河北省2022-2023学年高二年级下册期末联考数学试题(学生版+解析)

河北省“五个一”名校联盟

2024届高二年级联考数学试卷

(2023.06)

命题单位:唐山市第一中学

（满分：150分,测试时间：120分钟）

一、选择题：本题共8小题，每小题5分,共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项

是符合题目要求的.

A=卜卜=Jx-l}B-

1.设集合,则下列结论正确是()

A.A=BB.AerBC.B=AD.AnB=0

已知忖忖=-同

2.=1,2,12a=4,则〃与方夹角的余弦值为（）

1

A.-1B.——C.0D.1

2

2222

X

3.已知双曲线二一匕=1与双曲线二一=1（0〈左＜9）,则两双曲线的（）

25925+左9—k

A.实轴长相等B.虚轴长相等C.离心率相等D.焦距相等

4.已知f(x)=ax+a~x且/⑶>〃1),则下列各式一定成立的是（)

A.B./（0）＞/（3）C./(-1)>/(-3)D./(o)>/(-1)

5.一条长椅上有6个座位，3个人坐.要求3个空位中恰有2个空位相邻,则坐法的种数为（）

A36B.48C.72D.96

6.某学校有男生600人，女生400人.为调查该校全体学生每天的运动时间，采用分层抽样的方法获取容

量为〃的样本.经过计算，样本中男生每天运动时间的平均值为80分钟，方差为10；女生每天运动时间的

平均值为60分钟，方差为20.结合数据，估计全校学生每天运动时间的方差为（）

A96B.110C.112D.128

7.过直线x+y—4=0上一点向圆O：=1作两条切线，设两切线所成的最大角为a,贝i]sina=

)

R2a旦

A考D.-------------—

948

8.设/(%)是定义在R上的奇函数，且满足—=/⑴=2.数列｛%｝满足4=—1,

号="+d(〃eN*),则/(%)=()

n+1n+v7

A.0B.-1C.2D.-2

二、多选题：本题共4小题.在每小题所给的四个选项中，有多个选项符合题意.全部选对

得5分，部分选对得2分，有选错的得0分.

9.若尸(A)>0,P(B)>0,则下列说法正确的是()

A.若事件A,3相互独立，则事件A,3也互斥B.若事件A,3相互独立，则事件A,3不互斥

C.若事件A,3互斥，则事件A,3也相互独立D.若事件互斥，则事件不相互独立

10.函数y=/(x)由关系式％凶+丁仅|=1确定，则下列说法正确的是()

A.函数/(%)的零点为1

B.函数的定义域和值域均为［-1』］

C.函数y=/(x)的图象是轴对称图形

D.若g(x)=/(%)+%,则g(x)在定义域内满足g(x)>0恒成立

11.某通信工具在发送、接收信号时都会使用数字。或是1作为代码，且每次只发送一个数字.由于随机因

素的干扰，发出的信号。或I有可能被错误地接收为I或0.已知发送信号。时，接收成。或I的概率分别

为0.94和0.06；发送信号1时，接收成1或0的概率分别为0.96和0.04.假设发送信号0或1的概率是等

可能的，贝1()

A.已知两次发送的信号均为1,则接收到的信号均为1的概率为(0.5)2.(0.96)2

B.在单次发送信号中，接收到0的概率为0.49

C.在单次发送信号中，能正确接收的概率为0.95

D.在发送三次信号后，恰有两次接收到。的概率为C；(0.49『x0.51

12.已知.ABC为等腰直角三角形，A3为斜边且长度是4.△ABD为等边三角形，若二面角C—AB—D

为直二面角，则下列说法正确的是()

A.AB±CD

B.三棱锥A-BCD的体积为8二

3

C.三棱锥A-BCD外接球的表面积为一兀

3

D.半径为g球可以被整体放入以三棱锥A-BGD为模型做的容器中

三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.

13.方程(x—3)(x—5)+5=0在复数集C中的解为.

sin200+2sin40°

14----------------二

.cos200•

15.己知函数〃X)=COS0X(0>O)的图像关于点洋对称，且在区间呜上单调，则。=.

