2024年江苏省无锡市九年级中考第一次适应性练习数学模拟试卷含详解

省锡中实验学校2023-2024学年度第二学期

初三第一次适应性练习数学试卷2024年3月

一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分.在每小题所给出的四个选项中，只有一项是

正确的，请用2B铅笔把答题卡上相应的选项标号涂黑.）

_5

1.2的倒数是（）

5522

A.一B.-(z.一D.—

2255

3

2.田奴》“।日义星X叩耿但7巳国心\)

x+2

AX>2B.x>-2(3.尤w―2D.x<—2

3.下列运算正确的是（）

222。)23

A.(tz—Z?)=a—bB.(2.(―3=9/D.a+a=a

4.若x=l是关于x方程3x+a=4的解，则。的值为（）

A.7B.1C.-1D.-7

5.某城市3月份某星期7天的最低气温如下（单位：。C）：16,20,18,16,18,18,这组数据的中位数、众数分

别是（）

A.16,16B.16,20C.18,20D.18,18

6.数学世界奇妙无穷，其中曲线是微分几何的研究对象之一，下列数学曲线是中心对称图形的是（）

7.如图，将AABC绕点A逆时针旋转一定的度数，得到AADE.若点。在线段的延长线上，若/5=35°则

旋转的度数为（）

A.100°B.110°C.145°D.55°

8.下列命题中，是真命题的有（)

①对角线互相平分的四边形是平行四边形；②对角线互相垂直且相等的四边形是正方形;

③矩形的对角线互相垂直且平分；④菱形的对角线平分一组对角.

A.①③B.①④C.②③D.②④

9.如图，矩形。钻C的顶点C在双曲线y=&（左#0）上，与y轴交于点，且=AO与x轴负半轴

X

的夹角的正切值为连接。8,SOBD=5,贝I]上的值为（

C.16D.18

10.如图，一ABC是边长为6等边三角形，点E在AC上且AE=4,点。是直线上一动点，将线段ED绕

点E逆时针旋转90°,得到线段所，连接OR,AF,下列结论:

①止的最小值为几；②AF的最小值是2+石

③当CD=2时，DE〃AB；④当DE/AB时，DE=2.

其中正确的有（）

A.4个B.3个C.2个D.1个

二、填空题（本大题共8小题，每小题3分，共24分.不需写出解答过程，请把答案直接填写在答

题卡相应的位置上）

11.分解因式m2一9的结果是

12.马拉松长跑是国际上非常普及长跑比赛项目，全程距离约42200米，将数字42200用科学记数法表示为

13.已知方程式―5%+2=0的两个解分别为玉、巧，则西+々的值为

14.已知圆锥的底面半径为1cm,母线长为3cm,则这个圆锥的侧面积是.

15.请写出一个函数表达式，使其图象经过点。，0),并经过第三象限：

16.“圆材埋壁”是我国古代数学著作《九章算术》中的一个问题：“今有圆材，埋在壁中，不知大小，以锯锯之,

深一寸，锯长一尺，问径如何？”.问题翻译为：如图，现有圆形木材埋在墙壁里，不知木材大小，将它锯下来测

得深度CD为1寸，锯长A5为10寸，则圆材的半径为寸.

2—2℃—7a+l2m为常数，且。小于0)的图象在x轴上方，则。的取值范围为

18.如图，直线/与半径为2的。相切于点A,P是)0上的一个动点(不与点A重合)，过点尸作垂足

为B,连接PA设PA=x，PB=y,贝U(x—2y)的最大值是.

三、解答题(本大题共10小题，共96分.请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证

明过程或演算步骤)

19.计算：

(1)后—(—2)2+|—3|

(2)(%—1)"+(x+1)(%+2).

。I[1

20.(1)解方程：——二——+1；

x+3%+3

2x-2<x,

(2)解不等式组：“

3(%+1)>6.

21.如图，在四边形A5CD中，?B90?,AC平分ZZMB，DE1AC,垂足为E,SLAE=AB.

D

B

(1)求证：^ADE^ACB；

(2)若NZMC=40。，求/DC4的度数.

22.2024年3月24日无锡市迎来一场激动人心的体育盛会--2024无锡马拉松.当日，来自全国各地的参赛选手

齐聚无锡太湖湖畔，通过参加比赛感受秀美无锡的自然风光、人文风情和城市魅力，彰显挑战自我、超越极限、永

不放弃的体育精神•比赛设置“全程马拉松”、“半程马拉松”以及“欢乐跑”三种不同项目.甲、乙两人分别各

参加了其中一个项目.

(1)甲恰好参加的是“半程马拉松”的概率是；

(2)请用画树状图或列表法求解“甲、乙两人分别参加两种不同项目”的概率.

