江苏省宿迁市2024届高三年级下册调研测试数学试题（含答案解析）

江苏省宿迁市2024届高三下学期调研测试数学试题

学校:.姓名:.班级:考号:

一、单选题

1.已知集合4=何04尤44,尤WN},3={X|尤=3左一l,AeZ},则AB=(

A.{0,2}B.{2,4}D.{1,3}

2.已知复数z满足z（3+4i）=5,其中i为虚数单位，贝心在复平面内对应的点位于（

A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限

已知tze(0,7t),cos[a+：J+cos(a_：]=-4

3.则sine的值为（）

R6raD苫

D.--------

A.\33

4.已知函数〃x）=2'-3、则不等式/，）<〃2》+3）的解集为（）

A.(-1,3)B.S，T)U(3,—)C.(-3,1)

5.设s,是等比数列｛%｝的前"项和，若闻，$9，$6成等差数列，%=-2，则的的值为（）

A.-2B-4c"D.1

6.己知忖=2,6=（"3）,£在分上的投影向量为则a与6的夹角为（）

工或出c兀

A.—CD.-

6-1,6^66

/尤2+，=l（a>6>0）的左焦点为F,过原点且斜率为内的直线与椭圆交

7.已知椭圆

于P,Q两点，若PF-QF=-%,则椭圆的离心率为（）

A.BB.叵D

22-f

8.人工智能领域让贝叶斯公式：P（A|B）盘㈤站在了世界中心位置,AI换脸

P叫

是一项深度伪造技术，某视频网站利用该技术掺入了一些“AI”视频，“AI”视频占有率为

0.001.某团队决定用AI对抗AI,研究了深度鉴伪技术来甄别视频的真假.该鉴伪技术

的准确率是0.98,即在该视频是伪造的情况下，它有98%的可能鉴定为“AI”；它的误报

率是0.04,即在该视频是真实的情况下，它有4%的可能鉴定为“AI”.已知某个视频被

鉴定为“AI”，则该视频是“AI”合成的可能性为（）

A.0.1%B.0.4%C.2.4%D.4%

二、多选题

9.设随机变量X~N（0,l）,〃x）=P（XVx）,其中x>0,下列说法正确的是（）

A.变量X的方差为1,均值为0B.P（|X|<x）=l-2/（x）

C.函数在（0,+8）上是单调增函数D./（-x）=l-/（x）

10.在平面直角坐标系xOy中，已知抛物线C:y2=4x,A8为抛物线C上两点下列说

法正确的是（）

A.若直线A8过点（1,0）,则。钻面积的最小值为2

B.若直线A3过点（4,0）,则点。在以线段A2为直径的圆外

C.若直线A8过点（1,0）,则以线段为直径的圆与直线/:x=-1相切

D.过A8两点分别作抛物线C的切线，若两切线的交点在直线/:%=-1上，则直

线A3过点（4,。）

11.已知正方体ABC。-ABC。的棱长为3,E,RG分别为棱B瓦,OR,CG的点，且

112

BE=潸1，DF=々DD[,CG=々CC\,若点尸为正方体内部（含边界）点，满足：

AP=AAE+JLIAF,为实数，则下列说法正确的是（）

A.点P的轨迹为菱形及其内部

B.当％=1时，点尸的轨迹长度为闲

c.最小值为零

D.当〃=:时，直线"与平面ABCD所成角的正弦值的最大值为叵

三、填空题

12.已知（Y+J：的展开式中二项式系数和为32,则展开式中的常数项为.

13.已知定义在区间[0,可上的函数/（x）=2sin（8+g10>0）的值域为卜2,6],则

。的取值范围为.

14.在一个轴截面为正三角形的圆锥内放入一个与侧面及底面都相切的实心球后，再在

试卷第2页，共4页

该圆锥内的空隙处放入"个小球，这些小球与实心球、圆锥的侧面以及底面都相切，则

”的最大值为(取sin17。=3)

四、解答题

15.已知S“为公差不为0的等差数列｛%｝的前〃项和，且%“=几%+1eR,〃eN*).

(1)求2的值;

1111

(2)若84=482，求证：---+----++-----<-,

16.如图，在四棱锥P-ABCD中，四边形ABCD为梯形，其中ABCD,BCD=60°

AB=1BC-2CD-4,平面尸3D_1_平面ABCZ).