16.如图所示，斜率为-字的直线/交椭圆彳+%=l(a〉)〉0)于加、N两点，交X轴、y轴分别于0、

P两点，且MP=QN,则椭圆的离心率为

四、解答题：本题共6小题.第17题10分，第18~22题每小题12分.解答应写出文字说明、

证明过程或演算步骤.

17.已知数列｛。“｝的前”项和为S“=2〃？+5〃，数列出｝满足4=8,b“=16b”+i.

(1)证明：数列｛g｝是等差数列；

⑵是否存在常数p、q，使得对一切正整数"都有4=logpd+4成立？若存在，求出p、q的值；若不存

在，说明理由.

18.记ABC的内角A、B、C的对边分别为。、b、C,且(2b-c)cosA=acosC.

⑴求角A的大小；

(2)设边上的高AQ=1,求ABC面积的最小值.

19.如图，圆锥PO的高为3,AB是底面圆。的直径，PC,尸。为圆锥的母线，四边形ABCD是底面圆。

的内接等腰梯形，且AB=2CD=2,点E在母线PB上，且BE=2EP.

p

⑴证明：平面A石平面尸OD；

(2)求平面AEC与平面EAB的夹角的余弦值.

20.已知函数=or-，-(a+l)ln%(nW。).

⑴讨论函数/(%)的单调性；

⑵若/(%)既有极大值又有极小值，且极大值和极小值的和为g(。).解不等式g(a)<2a-2.

21.己知8为抛物线丁=2x—2上一点，4(2,0),B为AC中点，设C的轨迹为曲线E.

⑴求曲线E的方程；

(2)过点尸(1,0)作直线交曲线E于点M、N,点P为直线/：x=—1上一动点.问是否存在点P使为

正三角形？若存在，求出点尸坐标；若不存在，请说明理由.

22.航天事业是国家综合国力的重要标志，带动着一批新兴产业和新兴学科的发展.某市为了激发学生对航

天科技的兴趣，点燃学生的航天梦，现组织该市全体学生参加航天创新知识竞赛，并随机抽取1000名学生

作为样本，研究其竞赛成绩.经统计分析该市高中生竞赛成绩X近似地服从正态分布其中〃近

似为样本平均数7，^2近似为样本方差$2,并己求得:=73和$2=37.5.

⑴若该市有4万名高中生，试估计这些高中生中竞赛成绩位于区间(66.9,85.2)的人数；

(2)若规定成绩在85.2以上的学生等级为优秀，现从全市高中生中任意抽取一个进行访谈，如果取到学生等

级不是优秀，则继续抽取下一个，直至取到等级为优秀的学生为止，但抽取的总次数不超过〃.如果抽取

次数的期望值不超过6,求〃的最大值.

(附：^/3T5«6.1.0.9755«0.881.0.9756=0.859，0.9757=0.838，0.9758=0.817，若X-,

则P"_<J<X<〃+cr)=0.68,尸(〃一2。<X<//+2。)=0.95)

河北省“五个一”名校联盟

2024届高二年级联考数学试卷

（2023.06）

命题单位：唐山市第一中学

（满分：150分，测试时间：120分钟）

一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项

是符合题目要求的.

A=\x\y-Vx-115=[y|y=

1.设集合〔卜J,卜卜J,则下列结论正确的是（）

A.A=BB.BC.BAD.Ar\B=0

【答案】B

【解析】

【分析】分别化简两个集合，从而即可作出判断.

【详解】:4=卜卜=Jx-l卜5==

A=[1,+8）,B=[0,+8）,

Acr5.

故选：B.

2.已知忖=1,,|=2,Ra—网=4,则口与石夹角的余弦值为（）

1

A.-1B.——C.0D.1

2

【答案】A

【解析】

【分析】先利用转化法求得小。，再利用向量的夹角公式即可得解.

【详解】因为忖=1,W=2，|2a-"=4,

所以（2〃—b）2=4a2+b2—4a-b=4+4—4^-Z?=16,则=—2，

”，/,\-2

所以cos(〃,b)=-----

1^2=-l.

故选：A.

