浙江省金华市金华四中2023-2024学年九年级第一学期数学期中试卷

浙江省金华市金华四中2023-2024学年九年级第一学期数学期中试卷

阅卷入

一、选择题（本大题有10小题，每小题3分，共30分.请选出各题中一个

得分符合题意的正确选项.不选、多选'错选均不给分）

1.一个数的相反数是5,则这个数是（).

A.1B.±5C.-5D.5

2.下列计算，结果等于d的是（）.

A.（a2）2B.a5-aC.a+3aD.〃旺

3.已知三角形三边长分别为2,3,X,若x为奇数，则x的值为（）.

A.1B.3C.5D.7

4.如图所示的是某地12月28日的天气预报，图中关于温度的信息是（）.

12月28日（周五）

多云转晴

-10-10V

西南风2级

空气良

A.下降19℃B.下降10℃

C.最低零下10℃D.最低零下19℃

5.“概率”的英文单词是“Probability"，如果在组成该单词的所有字母中任意取出一个字母，则取到字母

•b”的概率是（）

A.C.苒D.1

B-H11

6.北京大兴国际机场采用“三纵一横”全向型跑道构型，如图，侧向跑道在点。南偏东70。的方向

上，则这条跑道所在射线08与正北方向所成角的度数为（）.

［北

A.160°B.110°C.70°D.20°

7.把一元二次方程N-4x+l=0配方得().

A.(x-2)2=3B.(x-2)2=-3C.(x+2>=3D.(x+2)2=-3

8.如图，以。为圆心，半径为1的弧交坐标轴于A,3两点，M是上一点（不与A,3重合），连接

0M,设NM05=a,则点〃的坐标为（).

B.(cosa,sina)

C.(cosa,cosa)D.(sina,sina)

9.如图，从一块半径为20c根的圆形铁皮上剪出一个圆心角是60。的扇形A5G则此扇形围成的圆锥的

侧面积为（）.

2

A.50兀cm2B.100兀cm2C.10071cm2D.200?tcm

10.勾股定理是人类最伟大的科学发现之一，在我国古算书《周髀算经》中早有记载.如图1,以直角三

角形的各边为边分别向外作正方形，再将较小的两个正方形分别绕直角三角形斜边上的两顶点旋转得到

图2.则图2中阴影部分面积等于（）

A.直角三角形的面积

B.最大正方形的面积

C.最大正方形与直角三角形的面积和

D.较小两个正方形重叠部分的面积

阅卷人

-----------------二、填空题（本大题共6小题，共24分）

得分

11.请写出一个比兀大的无理数.

12.某同学连续五次考试的数学成绩分别是93、79、85、95、90,则这组数据的中位数是

13.如果a+b=10,ab=19,则a?b+ab2的值为.

14.如图，一个长方体木箱沿斜面下滑，当木箱滑至如图位置时，AB=3m,已知木箱高斜坡

角为30。，则木箱端点E距地面AC的高度EF为m.

15.已知二次函数y=x2-2x+2在t<x<t+l时的最小值是t,贝Ut的值为.

16.如图是一种手机三脚架，它通过改变锁扣C在主轴A3上的位置调节三脚架的高度，其它支架长度

固定不变，已知支脚DE=A8.底座CDLABBGLAB,>CD=BG,户是DE上的固定点，且所:

（1）当点B,G,E三点在同一直线上（如图1所示）时，测得tan/3ED=2；设BC=5a,贝FG=—

（用含。的代数式表示）；

（2）在⑴的条件下，若将点C向下移动24cm,则点3,G,产三点在同一直线上（如图2）,此时点

A离地面的高度是cm.

阅卷人

三、解答题（本大题共8小题，共66分）

得分_________

17.计算：（一2）r—4sin6（T+Vll+（手。.

18.解方程：占=

19.一个三位正整数，将它的个位数字与百位数字交换位置，所得的新数恰好与原数相同，我们把这样

的三位正整数称为“对称数”，如555,323,191都是“对称数”.

