苏州大学2024届高考数学四模试卷含解析

苏州大学附属中学2024届高考数学四模试卷

注意事项：

1.答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。

2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再

选涂其它答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效。

3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。

一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

x+y>0

1.设不等式组《'厂表示的平面区域为Q,若从圆C：V+,2=4的内部随机选取一点p,则「取自Q的

x-sj3y<0

概率为（）

571117

A.——B.——C.—D.——

24242424

2.“十二平均律”是通用的音律体系，明代朱载埴最早用数学方法计算出半音比例，为这个理论的发展做出了重要

贡献.十二平均律将一个纯八度音程分成十二份，依次得到十三个单音，从第二个单音起，每一个单音的频率与它的前

一个单音的频率的比都等于啦.若第一个单音的频率为了,则第八个单音的频率为

A.^2/B.在于

C.疗/D.他于

3.要得到函数y=的图象，只需将函数y=Gsin12x-三）图象上所有点的横坐标（）

JT

A.伸长到原来的2倍（纵坐标不变），再将得到的图象向右平移;个单位长度

4

1T

B.伸长到原来的2倍（纵坐标不变），再将得到的图像向左平移一个单位长度

4

15万

C.缩短到原来的一倍（纵坐标不变），再将得到的图象向左平移二个单位长度

224

D.缩短到原来的工倍（纵坐标不变），再将得到的图象向右平移当个单位长度

224

4.复数满足z+|z|=4+8i,则复数z在复平面内所对应的点在（）

A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限

2019

5.若（1-无=/+o1a+1）++a2019（x+1）,xeR,则%•3+g-32++,3刈9的值为（）

A.-1-22019B.-1+22019C.1-22019D.1+22019

7.设S“为等差数列｛a.｝的前〃项和，若2(%+%+%)+3(线+%2)=66,则=

A.56B.66

C.77D.78

8.(39+/)(2—J).展开式中x2的系数为()

X

A.-1280B.4864C.一4864D.1280

9.已知函数/(x)=xx-ln-,关于“的方程/(x)=。存在四个不同实数根，则实数〃的取值范围是()

Va7

A.(0,1)U(1,e)B.

C.D.(0,1)

已知°满足sina=工，则cos(工71+a]cosK=(

10.)

3U4)

7777

A.B.-C.——D.——

189189

2

11.函数/(%)=三-“cos%图象的大致形状是()

l+e

g(x)=Acosox的图象，只需将/(x)的图象()

A.向左平移三个单位B.向右平移注个单位

124

71

C.向左平移4个单位D.向右平移W个单位

4

二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。

13.某校高二(4)班统计全班同学中午在食堂用餐时间，有7人用时为6分钟，有14人用时7分钟，有15人用时为

8分钟，还有4人用时为10分钟，则高二(4)班全体同学用餐平均用时为一分钟.

14.函数/(x)—X2-xlnx的图象在x=l处的切线方程为.

15.设P为有公共焦点耳，鸟的椭圆G与双曲线的一个交点，且椭圆4的离心率为双曲线的

离心率为e2,若02=3e1,贝!]G=.

16.已知向量8满足忖=2,恸=1,k一0=百，则向量。在匕的夹角为.

三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

17.(12分)已知函数/(x)=sinox+cos|OX+3其中xeR,®>0.

(1)当o=l时，求/的值;

71

⑵当了⑺的最小正周期为万时，求，⑺在0,-上的值域.

18.(12分)已知/(%)=21n(%+2)-(%+l)2,g(%)=左(％+1).

(1)求/(尤)的单调区间；

(2)当上=2时，求证：对于以>—1,/(x)<g(x)恒成立；

(3)若存在天〉-1,使得当xw(-L,Xo)时，恒有/(x)>g(x)成立，试求人的取值范围.