3.已知双曲线二-一匕=1与双曲线-------匚=i(o(左<9),则两双曲线的()

25925+左9-k')

A.实轴长相等B.虚轴长相等C.离心率相等D.焦距相等

【答案】D

【解析】

【分析】通过上的范围，结合曲线，求解焦距，实半轴长，虚半轴长，判断选项即可.

22

【详解】三-匕=1的实半轴的长为5,虚半轴的长为3,

259

22

实数上满足0(左<9,曲线------匚=1是双曲线，

25+左9-k

实半轴的长为J25+4，虚半轴的长为J9-左，

显然两条曲线的实轴的长与虚轴的长不相等，所以A、B均不正确；

焦距为：24,焦距相等，所以D正确；

离心率为：匣和不相等，所以c不正确.

5A/25+I

故选：D.

4.已知/(x)="+aT,且/(3)>/(1),则下列各式一定成立的是()

A.”3)>/(-2)B./(0)>/(3)C./(-1)>/(-3)D./(0)>/(-1)

【答案】A

【解析】

【分析】根据题意，先判断函数Ax)为偶函数，两种情况讨论可得函数/(X)在［0,+e)上为增函数，由此

根据单调性与奇偶性分析选项，即可得答案.

【详解】根据题意，f(x)=ax+a~x,其定义域为R,

有f(-x)=ax+尸=f(x),则f(x)为偶函数，

设％=优，则有丁=1+一，

t

当4>1时，在区间［。，+。)上，％=优为增函数，且，21,

了=%+1在口，+。)上也是增函数，

t

故/(%)在［0，+。)上为增函数,

当Ovavl时，在区间［0,+。)上，/=优为减函数，且OV『V1,

y=/+；在(0,1)上是减函数，

故/(X)在［0,+e)上为增函数，

综合可得：函数"X)在［0,+8)上为增函数，

依次分析选项：

对于A,有〃3)>/(2)=/(-2),A正确;

对于B,有/(0)</(3),B错误；

对于C,有于(—3)=/(3)>/(1)=/(-1),C错误；

对于D,/(0)</(1)=/(-1),D错误.

故选：A.

5.一条长椅上有6个座位，3个人坐.要求3个空位中恰有2个空位相邻，则坐法的种数为()

A.36B.48C.72D.96

【答案】C

【解析】

【分析】分两个相邻空位包括最左端或最右端时和不含最左端或最右端时，两种情况求出坐法后相加即可.

【详解】先考虑相邻的2个空位，

当两个相邻空位包括最左端或最右端时，有2种情况，与空位相邻的座位需要安排一个人，有3种选择，剩

余的3个座位，安排2个人，有A；=6种选择，

则有2x3A；=36种选择，

当两个相邻空位不含最左端或最右端时，此时有3种情况，与空位相邻的左右座位需要安排两个人，有

A；=6种选择，最后一个人有2种选择，

则有3A；x2=36种选择，

综上：坐法的种数共有36+36=72个.

故选：C

6.某学校有男生600人，女生400人.为调查该校全体学生每天的运动时间，采用分层抽样的方法获取容

量为〃的样本.经过计算，样本中男生每天运动时间的平均值为80分钟，方差为10；女生每天运动时间的

平均值为60分钟，方差为20.结合数据，估计全校学生每天运动时间的方差为()

A.96B.110C.112D.128

【答案】B

【解析】

【分析】根据男、女学生比例，不妨设女、男学生分别为2",3n,则总数为5”，求得所有样本的平均值，

代入方差公式，即可得答案.

【详解】由题意，按分层抽样方式抽取样本，且该校女、男学生比例为,

6003

不妨设抽取女、男学生分别为2”，3n,则总数为5",

则所有样本平均值为—x(80x3«+60x2ri)=72,

5n

所以方差为一X[10+(80-72)2]+—X[[20+(60-72)2]=110.

5n5n

故选：B.

7.过直线x+y—4=0上一点向圆O：必+>2=i作两条切线，设两切线所成的最大角为戊，则sina=

()

A”B.述C.五D.叵

9948

【答案】C

【解析】

【分析】设尸是直线x+y-4=0的动点，由题意可得。尸是圆心。到直线的距离时，两切线所成的角a最

大，计算可得sina.