(2)若AB_LPD,且PC与平面ABCD所成角的正切值为2,求平面P3C与平面PAD所

成二面角的正弦值.

17.某班欲从6人中选派3人参加学校篮球投篮比赛，现将6人均分成甲、乙两队进行

选拔比赛.经分析甲队每名队员投篮命中概率均为9;，乙队三名队员投篮命中的概率分

别为p(O<p<l).现要求所有队员各投篮一次(队员投篮是否投中互不影响).

3

⑴若，=：,求甲、乙两队共投中5次的概率；

4

(2)以甲、乙两队投中次数的期望为依据，若甲队获胜，求。的取值范围.

18.已知函数/(%)=alnx+4■,〃£R.

x

⑴若a=2e。，求的极小值；

(2)若过原点可以作两条直线与曲线y=/(x)相切，求。的取值范围.

22

19.已知双曲线=-2=l(a>0,b>0)的右顶点为尸，过点尸且与x轴垂直的直线

ab

交一条渐近线于。(1,2).

⑴求双曲线M的方程；

⑵过点Q作直线/与双曲线〃相交于A8两点，直线PAP3分别交直线y=2于C,£>两

11

点’求同|十忸可的取值范围，

试卷第4页，共4页

参考答案：

1.C

【分析】求出集合A,3或明确集合中元素的特征，根据集合的交集运算，即可求得答案.

【详解】由题意得4={0,1,2,3,4},3={小被3除余数为2的整数},

.-.AI3={2},

故选：C.

2.D

【分析】根据复数的除法运算求得z,再求z在复平面内对应的点.

、

【详解】z=—53-4i,则对应(3点为4,

3+415(55)

所以求z在复平面内对应的点位于第四象限.

故选：D.

3.A

【分析】解法一：利用两角和(差)的余弦公式展开求出cose,从而求出sina；解法二:

利用诱导公式得到cos'+47

=-],将两边平方可以得到cos2a=§,再由二

倍角公式计算可得.

【详解】解法一：因为ae（o,兀），cos（c+-兀、（兀\4

4j14；3

.714

所以cosacos——sincrsin—+cosacos—+sin6Tsin—=——,

444

/-44

即，2cosa=——,所以COS6Z=一1万＜。，

所以a兀），所以sina=Jl—cos?1=；

解法二：因为。£（0,兀），cos（a+；）+cos]兀14

口门（兀、兀、71\4

即cosa+—+cosa-\——=——,

14J[14；2」3

所以c°s（a+j+sin[a+j）

两边平方可得l+2sin（a+1）cos（a+—=—6

二

所以sin（2a+T1=：,所以cos2a=1,

答案第1页，共19页

又ae（O㈤，所以=

故选：A.

4.A

【分析】解法一：判断函数Ax）的单调性，再利用单调性解不等式即可.

解法二：特值排除法.

【详解】解法一：函数"X）的定义域为R,函数y=2，,y=3-，分别是R上的增函数和减函

数，

因此函数Ax）是R上的增函数，由/任）</（2%+3）,得d<2x+3,解得—1<X<3,

所以原不等式的解集是（-1,3）.

故选：A

解法二：特值当x=0时，/（0）</（3）,排除B,D,当x=l时，/（1）</（5）,排除C,

对A：当天«-1,3）时，尤2<2尤+3,因为函数/⑺是R上的增函数，所以/•（巧</（2》+3）,

故A成立.

故选A.

5.B

【分析】解法一：根据等比数列的性质判断；解法二：根据等比数列的基本量运算；解法三:

利用二级结论鼠+〃=+^S〃求解.

【详解】解法一：性质+特值.

6=-2=>〃7<。，排除C,D；

当4=1时，2s9=邑+》=>18%=3。]+6〃]=9〃]=>〃]=0,矛盾,

所以所以%w-2,故排除A,

对B：%=—5时，由％=-2得q3=——f

此时2s9=言（1一力：言，

邑+56=产（1-0+4（1_力=1产

1_q\）1-qv）4\-q

所以2s9=S3+§6成立.

答案第2页，共19页

故选：B.

解法二：基本量运算.