（」）请你写出2个，对称数”；

（2）嘉琪说：“任意一个“对称数”减去其各位数字之和，所得的结果都是9的倍数.”他的说法是否正

确，请说明理由.

20.某市旅游景区有A、B、C、D、E等著名景点，该市旅游部门统计绘制出今年“五•一”长假期间旅游

情况统计图，根据以下信息解答下列问题：

某市“五一”长假期间旅游情况统计图

人数/万人

A

(1)今年“五•一”期间，该市周边景点共接待游客多少万人？扇形统计图中A景点所对应的圆心角的

度数是多少？并补全条形统计图.

(2)根据近几年到该市旅游人数增长趋势，预计明年“五•一”节将有80万游客选择该市旅游，请估计

有多少万人会选择去E景点旅游？

21.已知，AB为。。的直径，PA,PC是。。的的切线，切点分别为A,C,过点C作CD〃A3交。。于

D.

(2)如图2,当尸，D,。不共线时，若£>E=2,CE=8,求tm/POA.

22.已知平面直角坐标系中，直线与反比例函数y=[(x>0)的图象交于点A(1,3)和点8(3,

ri'),与x轴交于点C,与y轴交于点D

图1图2

(1)求反比例函数的表达式及〃的值；

(2)将△OCD沿直线A3翻折，点O落在第一象限内的点E处，EC与反比例函数的图象交于点F

①请求出点尸的坐标；

②将线段8尸绕点8旋转，在旋转过程中，求线段。尸的最大值.

23.某数学兴趣小组对函数y=|N+2x|的图象和性质进行了探究，探究过程如下所示，其中自变量x取全

体实数，x与y的几组对应值如表所示.

X-4-3-2-10123

y8m0n03815

（1）根据如表数据填空：根=,n=；

（2）在如图所示的平面直角坐标系中描点，并用平滑的曲线将函数图象补充完整;

②当x取何值时，y随x的增大而减小，请写出x的取值范围；

③在同一平面内，若直线y=x+b与函数y=|N+2x|的图象有a个交点，且应3,求6的取值范围.

24.如图1,矩形ABCD中，AB=a,BC=6,点、E,产分别为AD,AB边上任意一点，现将AAEF沿直线

EF对折，点A对应点为点尸.

（1）若点8与点尸重合

①如图2,若a=5,当点P落在3C中垂线上时，求AE的长;

②当点尸可以两次落在在5c中垂线上时，求。取值范围；

(2)如图3,连接3D,若a=4,AE=2AF,直线尸尸交△的边于点G,是否存在点G,使得以

E,G,P为顶点的三角形与AAE尸相似.若存在，请求出AE的长；若不存在，请说明理由.

答案解析部分

L【答案】C

【知识点】求有理数的相反数的方法

【解析】【解答】解：根据相反数的定义知：5的相反数是-5.

故答案为：C.

【分析】根据相反数的定义知只有符号不同的两个数叫做相反数即可求解.

2.【答案】A

【知识点】同底数塞的乘法；同底数幕的除法；幕的乘方

【解析】【解答】解：对于A选项：.2)2=。4,故A选项符合题意；对于B选项：a5—a=a5—a.故B

选不符合题意；对于C选项：a+3a=4a,故C选项不符合题意；对于D选项：a8-?a2=a8-2=6=

a6,故D选项不符合题意.

故答案为：A.

【分析】本题考查同底数嘉的除法、合并同类项、塞的乘方与积的乘方的计算.根据运算法则：。小乂曲=

产+n,产+曲二心一71,(am)n=aE,进行计算即可.

3.【答案】B

【知识点】三角形三边关系

【解析】【解答】解：因为三角形三边长分别为2,3,x,所以3—2<x<3+2,即l<x<5,又因为x

为奇函数，所以x=3.

故答案为：B.

【分析】本题主要考查三角形三边的关系.即两边之后大于第三边，两边之差小于第三边，即可求解.

4.【答案】C

【知识点】正数、负数的实际应用

【解析】【解答】解：根据图片信息可得：当天最高气温10。&最低气温-10汽，则气温从最高到最低下

降了10—(-10)=20。5故A、B选项错误，最低气温零下10久，C选项正确.

