)求数列也｝的前〃项和.

18.(12分)为了整顿道路交通秩序，某地考虑将对行人闯红灯进行处罚.为了更好地了解市民的态度，在普通行人中

随机选取了200人进行调查，当不处罚时，有80人会闯红灯，处罚时，得到如表数据：

处罚金额X(单位：元)5101520

会闯红灯的人数y50402010

若用表中数据所得频率代替概率.

(1)当罚金定为10元时，行人闯红灯的概率会比不进行处罚降低多少？

(2)将选取的200人中会闯红灯的市民分为两类：A类市民在罚金不超过10元时就会改正行为；B类是其他市民.

现对A类与3类市民按分层抽样的方法抽取4人依次进行深度问卷，则前两位均为3类市民的概率是多少？

22

19.(12分)已知椭圆C：三+2=1(。〉5〉0)的两个焦点是小B，M(夜」)在椭圆C上，且|峥|+照月|=4,

。为坐标原点，直线/与直线平行，且与椭圆交于A,3两点.连接M4、MB与％轴交于点。，E.

(1)求椭圆C的标准方程；

（2）求证：［0D+0E］为定值.

20.（12分）已知椭圆。：±+口=1（。〉6〉0）与抛物线/=4x有共同的焦点，且离心率为也,设可，工分别是

a~厅2

A,3为椭圆的上下顶点

（1）求椭圆C的方程；

（2）过点（0,2）与x轴不垂直的直线/与椭圆。交于不同的两点当弦MN的中点P落在四边形耳人鸟3内（含

边界）时，求直线/的斜率的取值范围.

21.（12分）已知三棱锥P—A5C中，ABC为等腰直角三角形，AB=AC=LPB=PC<,设点E为K4中点，

点。为AC中点，点尸为P5上一点，且PF=2FB.

（1）证明：BD//平面CEF；

（2）若求直线CE与平面尸5c所成角的正弦值.

22.（10分）已知数列｛4｝满足4=2,4+1=2%+2"（"6河），其前"项和为S”.

（D通过计算会,我，去，猜想并证明数列｛4｝的通项公式；

⑵设数列也｝满足仇=1,心1=~^/（〃。*）,若数列｛cj是单调递减数列,

求常数，的取值范围.

参考答案

一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1、C

【解析】

先求出五个“完全数”随机分为两组，一组2个，另一组3个的基本事件总数为10,再求出6和28恰好在同一组

包含的基本事件个数，根据即可求出6和28不在同一组的概率.

【详解】

解：根据题意，将五个“完全数”随机分为两组，一组2个，另一组3个，

则基本事件总数为C；=10,

则6和28恰好在同一组包含的基本事件个数=4,

10-43

.•.6和28不在同一组的概率P=.

故选：C.

【点睛】

本题考查古典概型的概率的求法，涉及实际问题中组合数的应用.

2、C

【解析】

由正项等比数列满足为=34+2/，即。"=3卬+20小又。尸0,即d一2q—3=0,运算即可得解.

【详解】

解：因为%=3q+2a2,所以q/=3%+2%q,又q/0,所以「-2q-3=0,

又q>0,解得q=3.

故选：C.

【点睛】

本题考查了等比数列基本量的求法，属基础题.

3、A

【解析】

22r

根据双曲线方程土-5=1(6>0),确定焦点位置，再根据渐近线方程氐±y=0得到」=百求解.

4b2a

【详解】

22

因为双曲线上—当=1(Z?>0),

4b2

所以a=2,又因为渐近线方程为6x±y=0,

所以2=2=6,

a2

所以b=26.

故选：A.

【点睛】

本题主要考查双曲线的几何性质，还考查了运算求解的能力，属于基础题.

4、A

【解析】

根据三视图，还原空间几何体，即可得该几何体的体积.

【详解】

由该几何体的三视图，还原空间几何体如下图所示：

可知该几何体是底面在左侧的四棱锥，其底面是边长为4的正方形，高为4,

164

^V=-x(4x4)x4=y.

故选：A

【点睛】

本题考查了三视图的简单应用，由三视图还原空间几何体，棱锥体积的求法，属于基础题.

5、D

【解析】

利用/(%)是偶函数化简/(log30.3),结合/(九)在区间(0,+“)上的单调性，比较出三者的大小关系.

【详解】

/(X)是偶函数，/(log30.3)=/(—Iog35)=川骑了)，

3

而log3y>l>2-°->2心>0,因为/(元)在(0,+8)上递减，

t,304

.••/(log3y)</(2-)</(2-),

即J(log3O3)</(2")</(2<4).

故选:D

【点睛】

本小题主要考查利用函数的奇偶性和单调性比较大小，属于基础题.

6、A

【解析】

根据题意，求导后结合基本不等式，即可求出切线斜率Z23,即可得出答案.