当4=1时，2s9=S3+56=>18al=3ax+6ay=9a1=>a{=0,矛盾，

所以

当qwl时，则2S9=S3+S6=+

3

ng(qJl)(2q3+l)=0nq3=_g,/.a7==-1.

故选：B.

m

解法三：二级结论S“+“二染+qSn.

S9=S3+43s6=，6+q6s3=>2s9=S3+Sf+43s6+q6s3,

由2s9=83+86，贝U/S6+q6s3=()nS6+/S3=0,

又邑=53+46=(1+4/3,

则—g3s3=(]+q')S3=>(1+2g3)S3=0nq3=——或S3=0,

2

当邑=0时，0|(1+^+(7)=0,q无解，故星=。舍去.

故选：B.

6.D

【分析】设a与6的夹角为。，由a在b上的投影向量为WcosO-jp/b即可求得cos。的值,

结合向量夹角的范围即可求解.

【详解】设a与6的夹角为。，忖=,商+32=2百

则a在6上的投影向量为|@c°s4即2cos"白=；人

所以cos。-。=,所以cos0=，^,

22

因为0e[0,句，所以。=J,

答案第3页，共19页

故选：D.

7.B

【分析】方法1,根据向量极化恒等可得口。卜手c,求得/O尸Q=],|加|=*c,根据

通径列式得解；方法2,建系向量坐标运算，得=同法1运算得解；方法3,利

用对称性+焦点三角形求解；方法4,利用余弦定理的向量形式+极化恒等式运算得解；方法

5,直线方向向量+解三角形+通径运算得解.

2

【详解】角星法一：PFQF=(PO+OF^(QO+OF^=(OF-gO)(QO+OF)=-—,

|FOF一|OQF=_二n减|=2，

11Z11z

又左。2=tan〃OQ=孝，

2^6FO71

cosZFOQ=^—=——^ZOFQ=~,

~6OQ

=^^^e2+—e-l=0,

a2

又ee(O,l),则e考.

故选：B.

解法二：不妨设。(缶,耳,x>o,贝U

nx=，cnP一G一孝c^>QF1OF,

P(-4ix,-x^,PF-QF=-^

下同解法一(略).

故选：B.

解法三：设右焦点片(-c,0)

「2______

PFQp=-《nPR・PR=]n（a+ex。）（a_exj=^,

答案第4页，共19页

又,则（a+ec）（Q-ec）=券,又则e=

I27

故选:B.

22

解法四：尸6附|2_如|2=一了=陷=痴,

也FP『+FQ|2_|pQ|2

1

PFQF=――0J---------------------------二一一

222

FP|2+FQI2-6产

----------------L-----------------=--=^|FP|2+闸|2=6_。2,

=＞（〃+%『+（〃+%）2

=6-C,XQ=-xp,

贝lj2/+=6—c2,Xp=c1=>2a2+2e2c2=6—c2,

又e«O,l）,则e考.

故选：B.

解法五：尸产.。歹=一［=>,0|2-|OQ|2=-y\（）d\=^C，

由左oo=#n°Q=2则2=c=下同解法一（略）.

故选：B.

8.C

【分析】根据题意，由贝叶斯公式代入计算，即可得到结果.

【详解】记“视频是AI合成”为事件A,记“鉴定结果为AI”为事件B,

则尸（A）=0.001.P（A）=0.999,P（B|A）=0.98,P（B|A）=0.04,

P（A）P（B|A）0.001x0.98

由贝叶斯公式得：尸（A|2）==0.024,

P（A）P（B|A）+P（A）P（B|A）-0.001x0.98+0.999x0.04

故选：C.

9.ACD

【分析】由正态分布的表示可判断A；由正态曲线及〃x）=P（XWx）可判断B,根据正态

曲线的性质可判断C,根据正态曲线的对称性可判断D.

【详解】随机变量则A正确；

答案第5页，共19页

P(|X|<x)=P(-x<X<x)=l-2[l-/(%)]=2/(x)-l,则B错误；

随机变量xN(O,I),结合正态曲线易得函数y(x)在(o,+8)上是单调增函数，则c正确;

正态分布的曲线关于x=0对称，f(-x)=P(X<-x)=P(X>x)=l-/(x),则D正确，

故选：ACD.