【详解】由圆O:d+y2=i,可得圆心为(0,0),半径为尸=1,

设P是直线x+y—4=0的动点，自P向圆作切线,

当OP长最短时，两切线所成的角夕最大,

即OP是圆心。到直线的距离时，两切线所成的角«最大,

|0+0-4|

距离公式可得〃==2夜,

由点到直线~ir~

.•.sin«=2sin^cos«=2xJ=x^l=^

222A/22A/24

故选：c.

8.设是定义在R上的奇函数，且满足了—=/(1)=2.数列｛叫满足q=—1,

号=则"a)=()

n+1n+/v227

A.0B,-1C.2D.-2

【答案】D

【解析】

【分析】先把羽吟+就可裂项后迭代求出a尸-2,得至iJ%=20；再证明出了⑴是以3为周期

的周期函数，即可求解.

【详解】对于数列也卜满足q=T，且缶斗+舄用仅eN)

»»一,0an+lan_2

变形可得：—7(，

n+1n+

即一^---------------,

n+1nnn+1

贝九有：2=也］+(也.江］++(生.幺］+幺

nvn—1n—2)(21J1

=l--,(n>2).

n

所以%=〃_2,，z22),所以出2=22—2=20.

因为“可是定义在R上的奇函数，所以/(—”=—"X)且"0)=0.

因为/[3一“卜⑺’则有:

则有〃x+3)=-小+g卜⑴，即/⑴是以3为周期的周期函数.

所以/(%2)=/(20)=/(_1)=_/(1)=_2.

故选：D

二、多选题：本题共4小题.在每小题所给的四个选项中，有多个选项符合题意.全部选对

得5分，部分选对得2分，有选错的得0分.

9.若尸（A）>0,则下列说法正确的是（）

A,若事件43相互独立，则事件也互斥B.若事件43相互独立，则事件不互斥

C.若事件A3互斥，则事件A,3也相互独立D.若事件A3互斥，则事件不相互独立

【答案】BD

【解析】

【分析】利用互斥事件与独立事件的概率公式，对各选项逐一分析判断即可.

【详解】对于AB,若事件A3相互独立，则尸（AB）=P（A）P（5）wO,

所以事件A,3不互斥，故A错误，B正确；

对于CD,若事件A8互斥,则尸（AB）=O,又尸⑷尸⑻>0,

所以P（AB）WP（A）P（B）,则事件A3不相互独立，故C错误，D正确.

故选：BD.

10.函数y=/（x）由关系式％凶+引丁|=1确定，则下列说法正确的是（）

A.函数/⑴的零点为1

B.函数的定义域和值域均为[-1,1]

C.函数y=/（x）的图象是轴对称图形

D.若g（x）=/（%）+%,则g（x）定义域内满足g（M>。恒成立

【答案】ACD

【解析】

【分析】由题意写出分段函数解析式，画出函数图象，结合图象逐个分析判断即可.

【详解】因为函数y=/（x）由关系式xk|+y|y|=l确定，

—_],X>1

所以y=/（%）=<\Ji-x2,Q<x<i,

yjx2+l,x<0

则y=/（"的图象如图所示，

由图象可知，函数/(x)的零点为1,所以A正确，

由图象可知，函数的定义域和值域均为R,所以B错误，

因为对于x|x|+yN=l,X与y互换后得到引4+小|=1,与原式子相同，

所以y=/(x)的图象关于直线y=x对称，所以函数y=/(x)的图象是轴对称图形，所以c正确，

由图象可知，y=/(x)的图象恒在直线y=—x的上方，所以g(x)=/(九)+%在定义域内满足g(x)>0恒

成立，所以D正确，

故选：ACD

11.某通信工具在发送、接收信号时都会使用数字。或是1作为代码，且每次只发送一个数字.由于随机因

素的干扰，发出的信号0或I有可能被错误地接收为1或0.已知发送信号0时，接收成0或I的概率分别

为0.94和0.06；发送信号1时，接收成1或0的概率分别为0.96和0.04.假设发送信号。或1的概率是等

可能的，则()

A.已知两次发送的信号均为1,则接收到的信号均为1的概率为(OS?•(0.96)2

B.在单次发送信号中，接收到0的概率为0.49

C.在单次发送信号中，能正确接收的概率为0.95

D.在发送三次信号后，恰有两次接收到。的概率为C；(0.49『x0.51

【答案】BCD

【解析】

【分析】根据题意结合独立事件概率乘法公式逐项分析判断.