故答案为：C.

【分析】本题主要考查负数的概念，及有理数的加减.根据图片信息得到当天最高气温10。&最低气温

-10℃,从而得到气温从最高到最低下降了10-(-10)=20。口最低气温零下i(rc,从而得到答案.

5.【答案】C

【知识点】概率公式

【解析】【解答】解：“Probability”这个单词中共有11个字母，其中有2个字母“b”，因此概率为余，

故答案为：C.

【分析】先确定该单词一共有多少个字母，再确定有多少个“b”，根据概率公式即可求解.

6【答案】B

【知识点】钟面角、方位角；余角、补角及其性质

【解析】【解答】解：如下图：

北

JI

机场

・：

因为AB在点。南偏东70。的方向上，所以=70。，则乙40E=180°-^DOA=180°-70°=

110。.则这条跑道所在射线OB与正北方向所成角的度数110。.

故答案为：B.

【分析】本题主要考查方位角及补角的计算.由题意可得ND04=70。，则这条跑道所在射线08与正北方

向所成角为ND0A的补角，然后根据补角的计算即可求解.

7.【答案】A

【知识点】配方法解一元二次方程

【解析】【解答】解：对一兀二次方程/—4x+1=0,移项得：X2—4x——1,两边在同时加上一次项

系数一半的平方得：%2-4%+4=-1+4,

配方得：（％—2尸=3.故A选项正确.

故答案为：A.

【分析】本题主要考查配方法解一元二次方程.根据配方法的步骤：（1）移项；（2）把二次项系数化1；

（3）两边在同时加上一次项系数一半的平方；（4）配方；（5）开方解方程，根据上诉步骤求解即可.

8.【答案】B

【知识点】解直角三角形一边角关系

【解析】【解答】解：根据题意可得：0M=L乙MOB=a,贝的团=1xsince=since,xm-lxcosa=

cosa.即点M坐标为(cosa,sina).

故答案为：B.

【分析】本题主要考查三角函数的基本概念.根据题意可得OM=1,/.MOB=a,根据正弦、余弦的定义

进行计算即可求解.

9.【答案】D

【知识点】勾股定理；垂径定理；圆锥的计算

【解析】【解答】解：如下图所示：连接OA、并过点O作AB的垂线，垂足为点D,

根据垂径定理可得：DA=DB,/.BAO=^BAC=30°,

[1

故在RtA/D。中，0D=1X20=10cm,

由勾股定理可得：AD=<AO2-0D2=10V3,

故AB=2AD=20V3,

2

故圆锥的则面积为：<_6。兀*(2。遮)_

J-c3u6Ue-Z.UU/1.

故答案为：D.

【分析】本题主要考查直角三角形中边长的计算，勾股定理、圆的基本性质、圆锥的侧面积计算.连接

OA、并过点O作AB的垂线，垂足为点D,根据垂径定理可得：04=DB,ABA0=^BAC=30。，从

而可得：DO=10cm,AD=10^cm,再结合圆锥的侧面积进行求解即可.

10.【答案】D

【知识点】勾股定理的应用

【解析】【解答】解：如图，设直角三角形的较短直角边为a,较长直角边为b,斜边为c,

由勾股定理可得，c2=a2+b2,

阴影部分面积=c2—b2—a(c—b)=a2—a(c—b)=a(a+b—c),

较小两个正方形重叠部分的面积=a(a+b-c),

阴影部分面积=较小两个正方形重叠部分的面积.

故答案为：D.

【分析】设直角三角形的较短直角边为a,较长直角边为b,斜边为c,根据勾股定理可得02=。2+庐，

再利用割补法可得阴影部分的面积，求出较小两个正方形重叠部分的面积，即可得到答案。

11.【答案】V5

【知识点】无理数的大小比较；无理数的估值

【解析】【解答】解：V4<V5<V9,

BP2<V5<3<TT,

故答案为：本题答案不唯一，符合题意都可.

【分析】根据无理数的定义即可求解.