23.垃圾的分类处理与回收利用，可以减少污染，节省资源.无锡市环保部门抽样调查了某居民小区一段时间内生

活垃圾的分类情况，将获得的数据整理绘制成如图两幅不完整的统计图.(注：A为厨余垃圾，8为可回收垃圾,

C为其它垃圾，£＞为有害垃圾)

各类垃圾数量条形统计图各类垃圾数量扇形统计图

ABCD垃圾类别

根据统计图提供的信息，解答下列问题：

(1)本次调查的样本容量是;

(2)补全条形统计图；

(3)假设该小区每月产生的生活垃圾为100吨，且全部分类处理，请估计每月产生的有害垃圾有多少吨?

24.如图1,在中，ZC=90°,且边上有一点D

AA

（图1）（图2）

(1)请在图1中用无刻度的直尺和圆规作图(不写作法，保留作图痕迹)：

①作/C的角平分线CE,交边AB点E；

②作RdDEF,其中ZDEF=90°,点尸在AC边上；

(2)在(1)的条件下，若BC=3,AC=6,点。在边上运动，则面积的最小值为

25.如图，AD是。的直径，A3为1。的弦，OP1.AD,OP与A5的延长线交于点P.点。在O尸上，且

BC=PC.

(1)求证：直线是：。的切线；

(2)若Q4=6,AB=4,求5F的长.

26.阳春三月，又到了一年最美樱花季，童头渚某商家借机推出新款樱花雪糕，其中雪糕每支成本5元.该商家每

支雪糕定价40元，平均每天可售出600支，为了扩大销售，增加盈利，尽快减少库存，商家决定采取适当的降价措

施，经调查发现，如果每支雪糕降价1元，商场平均每天可多售出30支.求：

(1)若商家平均每天要盈利22500元，每支雪糕应降价多少元？

(2)每支雪糕降价多少元时，商家平均每天盈利最多？

27.如图，已知矩形43。的边/3=4,AD=8,点P是边BC上的动点，线段AP的垂直平分线交矩形A3CD

的边于点V、N,其中点/在边或BC上，点N在边或D4上.

(1)如图2,当3P=2时，求40长度;

(2)当dAMN是等腰三角形时，求6P能取到的值或取值范围；

(3)当动点尸由点8运动到点。的过程中，求点N的运动路程长为多少？

28.如图1,抛物线丁=必+法+。经过4(0,3),8(4,3)两点，作5C垂直x轴于点C.

(1)求该抛物线的解析式；

(2)若点。是抛物线上一点，满足NBOC=NOBD,求点。的坐标；

(3)若点P为抛物线上一点，且在第四象限内.已知直线Q4，与x轴分别交于E、尸两点.当点P运动时,

,是否为定值？若是,请求出该定值；若不是，请说明理由.

OECF

省锡中实验学校2023-2024学年度第二学期

初三第一次适应性练习数学试卷2024年3月

一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分.在每小题所给出的四个选项中，只有一项是

正确的，请用2B铅笔把答题卡上相应的选项标号涂黑.）

_5

1.2的倒数是（）

【答案】D

【解析】

【分析】根据倒数的定义，可得答案.

52

【详解】-一的倒数是-一.

25

故选：D.

【点睛】本题考查了倒数.掌握倒数的定义，明确分子分母交换位置是求一个数的倒数是解题的关键.

3

2.函数y=----中自变量x的取值范围是（）

x+2

A.x>2B.x>—2C.x—2D.尤<—2

【答案】C

【解析】

【分析】根据分式有意义分母不为。直接求解即可得到答案；

【详解】解：由题意可得，

x+2w0,

解得：x—2,

故选C；

【点睛】本题主要考查函数自变量x的取值范围，涉及分式时要使分式有意义，保证分母不为0.

3.下列运算正确的是（）

A.（a-好=a?_及B.a9a3—a3C.（—3。）=9a6D,a2+a3—a5

【答案】C

【解析】

【分析】利用完全平方公式、同底数幕的除法、积的乘方、塞的乘方等运算法则逐一进行计算即可.

【详解】解：A、（a—b）2=/一本选项不符合题意；

B、/+〃=。9.3=。6彳。3,本选项不符合题意；

C、（-3tz3）2=（-3）2xa3x2=9a6,本选项符合题意；

D、a~+a3a5＞本选项不符合题意.

故选：C.

【点睛】本题考查了完全平方公式、同底数募的除法、积的乘方、越的乘方等运算法则，熟练掌握这些运算法则

是解答本题的关键.