10.AC

【分析】设出A8的方程为尤=my+i,代入抛物线的方程，运用韦达定理和中点坐标公式,

求得中点的横坐标和中点到准线的距离，以及面积表达式，可判断AC；设出48的方程

为％=冲+4,代入抛物线的方程由on.08=0可判断B；设直线A3的方程为*=照+〃，由

导数的几何意义写出切线方程求出交点尸坐标，结合韦达定理即可判断D.

【详解】抛物线C:：/=4x的焦点尸(1,0),准线方程为尸-1,设4(和刈,8(孙％)，

对AC选项：设AB的方程为x=:町+1,代入抛物线C:V=4x,可得丁-4冲-4=0,

易知A>0,%+%=4加，%必=-4,

故S0AB=；x|oH|x-%|=gx4j疗+122,

当机=0等号成立，故A正确；

而芭+三=止+应=@±生上2=晒*=2+4病，

124444

贝1弦长14例=%+%2+2=4根2+4,

设AB的中点为M,M到准线的距离为与工+1=2+2疗二|AB|,

所以以AB为直径的圆与准线相切，故C正确；

对B选项：又设A8的方程为了=⑺+4,代入抛物线C:y=4x可得产一4切-16=0,

易知A>0,%+%=4机，％%=T6,

1

OAOB=xtx2+yxy2=（'1t）+%%=16-16=0,

16

则点。在以线段A3为直径的圆上，B错误;

对D选项：不妨设A在第一象限，B在第四象限，则乂>0>%,,

y=2«,y=上则点A处切线斜率K=哀，

答案第6页，共19页

L171

y=-2«,/=--广，则点8处切线斜率左2二一-广，

则点A处切线方程为y=亍(尤-%)+2衣=关+嘉，

7X]yJXy

同理点8处切线方程为y=-i=(x-x2)-2y[x^=--声-后，

联立两直线求得交点横坐标为X=-斥=-1,故占％=1,

设直线AB的方程为X=7型+”,代入抛物线C:y2=4x可得V_4%-4〃=0,

则3=$驱=呼=/=1,故〃=1(负值舍去)，即直线43的方程为x=7殁+1,

1616

则直线AB过点(1,0),故D错误.

故选：AC.

11.ABD

【分析】由空间向量基本定理，共线定理和线面角的定义对选项一一判断即可得出答案.

【详解】对于A,因为AP=XAE+〃AF,由空间向量基本定理可知，

所以尸在菱形A£FG内，A正确；

对于B,取CG上一点使得C8=gcG，连接EH,FH,HB,

易证四边形AFHB和四边形BHGE是平行四边形，所以A尸〃EG,AF=EG,

所以四边形ARSE是平行四边形，所以的=收，

当2=1时，AP=AAE+juAF^AP=AE+/uAF,

所以AP-AE=〃EG,BPEP=juEG,

尸在线段EG上，尸的轨迹长度为线段EG的长，即为如，B正确；

答案第7页，共19页

对于C,由AP=2AE+〃A尸知，尸在菱形AEFG内，

所以|A尸|的最小值即为点4到平面AEFG的距离，

以。为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系，

则4（3,0,0）,万（0,0,1）,E（3,3,1）4（3,0,3）,

可得AF=（-3,0,1）,AE=（0,3,1）,知=（0,0,3）

设平面AbG£的法向量为々=（。也c）,贝"，

ncAE=3b+c=0

取c=3,可得a=l,Z?=T,所以勺=（1,一1,3）,

|々,泡99A/TT

所以A到平面A£FG的距离为：d=^T^=-=-=^—f故C错误;

々V1+1+3211

对于D,当"二;时，AP=AAE+JLIAFAP=AAE+AF,

分别取的中点M,N,连接脑V,。在线段脑V上,

M[l，O，ll7V（r3，lj，所以砺=彳丽（°V2V1），可得pg，32"+；

平面ABCD的法向量为m=（0,0,1）,”=（-1,32,2+,，

设AP与面A5CD所成角为。，

AP-m\

sin0=cosAP,m=J——；——-

所以AP-|m|

设好心7,因为4e[0/]，贝1

2Z+1J

答案第8页，共19页

11•八1

则2=五一万代入化简可得仙。=而产网+10,

当/时，直线AP与平面ABCD所成角的正弦值的最大值为叵，D正确.