19.(12分)在平面直角坐标系xQy中，点P是直线/:x=-1上的动点，/。,0)为定点，点Q为PF的中点，动点〃

满足/=0,且MP=2OF(2GR),设点"的轨迹为曲线C.

(1)求曲线C的方程；

(2)过点厂的直线交曲线。于A,B两点,T为曲线C上异于4,3的任意一点，直线7X,TB分别交直线/于。，

E两点.问NOEE是否为定值？若是，求NOEE的值；若不是，请说明理由.

20.(12分)已知函数-In-S.(aeR).

(I)求函数F(x)的单调区间；

(II)当a>0时,求函数f(x)在工2］上最小值.

21.(12分)如图，在三棱柱ADE-5CE中，平面A3CD，平面侧面A3CD为平行四边形，侧面至防为

正方形，AC±AB,AC=2AB=4,M为ED的中点.

(1)求证：尸B//平面AQW；

(2)求二面角M—AC—/的大小.

22.(10分)某校为了解校园安全教育系列活动的成效，对全校学生进行一次安全意识测试，根据测试成绩评定“合格”、

“不合格”两个等级，同时对相应等级进行量化：“合格”记5分，“不合格”记。分.现随机抽取部分学生的成绩，统计结

果及对应的频率分布直方图如下所示:

等级不合格合格

得分[20,40)[40,60)[60,80)[80,100)

频数6X24y

(I)若测试的同学中，分数段［20,40)、［40,60)、［60,80)、［80,100］内女生的人数分别为2人、8人、16人、4人,

完成2x2列联表，并判断：是否有90%以上的把握认为性别与安全意识有关？

是否合格

不合格合格总计

性别

男生

女生

总计

(II)用分层抽样的方法，从评定等级为“合格”和“不合格”的学生中，共选取10人进行座谈，现再从这10人中任选4

人，记所选4人的量化总分为X,求X的分布列及数学期望E(X)；

(III)某评估机构以指标"(加=黑!，其中D(X)表示X的方差)来评估该校安全教育活动的成效，若M20.7,

则认定教育活动是有效的；否则认定教育活动无效，应调整安全教育方案.在(II)的条件下，判断该校是否应调整安

全教育方案？

附表及公式：K2=------也"—---------,其中〃=a+b+c+d.

(a+b)(c+d)(a+c)(b+d)

2

P(K>k0)0.150.100.050.0250.010

k°2.0722.7063.8415.0246.635

参考答案

一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1、B

【解析】

画出不等式组表示的可行域，求得阴影部分扇形对应的圆心角，根据几何概型概率计算公式，计算出所求概率.

【详解】

作出Q中在圆C内部的区域，如图所示,

因为直线x+y=O,X-6y=o的倾斜角分别为电，B，

-46

3171

所以由图可得P取自Q的概率为王二&=

In-24

故选:B

【点睛】

本小题主要考查几何概型的计算，考查线性可行域的画法，属于基础题.

2、D

【解析】

分析：根据等比数列的定义可知每一个单音的频率成等比数列，利用等比数列的相关性质可解.

详解：因为每一个单音与前一个单音频率比为咫，

所以an=啦%T（〃>2,weN+），

又4=/，则为=%/=/（啦［=步/

故选D.

点睛：此题考查等比数列的实际应用，解决本题的关键是能够判断单音成等比数列.等比数列的判断方法主要有如下

两种：

aa

(1)定义法，若3=4(q彳O,neN*)或4=q(q手QnN2,neN*),数列｛4｝是等比数列

anan-i

(2)等比中项公式法，若数列｛4｝中，且。3=可用“_2(〃23,“eN*),则数列｛4｝是等比数列.

3、B

【解析】

分析：根据三角函数的图象关系进行判断即可.

详解：将函数y=6sin12x-图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍(纵坐标不变)，

得至I]y=也5讥(工x2x—工)=Qs沅(x—工)，

*233

再将得到的图象向左平移:个单位长度得到y=&加(x-g+?)=Ain(x—2),

故选B.