12.【答案】90

【知识点】中位数

【解析】【解答】解：将同学连续五次考试的数学成绩从低到高进行排列：79、85、90、93、95,由此

可得中位数为90.

故答案为：90.

【分析】本题主要考查中位数.根据中位数的定义：一组数据按照从大到小或者从小到大排列，处在最中

间的数即为中位数，如果数据个数为奇数个，即为最中间的数，如果为偶数，则是中间两项的平均数，

根据上诉定义求解即可.

13.【答案】190

【知识点】代数式求值；因式分解-提公因式法

【解析】【解答】解：Va+b=IQ,ab=\9,

/.a-b+ab2

=ab(a+A)

=19x10

=190.

故答案为：190.

【分析】根据题意可知a+6=10,ab=l9,代入计算即可。

14.【答案】3

【知识点】解直角三角形的实际应用-坡度坡角问题

【解析】【解答】解：如下图，连接AE,

根据题意有在HM4BE中AB=3m,BE=Wm,

则由勾股定理可得：AE=y/BE2+AB2=2V3m,

因为在RtA/BE中ZE=2BE,则NB4E=30°,

所以NE4F=/-EAB+ABAF=60°,

贝U在RtA/EF中sin/E/F=sin60°=会,

故EF=AExsin60°=2V3x-=3m.

故答案为：3m.

【分析】本题主要考查直角三角形勾股定理、三角函数的计算.连接AE,根据题意有在RtAABE中4B=

3m,BE=V3m,可算得：AE=y/BE2+AB2=2Mn,从而得到乙BAE=30°,进而得到N£\4F=

/-EAB+ABAF=60°,在RtAAEF中EFAEXsin60°=2gX字=3nl,即可求解・

15.【答案】1或2

【知识点】二次函数丫=2*八2+bx+c的性质

【解析】【解答】解：y=x2—2x+2=(x—1)2+1,抛物线对称轴为x=l.

当t+l<l时，最小值f(t+l)=t2+l=t,方程无解.

当t>l时，最小值f(t)=(t—1尸+1=3ti=l,t2=2.

当0<区1时，最小值为1.

故t=l或2.

故答案为：1或2.

【分析】结合二次函数图形以及利用顶点横坐标在范围t<x<t+l右侧时以及顶点横坐标在范围t<x<t+l

内时和顶点横坐标在范围t<x<t+l左侧时，分别结合二次函数增减性求出最值即可.

16.【答案】(1)学

(2)(19+19V5)

【知识点】相似三角形的判定与性质；解直角三角形的其他实际应用

【解析】【解答】解：(1)如下图，连接DG、EG,并过点D作DG垂直BE于H,

根据题意可得四边形BCDG为矩形，所以0G=BC=5a,在RtADGE中tan/BEC=黑=2,则EG=

2=2a,故DE='EG2+0G2=JGa)—+(5(2/=a，又因为EF：DF=2：3.所以==

|x^a=6a,因为在RtAFEH中，tan乙BED=提=2,故FH=2EH,S.EF2=EH2+FH2=

EH2+AEH2=5EH2=5a2,可解得：EH=a,FH=2a,故HG=EG—EH=—a=|a,在

RtAFHG中FG=y/FH2+GH2=14a2+=祟，

(2)因为若将点C向下移动24cm,DF、AB、DE的长度不发生改变，设BC=2跣血，参照(1)中

方法可算得：EG=^DG=X,

____________297叵QQ

DE=VEG2+DG2=J(2=2+%2=V5x/EF=^DE=5xV5x=—g—DF=^DE=耳xV5x=

萼X,因为在RtAFEH中，tan/BED=浩=2,故FH=2EH,且后产=EH2+FH2=EH2+4EH2=

5EH2=ix2,可解得：EH=|%,FH=^x,故HG=EG—EH=%—|x=|x,在RtAFHG中FG=

2

VFW2+GH=jGxj+(|)2=X，

在图2中，连接DG,并作EJ垂直BF的延长线于点J,

222

在RtADPG中，DF=FG+DG,即(等%)=/+(2久一24尸，解得：勺=15+3佃，%2=15-

3V5（舍去），则

AB=DE=氐=75(15+3V5)=(15逐+15",又在/?必叨中tan/BED=tan®/=%=

2,EF=|0E=看义辰=等尤，EF2=EJ2+JF2,可解得：可=（4+4*）cm,点A离地面的高度

是ZB+EJ=15V5+15+4+4V5=(19+19A/5)cm.