4.若x=l是关于龙的方程3x+a=4的解，则a的值为（）

A.7B.1C.-1D.-7

【答案】B

【解析】

【分析】本题考查一元一次方程的解的定义，把％=1代入方程3x+a=4,求解即可.熟练掌握方程的解是使等

式成立的未知数的值，是解题的关键.

【详解】解：把x=l代入方程3%+。=4得：

3+a=4,

解得：a—1.

故选：B.

5.某城市3月份某星期7天的最低气温如下（单位：。C）：16,20,18,16,18,18,这组数据的中位数、众数分

别是（）

A.16,16B.16,20C.18,20D.18,18

【答案】D

【解析】

【分析】众数为数据中出现次数最多的数；中位数：将数据按大小顺序（从小到大或从大到小）排列，若有奇数

个数据，位于最中间的数，若有偶数个数，则是位于最中间两个数的平均数.

【详解】解：把这些数从小到大排列为：16,16,18,18,18,20,

则这组数据的中位数是J~2=18；

2

：18出现了3次，出现的次数最多，

这组数据的众数是18；

故选：D.

【点睛】本题考查众数、中位数的计算，将数据按大小顺序排列是计算中位数的关键.

6.数学世界奇妙无穷，其中曲线是微分几何的研究对象之一，下列数学曲线是中心对称图形的是（）

A.B.

【答案】C

【解析】

【分析】根据中心对称图形的概念判断.把一个图形绕某一点旋转180。,如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，

那么这个图形就叫做中心对称图形.

【详解】解：选项A、B、D都不能找到这样的一个点，使图形绕某一点旋转180。后与原来的图形重合，所以不是

中心对称图形，选项C能找到这样的一个点，使图形绕某一点旋转180。后与原来的图形重合，所以是中心对称图

形，

故选：C.

【点睛】本题考查的是中心对称图形的概念.中心对称图形是要寻找对称中心，旋转180度后与自身重合.

7.如图，将AABC绕点A逆时针旋转一定的度数，得到AADE.若点。在线段的延长线上，若/5=35°则

旋转的度数为（）

A.100°B.110°C.145°D.55°

【答案】B

【解析】

【分析】先由旋转的性质得到再根据等腰三角形的性质解答即可.

【详解】解：由旋转的性质可知

ZB=ZADB=35°,

^BAD=1800-ZB-ZADB^\10°,

故旋转的度数为110。，

故选B.

【点睛】本题考查了旋转的性质和等腰三角形的性质，解题的关键是求出NZ=/ADfi=35°.

8.下列命题中，是真命题的有（）

①对角线互相平分的四边形是平行四边形；②对角线互相垂直且相等的四边形是正方形;

③矩形的对角线互相垂直且平分；④菱形的对角线平分一组对角.

A.①③B.①④C.②③D.②④

【答案】B

【解析】

【分析】此题主要考查了平行四边形、正方形的判定，矩形、菱形的性质.

根据平行四边形、正方形的判定和矩形、菱形的性质逐一进行判断，可得答案.

【详解】解：①对角线互相平分的四边形是平行四边形，故①是真命题；

②对角线互相垂直平分且相等的四边形是正方形，故②是假命题；

③矩形的对角线相等且平分，故③是假命题；

④菱形的对角线平分一组对角，故④是真命题；

故选：B.

k

9.如图，矩形。钻C的顶点。在双曲线y=—（左H0）上，8c与y轴交于点D且CE>=25£>.AO与x轴负半轴

x

的夹角的正切值为连接SOBD=5,则左的值为（）

A12B.15C.16D.18

【答案】C

【解析】

【分析】本题考查了矩形的性质，三角函数，反比例函数上的几何意义等知识的综合运用.过点。作CELx轴于

点、E,由题意可知N1=N2=N3,由CD=23D,“9=5可知”谀=匕，设BD=a,则C£）=2a,,利用三

角函数求得OD=2右a，利用4°BC=15,求得。的值，在中利用三角函数求得。£和CE的长，从而求得

点。的坐标，即可求得左的值.

【详解】解：过点C作尤轴于点E，

四边形A5C0是矩形，

.\ZAOC=ZBCO=90°,

:.Z1+ZCOE=90°,

；CE_Lx轴，

.*.Z2+ZCOE=90°,。石〃y轴,

.\Z1=Z2=Z3,

CD=2BD，SAOBD=5，

…S^OBC~3SbOBD=15，

设BD-a,则CD-2a，

tanZ「1=—1,

2

/.tanZ2=tanZ3=—,

2

,CD

,,=一,

CO2

CO=4-a,

OD=^（2tz）2+（4a）2=245a，

S^OBC=—x4（2x3（7=15,

OC=2M，

小1

tanZ2=—,

2

.OEJ

,•=t

CE2

OE=272，

:.CE=4V2，

C（2&4吟,

.•"=20x4忘=16，

故选：C.

