2024届浙江省绍兴一中高考临考冲刺数学试卷含解析

2024届浙江省绍兴一中高考临考冲刺数学试卷

注意事项

1.考生要认真填写考场号和座位序号。

2.试题所有答案必须填涂或书写在答题卡上，在试卷上作答无效。第一部分必须用2B铅笔作答；第二部分必须用黑

色字迹的签字笔作答。

3.考试结束后，考生须将试卷和答题卡放在桌面上，待监考员收回。

一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1.以下关于/（x）=sin2x—cos2x的命题，正确的是

A.函数/（九）在区间上单调递增

B.直线x=J需是函数y=/（x）图象的一条对称轴

O

C.点7,0是函数y=/（x）图象的一个对称中心

D.将函数y=/（x）图象向左平移需£个单位，可得到y=JIsin2x的图象

8

2.已知随机变量。满足。（。.=左）=仁（1—°,广°：,，=1,2,左=0,1,2.若g<p]<p2<l,则（）

A.E信）<E催），O«）<Z?«2）B.E（—<E㈤,D信）>D值）

C.E信）〉E体），。信）但）D.E信）〉E催），。信）>。仁）

3.三棱锥S-A5C的各个顶点都在求。的表面上，且AABC是等边三角形，底面ABC,四=4,AB=6,

若点。在线段&4上，且AD=2SD,则过点。的平面截球。所得截面的最小面积为（）

A.3兀B.4万C.8万D.13%

4.执行如图所示的程序框图，则输出S的值为（）

A.16B.48C.96D.128

5.某四棱锥的三视图如图所示，记S为此棱锥所有棱的长度的集合，则（）

俯视图

A.2叵eS,且2艮S

B.242^S,且2艮S

C.272eS,且2岛S

D.272eS,且2石eS

6.甲、乙、丙、丁四位同学利用暑假游玩某风景名胜大峡谷，四人各自去景区的百里绝壁、千丈瀑布、原始森林、远

古村寨四大景点中的一个，每个景点去一人.已知：①甲不在远古村寨，也不在百里绝壁；②乙不在原始森林，也不

在远古村寨；③“丙在远古村寨”是“甲在原始森林”的充分条件；④丁不在百里绝壁，也不在远古村寨.若以上语句都

正确，则游玩千丈瀑布景点的同学是（）

A.甲B.乙C.丙D.丁

7.设某大学的女生体重y（单位：kg）与身高x（单位：cm）具有线性相关关系，根据一组样本数据（与，yi）（i=L

2,n）,用最小二乘法建立的回归方程为夕=0.85x-85.71,则下列结论中不正确的是

A.y与x具有正的线性相关关系

B.回归直线过样本点的中心(元，歹)

C.若该大学某女生身高增加1cm,则其体重约增加0.85kg

D.若该大学某女生身高为170cm,则可断定其体重比为58.79kg

8.已知数列｛4｝的前几项和为S“，且(S“+l)(S〃+2+l)=(S〃M+l)2(〃eN*),6=1,g=2,贝！JSn=()

n(n+l)1i

A.二----LB.2C.2n-1D.2+1

2~

x>0

9.若x,y满足约束条件x+y-320,贝Uz=x+2y的取值范围是

x-2y<0

A.[0,6]B.[0,4]C.[6,+oo)D.[4,+oo)

10.以下两个图表是2019年初的4个月我国四大城市的居民消费价格指数(上一年同月=100)变化图表，则以下说

法错误的是()

图表一图表二

(注：图表一每个城市的条形图从左到右依次是1、2、3、4月份；图表二每个月份的条形图从左到右四个城市依次是

北京、天津、上海、重庆)

A.3月份四个城市之间的居民消费价格指数与其它月份相比增长幅度较为平均

B.4月份仅有三个城市居民消费价格指数超过102

C.四个月的数据显示北京市的居民消费价格指数增长幅度波动较小

D.仅有天津市从年初开始居民消费价格指数的增长呈上升趋势

11.设anlogoosOQ'b=log030.2,C=0.3°04,则。、b、。的大小关系为()