点睛：本题主要考查三角函数的图象变换，结合。和9的关系是解决本题的关键.

4、B

【解析】

22

设z=a+bi(a,Ae&,则z+忖=a+bi+y/a+b=4+&•，可得＜二心+”=‘,即可得到z，进而找到对应的点所

在象限.

【详解】

设z=a+4(a,beR),则z+\z\=a+bi+^cr+tr=4+8z,

.a+^a2+b2=46

[b=8U=8

所以复数z在复平面内所对应的点为(-6,8)，在第二象限.

故选:B

【点睛】

本题考查复数在复平面内对应的点所在象限,考查复数的模，考查运算能力.

5、A

【解析】

2019

取x=—1,得至！)%=22°i9,取光=2,则4+a/3+g-32++a2019.3=-1,计算得到答案.

【详解】

019

取1=-1,得至!j旬=2~89；取了=2,则%+q・3+a2.3一++a2019-3"=—1.

20192019

故。「3+2.32++672019-3=-1-2.

故选：A-

【点睛】

本题考查了二项式定理的应用，取％=-1和x=2是解题的关键.

6、C

【解析】

对x分类讨论，去掉绝对值，即可作出图象.

【详解】

_log“(_x)，X<-1,

x+1

〃x)=log〃|x|={log〃(—x),-1<X<O,

k+l

logflx,x>0.

故选C.

【点睛】

识图常用的方法

⑴定性分析法：通过对问题进行定性的分析，从而得出图象的上升（或下降）的趋势，利用这一特征分析解决问题;

⑵定量计算法：通过定量的计算来分析解决问题；

⑶函数模型法：由所提供的图象特征，联想相关函数模型，利用这一函数模型来分析解决问题.

7、C

【解析】

根据等差数列的性质可得2（%+々5+々7）+3（。8+.2）=6%+6%0=66,即%+4o=11，

所以几=以色产2=7（%+/）=77,故选C.

8、A

【解析】

34

根据二项式展开式的公式得到具体为：（3x）+x化简求值即可.

【详解】

根据二项式的展开式得到可以第一个括号里出3d项，第二个括号里出工项，或者第一个括号里出一,第二个括号里

X

出具体为：（3x3）C；271£|+X4-C；261_£]

化简得到-1280x2

故得到答案为：A.

【点睛】

求二项展开式有关问题的常见类型及解题策略：

⑴求展开式中的特定项.可依据条件写出第厂+1项，再由特定项的特点求出r值即可.

⑵已知展开式的某项，求特定项的系数.可由某项得出参数项，再由通项写出第厂+1项，由特定项得出厂值，最后求出

其参数.

9、D

【解析】

原问题转化为工山工=1有四个不同的实根，换元处理令f=^，对g。）=山进行零点

ayjay/aa7a<tJ

个数讨论.

【详解】

»AX

由题思，a>2,令，二一尸，

yja

（2、?19

JQJQIXX

贝!I/（x）=x—In——a-----—In—=I

、ciJa弋aa

_tlnt^—I^Int^——1=

0.

记g(，)=/痴

当t<2时，g(r)=2ln(-r)-y[a(，--）单调递减，且g（-2）=2,

t

又g(2)=2,，只需g(r)=2在(2,+8）上有两个不等于2的不等根.

2

则Int-=0<^4^=2几J

记力Q)=,2](£>2且扶2),

则加⑺_(2加+2)(»一1).4d加_2(/+1)[入1叼.

"(产可—(?2-1)2

(/-I)?

令9(f)=-----Int,贝!1—(f)=―-----1----'----L——=

d+1)2-

r+1(/+i)2t

『一1

•：(p(2)—2,'.<p(f)=—............Int在(2,2)大于2,在(2,+co)上小于2.

r+1

：.h'(Z)在(2,2)上大于2,在(2,+oo)上小于2,

则h(/)在(2,2)上单调递增，在(2,+oo)上单调递减.