10.如图，ABC是边长为6的等边三角形，点E在AC上且AE=4，点。是直线上一动点，将线段绕

点E逆时针旋转90。，得到线段ER,连接Ob,AF,下列结论：

①。斤的最小值为"；②AF的最小值是2+石；

③当CD=2时，DE〃AB；④当DE/AB时，DE=2.

其中正确的有（）

A.4个B.3个C.2个D.1个

【答案】B

【解析】

【分析】①由垂线段最短可知田，6c时，OE最小，最小，②寻找到点F在固定直线上运动即可判断;

③点D可以在8。延长线上，0E不平行A5；④先证明1cCDE是等边三角形，进而确定结果.

【详解】解：：ABC是边长为6的等边三角形，点E在AC上且AE=4,

CE=4.

•/ZDEF=90°，DE=FE,

•••DF=垃DE,

:田J_5C时，OE最小，Ob最小，

当团J_6C时，

：,ABC是等边三角形，

/.ZACB=6Q0,

AZCED=30%CD=-CE=\

2

DE=7CE2-CD2=73，

•••DF=氏DE=V6；故①正确；

作七5c于M,作NELEM,且使石N=EM,作NGLBC于G,连接Nb,

/.ZEMG=ZMGN=ZMEN=90°,

四边形石MGV是矩形，

...矩形EMGN是正方形，

:,ZDEF=90。,

：.ZDEM=ZNEF,

DE=EF,

.DEM，FEN(SAS),

/.ZENF=ZEMD^90°,

点尸在NG上，

作AFUNG,

•••AF最小值是AF',

延长ME交AF'于H,

,/ZAF'G=ZDGN=ZEMG=90°,

；•四边形M/F'G是矩形，

•••HF'=MG=EM=5

AH=yAE=2,

：•AF'=2+5故②正确；

当CD=2时，D可以在BC的延长线上，故③不正确；

当D石〃时，ACDE=ZABC=6Q°,

VZACB=6Q°,

CDE是等边三角形，

ACD=CE=2,故④正确；

综上，正确的有①②④，共3个，

故选：B.

【点睛】此题考查了等边三角形的性质，全等三角形的判定和性质，矩形的判定和性质，正方形的判定等知识，

解题的关键是找出点尸的运动轨迹.

二、填空题(本大题共8小题，每小题3分，共24分.不需写出解答过程，请把答案直接填写在答

题卡相应的位置上)

11.分解因式.2—9的结果是.

【答案】(〃7+3)(777-3)

【解析】

【分析】本题考查用公式法分解因式.直接用平方差公式分解即可.

【详解】解：m2-9=m2-32=(m+3)(m-3),

故答案为：(m+3)(m-3).

12.马拉松长跑是国际上非常普及的长跑比赛项目，全程距离约42200米，将数字42200用科学记数法表示为

【答案】4.22xlO4

【解析】

【分析】此题考查了科学记数法的表示方法.科学记数法的表示形式为ax10"的形式，其中14时＜10,九为整数；

确定九的值时，要看把原数变成。时，小数点移动了多少位，九的绝对值与小数点移动的位数相同，当原数绝对值

210时，”是正整数，当原数的绝对值＜1时，九是负整数.

【详解】解：将数字42200用科学记数法表示为4.22x104,

故答案为：4.22xlO4.

13.已知方程5%+2=0的两个解分别为占、巧，则占+工2的值为.

【答案】5

【解析】

【分析】本题考查了一元二次方程根与系数的关系；

b

根据一元二次方程依2+法+C=0的两根之和等于--列式计算即可.

a

【详解】解：•••方程炉一5%+2=0的两个解分别为均、4，

，%+々=5,

故答案为：5.

14.已知圆锥的底面半径为1cm,母线长为3cm,则这个圆锥的侧面积是.

【答案】3Kcm2

【解析】

【分析】由已知可求得圆锥的底面圆的周长，且圆锥的侧面展开图是扇形，则根据公式：S二」x扇形弧长x扇形

2

半径，即可求出圆锥的侧面积.

【详解】解：由题意知，圆锥侧面展开图的弧长即圆锥底面的周长为：2X7TX1=2忒cm)；圆锥侧面展开图的半径即

为母线长为3cm,

S=^-X2TTX3=37r(cm?)

故答案为：371cm2.

【点睛】本题考查了圆锥展开图，圆锥侧面积的计算，掌握扇形弧长与扇形半径乘积的一半的面积公式是解题关

键.

15请写出一个函数表达式，使其图象经过点(1,0),并经过第三象限：.

【答案】y=xT(答案不唯一)

【解析】

【分析】本题考查的是函数的图象和性质，熟练掌握函数图象上点的坐标特殊是解题的关键.

