第二章2.12.1.1倾斜角与斜率知识点讲练高中数学人教A版选择性

§2.1直线的倾斜角与斜率2．1.1倾斜角与斜率学习目标1.了解直线的斜率和倾斜角的概念.2.理解直线倾斜角的唯一性及直线斜率的存在性.3.了解斜率公式的推导过程，会应用斜率公式求直线的斜率．导语交通工程上一般用“坡度”来描述一段道路对于水平方向的倾斜程度，如图，一辆汽车沿某条道路从A点前进到B点，在水平方向前进的距离为AD，竖直方向上升的高度为DB(如果是下降，则DB的值为负实数)，则坡度k＝eq\f(上升高度,水平距离)＝eq\f(DB,AD).若k>0，则表示上坡，若k<0，则表示下坡，为了实际应用与安全，在道路铺设时常要规划坡度的大小．那么“坡度”是如何来刻画道路的倾斜程度的呢？一、直线的倾斜角问题1在平面中，怎样才能确定一条直线？提示两点确定一条直线，一点和一个方向也可以确定一条直线．问题2在平面直角坐标系中，规定水平直线的方向向右，其他直线向上的方向为这条直线的方向，图中过点P的直线有什么区别？提示直线的方向不同，相对于x轴的倾斜程度不同．知识梳理当直线l与x轴相交时，我们以x轴为基准，x轴正向与直线l向上的方向之间所成的角α叫做直线l的倾斜角．当直线l与x轴平行或重合时，规定它的倾斜角为0°.注意点：(1)从运动变化的观点来看，当直线l与x轴相交时，直线l的倾斜角是由x轴绕直线l与x轴的交点按逆时针方向旋转到与直线l重合时所得到的最小正角．(2)倾斜角从“形”的方面直观地体现了直线对x轴正向的倾斜程度．(3)直线的倾斜角α的取值范围为0°≤α<180°.例1(1)(多选)下列命题中，正确的是()A．任意一条直线都有唯一的倾斜角B．一条直线的倾斜角可以为－30°C．倾斜角为0°的直线有无数条D．若直线的倾斜角为α，则sinα∈(0,1)答案AC解析任意一条直线都有唯一的倾斜角，倾斜角不可能为负，倾斜角为0°的直线有无数条，它们都垂直于y轴，因此A正确，B错误，C正确．D中，当α＝0°时，sinα＝0；当α＝90°时，sinα＝1，故D错误．(2)(多选)设直线l过坐标原点，它的倾斜角为α，如果将l绕坐标原点按逆时针方向旋转45°，得到直线l1，那么l1的倾斜角可能为()A．α＋45° B．α－135°C．135°－α D．α－45°答案AB解析根据题意，画出图形，如图所示．通过图象可知，当0°≤α<135°，l1的倾斜角为α＋45°；当135°≤α<180°时，l1的倾斜角为45°＋α－180°＝α－135°.反思感悟直线倾斜角的概念和范围(1)求直线的倾斜角主要根据定义来求，其关键是根据题意画出图形，找准倾斜角，有时要根据情况分类讨论．(2)注意倾斜角的范围．跟踪训练1(1)已知直线l向上方向与y轴正向所成的角为30°，则直线l的倾斜角为．答案60°或120°解析有两种情况：①如图(1)，直线l向上方向与x轴正向所成的角为60°，即直线l的倾斜角为60°.②如图(2)，直线l向上方向与x轴正向所成的角为120°，即直线l的倾斜角为120°.(2)已知直线l1的倾斜角α1＝15°，直线l1与l2的交点为A，直线l1和l2向上的方向所成的角为120°，如图，则直线l2的倾斜角为．答案135°解析设直线l2的倾斜角为α2，l1和l2向上的方向所成的角为120°，所以∠BAC＝120°，所以α2＝120°＋α1＝135°.二、直线的斜率问题3在平面直角坐标系中，设直线l的倾斜角为α.(1)已知直线l经过O(0,0)，P(eq\r(3)，1)，α与O，P的坐标有什么关系？(2)类似地，如果直线l经过P1(－1,1)，P2(eq\r(2)，0)，α与P1，P2的坐标有什么关系？(3)一般地，如果直线l经过两点P1(x1，y1)，P2(x2，y2)，x1≠x2，那么α与P1，P2的坐标有什么关系？提示(1)tanα＝eq\f(1,\r(3))＝eq\f(\r(3),3).(2)tanα＝eq\f(1,－1－\r(2))＝1－eq\r(2).(3)tanα＝eq\f(y2－y1,x2－x1).知识梳理1．把一条直线的倾斜角α的正切值叫做这条直线的斜率，斜率常用小写字母k表示，即k＝tanα.2．直线的方向向量与斜率的关系：若直线l的斜率为k，它的一个方向向量的坐标为(x，y)，则k＝eq\f(y,x).