【详解】

解：由于y=§d+2in%,根据导数的几何意义得：

k=f'(x]=x2+—=x2+—+—>3^x2­—•—=3(x>0),

XXX\XX

即切线斜率左23,

当且仅当x=l等号成立，

1,

所以y=+21nx上任意一点处的切线斜率的最小值为3.

故选：A.

【点睛】

本题考查导数的几何意义的应用以及运用基本不等式求最值，考查计算能力.

7、C

【解析】

试题分析：A中，函数为偶函数，但不满足条件；B中，函数为奇函数，不满足条件；C中，函数为偶函数且

yeR,满足条件；D中，函数为偶函数，但>20,不满足条件，故选C.

考点：1、函数的奇偶性；2、函数的值域.

8、D

【解析】

54

确定点。为AABC外心，代入化简得到％4=彳，再根据5C=AC—A3计算得到答案.

63

【详解】

由|。4卜|。@=|0。|可知，点0为AABC外心，

•一1-2一一1.21

则AJB,A0=5AJB=2,AC,AO——AC=—,又AO=XAB+4AC,

'2

AO-AB=AAB+/zAC-AB=4A+ptAC-AB=2,

所以21①

AO-AC=AAB-AC+piAC=AAB-AC+//=—,

因为4X-〃=2,②

54

联立方程①②可得％4=7，ABAC=-b因为3C=AC—A5，

63

所以BC?nAC?+AB?—2AC-AB=7，即，。卜疗。

故选：D

【点睛】

本题考查了向量模长的计算，意在考查学生的计算能力.

9、C

【解析】

根据“数”排在第三节，贝!1“射”和“御”两门课程相邻有3类排法，再考虑两者的顺序，有延=2种，剩余的3门全排列,

即可求解.

【详解】

由题意，“数”排在第三节，贝!]“射”和“御”两门课程相邻时，可排在第1节和第2节或第4节和第5节或第5节和第6

节，有3种，再考虑两者的顺序，有用=2种，

剩余的3门全排列，安排在剩下的3个位置，有A；=6种，

所以“六艺”课程讲座不同的排课顺序共有3x2x6=36种不同的排法.

故选：C

【点睛】

本题主要考查了排列、组合的应用，其中解答中认真审题，根据题设条件，先排列有限制条件的元素是解答的关键，

着重考查了分析问题和解答问题的能力，属于基础题.

10、B

【解析】

根据三视图可以得到原几何体为三棱锥，且是有三条棱互相垂直的三棱锥，根据几何体的各面面积可得最大面的面积.

【详解】

解：分析题意可知，如下图所示，

该几何体为一个正方体中的三棱锥A-BCD,

最大面的表面边长为2^/2的等边三角形ABC,

故其面积为电(20)2=273,

4

故选B.

【点睛】

本题考查了几何体的三视图问题，解题的关键是要能由三视图解析出原几何体，从而解决问题.

11、C

【解析】

OF1c1

连接OM,为AABC的中位线，从而△OKI/AAFB,且二l=彳，进而——=—,由此能求出椭圆的离心

FA2a-c2

率.

【详解】

如图，连接

椭圆E：二+亡l(a〉6〉0)的右顶点为4,右焦点为尸,

/b2

5、C为椭圆上关于原点对称的两点，不妨设3在第二象限,

直线8尸交直线AC于M,且M为AC的中点

•••O”为AA5C的中位线，

\OF\1

AOFMAAFB,且七十二，

\FA\2

c_1

••一9

a-c2

c1

解得椭圆E的离心率e=—=；；.

a3

故选：C

【点睛】

本题考查了椭圆的几何性质，考查了运算求解能力，属于基础题.

12、B

【解析】

根据条件可知方程/(x)+x-。=0有且只有一个实根等价于函数v=/(%)的图象与直线V=-只有一个交点,

作出图象，数形结合即可.

【详解】

解：因为条件等价于函数y=/(x)的图象与直线y=—只有一个交点，作出图象如图，

由图可知，<2>1,

故选：B.

【点睛】

本题主要考查函数图象与方程零点之间的关系，数形结合是关键，属于基础题.

二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。

13、1

【解析】

根据二项式定理求出n,然后再由二项式定理或多项式的乘法法则结合组合的知识求得x系数.

【详解】

由题意C；+2C：+224++2”C；=(l+2)"=243,n=5.

：.(x2+x+'I的展开式中x5y2的系数为ClCj=30.

故答案为：L

【点睛】

本题考查二项式定理，掌握二项式定理的应用是解题关键.

14、{-6}

【解析】

根据题意建立平面直角坐标系,设三角形各点的坐标，依题意求出NT，TM，又N,的表达式，再进行数量积的运算,最后求

和即可得出结果.