故答案为：第一空：竽；第二空：（19+19花）.

【分析】本题主要考查解直角三角形，特别是三角函数及勾股定理的运用.（1）连接DG、EG,并过点D

作DG垂直BE于H,根据题意可得四边形BCDG为矩形，所以DG=BC=5a,在RtADGE中通过正切

函数，及勾股定理可算得：EG=加=fa,DE=挈。，在结合已知可得：EH=a,FH=2a,HG=

EG—EH=|a—a=|a,在RWHG中运用勾股定理即可求解；

（2）若将点C向下移动24cm,DF、AB、DE的长度不发生改变，设BC=2女血，参照（1）中方法

可算得：EG=^DG=x,DE=>JSx,EF=^^x,=因为在RtAFEH中，tan/BED=翳=

2,故FH=2EH,结合勾股定理可解得：EH=|x,FH=1x,故HG=EG—EH=久—|久=|工，在

RtAFHG中FG='FH?+GH?=+（|,=久,在图2中，连接DG,并作EJ垂直BF的延长线于

点J,在RtADFG中，通过勾股定理建立方程即可解得：久1=15+3V5,x2=15-3西（舍去），又在

RtAEFJ中根据tan/BED=tan®/=和=2,及勾股定理可解得E/=（4+4而）cm,从而得到答案.

17.【答案】解：=-1-4x2^+273+1

_1

-2

【知识点】特殊角的三角函数值；实数的混合运算（含开方）

【解析】【分析】根据实数的计算规则进行计算即可求解.

18.【答案】解；去分母方程两边同时乘以：（久一1）（久一2）得：%-2=2（%-1）；

整理可得：—x=0,

解得：x=0,

把x=0,代入（久一1）（久-2）得2,经检验久=0,是原方程的解，

故x=0

【知识点】解分式方程

【解析】【分析】根据解分式方程的步骤：（1）去分母，两边同时乘以最简公分母；（2）整理并移项;

（3）合并同类项；（4）系数化1；（5）检验即可求解.

19.【答案】（1）解:由题意可得，“对称数”为616,626；

（2）解：正确，理由：

设一个对称数为100a+10b+a,

由题意可得，（100a+10b+a）-（a+b+a）=101a+10b-2a-b=99a+9b,

,.-99a+9b能被9整除，

.•.任意一个“对称数”减去其各位数字之和，所得的结果都是9的倍数.

【知识点】整式的加减运算；定义新运算

【解析】【分析】（1）根据题目中对“对称数”的定义写出即可：如515,323等，答案不唯一；

（2）根据三位数的表达可设一个对称数为100a+10b+a,由题意可得，（100a+10b+a）-（a+b+a）

=101a+10b-2a-b=99a+9b,即可求解.

20.【答案】（1）解：该市周边景点共接待游客数为：15+30%=50（万人），

A景点所对应的圆心角的度数是：360°x30%=108°,

B景点接待游客数为：50x24%=12（万人），

补全条形统计图如下：

人数/万人

（2）解：80xl2%=9.6（万人）.

【知识点】扇形统计图；条形统计图

【解析】【分析】（1）根据条形图可知A景点接待人数为15万人，再根据扇形图知道A景点所占总人数

的百分比，故用A景点人数除以它所占比例即可求出总人数，再用它所在比例乘以360度，即可求出A

景点所对应的圆心角的度数，再用B所占比例乘以总人数，即可知道B景点接待人数，即可补全条形

图；

（2）先用今年E景点接待人数除以总人数，得到E景点所占比例，然后在用明年的总人数乘以E所占

比例即可求解.