211

故选：ABD.

【点睛】方法点睛：对于立体几何的综合问题的解答方法：

(1)立体几何中的动态问题主要包括：空间动点轨迹的判断，求解轨迹的长度及动态角的

范围等问题，解决方法一般根据线面平行，线面垂直的判定定理和性质定理，结合圆或圆锥

曲线的定义推断出动点的轨迹，有时也可以利用空间向量的坐标运算求出动点的轨迹方程;

(2)对于线面位置关系的存在性问题，首先假设存在，然后在该假设条件下，利用线面位

置关系的相关定理、性质进行推理论证，寻找假设满足的条件，若满足则肯定假设，若得出

矛盾的结论，则否定假设；

(3)对于探索性问题用向量法比较容易入手，一般先假设存在，设出空间点的坐标，转化

为代数方程是否有解的问题，若有解且满足题意则存在，若有解但不满足题意或无解则不存

在.

12.10

【分析】由展开式中二项式系数和为32,令x=l,求出〃，然后利用通项公式中x的指数

为0,求出厂，进而得出常数项.

【详解】令x=l,贝|2"=32n〃=5n&]=CMfn当厂=2时，常数项为C；=10.

故答案为：10.

△「55-

13.—

63_

【分析】先求出。尤+2年互的范围，考虑其右边界的取值范围即可.

27r27r27r

【详解】因为无目0,兀],所以。%+与£—,—+^71,

其中2sin空=2x=^3，

32

相邻的后面一个使得2sin[8+g)=若成立的值为：+y==

且2sin,=-2,当且仅当?解得：.

故答案是：.

o3

14.10

答案第9页，共19页

【分析】在圆锥的轴截面中求出大球、小球半径及正三角形边长的关系，然后再根据空隙处

放入n个小球相切的关系，利用三角函数性质求出小球最多的个数.

【详解】由题意知，圆锥的轴截面为正三角形，设边长为2a.

设实心球半径为R,由/0C£>=30°得：OC=2R,:.OA=OC=2R

:.R+2R=AD=6a,R=—a,OC=^-a,EC=OC-R=R=—a.

333

,

设小球的半径为/,同理O'C=2r,3r=CE=Ba,:.r=Ba,OO=R+r=^a,

399

2

O'到直线OA的距离为OO'-sin60°=-a.

2

空隙处放入〃个小球相邻相切，排在一起，则球心在一个半径为的圆上，如下图所示:

少为相邻两球的切点，,Al2分别为球心,

设=贝心布6=—=且，tan,

MXM6vl1

由三角函数性质可知：sine<e<tan。，,

6Vil

J32_27r

:.-<ie<-^=,*<2后,X71171=7117?>10'2A/3<A/1277<11>

3Vil

故小球个数最多为10个，即〃的最大值为10.

故答案为：10

答案第10页，共19页

15.(1)2

(2)证明见解析

【分析】(1)解法一：设｛%｝的公差为d(dwO)，利用等差数列的定义可得答案；解法二:

设｛%｝的公差为d(dwO),转化为(几-2)血+(彳-1乂4-d)+l=0对v“wN*恒成立，可得答

案.

(2)求出。“，利用裂项相消求和可得答案.

【详解】(1)解法一：设｛4｝的公差为d(dH。),

由出“=+1①，得a2n+2=Aa„+l+1②,

则②-①得外n+2一出”=几(。〃+1一。〃)，

即2d=Ad,又dW0,则X=2；

解法二:设｛4｝的公差为d(dwO),

因为。2〃+1，

所以q+（2〃-l）d=丸[/+（〃-l）d]+l对N*恒成立,

即（X—2）册+（X—l）（q—d）+l=0对VnGN*恒成立，

、J（2-2）J=0

所以（几_1）（〃1-d）+l=0'

又dw0,贝ij丸=2；

（2）由=4S2得4〃i+6d=4（2al+d）,即2%=d,

所以。“=q=2q〃_6,

又a2n=2%+1即一G=2（2q几一q）+l,则4=1,

因止匕=2n-\,

111111

则石+菽+H-----------=---------1----------F+

anc1n+11x33x5（2«-l）（2n+l）

1111111

-+------------<—

23352〃-12n+l2n+l2

答案第11页，共19页

16.(1)证明见解析

6底

⑵W

【分析】(1)根据题意，由面面垂直的性质定理即可得到AO_L平面P8D,再由线面垂直的

性质定理即可证明；

(2)法一：建立空间直角坐标系，结合空间向量的坐标运算，即可得到结果；法二：根据

面面角的定义，先找出所求的二面角，然后代入计算，即可得到结果.