A.c>b>aB.a>b>cC.b>c>aD.b>a>c

12.“中国剩余定理”又称“孙子定理”，最早可见于中国南北朝时期的数学著作《孙子算经》卷下第二十六题，叫做“物

不知数”，原文如下：今有物不知其数，三三数之剩二，五五数之剩三，七七数之剩二.问物几何？现有这样一个相关

的问题：将1到2020这2020个自然数中被5除余3且被7除余2的数按照从小到大的顺序排成一列，构成一个数列,

则该数列各项之和为（）

A.56383B.57171C.59189D.61242

二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。

13.数列｛4｝的前“项和为S"，数列｛"｝的前”项和为7"，满足q=2,3Sn=（«+m）«neN*,me7?）,且

anbn=〃+1.若任意〃eN*，成立，则实数2的取值范围为.

14.在长方体ABC。—4片£。中，AD=3,AA=A5=4,则异面直线A啰与AC所成角的余弦值为（）

,V2„2「2&n4

A•-------Jt>••----------\J•

5555

x-y+1..0,

15.已知实数x,丁满足约束条件hx-y-3,,0,则z=2x+y的最大值为.

y.0,

16.在正方体ABC。-A4G2中，已知点P在直线A8]上运动，则下列四个命题中：①三棱锥。的体积不

变;②。P，pc；③当尸为AA中点时，二面角P-4G-C的余弦值为F；④若正方体的棱长为2,则\DP\+\BP\

的最小值为&+4及；其中说法正确的是（写出所有说法正确的编号）

三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

17.（12分）已知数列｛4｝满足对任意〃eN*都有2。,什1=。"+。”+2,其前九项和为S“，且邑=49,%是由与%3的等

比中项，%〈。2.

（1）求数列也｝的通项公式%;

（2）已知数列也｝满足a=2小，设数列｛g｝的前〃项和为7“，求”二型大于1000的最小的正整数”

671-5

的值.

18.（12分）已知函数/'（x）=e"—x（aeR,e为自然对数的底数），g（x）=lnx+mx+l.

（1）若/（%）有两个零点，求实数”的取值范围；

⑵当a=l时，（尤）+%]»g（x）对任意的xe（O,”）恒成立，求实数机的取值范围.

4—x

19.（12分）已知函数/（x）=ln——+（2—。）（九一1）.

x

（1）当〃=1时.

①求函数fM在（2J（2））处的切线方程;

②定义s“=/(-)+/(-)++/(牝当其中〃eN*,求邑020；

nnn

(2)当a。2时，设/(x)=/(x)-ln(4x—^2),g(%)=泥修(0为自然对数的底数)，若对任意给定的％e(0,e],在

(0,e]上总存在两个不同的毛(1=1,2),使得ra)=g(%)成立，求。的取值范围.

20.(12分)记数列｛4｝的前几项和为S“，已知2〃，4,25“-4成等差数列(册川1).

(1)证明：数列｛4+1｝是等比数列，并求｛。,,｝的通项公式；

(2)记2=乌色数列也｝的前n项和为T„,求7“.

anan+l

22

21.(12分)椭圆石：=+3=1(。〉6〉1)的左、右焦点分别为耳,鸟，椭圆E上两动点RQ使得四边形为

ab

平行四边形，且平行四边形PF。2的周长和最大面积分别为8和2如.

(1)求椭圆E的标准方程；

(2)设直线尸旦与椭圆E的另一交点为当点耳在以线段为直径的圆上时，求直线尸工的方程.

x=t[x=cos6

22.(10分)已知直线/：\rr。为参数)，曲线G：1.八(。为参数).

)=一13+臼[y=smg

(1)设/与G相交于A，B两点,求|人却；

(2)若把曲线G上各点的横坐标压缩为原来的,倍，纵坐标压缩为原来的走倍，得到曲线。2,设点P是曲线C上

22

的一个动点，求它到直线/距离的最小值.

参考答案

一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1、D

【解析】

利用辅助角公式化简函数得到/(x)=J，sin(2x-2),再逐项判断正误得到答案.

【详解】

/(x)=sin2x-cos2x=42sin(2x-?)