21.【答案】（1）证明：连接OC,

VPA,PC是。。的的切线，切点分别为A,C,

；.PA=PC,ZPAO=ZPCO=90°,

(DA—DC

在RtAPAO和RtAPCO中，，，

IPO=PO

.".RtAPAO^RtAPCO(HL),

AZPOA=ZPOC,VCD//AB,

.\ZCDO=ZDOA,JNCDO=NCOD,ACD=OC=r；

(2)解：设OP交CD于E,连接OC,过O作OHLCD于H,

由(1)可知，RtAPAO^RtAPCO,AZPOA=ZPOC,

VCD//AB,AZCEO=ZCOE,JNCEO=NCOE,

・・・CE=CO=8,1.CD=CE+ED=10,ACH=DH=5,

EH=3,OH=V39,tanNPOA=tanNHEO=^12

【知识点】切线的性质；切线长定理；解直角三角形一构造直角三角形

【解析】【分析】本题主要考查了圆的切线的性质、垂径定理、勾股定理、等腰三角形的性质和判定、解

直角三角形等知识，能熟练运用以上知识，及作出辅助线构造出直角三角形是本题解题关键.

（1）连接OC,根据切线长定理及切线的性质可得：PA=PC,ZPAO=ZPCO=90°,即可证明：

RtAPAO^RtAPCO,得到：NPOA=NPOC,再利用平行的性质及等角对等边即可得证；

（2）设OP交CD于E,连接0C,过0作OHLCD于H,由（1）及平行的性质可证得：

ZCEO=ZCOE,由等腰三角形的性质可得：CE=CO=8,再利用勾股定理及正切三角形的定义即可求解.

22.【答案】（1）解：将点力（1,3）代入反比例函数的解析式：y=1,可得：3=5，即k=3,再将点

B（3,n）代入反比例函数的解析式得:n=|=1,

（2）解：①设直线AB的解析式为：y=TH%+九，将点力（L3）,B（3,1）,可得:亡黑7解

得：所以直线AB的解析式为：y=_久+4,令y=。，即一%+4=0,解得久=4,即点C的

坐标为（4,0）,令x=0可求得点D的坐标为（0,4）,根据题意可得点E的坐标为（4,4）,

则F的横坐标为4,将其代入反比函数解析式可得F的纵坐标力=弓，即点F的坐标为（4,

②因为B（3,1）,F（4,I）..所以BF=J（4—1）2+（1—.）2=乎，OB=Vl2+32=V10,线段BF

绕点B旋转，则点F在以B为圆心，BF为半径的圆上，则当OB的延长线与圆的交点时，OF有最大

值，OF=V1U+字.

【知识点】反比例函数与一次函数的交点问题；翻折变换（折叠问题）

【解析】【分析】（1）将点A代入反比例函数的解析式中即可求解，在把点B坐标代入解析式即可求解；

（2）①运用待定系数法将点2（1,3）,B（3,1）,代入一次函数解析中，解出m、n得到一次函数的解

析式，然后再根据与x轴相交，纵坐标y为0,与y轴相交横坐标x为0,求得点C的坐标为（4,0）,

点D的坐标为（0,4）,进而求得点E的坐标为（4,4）,从而求出反比例函数解析式，即可求解；

（2）因为B（3,1）,F（4,斜.运用两点间的距离公式可求得：BF、OB的长度，再根据旋转的性质可得

点F在以B为圆心，BF为半径的圆上，然后利用圆的性质求解即可.

23.【答案】（1）3；1

（2）解：描点画出如下函数图象：

(3)解：①4；

②根据函数图象可得：若y随X的增大而减小，则x<-2或-l<x<0；

③把(-2,0)代入y=x+b得，-2+b=0,解得b=2,

令x+b=-x2-2x,整理得x2+3x+b=0,

当A=0时，直线y=x+b与函数y=|x?+2x|的图象有3个交点，

A=9-4b=0,解得b=W，

故在同一平面内，若直线y=x+b与函数y=|x?+2x|的图象有a个交点，且咤3,

则2<b<^.