设它是一次函数，设表达式为丫=履+6,把(1,0)代入，解得b=—k,再根据图象经过第三象限，则左>0,即可

求解.

【详解】解：如果是一次函数，设表达式为>=履+方，

把(1,0)代入,则1+6=0,

b=­k,

y=kx—k,

又：图象经过第三象限，

...左>0,

；.k取正数即可，如左=1,贝=

故答案为：丫=尤-1(答案不唯一).

16.“圆材埋壁”是我国古代数学著作《九章算术》中的一个问题：“今有圆材，埋在壁中，不知大小，以锯锯之，

深一寸，锯长一尺，问径如何？”.问题翻译为：如图，现有圆形木材埋在墙壁里，不知木材大小，将它锯下来测

得深度CD为1寸，锯长A5为10寸，则圆材的半径为寸.

【解析】

【分析】本题考查的是垂径定理的应用以及勾股定理，熟练掌握垂径定理及勾股定理是解题的关键.

设圆材的圆心为。，延长CD,交.。于点E,连接。4,由题意知CE过点。，且0。，人8,4£>=5£>=5,

设圆形木材半径为r,可知0£>="-1)寸，0A=r寸，根据。42=。。2+4)2列方程求解可得.

【详解】解：设圆材的圆心为。，延长CD,交C。于点E，连接。4,

如图所示：由题意知：CE过点。，且OC_LAB,

则AD=3D,A3=5,

2

设圆形木材半径为「寸，

则0£>=(r-l)寸，。4=厂寸，

,/0A2=OD2+AD2,

：.r2=(r-l)2+52,

解得：r=13,

。的半径为13寸，

故答案为：13.

17.当-3<x<2时，函数丁=«%2-2御一7。+12(°为常数，且。小于0)的图象在x轴上方，则。的取值范围为

3

【答案］——<“<0

2

【解析】

【分析】本题考查二次函数的图形和性质，解题的关键是能够求出-2时y的最小值.先求出二次函数图

象的对称轴，再先求出y的最小值，令最小值大于0即可求解.

【详解】解：二次函数丁=奴2一2奴—7。+12的图象的对称轴为：%=-(-2。)=i.

2a

：a<0,

抛物线开口向下，

又.-3<x<2,|1-(-3)|>|2-1|,

，x=-3时，y取最小值，最小值为：y—a-(-3)2-2a-(-3)-7^+12=8^+12,

图象在1轴上方，

•e-8(2+12>0,

3

解得a>—，

2

3八

••・一一<Q<0;

2

3

故答案为：—<a<0.

2

18.如图，直线/与半径为2的。相切于点A尸是一〉。上的一个动点(不与点A重合)，过点尸作垂足

为B,连接？A.设？A=x,PB=yf则(x—2y)的最大值是.

【答案】I

【解析】

【分析】本题主要考查了切线的性质，相似三角形的性质与判定，二次函数的最值问题，直径所对的圆周角是直

角，连接AO并延长，交(。于C,连接PC,由切线的性质得到NQ4B=90°,进而证明NK4c=N3上4,

再由AC是。的直径，得到NAPC=NPB4=90°,即可证明△”。口△加得到/,则

4

1,1

x—2y=+-,据此利用二次函数的性质求解即可.

【详解】解：如图所示，连接A0并延长，交于C,连接PC,

..•直线/与半径为2的。相切于点A,

ZOAB=9Q°,

PB±l,

：.ZABP=90°,

：.ZCAP+NBAP=90°=NBAP+NBPA,

ZPAC=ZBPA,

：AC是C0的直径，

：.ZAPC=ZPBA=90°,

：./\APC^/\PBA,

发=如，即"日

BPPAy%

12

y--x

4

_1o1/4\21

x-2y—x—x——(x-1)H—,

22V72

2

...当x=l时，x—2y有最大值

故答案为：；

三、解答题(本大题共10小题，共96分.请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证

明过程或演算步骤)

19.计算:

(1)后-(-2)2+|-3|

(2)(x—1)"+(x+1)(%+2).

【答案】⑴4⑵2/+X+3

【解析】

【分析】此题考查了实数的混合运算和整式的混合运算，熟练掌握运算法则和乘法公式是解题的关键.

(1)计算算术平方根、乘方和绝对值后，再进行加减法即可;

(2)利用完全平方公式和多项式乘法展开后，进行加法运算即可.

【小问1详解】

后-(-2)2+|-3|

=5-4+3

=4

【小问2详解】

(X-1)2+(X+1)(X+2)

—炉—2x+1+/+2x+x+2

=2Y+%+3

。।11

20.（1）解方程：——=——+1；

x+3x+3

2%-2<%,

（2）解不等式组：“八、表

3（x+l）>6.