/g、1a

A选项，xe[0,：-]=>2x-丁e(-丁函数先增后减，错误

I3J4412

B选项，x=gn2x-f=0不是函数对称轴，错误

84

C选项，x=-^2x--=~,不是对称中心，错误

444

D选项，图象向左平移需二个单位得到y=0sin(2(x+K)-')=J^sin2x,正确

8'84

故答案选D

【点睛】

本题考查了三角函数的单调性，对称轴，对称中心，平移，意在考查学生对于三角函数性质的综合应用，其中化简三

角函数是解题的关键.

2、B

【解析】

根据二项分布的性质可得：E($)=P1,D(0)=p.(1-0J,再根据；<pi<p2<1和二次函数的性质求解.

【详解】

因为随机变量。满足P偿=左)=/(1—pj2Ts,，=L2，左=0/，2.

所以5服从二项分布，

由二项分布的性质可得：E仔)=Pi,D(0)=巧(1一2),

因为;<Pi<必<1，

所以E信)<E^),

由二次函数的性质可得：/(%)=x(l-x),在pl上单调递减,

所以。(4)>D值).

故选：B

【点睛】

本题主要考查二项分布的性质及二次函数的性质的应用，还考查了理解辨析的能力，属于中档题.

3、A

【解析】

由题意画出图形，求出三棱锥S-ABC的外接球的半径，再求出外接球球心到。的距离，利用勾股定理求得过点。的

平面截球。所得截面圆的最小半径，则答案可求.

【详解】

如图，设三角形A5C外接圆的圆心为G,则外接圆半径AG=gx3右=2白，

设三棱锥S-ABC的外接球的球心为0,则外接球的半径R=仙可+2。=4

取SA中点E,由SA=4,AD^SD,得OE=1,

所以OD="2历+F=713.

则过点D的平面截球O所得截面圆的最小半径为"一(啊2=@

所以过点D的平面截球0所得截面的最小面积为".(退了=3兀

故选：A

【点睛】

本题考查三棱锥的外接球问题，还考查了求截面的最小面积，属于较难题.

4、B

【解析】

列出每一次循环，直到计数变量i满足,•>3退出循环.

【详解】

第一次循环：S=2i(l+l)=4,i=2；第二次循环：5=4+22(1+2)=16,7=3；

第三次循环：S=16+23(l+3)=48,i=4,退出循环，输出的S为48.

故选：B.

【点睛】

本题考查由程序框图求输出的结果，要注意在哪一步退出循环，是一道容易题.

5、D

【解析】

如图所示：在边长为2的正方体ABCD-4gGR中，四棱锥G-ABCD满足条件，故S={2,20,20},得到答

案.

【详解】

如图所示：在边长为2的正方体ABCD-44GA中，四棱锥G-ABCD满足条件.

故AB=BC=CD=AD=CC]=2,Bq=Dq=2逝,AC—8

故5={2,20,2百},故20eS,2/eS.

故选：D.

【点睛】

本题考查了三视图，元素和集合的关系，意在考查学生的空间想象能力和计算能力.

6、D

【解析】

根据演绎推理进行判断.

【详解】

由①②④可知甲乙丁都不在远古村寨，必有丙同学去了远古村寨，由③可知必有甲去了原始森林，由④可知丁去了千

丈瀑布，因此游玩千丈瀑布景点的同学是丁.

故选：D.

【点睛】

本题考查演绎推理，掌握演绎推理的定义是解题基础.

7、D

【解析】

根据y与x的线性回归方程为y=0.85x-85.71,贝!!

*b=0.85>0,y与x具有正的线性相关关系，A正确；

回归直线过样本点的中心(尺?)，B正确；

该大学某女生身高增加1cm,预测其体重约增加0.85kg,C正确；

该大学某女生身高为170cm,预测其体重约为0.85x170-85.71=58.79kg,D错误.

故选D.

8、C

【解析】

根据已知条件判断出数列｛S,,+1｝是等比数列，求得其通项公式，由此求得s”.

【详解】

由于(S〃+1)(S〃+2+1)=(S〃+I+1)25GN*),所以数列电+1｝是等比数列，其首项为S]+1=%+1=2,第二项为

4

52+1=4+4+1=4,所以公比为,=2.所以S,,+1=2",所以S，=2"-1.