注意点：(1)当x1＝x2时，直线的斜率不存在，倾斜角为90°.(2)斜率公式中k的值与P1，P2两点在该直线上的位置无关．(3)斜率公式中两纵坐标和两横坐标在公式中的次序可以同时调换．(4)若直线与x轴平行或重合，则k＝0.例2(1)经过下列两点的直线的斜率是否存在？如果存在，求其斜率，并确定直线的倾斜角．①A(2,3)，B(4,5)；②C(－2,3)，D(2，－1)；③P(－3,1)，Q(－3,10)．解①存在．直线AB的斜率kAB＝eq\f(5－3,4－2)＝1，则直线AB的倾斜角α满足tanα＝1，又0°≤α<180°，所以倾斜角α＝45°.②存在．直线CD的斜率kCD＝eq\f(－1－3,2－－2)＝－1，则直线CD的倾斜角α满足tanα＝－1，又0°≤α<180°，所以倾斜角α＝135°.③不存在．因为xP＝xQ＝－3，所以直线PQ的斜率不存在，倾斜角α＝90°.(2)求经过两点A(a,2)，B(3,6)的直线的斜率．解当a＝3时，斜率不存在；当a≠3时，直线的斜率k＝eq\f(4,3－a).反思感悟求直线的斜率的两种方法(1)利用定义：已知直线的倾斜角为α，且α≠90°，则k＝tanα.(2)利用斜率公式：k＝eq\f(y2－y1,x2－x1)(x1≠x2)．跟踪训练2(1)若直线的倾斜角为120°，则直线的斜率为．答案－eq\r(3)(2)若过点P(－2，m)，Q(m,4)的直线的斜率为1，则m的值为．答案1解析由斜率公式k＝eq\f(4－m,m＋2)＝1，得m＝1.(3)已知直线l的方向向量的坐标为(1，eq\r(3))，则直线l的倾斜角为．答案eq\f(π,3)解析设直线l的斜率为k，则k＝eq\r(3)，所以直线的倾斜率为eq\f(π,3).三、倾斜角和斜率的应用问题4当直线的倾斜角由0°逐渐增大到180°，其斜率如何变化？为什么？提示当倾斜角为锐角时，斜率为正，而且斜率随着倾斜角的增大而增大；当倾斜角为钝角时，斜率为负，而且斜率随着倾斜角的增大而增大．知识梳理设直线的倾斜角为α，斜率为k.α的大小0°0°<α<90°90°90°<α<180°k的范围k＝0k>0不存在k<0k的增减性随α的增大而增大随α的增大而增大例3已知两点A(－3,4)，B(3,2)，过点P(1,0)的直线l与线段AB有公共点．(1)求直线l的斜率k的取值范围；(2)求直线l的倾斜角α的取值范围．解如图，由题意可知kPA＝eq\f(4－0,－3－1)＝－1，kPB＝eq\f(2－0,3－1)＝1，(1)要使l与线段AB有公共点，则直线l的斜率k的取值范围是(－∞，－1]∪[1，＋∞)．(2)由题意可知直线l的倾斜角介于直线PB与PA的倾斜角之间，又PB的倾斜角是45°，PA的倾斜角是135°，所以α的取值范围是45°≤α≤135°.反思感悟倾斜角和斜率的应用(1)倾斜角和斜率都可以表示直线的倾斜程度，二者相互联系．(2)涉及直线与线段有交点问题常通过数形结合利用公式求解．跟踪训练3已知A(3,3)，B(－4,2)，C(0，－2)．(1)求直线AB和AC的斜率；(2)若点D在线段BC(包括端点)上移动时，求直线AD的斜率的变化范围．解(1)由斜率公式可得直线AB的斜率kAB＝eq\f(2－3,－4－3)＝eq\f(1,7).直线AC的斜率kAC＝eq\f(－2－3,0－3)＝eq\f(5,3).故直线AB的斜率为eq\f(1,7)，直线AC的斜率为eq\f(5,3).(2)如图所示，当D由B运动到C时，直线AD的斜率由kAB增大到kAC，所以直线AD的斜率的变化范围是eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\f(1,7)，\f(5,3))).1．知识清单：(1)直线的倾斜角及其范围．(2)直线斜率的定义和斜率公式．2．方法归纳：数形结合思想．3．常见误区：忽视倾斜角范围，图形理解不清．1．(多选)下列说法正确的是()A．若α是直线l的倾斜角，则0°≤α<180°B．若k是直线的斜率，则k∈RC．任意一条直线都有倾斜角，但不一定有斜率D．任意一条直线都有斜率，但不一定有倾斜角答案ABC2．若经过A(m,3)，B(1,2)两点的直线的倾斜角为45°，则m等于()A．2B．1C．－1D．