【答案】（1）%=3；（2）l<x<2

【解析】

【分析】（1）先去分母，再移项合并同类项，解出尤的值，再对所求的根进行检验即可;

（2）分别解每一个不等式，再求不等式组的解集即可.

2x+l1

【详解】解：（1）+1

x+3x+3

方程两边同时乘以（x+3）,

得，2%+1=1+X+3,

解得，x=3,

检验：当工=3时，x+3w0,

**•X=3是原方程的解；

2x-2<%①

⑵]3（x+l）26②，

解不等式①，得x<2,

解不等式②，得

/.原不等式组的解集是1<%<2.

【点睛】本题考查解分式方程，解一元一次不等式组，熟练掌握解分式方程的方法，解一元一次不等式组的方法是

解题的关键.

21.如图，在四边形A3CD中，?B90?,AC平分/ZMB，DE1AC,垂足为E,且AE=AB.

（1）求证：_ADE0二ACB；

(2)若NZMC=40。，求/DC4的度数.

【答案】(1)见解析(2)70°

【解析】

【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质，等腰三角形的判定与性质，解决本题的关键是掌握全等三角形的判

定与性质，等腰三角形的判定与性质.

(1)根据ASA证明/△血)即可；

(2)根据A4BC/△AED可得AC=4),根据等腰三角形的性质即可解决问题.

【小问1详解】

证明：•：DEIAC,/5=90°,

ZB=ZAED=90°,

•：AC平分立DIB,

/HAC=/EAD,

在，ABC和zXA石。中，

ZBAC=ZEAD

<AB=AE,

ZB=ZAED

；•ABCaAEZXASA),

【小问2详解】

解：*/AABC&AAED,

AC=AD,

:.ZACD=ZADC,

ADAC=40°,

：.ZACD=ZADC=7Q°.

22.2024年3月24日无锡市迎来一场激动人心的体育盛会--2024无锡马拉松.当日，来自全国各地的参赛选手

齐聚无锡太湖湖畔，通过参加比赛感受秀美无锡的自然风光、人文风情和城市魅力，彰显挑战自我、超越极限、永

不放弃的体育精神•比赛设置“全程马拉松”、“半程马拉松”以及“欢乐跑”三种不同项目.甲、乙两人分别各

参加了其中一个项目.

(1)甲恰好参加的是“半程马拉松”的概率是；

(2)请用画树状图或列表法求解“甲、乙两人分别参加两种不同项目”的概率.

【答案】(1)”

3

【解析】

【分析】本题考查列表法与树状图法、概率公式，熟练掌握列表法与树状图法以及概率公式是解答本题的关键.

(1)直接利用概率公式可得答案.

(2)画树状图得出所有等可能的结果数以及“甲、乙两人分别参加两种不同项目”的结果数，再利用概率公式可得

出答案.

【小问1详解】

解：由题意得，甲恰好参加的是“半程马拉松”的概率是g.

故答案为：—.

3

小问2详解】

将''全程马拉松"''半程马拉松”“欢乐跑”三种项目分别记为A,B,C,

画树状图如下：

开始

共有9种等可能的结果，其中“甲、乙两人分别参加两种不同项目”的结果有：AB,AC,BA,BC,CA,

CB,共6种，

62

“甲、乙两人分别参加两种不同项目”的概率为一=—.

93

23.垃圾的分类处理与回收利用，可以减少污染，节省资源.无锡市环保部门抽样调查了某居民小区一段时间内生

活垃圾的分类情况，将获得的数据整理绘制成如图两幅不完整的统计图.(注：A为厨余垃圾，B为可回收垃圾,

C为其它垃圾，£＞为有害垃圾)

各类垃圾数量条形统计图各类垃圾数量扇形统计图

ABCD垃圾类别

根据统计图提供的信息，解答下列问题：

(1)本次调查的样本容量是;

(2)补全条形统计图；

(3)假设该小区每月产生的生活垃圾为100吨，且全部分类处理，请估计每月产生的有害垃圾有多少吨?

【答案】(1)50(2)见解析

(3)12

【解析】

【分析】本题考查条形统计图、扇形统计图、用样本估计总体，解答本题的关键是明确题意，利用数形结合的思想

解答.

(1)由厨余垃圾吨数及其所占百分比可得抽样总数，即样本容量;

(2)用减法求出可回收垃圾的数量，即可补全条形统计图;

(3)用总数量乘以样本中有害垃圾数量所占比例即可.