由hm———=hm------=1,可得JaVI,即a<2.

实数a的取值范围是(2,2).

故选：D.

【点睛】

此题考查方程的根与函数零点问题，关键在于等价转化，将问题转化为通过导函数讨论函数单调性解决问题.

10>A

【解析】

利用两角和与差的余弦公式展开计算可得结果.

【详解】

1

sin«=—,

3

n.n.Vn

cos—+acos---a|=|cos—costz-sin—sintzcos—cosa+sin—sintz

<4；<4；44八44)

2

(V2V2.YA/2」)=1(l-2sin«)=11-2XQ^=,

=—cos«----sina||—cosa'i----sincr=—cos«-sina

(22人22J2V

故选：A.

【点睛】

本题考查三角求值，涉及两角和与差的余弦公式的应用，考查计算能力,属于基础题.

11、B

【解析】

判断函数“X)的奇偶性，可排除A、C,再判断函数/(%)在区间(0,]]上函数值与。的大小，即可得出答案.

【详解】

(2A

解：因为f(x)=|,*1cos.x=cosx,

xx

/]_)e-11-e

所以x)=_xcos(x)=*cosx=cosx=f(x),

、J-1匕)C1J-J-1&

所以函数/(力是奇函数，可排除A、C；

又当〃x)<0,可排除D；

故选：B.

【点睛】

本题考查函数表达式判断函数图像，属于中档题.

12、A

【解析】

2万27r(jrA

依题意有了(%)的周期为7=石=彳皿=3,/(%)=Asin[3x+aJ.而

a.\兀兀［AC71兀

g(x)=Asin!3x+-1-=Asin3xH-----1--=Asin3+—故应左移一.

I44412

二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。

13、7.5

【解析】

分别求出所有人用时总和再除以总人数即可得到平均数.

【详解】

7x6+14x7+15x8+4x10一0

-----------------------------------=7.5

7+14+15+4

故答案为：7.5

【点睛】

此题考查求平均数，关键在于准确计算出所有数据之和，易错点在于概念辨析不清导致计算出错.

14、x-j=0.

【解析】

先将x=l代入函数式求出切点纵坐标，然后对函数求导数，进一步求出切线斜率，最后利用点斜式写出切线方程.

【详解】

由题意得/'(X)=2x—Inx—1,/'(I)=1,/(1)=1.

故切线方程为yT=x-L即x-y=0.

故答案为：x-y=0.

【点睛】

本题考查利用导数求切线方程的基本方法，利用切点满足的条件列方程(组)是关键.同时也考查了学生的运算能力,

属于基础题.

15、叵

3

【解析】

设

Z.FXAF2=20

根据椭圆的几何性质可得SJFiF?="tan0=母

11

G=-9,\ax=—,—c=c——1

%ei"i)

h2

根据双曲线的几何性质可得，5八尸耳后=—/二必

tan。

口口11c。V5

即H—y—2,3e,=eq=—

e；e；253

故答案为正

3

16、-

3

【解析】

把卜-,=G平方利用数量积的运算化简即得解.

【详解】

因为.=2,恸=1,卜—0=百，

所以J—2。•b+//=3，二〃,b=1，

cos0——9因为。£[0,7i\

2

TT

所以e=—.

3

故答案为：—

【点睛】

本题主要考查平面向量的数量积的运算法则，考查向量的夹角的计算，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平.

三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

17、(1)¥⑵

【解析】

TT

(1)根据。=1,得到函数/(x)=sinx+cos(x+7),然后，直接求解的值;

6

7兀1TT

(2)首先，化简函数/(x)=sin(ox+g),然后，结合周期公式，得到啰=2,再结合xe0,-,及正弦函数的性

3

质解答即可.

【详解】

(1)因为啰=1,所以/(x)=sinx+cos卜+.