【详解】(1)因为/BCD=6(F,3C=C£>=2,所以△BCD为等边三角形，

所以AB=2BD=4,

又四边形ABCD为梯形，ABDC,则NABn=60。，

在△AB。中，由余弦定理可知，

AD-=AB2+BD2-2AB-BDcosZABD=42+22-2x4x2xl=12,

2

根据勾股定理可知，AD2+BD2=AB\即

因为平面PB£)J_平面A3CD,平面PBZ)平面ABCD=B£),ADu平面ABCD,

所以AD_L平面P8D,又因为PDu平面P3D

所以AD_LPD.

(2)法一：由(1)可知A£>_LP£>,

又因为AB_LPD,ADAB=A,所以PD_L平面ABC。，

—DP

所以NPCD就是PC与平面A8CO所成角，所以tanZPCD=—=2,

所以尸£)=4；

以［DA,DB,DP］为正交基底,建立如图所示的空间直角坐标系。-孙z,

则8(0,2,0),々一班,1,0),尸(0,0,4),

答案第12页，共19页

所以3P=(O,-2,4),BW=bW,-l,O),

设平面P3C的法向量为4=(x,y,z),

—2y+4z=0,

则有《取々=卜2后6,3),

-V3x-y=0,

由题意得％=(0,1,0)为平面尸AD的法向量，

%%62y/51

所以8刈'%=丽=百=»,

即平面尸3c与平面PAD所成二面角的正弦值运.

19

法二：在平面ABCD内，延长BC与AD相交于点M,

连接PM，则PM为平面PBC与平面PAD的交线，

在平面尸Z)暇内，过点。作DN_LPM,垂足为N,连接BN,

因为AD，P£>,AB_LPr),ADAB=A且均在面45co内，

所以PDJL面ABCD,

因为BDu面ABCD,所以PD_L3£),

又因为阳=。且均在面PAD内,

所以面PAD,即面尸Z)扬，

因为尸Mu面尸DM,所以3r)_LPAf,

因为PM工BD,DN工PM,ND即=。且均在面8DN内，

所以「M_L面BDV,由BNu面RDM所以3N_LPM,

所以AO=Z)M=2g,

PDDMPDDM4721

在直角三角形尸而中DN=F_

y]PD2+DM27

答案第13页，共19页

在直角三角形BND中tanZBND=—，

6

所以平面P3c与平面P/4。所成二面角的正弦值叵.

19

所以ZB2VD就是二面角的平面角，

又因为平面A3CD,

所以ZPCD就是PC与平面ABCD所成角，

DP

所以tanNPCZ）=℃-=2,所以PD=4,

因为OC〃AB,所以'=生=4.

AMAB2

17.（1）—

72

3

（2）0<p<-

【分析】（1）分甲队投中3次，乙队投中2次或者甲队投中2次，乙队投中3次两种情况,

利用概率的乘法求解.

（2）分别求出甲、乙两队投中次数的期望，比较大小求得P的取值范围.

【详解】（1）记“甲，乙两队共投中5次”为事件A,

则可以是甲队投中3次，乙队投中2次或者甲队投中2次，乙队投中3次.

甲、乙两队共投中5次的概率为曾.

（2）记甲、乙两队投中次数分别为x,y,

则X小,）所以矶X）=3x|=2；

/的取值为0,1,2,3,则尸（y=0）=1x，（l一p）=?

24o

尸（y=i）=gx；（i—p）+gx：（i_p）+gx；p=T^,

P（Y=2）=-x—（1-p）+—x—p+—x—p=^-^-,

、724V724248

i33

P（Y=3）=—x—p=—p,

、7248

所以，y的分布列为

答案第14页，共19页

Y0123

1-P4—323+p3

P-p

8888

135

^E(Y)=-+-+P=-+P

53

若甲队获胜，则T+p<2,故0<〃<二.