【小问1详解】

解：在这次抽样调查中，生活垃圾一共有24+48%=50(吨),

故答案为：50；

【小问2详解】

回收垃圾有：50-(24+8+6)=12(吨),

补全条形统计图如下:

各类垃圾数量条形统计图

【小问3详解】

答：估计每月产生的有害垃圾大约有12吨.

24.如图1,在Rt4ABC中，ZC=90°,且边上有一点D

(图1)(图2)

(1)请在图1中用无刻度的直尺和圆规作图(不写作法，保留作图痕迹)：

①作/C的角平分线CE,交边AB点E；

②作RtADEF,其中ZDEF=90°,点尸在AC边上；

(2)在(1)的条件下，若BC=3,AC=6,点。在边上运动，则RtADEF面积的最小值为

【答案】（1）见解析（2）2

【解析】

【分析】本题考查尺规基本作图，角平分线的性质，矩形的判定与性质，三角形的面积.利用面积法求解是解题的

关键.

（1）①利用尺规基本作图-作已知角的平分线，作出图形即可；

②利用尺规基本作图-经过直线上一点作已知直线的垂线，用出图形即可.

（2）根据5及0EF=!。足石/，当。时，£>£值最小，此时，ER值也最小，所以此时Rt/XDEF面积

的最小，利用解平分线性质得出£5=£）石，设EF=DE=h,根据S-ABC=SACE+S.BCE，即

6x3=6h+3h,求解得力值，再代入S及=!。石.石尸即可求解.

【小问1详解】

解：①如图所示，CE就是所求；

②如图所示，Rt^DEF就是所求.

A

【小问2详解】

SRtDEF=^DEEF

...当DELBC时，OE值最小，止匕时，ZACB=ZCDE=ZDEF=90°

四边形为矩形，

NEFC=90。,

：.EF1AC,

E/值最小，

此时，RtZXDEF面积，如图,

・•・EF=DE,

设EF=DE=h,

••v=V+V

•^RtABC-uACE丁0BCE

：.-ACBC=-ACEF+-BCDE

222

即6x3=6/z+3/z

解得：h=2,

/.EF=DE=2

，RtADEF面积的最小值为：=-x2x2=2.

2

25.如图，A£＞是。的直径，A3为。。的弦，OP±AD,OP与A3的延长线交于点P.点。在0尸上，且

BC=PC.

(1)求证：直线5c是、。的切线；

(2)若Q4=6,AB=4,求6?长.

【答案】(1)见解析(2)14

【解析】

【分析】(1)由题意连接08.由等腰三角形的性质得到NA=NOB4,ZP=ZCBP,由于得到

NA+NP=90°,于是得到NO8A+NCBP=90°,求得NOfiC=90°结论可得；

(2)根据题意连接03.由A。是D。的直径，得至iJ/4BD=90°,推出Rt_A3£>sRt.AOP,得到比例式

Ar\

—=——，进而计算即可得到答案.

AOAP

【小问1详解】

解：证明：连接08.

•/OA=OB,

：.ZA=ZOBA,

又：BC=PC,

：.ZP=ZCBP,

•/OP±AD,

，NA+N尸=90°,

ZOBA+ZCBP=90°,

：.ZOBC=180°-(NOB4+ZCBP)=90°,

:点3在：。上，

直线5C是O。的切线；

【小问2详解】

解：如图，连接。3.

：4)是0。的直径，0A=6,

：.ZABD=90°,AD=2OA=12,

Rt„AOP,

ABAD412

•.---=----,即an一=----,

/.AP=18,

：.BP=AP-BA=18-4=14.

【点睛】本题考查切线的判定和相似三角形的判定和性质以及直径所对的圆周角是直角，熟练掌握相关定理并正

确的作出辅助线是解题的关键.

26.阳春三月，又到了一年最美樱花季，童头渚某商家借机推出新款樱花雪糕，其中雪糕每支成本5元.该商家每

支雪糕定价40元，平均每天可售出600支，为了扩大销售，增加盈利，尽快减少库存，商家决定采取适当的降价措

施，经调查发现，如果每支雪糕降价1元，商场平均每天可多售出30支.求：

(1)若商家平均每天要盈利22500元，每支雪糕应降价多少元？

(2)每支雪糕降价多少元时，商家平均每天盈利最多？

【答案】(1)10元(2)当尤=7.5时，售出所获利润最大，最大利润为22687.5元

【解析】

【分析】本题考查了二次函数的应用以及一元二次方程的应用，根据数量关系列出关于x的一元二次方程(二次函

数关系式)是解题的关键.

(1)设每支雪糕应降价X元，根据“商家盈利=单支盈利X销售数量”，即可列出关于X的一元二次方程，解方

程即可得出X的值，再结合减少库存即可确定X的值；

(2)设每支雪糕降价x元时，商家所获得的利润为y元，根据“商场盈利=单件盈利x销售数量”，即可找出x关

于y的二次函数关系式，配方后根据二次函数的性质即可得出每支雪糕降价多少元时盈利最大.