－2答案A解析由题意知，tan45°＝eq\f(2－3,1－m)，得m＝2.3．已知经过点P(3，m)和点Q(m，－2)的直线的斜率为2，则m的值为()A．－1B．1C．2D.eq\f(4,3)答案D解析由eq\f(m－－2,3－m)＝2，得m＝eq\f(4,3).4．经过A(m,3)，B(1,2)两点的直线的倾斜角α的取值范围是．(其中m≥1)答案0°<α≤90°解析当m＝1时，倾斜角α＝90°；当m>1时，tanα＝eq\f(3－2,m－1)>0，∴0°<α<90°.故0°<α≤90°.课时对点练1．下面选项中，两点确定的直线的斜率不存在的是()A．(4,2)与(－4,1) B．(0,3)与(3,0)C．(3，－1)与(2，－1) D．(－2,2)与(－2,5)答案D解析D项，因为x1＝x2＝－2，所以直线垂直于x轴，倾斜角为90°，斜率不存在．2．(多选)已知直线斜率的绝对值为eq\r(3)，则直线的倾斜角可以为()A．30°B．60°C．120°D．150°答案BC解析由题意得直线的斜率为eq\r(3)或－eq\r(3)，故直线的倾斜角为60°或120°.3．已知点A(eq\r(3)，1)，B(3eq\r(3)，3)，则直线AB的倾斜角是()A．60° B．30°C．120° D．150°答案B解析kAB＝eq\f(3－1,3\r(3)－\r(3))＝eq\f(\r(3),3)，∴tanθ＝eq\f(\r(3),3)且0°≤θ＜180°，∴θ＝30°.4．若某直线的斜率k∈(－∞，eq\r(3)]，则该直线的倾斜角α的取值范围是()A.eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(0，\f(π,3))) B.eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\f(π,3)，\f(π,2)))C.eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(0，\f(π,3)))∪eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,2)，π)) D.eq\b\lc\[\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,3)，π))答案C解析∵直线的斜率k∈(－∞，eq\r(3)]，∴k≤taneq\f(π,3)，∴该直线的倾斜角α的取值范围是eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(0，\f(π,3)))∪eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,2)，π)).5．如图，若直线l1，l2，l3的斜率分别为k1，k2，k3，则()A．k1＜k3＜k2 B．k3＜k1＜k2C．k1＜k2＜k3 D．k3＜k2＜k1答案A解析设直线l1，l2，l3的倾斜角分别为α1，α2，α3，则由图知0°＜α3＜α2＜90°＜α1＜180°，所以tanα1＜0，tanα2＞tanα3＞0，即k1＜0，k2＞k3＞0.6．直线l过点A(1,2)，且不过第四象限，则直线l的斜率的取值范围是()A．[0,2] B．[0,1]C.eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(0，\f(1,2))) D.eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(－\f(1,2)，0))答案A解析如图所示，当直线l在l1的位置时，k＝tan0°＝0；当直线l在l2的位置时，k＝eq\f(2－0,1－0)＝2，故直线l的斜率的取值范围是[0,2]．7．已知点A(1,2)，若在坐标轴上存在一点P，使直线PA的倾斜角为135°，则点P的坐标为．答案(3,0)或(0,3)解析由题意知，kPA＝－1，若点P在x轴上，设点P的坐标为P(m,0)(m≠1)，则eq\f(0－2,m－1)＝－1，解得m＝3，即P(3,0)．若点P在y轴上，设点P的坐标为P(0，n)，则eq\f(n－2,0－1)＝－1，解得n＝3，即P(0,3)．