【详解】对于选项A：两次发送的信号均为1,接收到的信号均为1的概率为(0.96)2,故A错误；

对于选项B：在单次发送信号中，接收到0的概率为0.5x0.94+0.5x0.04=0.49,故B正确；

对于选项C：在单次发送信号中，能正确接收的概率为0.5x0.94+0.5x0.96=0.95,故C正确;

对于选项D：由选项B可知：在单次发送信号中，接收到0的概率为0.49,

则发送三次信号后，恰有两次接收到0的概率C；（0.49）2X（1—0.49）=C；（0.49）2X0.51,故D正确;

故选：BCD.

12.己知为等腰直角三角形，A5为斜边且长度是4./XABZ）为等边三角形，若二面角C-AB-D

为直二面角，则下列说法正确的是（）

A.ABLCD

B.三棱锥A-BCD的体积为还

3

64

C.三棱锥A-BCD外接球的表面积为一兀

3

D.半径为g的球可以被整体放入以三棱锥为模型做的容器中

【答案】ACD

【解析】

【分析】取线段A3的中点E,连接CE、DE，证明出平面CDE,利用线面垂直的性质可判断A

选项；计算出三棱锥A-38的体积，可判断B选项；分析可知△A3。的外心即为三棱锥A-5CD外接

球的球心，计算出三棱锥A-BCD外接球的表面积，可判断C选项；计算出三棱锥A-38的内切球半

径，可判断D选项.

【详解】对于A选项，取线段A3的中点E，连接CE、DE，设△ABD的外心为点。，如下图所示：

因为ABC为等腰直角三角形，A3为斜边，E为A3的中点，

所以，期人CE,同理可得，AB±DE，且。石=J48=2,

2

因为CEDE=E,CE、DEu平面CDE，所以，平面CDE，

因为CDu平面CDE,所以，AB±CD,A对；

对于B选项，因为43人。七，AB±DE，则二面角C—AB—D的平面角为NCED,

且NCE£>=90，

因为平面ABC1平面ABD,平面ABCc平面ABD=A3,CEu平面ABC,

CE±AB'所以，m平面3s3当AB=*4、46，

11L

所以，VcABD=_S4ABD,CE=T46X2=工,B错；

对于c选项，因平面ABC1平面ABD,平面ABCc平面ABD=AB，QEu平面yWD，

DE，AB，所以，DEI平面ABC,

因为A3、C£u平面ABC,所以，DELAB，DE上CE,

因为CE=；AB=AE=BE,所以，OE~+AE2=OE2+BE2=OE~+CE~.

即04=08=0。

又因为。为△AB£＞的外心，则。4=OB=OD,故Q4=OB=OC=OD,

所以，。为三棱锥A—BCD外接球的球心，

因为。E=ADsin60=4x走=2百，

2

且。为等边△A3。的外心，则。。=2。石=速，

33

因此，三棱锥A—BCD外接球的表面积为4兀义。。2=4兀=yjr,C对；

对于D选项，因为NCED=90，CE=2,DE=273-

则CD=[CE2+DE?=,2?+(2出『=4，即AD=CD=4,

取线段AC的中点/，连接DE,则DE1AC,且AC=A3cos45=4x—=272-

2

所以，DF=y/AD2-AF2=V42-2=714-

所以，S&ACD=gAC.DF=gx20x历=2出,同理可得S4BC。=24，

又因为S“Bc=gAC8C=；x(2后『=4,

所以，三棱锥A-88的表面积为

S=SBC+SAAB。+5AAs+S^BCD=4+4月+2X2小=4(1+6+V7),

设三棱锥A—BCD的内切球半径为『，则VA_BCD=^r(S^BC+SAABD+SAACD+SABCD),

即工厂x4(l+6+V7)=述，所以，r=—

3''31+，3+，72

因此，半径为3的球可以被整体放入以三棱锥A-38为模型做的容器中，D对.