【小问1详解】

解：设每支雪糕应降价无元，得：

(35-x)(600+30%)=22500,

解得：百=5(舍)，x2=10

:为了尽快减少库存，

...每支雪糕应降价10元；

【小问2详解】

解：设每支雪糕降价x元时，商家所获得的利润为>元，根据题意，得

y=(35—x)(600+30%)=-30(%-7.5)2+22687.5,

a=—30<0,

二尤=7.5元时,利润最大为：22687.5元;

答：当x=7.5时，售出所获利润最大，最大利润为22687.5元.

27.如图，已知矩形43。的边/加=4,AO=8,点P是边8C上的动点，线段总的垂直平分线交矩形A3CD

的边于点V、N,其中点加在边42或BC上，点N在边或D4上.

(1)如图2,当5P=2时，求40的长度；

(2)当&AAW是等腰三角形时，求5F能取到的值或取值范围；

(3)当动点尸由点8运动到点。的过程中，求点N的运动路程长为多少？

【答案】(1)2.5(2)6?能取到的值为16—4或取值范围为4W5PW8

(3)7

【分析】（1）设AP与MN相交于0,先由勾股定理求得A尸二2遥，则AO=」AP=行，再证明，AO暇s.4??,

2

得条工即可求解・

（2）分两情况：①当成＜4时，有MN=AN,②当4WBPW8时，有40=AN,分别求解即可;

（3）当5P44时，点尸从点2到边的中点运动，则点N在从CD的中点到AD的中点运动，求得运动距离

为6；当4＜3048时，点P从5C中点向点C运动，点〃从点8沿方向运动，点N从A。中点向点。方向

运动，求得运动距离为1,求出两距离之和即可得出答案.

【小问1详解】

解：如图，设AP与相交于。，

【小问2详解】

解：当的＜4时，点P从点8到边的中点运动（不包括中点），则点M在AB上运动，点N在从CZ）的中点

到AD的中点运动（不包括AD的中点），

当=时，连接闻尸，过点N作NQLAM于。，如图,

BP

•：MN=AN,NQ±AM,

/.AQ=^AM,

•.•四边形A3CD为矩形，

...四边形ADW为矩形，

/.DN=AQ=、AM,

垂直平分AP,

：.AM=MP，ZAOM=90°

ZMAO+ZAMO^90°

,:MN=AN

：.ZNAM=ANMA

'：ZNAD+ZNAM=ZBAD=90°,

ZMAO=ZNAD,即ZBAP=ZNAD

•?ZABP=ZADN=90°

：.ABPs_ADN

.BP_AB_4_1

'*A©-AD-8-2

BP=-ND=-x-AM=-AM

2224

设BP=x,贝i|AM=MP=4x,MB=4—4x,

...在RtAMBP中，由勾股定理，得

%2+（4-4x）2=（4x）2

解得：玉二16-x2=16+4^^15（不合题意，舍去）,

・・・当成=16-46时，是等腰三角形；

②当4<5尸<8时，点尸从5C中点向点。运动，点M从点5向点P运动，点N从AD中点向点。运动，连接

AM,如图，

:矩形ABCD，

BC//AD

：.ZOAN=ZOPM,ZONA=ZOMP,

MN垂直平分AP,

AOA=OP,AM=PM,

AON^POM(AAS)

：.AN=PM

：.AN=PM

即.AAW是等腰三角形，

.•.当4W6PW8时，是等腰三角形,

综上，当一AAW是等腰三角形时，6P能取到的值为16-4折?或取值范围为4WBPW8.

【小问3详解】

解：当5P<4时，点P从点8到5c边的中点运动，则点N在从CD的中点到AD的中点运动，

运动距离为工CD+—AD=—x4+—x8=2+4=6

2222

当4<80〈8时，点P从BC中点向点C运动，点M从点B向点尸运动，点N从A。中点向点。运动,

当BP=8时，即点尸与点C重合，取AD中点E,连接0E，如图，

由勾股定理，得AC=VAB2+BC2=V42+82=4A/5，

：.OA=-AC=245

2

:点E是AD,

AE=—AB=4,

2

垂直平分AP,

工。是AC,点尸与点C重合，

是八位)。的中位线，

/.OE//BC,

：.ZAEO=90°,

ZAEO=ZAON=90°,

•：ZEAO=ZOAN,

：.AOESMNO,

.AE_AO

"AO~AN'

.4=2勺

,•2A/5—AN'

/.AN=5,

：.EN=AN-AE=1,

当动点P由点8