控制系统的稳定性分析

控制系统的稳定性分析第一节系统稳定的基本概念第二节劳斯稳定判据第三节奈氏稳定判据第四节玻德稳定判据控制系统的稳定性分析

稳定性是控制系统的重要性能，是系统正常工作的首要条件。分析系统的稳定性，并提出保证系统稳定的条件，是设计控制系统的基本任务之一。系统的稳定性判据

1)、劳斯判据——是一种代数判据2)、奈奎斯特判据——用开环奈氏曲线判断闭环系统的稳定性，是一种几何判据.3)、玻德判据——用开环玻德图判断闭环系统的稳定性，并可判断稳定的程度第一节系统稳定的基本概念一、稳定的概念如果系统受到扰动，偏离了原来的平衡状态，而当扰动消失后，系统又能够逐渐恢复原来的平衡状态，则称系统是稳定的，或具有稳定性。否则，称系统是不稳定的，或不具有稳定性。

a)在外界扰动力作用下，单摆由原来的平衡位置A运动到B、C，扰动消失后，过一段时间，单摆又回到原来的平衡位置A，故是稳定的。b)倒立摆在位置A也是平衡的，受扰动后，再也回不到原来的平衡位置，故是不稳定的.

系统稳定性是表示系统在去掉外在作用后自己恢复到原平衡状态的能力，因此，线性系统的稳定性是系统本身的固有属性。这种固有的稳定性，只取决于系统的结构参数而与初始条件及外作用无关。二、稳定的数学条件线性系统的微分方程

若齐次方程的解是收敛的，则系统是稳定的。

由于稳定性是研究系统在外作用消除以后的动态过程，故方程右边为零，就得到齐次微分方程。特征方程若要求系统是稳定的，输出量最终应回到零位，即原平衡点齐次方程的解为

——由初始条件及系统结构决定的常数

——特征方程的根所以表明系统的稳定性仅取决于特征根的性质.上式必须各子项都逐渐为零才能成立.故稳定性定义为所以，只有系统的所有实根都为负值，系统才稳定。正弦衰减振荡，系统稳定等幅振荡，系统为临界状态呈发散振荡状态，系统不稳定所以，只有系统的所有复根的实部均为负值，系统才稳定。3、特征方程有重根

c(t)中有如下各分量这些分量，当时间t趋于无穷远时，是否收敛到零，仍取决于特征根特征根的性质。综上所述，得系统稳定的充要条件是特征方程所有的根都具有负实部或特征方程的所有根全部位于[s]平面的虚轴左侧

很明显，对于稳定的系统在有外作用情况下，由于特征根具有负实部，瞬态分量随时间增加而衰减至为零，输出量将最终趋于外作用引起的稳态分量。第二节劳斯稳定判断

要判断系统的稳定性，必须知道特征根实部的符号。解特征方程，求出全部根，可直接判断。但对高阶系统，求根很困难。因为系统特征方程的根与特征方程的系数有唯一对应的关系，可根据特征方程的的各项系数直接判断其根的稳定性。

——代数判断，古尔维茨稳定判据，劳斯稳定判据。一、稳定判据的必要条件

系统稳定的必要条件特征方程的各项系数存在并同号特征方程二、劳斯稳定判据的充要条件特征方程系数所组成的劳斯阵列中第一列所有元素的符号一致，则系统稳定检查第一列各元素的符号1）如果第一列各元素符号相同（为正值），系统稳定。2）如果第一列各元素符号不全相同（出现负号），系统不稳定。符号改变的次数就等于特征方程右根的数目。三、二阶至四阶系统的稳定条件二阶系统稳定的条件：各项系数大于零三阶系统稳定的充要条件：（1）各项系数大于零

（2）四阶系统稳定的充要条件

(1)各项系数大于零(3)(2)和(3)只要满足(3)必定满足(2)(2)得：(1)各项系数大于零(2)四、特殊情况（1）劳斯阵列中，某一行的第一列为零可用一个很小的正数ε来代替零元素例：

(2)劳斯阵列中某一行的元素均为零表明存在着一些大小相等，径向位置相反的根，即存在着一些大小相等、符号相反的实根和（或）共轭虚根。所以，系统要么不稳定，要么临界稳定。a、取元素为零的前一行，以其系数组成辅助多项式。b、辅助多项式对s求导，以其系数代替全为零值的一行。c、由辅助多项式求取各对称根。第一列元素值符号有两次变化，系统不稳定特征方程在[s]平面的右半平面内有两个根第一列的系数均为正值，表明在S右半平面上没有特征根令得两对大小相等的，符号相反的根另外一对根显然系统处于临界稳定状态。

为保证系统具有良好的动态响应，常希望系统特征根与S平面上虚轴之间有一定的距离a。

即希望特征根全部位于s平面上s=-a直线的左侧设一个新变量，以代入原系统特征方程，得到一个的方程，应用劳斯判据。例要求闭环系统的特征根全部位于垂线s=-1左侧，系统的闭环传递函数系统的特征方程以代入上式，整理得第三节奈氏稳定判据

用解出微分方程的根或者用劳斯判据判断系统的稳定性，对复杂的系统都是不方便的。另外，他们虽能判断系统的稳定性，却不能看出稳定的程度如何，元件参数对稳定性的影响。

频率判据是利用系统的开环频率特性判断闭环系统的稳定性，并可求出稳定裕度。

由于开环频率特性容易得到，而且它与组成系统的各环节有较直接的联系，因此，频率判据在工程实用上有重要的价值。一、奈氏稳定判据N(s)——开环的特征式N(s)+M(s)——闭环的特征式单位负反馈系统，开环传递函数为G(s)——闭环特征根或称闭环极点——开环特征根或称开环极点