.兀7171=旦

sin—+cos—+—

336一彳

(2)因为/(%)=sina)x+cosa)x+—

I6

sincox+coscoxcos----sincoxsin—

66

=1…走”

22

=sinLyx+-

l3

即/(%)=sin[+三

因为丁=网=7，所以。=2

G)

所以/(x)=sin氟+0

W3

冗

因为

xe0,7

所以2%+彳£­

3L3o

所以当x=0时，/(x)=B.当x=2时，/。)=1(最大值)

212

711

当％=丁时，/«=-

42

')1

/(X)在0,—是增函数，在—是减函数.

_12J1124_

・•・/(X)的值域是1,1.

【点睛】

本题主要考查了简单角的三角函数值的求解方法，两角和与差的正弦、余弦公式，三角函数的图象与性质等知识，考

查了运算求解能力，属于中档题.

18、(1)单调减区间为(-2,一“石),单调增区间为(-3+1,+00)；(2)详见解析；(3)(-8,2).

22

【解析】

试题分析：(1)对函数/(%)求导后，利用导数和单调性的关系，可求得函数/(九)的单调区间.(2)构造函数

/i(x)=/(x)-g(x),利用导数求得函数力(%)在(-l,y)上递减，且1)=0,则M1)<0,故原不等式成立.(3)

同⑵构造函数MX)=/(%)-g(x),对左分成左(2,左=2肉2三类，讨论函数力⑴的单调性、极值和最值，由此

求得上的取值范围.

试题解析：

2

⑴/(力=力-23+1)

JiI乙

-2(X2+3X+1)

=—------------(x>-2),

x+2

当尸(x)<0时，X2+3X+1>0.

解得x〉「3歧.

2

当/'(%)>0时，解得—2<%<-3+君.

—3+\]5

所以单调减区间为-2,J

(-3+45]

单调增区间为-2-，+G0-

⑵设/?(%)=y(x)—g(x)

=21n(x+2)-(%+1)"一女(无+l)(x〉一1),

当左=2时，由题意，当xe(-l,+oo)时,

力(x)<0恒成立.

-2(X2+3X+1)

//'(%)=

x+2

-2(x+3)(x+l)

x+2

.•.当X>-1时，"(x)<0恒成立，可力单调递减.

又网―1)=0,

.,.当X€(-l,+oo)时，丸(力<〃(一1)=0恒成立，即/(x)—g(x)<o.

...对于Vx>—1,/(x)<g(x)恒成立.

-2(X2+3X+1)

(3)因为“(力=k

x+2

2%2+(左+6)x+2k+2

x+2

由(2)知，当左=2时，/(x)<g(x)恒成立，

即对于Vx>—1,21n(x+2)-(x+l)2<2(x+l),

不存在满足条件的飞；

当上>2时，对于Vx>—1,x+1>0,

此时2(x+l)〈左(x+1).

:.21n(x+2)-(x+l)2<2(x+l)<^(x+1),

即/(x)<g(x)恒成立，不存在满足条件的X。;

当上<2时，令=—2x~—(左+6)]—(2左+2),

可知，(%)与〃'⑺符号相同，

当xe(%o，+oo)时，r(x)<0,/：'(%)<0,

网龙)单调递减.

.,.当xe(_l,%o)时，/?(%)=0,

即/(x)-g(x)>。恒成立.

综上，左的取值范围为(—00,2).

点睛：本题主要考查导数和单调区间，导数与不等式的证明，导数与恒成立问题的求解方法.第一问求函数的单调区间,

这是导数问题的基本题型，也是基本功，先求定义域，然后求导，要注意通分和因式分解.二、三两问一个是恒成立问

题，一个是存在性问题，要注意取值是最大值还是最小值.

19、(1)y2=4x；(2)是定值，ZDFE=~.