【详解】

解：以的中点。为坐标原点,所在直线为x轴,线段BC的垂直平分线为V轴建立平面直角坐标系，如图所示，

则A(0,网,5(—1,0),C(l,0),M

则=百)避=(2,0),C4=(-l6),

设N(f,0),ATAAC,

OT=OA+AT=OA+XAC=(Q,43)+^(1,-^)=(2,^(1-2)),

即点T的坐标为(2,73(1-2)),

/2^-73(l-2)lw=p+|,-^

则NT=(2_/,6(l_；l)),77Vf=------A

(33)k33J

所以ABNT+BCTM+CAMN

)x#-6(1-2)+

=-lx(2-f)+(-A/3)xA/3(l-2)+2x^-1-2^+(

(-l)xf+|+

故答案为：{-6}

本题考查平面向量的坐标表示和线性运算，以及平面向量基本定理和数量积的运算，是中档题.

15>a<\

【解析】

先求得与g(x)关于X轴对称的函数h(x)=x+l,将问题转化为f(x)=ae'与h(x)=x+l的图象有交点，即方程

aex=x+l有解.对。分成a=0,a<0,a>0三种情况进行分类讨论，由此求得实数a的取值范围.

【详解】

因为g(x)=1关于x轴对称的函数为h(x)=x+l,因为函数/«=ae1与g(x)=-x-l的图象上存在关于x轴的

对称点，所以〃x)=ae*与〃(x)=x+l的图象有交点，方程03=工+1有解.

a=0时符合题意.

。/0时转化为/=工(％+1)有解，即〉=二，y=^(x+l)的图象有交点，y=^(x+l)是过定点(—1,0)的直线，其

aaa

斜率为工，若。<0,则函数y=e'与y=L(x+l)的图象必有交点，满足题意；若。>0,设>=/,y=4(x+l)相

aaa

.e7_1

切时，切点的坐标为贝！Jm+1a,解得a=L切线斜率为2=1,由图可知，当即0<aWl时，

1aa

em=—

、a

y=e”，y=，(x+l)的图象有交点，此时，/(x)=ae*-x?与/z(x)=-f+》+1的图象有交点，函数/(%)=恁*一f

a

与g(x)=f—x-1的图象上存在关于左轴的对称点，综上可得，实数。的取值范围为aWl.

故答案为：a<l

【点睛】

本小题主要考查利用导数求解函数的零点以及对称性，函数与方程等基础知识，考查学生分析问题，解决问题的能力,

推理与运算求解能力，转化与化归思想和应用意识.

16、V2

【解析】

根据题意，利用余弦定理求得c=2,再运用三角形的面积公式即可求得结果.

【详解】

解：由于a=sinA->b=R,

a<b>••A<B>cosA=-，

3

由余弦定理得逅=匕工二二，解得c=2,

32bc

ABC的面积S=LX2X#X《I=0.

23

故答案为：、历.

【点睛】

本题考查余弦定理的应用和三角形的面积公式，考查计算能力.

三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

3

、1

17(1)dn—3n{n—1,2,••),bn=3n+2"(n=1,2,■)；(2)—n{n+1)+2"-1

【解析】

试题分析：(1)利用等差数列，等比数列的通项公式先求得公差和公比，即得到结论；(2)利用分组求和法，由等差

数列及等比数列的前n项和公式即可求得数列也J前n项和.

试题解析：

(I)设等差数列｛an｝的公差为d,由题意得

d=.---?-l=———-=1.an=ai+(n-1)d=ln

33

设等比数列｛bn-an｝的公比为q,则

nlnn1

bn-an=(bi-ai)q=2-1,.\bn=ln+2

(II)由(I)知bn=ln+2ni,•.•数列｛In｝的前n项和为*(n+1),

1-严

数列｛2n-1｝的前n项和为lx；二=2n

•••数列｛bn｝的前n项和为；■域〃+1)+2”-1

考点：1.等差数列性质的综合应用；2.等比数列性质的综合应用；1.数列求和.

18、(1)降低一(2)—

56

【解析】

(1)计算出罚金定为10元时行人闯红灯的概率，和不进行处罚时行人闯红灯的概率，求解即可;

(2)闯红灯的市民有80人，其中A类市民和3类市民各有40人，根据分层抽样法抽出4人依次排序，计算所求的

概率值.