故选：ACD.

【点睛】方法点睛：解决与球相关的切、接问题，其通法是作出截面，将空间几何问题转化为平面几何问

题求解，其解题思维流程如下：

(1)定球心：如果是内切球，球心到切点的距离相等且为球的半径；如果是外接球，球心到接点的距离相等

且为半径；

(2)作截面：选准最佳角度做出截面(要使这个截面尽可能多的包含球、几何体的各种元素以及体现这些元

素的关系)，达到空间问题平面化的目的；

(3)求半径下结论：根据作出截面中的几何元素，建立关于球的半径的方程，并求解.

三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.

13.方程(x—3)(x—5)+5=0在复数集C中的解为.

［答案14±2i

【解析】

【分析】先化简方程，然后在复数集范围内解方程即可.

【详解】由方程(x-3)(x-5)+5=0,

即炉―8%+20=0，

故(x-4)2=-4=的2,

所以x—4=2i或x—4=—2i,

即方程在复数集中的解为x=4+2i或x=4—2i,

故答案为：4±2i.

sin200+2sin40°

14----------------二

■cos200•

【答案】布

【解析】

【分析】利用两角差的正弦公式计算可得.

sin200+2sin40°

【详解】

cos20°

_sin20o+2sin（60o-20°）

cos20°

_sin200+2sin60°cos20°-2cos60°sin20°

cos20°

_sin200+A/3COS20°-sin20°_6

cos20°

故答案为：73

/3兀\兀

15.已知函数/(x)=cosox(o>0)图像关于点［丁,0)对称，且在区间0,j上单调，则。=

【答案】:或2

【解析】

【分析】根据三角函数的对称性，列出方程求得0=3■匕，左eZ,结合/(可在区间0,1上单调，求

得0<。<3,进而得到。的值.

【详解】由函数/(x)=cosox(/y>0)的图像关于点对称，可得cos^^=0,

解得9=巴+依,左eZ,可得。=2W，左ez,

423

兀17r27T

又因为/(x)在区间0,y上单调，可得5T即TN?-,

2兀2兀

即一2—，解得0VG<3,

CD3

2

当左=0时，口=一；当左=1时r，a)=2,

3

2

故答案为：(或2.

16.如图所示，斜率为一《1的直线/交椭圆二+4=1(。〉>>0)于加、N两点，交X轴、y轴分别于°、

2a2b-

P两点，且MP=QN,则椭圆的离心率为

【答案】1##0.5

【解析】

22

【分析】数形结合，表示出加、N点的坐标，代入方程二+多=1（。〉匕＞0）,找到a,3的关系，再结合

ab

a2=b2+c2＞即可求解椭圆的离心率;

【详解】设直线y=-3x+t,由图可知，。［卒人。］、尸（0J）,

2I3J

设直线y=-且x+f,由图可知，/挛f,。］、P（O,f）,

2I3I

又因为AfP=QN,设肋0在丁轴上投影长度为

、

所以/I33

7

"92

L=i

223/b2

代入0+与=l（a〉A〉0）,解得：＜

ab4“M-i

Tc—1

3a2b1

上式除以下式得:

等式两边同时除以（r+疔-0）2,解得：4/=3",即：2b=瓜,

又因为片=〃+°2,解得2c=a,,所以椭圆的离心率为

故答案为：

四、解答题：本题共6小题.第17题10分，第18~22题每小题12分.解答应写出文字说明、

证明过程或演算步骤.

17.已知数列｛%｝的前〃项和为S0=2/+5”，数列｛优｝满足4=8,2=16%].

(1)证明：数列｛4｝是等差数列；

(2)是否存在常数0、q,使得对一切正整数“都有a"=logp6"+q成立？若存在，求出p、q的值；若不存

在，说明理由.

【答案】(1)证明见解析

⑵存在；p=g,q=10

【解析】

【分析】(1)根据为=求出｛与｝的通项公式，证明出数列为等差数列；

⑵先得到｛2｝是以8为首项，工为公比的等比数列，求出通项公式，结合对数运算列出方程组，求出p、

16

q的值.