【知识点】二次函数与一次函数的综合应用

【解析】【解答］解：(1)将x=—3,带入y=|x2+2x|可得：m—|(—3)2+2X(―3)|=3,

将％=一1,带入y=|x?+2x|可得：九=|(一1)2+2X(-1)|=L故填：3；1.

(2)①由图象知图象与直线y=/由4个交点，故填：4.

【分析】(1)将横坐标代入即可求解；

(2)根据坐标描点连线即可；

(3)在图中作出直线j=|即可，得到函数图象与直线>=*的交点的个数，根据函数图象即可求出y

随x的增大而减小时x的取值范围；当直线y=x+b,过点(-2,0)时，直线与函数图象必有三个交

点，故把(-2,0)代入y=x+得，-2+b=0,解得b=2,当直线y=；c+b,与二次函数y=-/+2支只

有一个交点时，翻折后必有三个以上的交点，故联立直线y=x+b,和二次函数y=-丁+2%的方程消

去y得到：x2+3x+b=0,当A=0时，直线y=x+b与函数y=|x?+2x|的图象有3个交点即可求解.

24.【答案】（1）解：①如下图设BC的中垂线与AD的交点为T,与BC的交点为G,设ZE=%，在

图2中根据折叠关系可得：AB=BP=5,AE=EP=x,BG=AT=3,ET=3—x,则在RtABGP中

PG=VBP2-BG2=V52-32=4,则由矩形的性质可得：TG=AB=5,故PT=TG-PG=5-4=

1,在RtAETP中由勾股定理可得：EP2=ET2+PT2,即/=（3一%）2+i,解得％=|,即AE=|.

图’2

②如图作出矩形BC边的中垂线MN,分别交AD,BC于点M、N,当点P与点N重合时，点P只有一

次落在BC中垂线上，根据折叠的性质可得：AB=BN=IM=MN=3,且4ABN=90。，则四边形

ABMN为正方形，此时AE=AM=3.

如图，当点E与点D重合，点F与点B重合时，是两次落在中垂线上的临界位置，根据题意可得：

AM=DM^AD==3,又根据折叠的性质可得：=P=6,又：点P在BC的中垂线上，

：.PA=PD,故4P=PD=AD=6,则AAPD为等边三角形，，乙4DP=60。，又根据折叠的性质可得：

^ADB=^ADP=30。，又在RtABAD中tanzADB=tan30°=黑="，即g=噂，解得a=2百，综

ZAuO03

上所述a的取值范围为：3<aM2W.

(2)解：存在，理由如下:

过点G作GN1AD于点N,连结EG,•.•四边形ABCD为矩形，，乙4=zABC=90。，贝此A=ZABC=

乙ANG=90。，故

四边形ABGN为矩形，:.AB=GN=4,当AEAF~AGPE,时乙4EF=ZPGE,又\NPGE+NPEG=

90°,

.•.乙4EF+乙PEG=90。，根据折叠的性质可得：^AEF=乙PEF,"PEF+乙PEG=90。，〜

AEGF'贝"釜=需=4，

设力F=X,贝必E=2AF=2x,由勾股定理可得：EF=<AF2+AE2=y/x2+(2x)2=有x,由此可得:

EG=2EF=2届，乙GEF=90°,

.".^AEF+乙GEN=90°,又+^AFE=90°,:.乙GEN=^AFE,故sinZGEN=注=sin^AFE=

AE2x日口

面=后即

D

47

急=病,解得:x=l,：.AE=2x=2.