故选：C

【点睛】

本小题主要考查等比数列的证明，考查等比数列通项公式，属于基础题.

9、D

【解析】

'x)0

解：X、y满足约束条件、x+y-3>o,表示的可行域如图：

x-2y40

目标函数z=x+2y经过C点时，函数取得最小值，

由卜解得C(2,1),

(x-2y=0

目标函数的最小值为：4

目标函数的范围是[4,+oo).

故选D.

)1

10、D

【解析】

采用逐一验证法，根据图表，可得结果.

【详解】

A正确，从图表二可知，

3月份四个城市的居民消费价格指数相差不大

B正确，从图表二可知，

4月份只有北京市居民消费价格指数低于102

C正确，从图表一中可知，

只有北京市4个月的居民消费价格指数相差不大

D错误，从图表一可知

上海市也是从年初开始居民消费价格指数的增长呈上升趋势

故选：D

【点睛】

本题考查图表的认识，审清题意，细心观察，属基础题.

11、D

【解析】

2021=0

因为a=log0080.04=210go080-=log师>1°g厮>b=log030.2>log031=0,

所以工=log。，7a08,y=log。，0.3且y=log02x在（0,+。）上单调递减，且疝丽<0,3

ab

所以一>7，所以

ab

又因为〃=log^^0.2>=1,c=O.3004<0.3°=19所以

所以

故选：D.

【点睛】

本题考查利用指对数函数的单调性比较指对数的大小，难度一般.除了可以直接利用单调性比较大小，还可以根据中间

值“0,1”比较大小.

12、C

【解析】

根据“被5除余3且被7除余2的正整数”，可得这些数构成等差数列，然后根据等差数列的前〃项和公式，可得结果.

【详解】

被5除余3且被7除余2的正整数构成首项为23,

公差为5x7=35的等差数列，记数列{?}

贝!|an=23+35(zz-l)=35/z-12

2

令4=35〃-12W2020,解得味.

故该数列各项之和为58x23+哭卫x35=59189.

2

故选：C

【点睛】

本题考查等差数列的应用，属基础题。

二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。

13、X<—

2

【解析】

an+1

当〃..2时，a〃=S〃-Sn_],可得到工=.,再用累乘法求出册，再求出力,根据定义求出《，再借助单调性求

a

n-\几一1

解.

【详解】

解：当〃=1时，3R=(1+机)％=34，则根=2,3Sn=(n+2)an,

当人.2时,3sl=(r+1)〃1，

3%=(〃+2)an-(〃+1)%,

①〃+1

•〃a2a34_345nn+1,

..C1n—%•—♦—...---=2x—x—x—...------•------=n(n+1).

4“2a〃-1123n-2n-19

7n+\1

■-bn=-=-,

an«

11

----------1----------（当且仅当〃=1时等号成立）,

n+1n+2

二4,—,

2

故答案为：f-00,—

【点睛】

本题主要考查已知s“求劣,累乘法，主要考查计算能力，属于中档题.

14、C

【解析】

根据A.B//C，确定ZACR是异面直线与AC所成的角，利用余弦定理计算得到答案.

【详解】

由题意可得AC=AD]=5,4笈=。=4/•因为AB//CA，

所以ZAC.是异面直线48与AC所成的角，记为

3_25+32-25_2&

故cos6-

2ACCD,-2x5x4五一5

故选：C.

B

【点睛】

本题考查了异面直线夹角，意在考查学生的空间想象能力和计算能力.

15、1

【解析】

作出约束条件表示的可行域，转化目标函数z=2x+y为y=-2x+z,当目标函数经过点(2,3)时，直线的截距最大,

取得最大值，即得解.

【详解】

作出约束条件表示的可行域

是以4(2,3),B(-1,O),C(1,O),为顶点的三角形及其内部，

转化目标函数z=2x+y为y=-2x+z

当目标函数经过点(2,3)时，直线的截距最大

此时z=2x2+3=7取得最大值1.

故答案为：1

【点睛】

本题考查了线性规划问题，考查了学生转化划归，数形结合，数学运算能力，属于基础题.