【小问1详解】

证明：因为数列｛为｝的前〃项和为S“=2/+5〃，

当“之2时，S“T=2(〃一1尸+5(〃-1),

_

所以Un=S"—S"_]=2n~+5n—2(〃-1)—5(〃-1)=4〃+3,

当〃=1时，％=Si=2+5=7,满足q=4xl+3,

所以数列｛g｝的通项公式为=4/7+3,九eN*，

所以*-4=4(“+1)+3-4“-3=4,〃eN*，

所以｛。“｝是首项为7,公差为4的等差数列.

【小问2详解】

b11

因为a=16年+1，所以彳*=而，所以数列｛4｝是以8为首项，记为公比的等比数列，

所以人=8-f—=27-4"；

U6J

74,,

所以log.bn=logp2-=(7-4«)log.2,

要使对一切正整数n都有an=logpbn+q成立.

即4〃+3=(7-4n)logp2+q,即4〃+3=-4nlogp2+71ogp2+q,

4=-4log2

所以。大C,

3=71ogp2+q

1

解得2,所以则当p=j,4=10时，对一切正整数〃都有4=1。80a+4成立.

q=102

18.记ABC的内角A、B、C的对边分别为a、b、c,>(2Z?-c)cosA=acosC.

⑴求角A的大小；

⑵设BC边上的高AQ=1,求ABC面积的最小值.

TT

【答案】(1)A=§

⑵苴

3

【解析】

【分析】(1)由题意及正弦定理可得cosA的值，再由A角的取值范围，可得A角的大小；

⑵由题意和⑴可得a=且次，再由余弦定理可得。。的最小值，进而求出该三角形的面积最小值.

2

【小问1详解】

由正弦定理可知:(2sinB-sinC)cosA=sinAcosC

所以2sin5cosA=sinAcosC+sinCeosA=sinB

又5£(0,兀)，所以sin6>0,所以cosA=g.

因为Ae(O,»),所以A=g.

【小问2详解】

=Li)cJl=LAD.Bc=-a，所以a=^bc①

△ABC22222

而/=/?2+c2—2Z?ccos60°=b2+c2—bc>2bc—bc

所以。2>bc，当且仅当人二C时等号成立②

由①②两式可知，bc>^

所以S&ABc=/bcN与，即.ABC面积的最小值为守.

19.如图，圆锥PO的高为3,AB是底面圆。的直径，PC,尸。为圆锥的母线，四边形ABCD是底面圆。

的内接等腰梯形，且AB=2CD=2,点E在母线PB上，且BE=2EP.

(1)证明：平面AECJ_平面POD；

⑵求平面AEC与平面EAB的夹角的余弦值.

【答案】(1)证明见解析

°、3而

\L)-----

20

【解析】

【分析】(1)先得到平行四边形04OC为菱形，得到8LAC,再结合尸0,AC得到线面垂直，证明出

面面垂直；

⑵建立空间直角坐标系，写出点的坐标，得到平面法向量，得到两平面夹角的余弦值.

【小问1详解】

由己知可得CD//AO,且AO=CD=1,

所以四边形OAOC为平行四边形，

又因为QA=OC=1,所以平行四边形。4OC为菱形,

所以。AC

在圆锥尸。中，因为P01平面ABC。，ACu平面ABCQ,

所以尸OLAC

因为尸00D=0,尸Ou平面尸。£),OOu平面P。。,

所以AC，平面POD.

又因为ACu平面AEC,所以平面AECJ_平面尸OD

【小问2详解】

取CD中点M,易知OM_L平面OM=sjoC2-CM2=—，

2

以。为原点，OM,OB,。尸所在直线分别为无轴、y轴、z轴，建立如图所示的空间直角坐标系,

(/?1)

贝|A(0,—1,0),5(0,1,0),尸(0,0,3),C^,-,0,

(22)

因为BE=2EP,所以5£=§BP=§(0,-L3)=[o,—§,2J,

所以

(

所以AE=1o,g,2],ACT'1'4

设平面AEC的一个法向量为n=(%,y,z),

4

—y+2z=0

n-AE=0

因为＜,所以＜

n-AC=02x+)

y=o

I22

令y=3,则X=—3若，z=—2,所以〃=136,3,—2)

易知平面EAB即平面yOz,所以平面EAB的一个法向量为加=(1,0,0),

设平面AEC与平面EAB的夹角为。，

m〃/\|n-m|3A/33病

则COS"=COSIL=/=一=------,

\/U-U:27+9+4x120

所以平面AEC与平面EAB的夹角的余弦值为之叵.