【详解】

401

解：(1)当罚金定为10元时，行人闯红灯的概率为荻=3；

on9

不进行处罚，行人闯红灯的概率为右=一；

2005

211

所以当罚金定为10元时，行人闯红灯的概率会比不进行处罚降低《-§=不；

(2)由题可知，闯红灯的市民有80人，A类市民和3类市民各有40人

故分别从A类市民和3类市民各抽出两人，4人依次排序

记A类市民中抽取的两人对应的编号为L2,3类市民中抽取的两人编号为3,4

则4人依次排序分别为(1,2,3,4),(1,2,4,3),(1,3,2,4),次,3,4,2),(1,4,3,2),(1,4,2,3),(2,1,3,4),(2,1,4,3),

(2,3,1,4),(2,3,4,1),(2,4,1,3),(2,4,3,1),(3,1,2,4),(3,1,4,2),(3,2,1,4),(3,2,4,1),(3,4,1,2),(3,4,2,1),

(4,1,2,3),(4,1,3,2),(4,2,1,3),(4,2,3,1),(4,3」,2),(4,3,2,1),共有24种

前两位均为3类市民排序为(341,2),(3,421),(4,3,1,2),(4,3,2,1),有4种，所以前两位均为3类市民的概率是

—

246

【点睛】

本题主要考查了计算古典概型的概率，属于中档题.

22

19、(1)—+2_=1(2)证明见解析

42

【解析】

(1)根据椭圆的定义可得。=2,将"代入椭圆方程，即可求得万的值，求得椭圆方程；

(2)设直线的方程，代入椭圆方程，求得直线和MB的方程，求得。和E的横坐标，表示出根

据韦达定理即可求证+。石|为定值.

【详解】

(1)因为|咋|+9阊=4,由椭圆的定义得2a=4,a=2,

点/(a』)在椭圆C上，代入椭圆方程，解得尸=2,

22

所以。的方程为三+上=1；

42

(2)证明：设A(wx),B(x2,y2),直线AB的斜率为乎，设直线/的方程为y=^x+/,

y=----x-^-t

联立方程组，2,,消去y,整理得夜观+/—2=0，

工+乙=1

I42

所以玉+%2=—J5,9项％2=%—2,

直线的直线方程为yT="1sL卜一四)，令y=0,则x»=—口^+0,

同理4=—三二走+行，

y2T

正+后一土正+行=2啦—

所以：|OD+OE/

=2s/2

(%-1)(%-1)

=2>/2

(%-1)(%T)

代入整理得|。0+0@=20，

所以|OD+OE］为定值.

【点睛】

本小题主要考查椭圆标准方程的求法，考查直线和椭圆的位置关系，考查椭圆中的定值问题，属于中档题.

20、(1)—+/=1(2)左21+亚或左<—1—逅

222

【解析】

(1)由已知条件得到方程组，解得即可;

(2)由题意得直线的斜率存在，设直线方程为y=^+2,M(x“yJ,N(X2，%),联立直线与椭圆方程，消元、列出韦达定理,

由/>0得到左2的范围，设弦MN中点坐标为P(x。,%)则%=土产,%=看7>0,所以P在X轴上方，只需

%一为+120

位于AA^E,内(含边界)就可以，即满足।八，得到不等式组，解得即可；

【详解】

解：(1)由已知椭圆右焦点坐标为(1,0),离心率为丰,a—y/2

b-1

所以椭圆的标准方程为

(2)由题意得直线的斜率存在，设直线方程为1=辰+2,河(知乂),7(尤2，%)

x2+2/=2,,8k6

联立《“，消元整理得(2/+1)12+8履+6=0,：i+%=一^710X2=^pP

y=kx+27

3

由A=64左2—4(2左2+1)x6〉0,解得上2>5

设弦MN中点坐标为P(x°,y).­.x=%产,％=—1—

00>0,

乙乙K十J.

所以P在X轴上方，只需位于AA耳心内（含边界）就可以,

x-y+l>O2左2一4左一INO

即满足＜oo即,

jo+yo-l<O2F+4I20

解得出+当或g1*

【点睛】

本题考查了椭圆的定义标准方程及其性质，直线与椭圆的综合应用，考查了推理能力与计算能力，属于中档题.

21、（1）证明见解析；（2）叵

6

【解析】

（1）连接交CE于G点，连接bG,通过证3D//FG,并说明FGu平面C即，来证明班＞//平面CEF

（2）采用建系法以A3、AC.AP所在直线分别为x、y、z轴建立空间直角坐标系A-孙z,分别表示出对应的

点8,C,P,E坐标，设平面尸5c的一个法向量为拓=（%y,z）,结合直线对应的CE和法向量〃，利用向量夹角的余

弦公式进行求解即可

【详解】

（1）证明：如图，

连接PD交CE于G点，连接产G,点E为？A的中点，点。为AC的中点,

二点G为AR4C的重心，则PG=2GD,PF=2FB,：.FG/!BD,

又FGu平面CEF,BDU平面CEF,;.BD//平面CEF；

（2）AB=AC,PB=PC,PA=PA,:.APAB=APAC,

PA±AC,:.PA±AB,可得B4=2,又ABLAC,

则以AB、AC.AP所在直线分别为x、y、z轴建立空间直角坐标系A-孙z,

则A(0,0,0),B(1,0,0),C(0,1,0),P(0,0,2),石(0,0,1)

B