由于N(s)的阶次一般高于M(s)，所以F(s)的分子分母阶次相等，n阶。若特征根的实部为正（即为不稳定根）则子因式的幅角增量平均为若特征根的实部为负（即为稳定根）则子因式的幅角增量平均为如果系统开环有P个不稳定特征根，则系统闭环要稳定，即闭环n个特征根的实部为负即当ω由0→∞时，在其复平面内的幅角增量为，则闭环系统稳定若系统开环是稳定的，，则闭环稳定的条件为即当ω由0→∞时，在其复平面内的幅角增量为零

平面的坐标原点相当于平面的点，则向量对其原点的转角相当于曲线对点的转角2、若系统开环稳定，P=0

当ω由0→∞时，开环奈氏曲线绕点转角为零，不包围点，则系统稳定。结论：1、若系统开环特征方程具有P个右根当ω由0→∞时，开环奈氏曲线绕点转角，即圈，则系统稳定。奈氏判据更一般的形式为当ω由0→∞时，P-Z=2N逆时针转为正，顺时针转为负

P-Z=2NP——开环右极点数

Z——闭环右极点数

N——开环奈氏曲线绕点转过的圈数在P≠0时，Z为零的充要条件是

——第一条结论第三条结论在已知P和N的条件下，可知可判断闭环不稳定的极点数目在P=0时，闭环稳定即Z为零的充要条件是N为零

——第二条结论二、奈氏判据的说明1、奈氏判据无论对单位反馈还是非单位反馈系统都同样适用2、若开环传递函数中含有积分环节开环特征方程出现零根，当ω=0时，幅值将趋于∞开环奈氏曲线是不封闭的。

b)、从正实轴到图形起点用一个半径为∞的辅助圆连接起来，从而产生一个封闭图形。以原点为圆心，以∞为半径，从处逆时针方向画个大圆

作一些补充后仍可用奈氏判据

a)、把开环零根看作稳定根三、奈氏判据的应用举例例1、系统的开环传递函数为①

若由奈氏曲线可见，不包围点故闭环系统稳定②若当ω=0→∞时，奈氏曲线顺时针包围点一圈，即N=-1故闭环系统不稳定闭环稳定闭环系统正实部根的个数

Z=P-2N=0-2(-1)=2

闭环特征方程例2、单位反馈系统的开环传递函数开环特征根K>1时，奈氏曲线逆时针包围点半圈

P≠0时，闭环稳定的充要条件故闭环系统稳定K<1时，奈氏曲线不包围点，故闭环系统不稳定闭环特征方程稳定条件例3、奈氏曲线逆时针包围点一圈N=1闭环稳定的充要条件故闭环稳定已知P=2可见系统开环稳定，但各个部件及其受控对象的参数匹配不当，很可能闭环系统不稳定。开环不稳定，只要合理地选择控制装置，完全能调出稳定的闭环系统。

开环稳定性和闭环稳定性是两个概念，二者不容混淆。例4、闭环系统稳定闭环系统临界稳定

微分环节的时间常数越大，则在低频时就开始影响奈氏图的形状，可使系统趋于稳定。闭环系统不稳定例5、得曲线与负实轴交点-0.378K对所有的K值闭环系统都稳定当K>2.65时，闭环系统不稳定令-0.378K=-1得系统稳定K的临界值为2.65令得代入上式奈氏判据：若开环具有P个右根，闭环系统稳定的充要条件是开环奈氏曲线包围点的次数等于正穿越奈氏曲线逆时针包围点一圈，奈氏曲线从上到下穿过负实轴随着正穿越，相位滞后变小第四节玻德稳定判据奈氏判据：若开环具有P个右根闭环系统稳定的充要条件是：开环奈氏曲线在负实轴段正、负穿越的次数差为负实轴——线点就是模为1，幅角为的点在对数频率特性中就是分贝，对应于0分贝线与线单位圆——零分贝线单位圆以内对应于负分贝区单位圆以外对应于正分贝区正穿越：相位滞后减小，由下向上穿越线负穿越：相位滞后增大，由上向下穿越线2、若P=0，则正、负穿越次数相等上图若P=0则闭环系统稳定。对数频率稳定判据为：闭环系统稳定的充要条件是：1、在开环对数幅频特性的范围内与线的正、负穿越次数之差为

P——开环右极限点数3、若系统开环不稳定，有P个根具有正实部。在范围内，正、负穿越线的次数代数和，那么闭环系统就不稳定。其右极点数2）在对数相频特性曲线处，向上补一个相角。

在应用开环对数频率判据判断闭环系统稳定性时，如遇到传递函数出现积分环节，应该和应用幅相频率判据时做同样处理。1）把开环特征方程式的零根看作是数值趋于零的负实根；例如有因子这时正好由线开始那么，在补了一个角后就算有一次负穿越。故应在曲线的处向上补这样就可以用对数频率判据判断其稳定性2）由加上虚线后的和可知，在为正值的范围内，穿越线的次数为-1

故闭环系统不稳定。闭环特征方程有二个正实部根这与用奈氏判据判断的结论完全一致

1）开环特征方程式正实数根的个数P=0第五节控制系统的相对稳定性

临界稳定是不能工作的，稳定性不够也不行，因为建立系统的数学模型时，忽略了一些因素的影响，方程线性化处理，计算参数的选取等都使得理论计算与实际情况有差别，另外，实际系统的参数在工作过程中会