16、①②④

【解析】

①•••ABJ/DG，二A耳〃平面D8C],得出AB1上任意一点到平面DSC；的距离相等，所以判断命题①；

②由已知得出点尸在面。CG2上的射影在。C上，根据线面垂直的判定和性质或三垂线定理，可判断命题②；

③当P为A用中点时，以点O为坐标原点，建立空间直角系。-盯z,如下图所示，运用二面角的空间向量求解方法

可求得二面角P-C的余弦值，可判断命题③；

④过A片作平面A4”交4。于点以，做点。关于面A4M对称的点G,使得点G在平面A344内，根据对称

性和两点之间线段最短，可求得当点尸在点片时，。,凡5在一条直线上，|。月+忸升取得最小值|G6].可判断命题

④.

【详解】

①AB'DG，A用〃平面DBC],所以A用上任意一点到平面DBC1的距离相等，所以三棱锥。-C产尸的体积

不变，所以①正确；

②P在直线A瓦上运动时，点尸在面DCGA上的射影在。G上，所以。尸在面DCG2上的射影在。G上，又

DC,±CD,,所以。尸，。。，所以②正确；

③当P为A片中点时，以点。为坐标原点，建立空间直角系。-孙z,如下图所示，设正方体的棱长为2.

则：4（2,0,0）,4（2,2,2）,尸（2,1,1）,4（2,0,2），G（0,2,2）,C（0,2,0）,所以

4G=（-2,2,0）,丽=（o,-i,i）,cq=（0,0,2）,

722-ACi=0—2x+2y=0

设面4Gp的法向量为加=（匹/z）,贝！ICl，即c,令x=l,则y=l,z=L.•.加=（1,1,1）,

m-P4=0[-y+z=Q

〃.AG=0—Lx+2y=0

设面AG。的法向量为〃=（x,yz）,/.工i八，即。八"=（1,1,0）,

nCq=0[2z=0

m,ti2\/6

COS<m,n>==亍一尸=<，由图示可知，二面角P-AC1-C是锐二面角，所以二面角P-4G-C

\m\-\n\J3xj23

的余弦值为啦，所以③不正确；

3

④过A片作平面A耳”交4。于点加，做点。关于面A耳”对称的点G,使得点G在平面A5用4内，

则。尸=GP,ZM=GA,DG，Ag,所以|。外+忸?|=|GP|+忸?当点「在点片时，。遇,5在一条直线上，

QH+怛H取得最小值|G@.

因为正方体的棱长为2,所以设点G的坐标为G（2,m,"）,DG=（2,m,n）,做=（0,2,2）,所以

DGAB[=2m+2n=0,

所以根=―〃9又DA=GA=2,所以根=—n=^2，

222

所以G（2,—0,0）,5（220）,\GB\=^（2-2）+（-A/2-2）+（V2-0）=78+472，故④正确.

故答案为：①②④.

,z

【点睛】

本题考查空间里的线线，线面，面面关系，几何体的体积，在求解空间里的两线段的和的最小值，仍可以运用对称的

思想，两点之间线段最短进行求解，属于难度题.

三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

17、(1)4=2〃-1(2)4

【解析】

⑴利用2a“+i=q,+4+2判断｛为｝是等差数列，利用§7=49,求出%=7,利用等比中项建立方程，求出公差可得.

(2)利用｛4｝的通项公式求出〃=22〃=4",4=(2〃—114”,用错位相减法求出(=曰+包『义4向，最后

建立不等式求出最小的正整数.

【详解】

解：(1)任意〃eN*都有2a“+i=4+a“+2，

二数列｛4｝是等差数列,

87=49,7%=49,二%=7,

又为是4与43的等比中项，％<4，设数列｛为｝的公差为d，且d>0，

贝！1(7—d『=(7—3d)(7+9d),解得d=2,

/.。］=7—3d=1,

/.ctn=l+2(〃—1)=2〃—1；

⑵由题意可知包=22"=4",c〃=(2〃—1卜4",

.-.7；=1X4I+3X42+?+(•〃—扭I@,

23

4Tn^1X4+^X4+?+(n-)x向②，

①-②得：-37；=4+2x4?+2x43+?-+2x4”—（2〃—l）x4"+i,

206〃一5,,

=——+--------x4"i+i1,

99

6n-5

9T-20

由于----->1000得，22n+2>1000，

on-5

/.2z?+2>10,

n>4,

「•满足条件的最小的正整数〃的值为4.

