2024年高考第二次模拟考试数学试题(新九省模式专用,2024新题型)

2024年高考第二次模拟考试

高三数学

（考试时间：120分钟试卷满分：150分）

注意事项：

1.本试卷分第I卷（选择题）和第II卷（非选择题）两部分。答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号

填写在答题卡上。

2.回答第I卷时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡

皮擦干净后，再选涂其他答案标号。写在本试卷上无效。

3.回答第n卷时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。

4.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。

第I卷

一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题

目要求的.

1.设集件Aln（x—3）隔{x|x<-l},则AUGR^）=（）

A.{x|-l<x<3}B,-1}c.{x\x<-l^x>i}D.

2.已知复数齐a+bi（QER,bcR且〃工匕），且连为纯虚数，贝！J工二（）

z

A.1B.-1C.iD.-i

3.已知向量M=（—2,4）,B=（u）,若M与5共线，则向量4+5在向量7=（0,1）上的投影向量为（）

A.]B,-]C.2jD.-2j

4.“ab>l”是（）

a

A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件

5.有甲、乙等五人到三家企业去应聘，若每人至多被一家企业录用，每家企业至少录用其中一人且甲、

乙两人不能被同一家企业录用，则不同的录用情况种数是（）

A.60B.114C.278D.336

6.已知口。：％2+y2—2ax—2a—1=0,点尸（―3,0）,若口。上总存在"，N两点使得UPMN为等

边三角形，则。的取值范围是（）

A.-^.,-1|u（-l,+oo）B.-oo,--uL+8）

c.(-00,-2]uh,+00)D.2,—1)U(—1,+℃)

7.已知AA3C中，ZBAC=6Q°,AB=2,。是边BC上的动点.若PA，平面ABC,出=々，且尸。

与面ABC所成角的正弦值的最大值为则三棱锥P-ABC的外接球的表面积为（）

3

A.4兀B.6兀C.8KD.9兀

8.加斯帕尔-蒙日是1819世纪法国著名的几何学家.如图，他在研究圆锥曲线时发现：椭圆的任意两条互

相垂直的切线的交点都在同一个圆上，其圆心是椭圆的中心，这个圆被称为“蒙日圆”.若长方形G的四

边均与椭圆二+二=1相切，则下列说法错误的是（）

64

A.椭圆加的离心率为3

B.椭圆加的蒙日圆方程为岁+a=10

3

C.若G为正方形，则G的边长为26D.长方形G的面积的最大值为18

二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全

部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.

9.已知抛物线C:山=6x的焦点为尸，过点F的直线交C于两个不同点，则下列结论正确的是（）

A.的最小值是6B.若点尸仁司，则悭耳+悭尸|的最小值是4

C.向+向=3D.若悭斗|N尸|=18,则直线MN的斜率为±1

10.已知双曲线E：上一二=1（。〉0）的左、右焦点别为F过点々的直线/与双曲线E的右支相

成2122

交于己。两点，则（）

A.若E的两条渐近线相互垂直，则

B.若E的离心率为百，则E的实轴长为1

C,若/吁勺=90。,则归叶归马=4

D.当。变化时，口勺尸。周长的最小值为8/

11.在棱长为2的正方体ABC。-A产F4中，E,尸分别是棱BCC3的中点，则（）

A.8。与EF是异面直线

11

B.存在点p,使得秒=2而，且5c〃平面AP8

11

c.A尸与平面5班所成角的余弦值为这

113

.4

D.点R到平面4环的距离为,

三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.

（2丫

12.若二项式x+-j=的展开式中二项式系数之和为64,则二项展开式中系数最大的项为

13.若函数/（Dax+sinx的图像上存在两条互相垂直的切线，则实数。是.

14.若过点（0,1）的直线/自左往右交抛物线y=；X2及圆X2+G-=；于四点，贝|

44

\AB\+3\CD\的最小值为.

四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.

15.（13分）已知数列%｝的前w项和为S,且对于任意的“cN*都有居2。+1.

nnnn

（1）求数列3｝的通项公式；

n

（2）记数列3｝的前〃项中的最大值为“，最小值为优，令b=%+叱,求数列名｝的前20项

nnnnOn

16.（15分）灯带是生活中常见的一种装饰材料，已知某款灯带的安全使用寿命为5年，灯带上照明的

灯珠为易损配件，该灯珠的零售价为4元/只，但在购买灯带时可以以零售价五折的价格购买备用灯珠，

该灯带销售老板为了给某顾客节省装饰及后期维护的支出，提供了150条这款灯带在安全使用寿命内更

换的灯珠数量的数据，数据如图所示.以这150条灯带在安全使用寿命内更换的灯珠数量的频率代替1条

灯带更换的灯珠数量发生的概率，若该顾客买1盒此款灯带，每盒有2条灯带，记X表示这1盒灯带在

安全使用寿命内更换的灯珠数量，，表示该顾客购买1盒灯带的同时购买的备用灯珠数量.

更换灯珠数量/只

8''一

7!!

61!

II

5|一；一；—IIII一

O102030405060灯带/条

(1)求X的分布列；

(2)若满足P(X2〃)<0.6的〃的最小值为〃屋求〃°；

(3)在灯带安全使用寿命期内，以购买替换灯珠所需总费用的期望值为依据，比较注今-1与哪

种方案更优.

17.(15分)如图，在三棱柱ABC—Cqq中，直线平面ABC,平面平面

⑴求证:AC_LBB[；

(2)若4cBC%2,在棱qq上是否存在一点p,使二面角尸-BC-q的余弦值为独g?若存

BP

在,求才才的值;若不存在,请说明理由.

11

18.(17分)已知函数/(x)=\nx-x+a.

(1)若直线产(e-与函数/(%)的图象相切，求实数〃的值；

(2)若函数g(x)=犷(x)有两个极值点x和x,且x<x,证明：x+x>l+ln(f).(e为自然对数的底数).

121221x

19.(17分)阿波罗尼斯是古希腊著名数学家，他的主要研究成果集中在他的代表作《圆锥曲线》一书

中.阿波罗尼斯圆是他的研究成果之一，指的是已知动点M与两定点Q,P的距离之比

罂^=九(九〉0,九H1),九是一个常数，那么动点M的轨迹就是阿波罗尼斯圆，圆心在直线PQ上.已

知动点M的轨迹是阿波罗尼斯圆，其方程为基+/=4,定点分别为椭圆C：上+