20

20.已知函数/(冗)=四一，一(a+l)lnx(QwO).

⑴讨论函数/(X)的单调性；

(2)若/(%)既有极大值又有极小值，且极大值和极小值的和为g(。).解不等式g(a)<2a-2.

【答案】(1)答案见解析

(2){«|0<o<1}

【解析】

【分析】(1)对函数求导，然后对参数“分类讨论，注意讨论正负以及与工」的关系。然后根据导数判断函

a

数“X)的单调性；

⑵由⑴知，。的范围是a>0且=+/⑴=(a+l)lna,题目转化为求解

In0,构造函数加(a)=In"2)［；)(<>0),然后结合函数的单调性以及特殊值m(l)=0,

从而解得不等式的解集；

【小问1详解】

定义域：(0,+。),

「,/、1〃+lax2-(6z+l)x+l(ax-V)(x-V)

fM=a+-------=--------2-------=-------2-----

xxxx

1°〃<0时ax-1<0,

令第x)>。，解得0<x<l；令/解得%>1;

所以/(力在(0,1)上单调递增，在(L+8)上单调递减；

2°a>0时

①当1>1时，即Ovavl时，

a

令&)>0,解得0<x<l或X〉L令/'(x)<0,解得1<X<L

aa

所以在(0,1)上单调递增，U上单调递减，g,+s］上单调递增;

②当工=1时，即。=1时，

a

0(x)>0恒成立，所以/(%)在(0,+。)上单调递增；

③当!<1时，即”>1时，

a

令制x)>0,解得0<x<：或X>1；令/'(x)<。，解得.<尤<1；

aa

所以/⑺在，j上单调递增，上单调递减，(1,+8)上单调递增.

综上所述：

当a<0时，“X)在(0,1)上单调递增，在(L+8)上单调递减；

当0<”1时，〃力在(0,1)上单调递增，上单调递减，［,+司上单调递增;

当a=l时，/(力在(0,+")上单调递增；

当a>l时，/⑴在［0,£|上单调递增，上单调递减，(1,+8)上单调递增.

【小问2详解】

由(1)知：〃>0且awl,

且g(a)=/f—j+/(l)=l—Q+(a+l)lna+Q—l=(a+l)lna

即：解不等式(a+l)lna<2a—2；(a>0且awl)

等价于解不等式：lna-2(a-1)<0

a+1

令m(a)=Ina-^―—―(a>0),

a+1

加(a)」——二=("D：>0,

a(a+1)2a(a+l)2

所以m（a）在（0,+“）单调递增，

且771（1）=0,所以7〃（。）<0=772（1）,

即不等式的解集为｛a|0<a<4.

21.已知8为抛物线V=2x—2上一点，A（2,0）,B为AC的中点，设。的轨迹为曲线E.

⑴求曲线E的方程；

（2）过点/（1,0）作直线交曲线E于点M、N,点P为直线/：x=—1上一动点.问是否存在点P使△MNP为

正三角形？若存在，求出点尸坐标；若不存在，请说明理由.

【答案】⑴V=4x

⑵存在；P（-1,±8A/2）

【解析】

【分析】（1）设C（x,y）,表达出3H，措），代入抛物线方程中，求出C的轨迹方程；

⑵设出直线MN：x=my+l,联立抛物线方程，根据等边三角形，得到方程，求出〃？，进而得到

P(-1,±8V2).

【小问1详解】

设C（x,y）,则

因为点8在抛物线丁=2x—2上，即图=2义号2—2,

化简得V=4x,所以曲线E的方程为y=4x.

【小问2详解】

假设存在点P（-l,%）使AACVP为正三角形.

当MN垂直于y轴时，不符合题意；

当不垂直于y轴时，

设直线MN：x=my+l,MN的中点为K（sj）,

[y2=4x,

联立《得