BG

过点G作GM14。于点M,连结EG,^.^四边形ABCD为矩形，.^.乙4=乙4BC=90。，又^.^GM14O,

.'.AA=Z.DMG=90。，贝!UB11MG,

贝喘=需,当A4EF〜APGE时，乙AEF=KPGE,又：NPGE+/PEG=90。，/.^AEF+/.PEG=

90。，根据折叠的性质可得：Z.AEF=/.PEF,'./.PEG+/.PEF=90%."GE尸=90。,：.LAEF-

AEGF,则奈=需=［又,：4GEF=90°,.'.^MEG+AAEF=90°,：NMEG+/MEG=

90。，：.^.MGE=AAEF,又,：AGNE=LEAF=9。°,:2EF〜NMGE,

则益=fS=3，设4E=t,则AF=2t,MG=2AE=4t,EM=^MG=2t,-,-AM=4t,则当="^,解

得：t=j,贝必E=2t=g,

如图当AAEF〜APEG时，过点P作PM1AB于点M,过点E作ENJ.PM,交MP的延长线于点N,则四

边形AMNE是矩形，则AE=MN,AM=EN,

设AF=y,贝!JAE=EP=2AF=2y,FP=y,BF=4-FP=4-y,根据折叠的性质可得：AE=PE,VA/1FF-

△PEG,:.&AEF三&PEG,贝lj

AF=FP=PG,又：PMLAB,BCLAB,：.MP//BC,则器=嚣=L则FM=BM,故MF=BM=

：.AM=AF+MF=^-=EN,同上运用等量代换可证得：AMPF〜ANEP,则黑=黑=鬻=

22PNPEEN

又PM=,PN=2MF=4—y/则^^+4—y=2y,解得）/=得，

则力E=2y=答，

如图当AAEF〜APEG时，过点P作PM1AB于点M,过点E作ER1PM,交MP的延长线于点R,过点

G作GQ1AB于点Q,则四边形AMER为矩形，=MR,AM=ER,设AF=t,贝必石=EP=

23PF=3同上可证得：AMPF〜LREP,则翳=修=器=/，设尸"=AF+FM=ER=a+t,则

PM=竽,.•.竽+2a=2t,解得a=3,'-MQLAB,ADLAB,：-MQ//AD,贝必BGQ〜ABDA,

，盥=馨，则盟=综=言=£，由上可知：MF=MQ=a,QG=2PM=a+3则BQ=4-t一

，4-t-2a_2

2a,则|a+to.%,解得：仁晶，AE珈AE=2t=嗡，

Ia=-5

综上所述：存在，相似的点且AE=2,或AE=S，或2£=黑，或4E=嫖.

D114V

【知识点】勾股定理；矩形的性质；翻折变换（折叠问题）；相似三角形的判定与性质

【解析】【分析】（1）①作出BC的中垂线与AD的交点为T,与BC的交点为G,设4E=心然后根

据折叠的性质，通过勾股定理建立方程，解出x即可求解；

②如图作出矩形BC边的中垂线MN,分别交AD,BC于点M、N,当点P与点N重合时，点P只有

一次落在BC中垂线上，根据折叠的性质及矩形的性质可解得此时a=3,当点E与点D重合，点F与点

B重合时，是两次落在中垂线上的临界位置，通过折叠的性质，等边三角形使得性质及正切函数的定义

可解得此时a=2遮，综合两种情况即可求得a的取值范围；

（2）运用分类讨论的思想，运用三角形相似、全等、平行线成比例定理、折叠的性质进行求值计算即可.

试题分析部分

1、试卷总体分布分析

总分：120分

客观题（占比）38.0(31.7%)

分值分布

主观题（占比）82.0(68.3%)

客观题（占比）12(50.0%)

题量分布

主观题（占比）12(50.0%)

2、试卷题量分布分析

大题题型题目量（占比）分值（占比）

填空题（本大题共6

6(25.0%)24.0(20.0%)

小题，共24分）

解答题（本大题共8

8(33.3%)66.0(55.0%)

小题,共66分）

选择题（本大题有

10小题，每小题3

分，共30分.请选出

各题中一个符合题意10(41.7%)30.0(25.0%)

的正确选项.不选、

多选、错选均不给

分）

3、试卷难度结构分析

序号难易度占比

1普通(75.0%)

2容易(8.3%)

3困难(16.7%)

4、试卷知识点分析

序号知识点（认知水平）分值（占比）对应题号

1配方法解一元二次方程3.0(2.5%)7

2因式分解-提公因式法4.0(3.3%)13

3矩形的性质12.0(10.0%)24

4代数式求值4.0(3.3%)13

5解直角三角形的其他实际应用4.0(3.3%)16

6实数的混合运算（含开方）6.0(5.0%)