综上，点P的坐标为(3,0)或(0,3)．8．若经过点A(1－t,1＋t)和点B(3,2t)的直线的倾斜角为钝角，则实数t的取值范围是．答案(－2,1)解析由题意知，kAB＝eq\f(2t－1＋t,3－1－t)＝eq\f(t－1,t＋2).因为直线的倾斜角为钝角，所以kAB＝eq\f(t－1,t＋2)<0，解得－2<t<1.9．已知直线l经过两点A(－1，m)，B(m,1)，问：当m取何值时：(1)直线l与x轴平行？(2)直线l与y轴平行？(3)直线l的方向向量的坐标为(3,1)．(4)直线的倾斜角为45°？(5)直线的倾斜角为锐角？解(1)若直线l与x轴平行，则直线l的斜率k＝0，∴m＝1.(2)若直线l与y轴平行，则直线l的斜率不存在，∴m＝－1.(3)直线l的方向向量的坐标为(3,1)，故k＝eq\f(1,3)，即eq\f(1－m,m＋1)＝eq\f(1,3)，解得m＝eq\f(1,2).(4)由题意可知，直线l的斜率k＝1，即eq\f(m－1,－1－m)＝1，解得m＝0.(5)由题意可知，直线l的斜率k>0，即eq\f(m－1,－1－m)>0，解得－1<m<1.10.如图所示，菱形OBCD的顶点O与坐标原点重合，OB边在x轴的正半轴上，已知∠BOD＝60°，求菱形OBCD各边和两条对角线所在直线的倾斜角和斜率．解在菱形OBCD中，OD∥BC，∠BOD＝60°，所以直线OD，BC的倾斜角相等，都为60°，所以kOD＝kBC＝tan60°＝eq\r(3).因为CD∥OB，且OB在x轴上，所以直线OB，CD的倾斜角相等，都为0°，所以kOB＝kCD＝0，由菱形的性质，知∠COB＝30°，∠OBD＝60°，所以直线OC，BD的倾斜角分别为30°，120°，所以kOC＝tan30°＝eq\f(\r(3),3)，kBD＝tan120°＝－eq\r(3).11．如果直线l先沿x轴负方向平移2个单位长度，再沿y轴正方向平移2个单位长度后，又回到原来的位置，那么直线l的斜率是()A．－2B．－1C．1D．2答案B解析设A(a，b)是直线l上任意一点，则平移后得到点A′(a－2，b＋2)，于是直线l的斜率k＝kAA′＝eq\f(b＋2－b,a－2－a)＝－1.12．已知点A(2,3)，B(－3，－2)，若直线l过点P(1,1)，且与线段AB始终没有交点，则直线l的斜率k的取值范围是()A.eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(k\b\lc\|\rc\(\a\vs4\al\co1(\f(3,4)<k<2)))) B.eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(k\b\lc\|\rc\(\a\vs4\al\co1(k>2或k<\f(3,4)))))C.eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(k\b\lc\|\rc\(\a\vs4\al\co1(k>\f(3,4))))) D．{k|k<2}答案A解析∵kAP＝eq\f(3－1,2－1)＝2，kBP＝eq\f(－2－1,－3－1)＝eq\f(3,4)，如图，∵直线l与线段AB始终没有交点，∴斜率k的取值范围是eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(3,4)，2)).13．已知直线l的倾斜角的取值范围是eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\f(π,4)，\f(3π,4)))，则直线l的斜率的取值范围是．答案(－∞，－1]∪[1，＋∞)解析当倾斜角α＝eq\f(π,2)时，l的斜率不存在；当α∈eq\b\lc\[\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,4)，\f(π,2)))时，l的斜率k＝tanα∈[1，＋∞)；当α∈eq\b\lc\(\rc\](\a\vs4\al\co1(\f(π,2)，\f(3π,4)))时，l的斜率k＝tanα∈(－∞，－1]．14．已知O(O为坐标