【点睛】

本题考查等差数列的通项公式和前〃项和公式及错位相减法求和.(1)解决等差数列通项的思路⑴在等差数列｛风｝中，

%、d是最基本的两个量，一般可设出见和d,利用等差数列的通项公式和前〃项和公式列方程(组)求解即可.(2)错位

相减法求和的方法：如果数列｛4｝是等差数列，｛〃｝是等比数列，求数列的前几项和时，可采用错位相减法,

一般是和式两边同乘以等比数列｛2｝的公比，然后作差求解；在写“与“qS"”的表达式时应特别注意将两式“错项

对齐”以便下一步准确写出“S,-qS“”的表达式

18-,(1)0,—)；(2)

【解析】

InYInx

(1)将/(%)有两个零点转化为方程。=—有两个相异实根，令G(x)=—求导，利用其单调性和极值求解；

XX

Ini*I1tqv*1

(2)将问题转化为加-一-对一切xe(O,a)恒成立，令/x)=e，—----(x>0),求导，研究单调性,

XXXX

求出其最值即可得结果.

【详解】

(1)/(%)有两个零点0关于》的方程6依=%有两个相异实根

由e"*>0，知尤>0

・••/(九)有两个零点=。=—有两个相异实根.

X

令G(x)=g,贝!]G'(x)=上学，

XX

由G(x)>0得：0<x<e,由G'(x)<0得：X>e,

.•.G(x)在(O,e)单调递增，在(e,a)单调递减

・,・GO*=G(e)=j

又G(1)=O

・•・当Ovxvl时，G(x)vO,当x>l时，G(x)>0

当％—>H~oo时，G(JV)—>0

・•・/(x)有两个零点时，实数a的取值范围为10,3);

(2)当a=l时，f[x)=ex-x,

•••原命题等价于xex>lnx+mx+l对一切%e(0,茁)恒成立

]nY1

<=>m<ex---------对一切xe(0,+oo)恒成立.

xx

令/x)=e<巫_\x>0)

XX

:.m<F(x\.

\zrmn

令力(%)=表"+1nX'X£(0,+oc),贝(I

hf(x]=2xe+x2ex+—>0

x

."(力在(0,+。)上单增

2

又/i(l)=e〉0,A^=e^-l<e°-l=0

3x0使九(%)=0即x；e与+lnx0=0①

当X£（O,%o）时，/z（x）<0,当X£（%o，+O0）时，/z（x）>0,

即厂（%）在（0,飞）递减，在5,中功递增，

•―⑺皿="%)=*.竺-；

xoAo

由①知焉靖。=-lnx0

%0%玉)I-^o7

函数0（#=旄%在（0,+8）单调递增

।1

%。=In一即xQ=-lnx0

:.F(x\.=e“-口」」+1」=1,

、701111

YAoYAoYAoAXo

:.m<\

••.实数加的取值范围为

【点睛】

本题考查利用导数研究函数的单调性，极值，最值问题，考查学生转化能力和分析能力，是一道难度较大的题目.

19、(1)①y=l；②8079；(2)f-℃,2一一.

Ie-l

【解析】

⑴①。=1时，/。）=山上三+X-1,r（尤户x」+4,利用导数的几何意义能求出函数/（X）在（2,〃2））处的切

%X—4%

线方程.

4-r128079

②由f(x)=In——+x-l,得/•(尤)+"4-X)=2,由此能求出S=/(-)+/(-)+...+/(—)的值.

x2020202020202020

（2）根据若对任意给定的不e（0,e］,在区间（0,e］上总存在两个不同的=1,2）,使得t（Xj）=g（x0）成立，得到

函数《X）在区间（0,e］上不单调，从而求得。的取值范围.