44

18.(l)-e2

(2)(-,+co)

e

【分析】（1）求出函数的导数，根据导数与极值的关系，即可求得答案;

（2）设切点分别为（占,〃西））,伍,/（々）），根据导数的几何意义，表示出切线方程，将原问

3

题转化为方程城+a（lnx-1）=0两个不同的根的问题，构造函数，利用导数求得其最小值的

表达式，分类讨论，结合零点存在定理，即可求得答案.

【详解】（1）由〃x）=2e21nx+=,（%>0）,得/（%）=竺一彳=冬六，

%XXX

令广⑺<0得0<x<：,则/（无）在（0,：上单调递减，

令尸（x）>0得x>：,则〃x）在［,+，］上单调递增，

则“X）的极小值为（：］=2e2ln|+e2=-e2；

设切点分别为（%,f（%））,（%,/（*2）），

〃丫2_2

则/（X）在x=X］处的切线方程为（X-占）,

x\

又切点过原点，所以0-〃占）=竺F（°一号），

苦

33

即^■+〃（1叫一1）=0,同理一y+〃（lnjr2_1）=0,

3

所以司，无2为方程二十。（成-1）=。两个不同的根，

设g（无）=W+a（lnx-l）,则g，（x）=_g+3=^±^

XXXX

答案第15页，共19页

若，W0,g，(x)<0,则g(x)在(0,+力)单调递减，g(x)=O不可能有两个不同的根，不符合题

但单调递减,

若a>0,令g'(x)<0得，xe

a)

3,+8,g(x)在

令g'(x)>。得尤单调递增,

所以gQUn=g

若8(了)而„20,即W+aInp-INO,贝1]0<〃49，

2(V。Je

此时方程子+。(1皿-1)=0没有两个不同的根，不符合题意；

若g(x)min<。，即a>2g(e)=W>。，口<e?<e,

eeVa

因为〃所以4—9=上季<0,所以L他,g仕]="3a—ln〃—1),

eaaaa\a\a)

^h(a)=3a-lna-l^a>^,则//(〃)=3—L〉0,

所以在上单调递增，

即g(J=a(3"im)>0,又g⑺=捻+°(1』1)的图象是不间断的曲线,

所以存在和三满足，<匹口<%<e使得g(%)=g(%)=。，

axa

所以。的取值范围是(2+8).

【点睛】关键点点睛：难点在于根据切线的条数求解参数范围。解答时将问题转化为方程

二+a(lnA-1)=0两个不同的根的问题，然后构造函数，利用导数，求得函数最小值，分类

X

讨论，结合零点存在定理求解即可.

19.⑴/-汇=1

(2)[2,4)u(4,+oo)

【分析】(1)利用双曲线的顶点与渐近线性质得到关于。力的方程，从而得解;

答案第16页，共19页

(2)解法一：联立直线A3与双曲线的方程，得到％+%，西无2与人的取值范围，再将所求转

化为关于％的表达式即可得解;解法二：通过分析可得匕是上述关于七方程的两个不等根,

从而求得机的值，再将所求转化为关于机的表达式即可得解.

【详解】(1)因为双曲线〃：=-与=1的渐近线方程为丫=±劣,

aba

〃

=1r\a=1l

所以解得

—=2\u—L

2

所以双曲线/的方程为V一匕=1.

(2)解法一:

由题知，直线的斜率存在,

设A8方程为＞=左(%-1)+2,4(%,另),8(%2，%)，

联立后(：一1：；,^(4-^2)X2+2^(^-2)%-^2+4^-8=0,

222

贝1」4_左2^0＞A=4F(^-2)-4(4-)t)(-^+4^-8)=-64(^-2)＞0,

所以左＜2且人力一2,贝!!占+尤2=_2-化j),为々=:+41

因为序的方程为＞=上y(x-l),由题意得y户0,贝!

石一1

所以{印＜2且无2,无#1},

令y=2得c［左二。+1,2，同理O「(")+1,21

I%)I%J

2121

所以|QC|=出心+lT=为亘，