【详解】

4—x

（1）①=f（x）=In--------1—1

x

:./(x)=ln(4-x)-lnx+x-l,(0<x<4)

•••r(x)=--^---+l,.-./，(2)=0,v/(2)=l,

4XX

所以切线方程为y=L

4—xx

②/(x)=In-------bx-1,/(4-x)=ln------b4-x-l

x4-x

^f(x)+f(4-x)=2,(0<x<4).

令则/(-)+/(4--)=2,(?=1,2,,4f.

nnn

因为S“=/(-)+/(-)+,+/(4—)+/(4—)①，

nnnn

1221

所以S“=/(4——)+/(4-一)++/(-)+/(-)②，

nnnn

由①+②得2Sn=2(4〃—1),所以集=4«-l,(neN,).

所以邑020=8079.

(2)g'(x)=eir—-口=(1—当xe(O,l)时，g'(x)>0,函数g(x)单调递增；

当xe(l,e］时，g'(x)<0,函数g(x)单调递减•••g(0)=0,g(l)=l,g(e)=e2-e>0

所以，函数g(x)在(0,e］上的值域为(0』.

2

因为"2,不)=2-°二=士匚墟，x«°，e］

XX

22

故0<------<e〃<2—①

2-a9e9

此时，当x变化时，（%）、4%）的变化情况如下:

2

X

2-a2-a」

「（X）——0+

“X)单调减最小值单调增

-^-Ka-21n^-

=(2—Q)(e-1)—2

2-a)2—ci

，对任意给定的％e（0,e],在区间（0,e]上总存在两个不同的七。=L2）,

使得"x,)=g(%)成立，当且仅当4满足下列条件

2

a-21n<0

52—a即《2-a

?(e)>l(2-a)(e-l)-2>l

令人(a)=a-21n^---,ae[-co,2—J,

"(a)=1-2[ln2-ln(2-a)]'=1------=,

2—aa—2

2

当〃£(-a),0)时，〃(a)>0,函数饵。)单调递增，当Q£(0,2——)时，/⑷v。，函数以。)单调递减所以，对任意

e

22

ae(-oo,2一一),有h(a)</z(0)=0,即②对任意aG(-00,2一一)恒成立.

ee

3

由③式解得：a<2——

e-1

综合①④可知，当ae[-co,2-时，对任意给定的/e(0,e],

在［0,e)上总存在两个不同的%,.(z=l,2),使t®)=g(%)成立.

【点睛】

本题考查了导数的几何意义、应用导数研究函数的单调性、求函数最值问题，会利用导函数的正负确定函数的单调性,

会根据函数的增减性求出闭区间上函数的最值，掌握不等式恒成立时所满足的条件.不等式恒成立常转化为函数最值

问题解决.

e11

20、(1)证明见解析，氏=3"-1；(2)T=--

n4—1)

【解析】

Si，几=1

(1)由2〃4,2S〃-4成等差数列，可得到%=2〃+2S〃，再结合公式4=1。、c，消去s〃，得到

%+i=3%+2(〃eN*),再给等式两边同时加1,整理可证明结果;

(2)将(1)得到的%=3"-1代入d=9山中化简后再裂项，然后求其前几项和.

【详解】

(1)由2”,an,2S„-an成等差数列，贝!12a“=2〃+2Sn-an,

即3%=2”+2S“，①

当〃=1时，3q=2+2ax,4=2,

又3%=2(〃+l)+2Sn+l9②

由①②可得：3a,+i-3a,=2+2an+｝,

即a“+i=3a“+2(〃eN*),

VC+1C

4+1+1=3(4+1),"=1时，«i+1=3,&+]=3.

所以｛4+1｝是以3为首项，3为公比的等比数列，

an+l=3",所以a”=3"-1.

/…3"If11、

(2)b----------------—I----------------

"(3n-l)(3n+1-l)213"-13"+i-1/

所以0=4+4++注=(jZP3"—J=2(3向—1).

【点睛】

此题考查了数列递推式，等比数列的证明，裂列相消求和，考查了学生分析问题和解决问题的能力，属于中档题.

22

21、(1)?+；=1(2)3x+S>-3=0或3x-5-3=0

【解析】

(1)根据题意计算得到a=2,b=y/3,c=l,得到椭圆方程.