2

【解析】

(1)设出拉的坐标为(x,y),采用直接法求曲线C的方程；

⑵设A5的方程为x=O+l,A(李必)，此;%),T耳,%)，求出AT方程，联立直线/方程得。点的坐标,

同理可得E点的坐标，最后利用向量数量积算所即可.

【详解】

(1)设动点"的坐标为(x,y),由=尸(4eR)知MP〃。尸，又P在直线/:兀=一1上，

所以尸点坐标为又尸(1,0),点。为PF的中点，所以。(04)，尸，=(2,—y),MQ=(-x,-^,

2

由尸=0得一2x+]=0,即>2=4%；

设直线A3的方程为％=。+1,代入/=4x得＞2_4?—4=0,设公住,％）,3（季为），

v2k=%一%=4

则%+%=4/,/%=-4,设T（斗,光）,贝！）■才弁%+为,

44

所以AT的直线方程为y—%=」一（X—半）即y=令X=—1,则

”。，所以。点的坐标为1咎/），同理E点的坐标为㈠彳步）于是阳=（-2,咎/）,

ST"，所以J/

Ty；—16%+16_—16+16%+4苏—4y：—16%+16

=4+=0,从而FD_LFE，

-4+4ty0+Jo—4+4ty0+%

77

所以ZDEE=〈是定值.

2

【点睛】

本题考查了直接法求抛物线的轨迹方程、直线与抛物线位置关系中的定值问题，在处理此类问题一般要涉及根与系数

的关系，本题思路简单，但计算量比较大，是一道有一定难度的题.

20、（1）见解析；（11）当0＜。＜1112时，函数f（x）的最小值是/（的.二一。；当a»ln2时，函数/X*）的最小值是

F（x：U=ln2-2a

【解析】

（1）求出导函数，并且解出它的零点X=,再分区间讨论导数的正负，即可得到函数f（X）的单调区间；

（2）分三种情况加以讨论，结合函数的单调性与函数值的大小比较，即可得到当0＜a＜ln2时，函数f（x）的最小

值是-a；当吟ln2时，函数f（x）的最小值是ln2-2a.

【详解】

⑴函数4%)的定义域为(0,+8).

因为〃＞0,令/4］)=工-4=0,可得％=,；

xa

当0＜%＜工时，/'(X)=七竺〉0；当%＞工时，/(%)=上竺＜0,

axax

综上所述：可知函数/(%)的单调递增区间为［。，J］,单调递减区间为

＜a)\a

(2)⑺当0＜工41,即心1时，函数f(x)在区间［1,2］上是减函数，

a

/(X)的最小值是/(2)=ln2-2«

(ii)当,22,即时，函数/(元)在区间口,2］上是增函数，

a2

.・・)⑴的最小值是〃1)=一。

(应)当1＜工＜2,即!＜。＜1时，函数/(》)在］1,工］上是增函数，在［工,21上是减函数.

a2ka)\aJ

又/(2)-/(l)=ln2-«,

.•・当J<。<In2时，/(元)的最小值是/(1)=-a；

当ln2<a<1时，/(%)的最小值为〃2)=In2—2a

综上所述，结论为当0＜a＜In2时，函数/(x)的最小值是/(x)而「二一。；

当a21n2时，函数/(x)的最小值是/(初面=山2-2a.

【点睛】

求函数“X)极值与最值的步骤：⑴确定函数的定义域；⑵求导数/'(光)；(3)解方程/'(力=0,求出函数定义域

内的所有根；(4)列表检查/(九)在/"(力二。的根毛左右两侧值的符号，如果左正右负(左增右减)，那么/(%)在尤。

处取极大值，如果左负右正(左减右增)，那么/(x)在/处取极小值.(5)如果只有一个极值点，则在该处即是极

值也是最值；(6)如果求闭区间上的最值还需要比较端点值的函数值与极值的大小

21、(1)证明见解析(2)45°

【解析】

(1)连接6D,交AC与。，连接由MO//EB,得出结论；

（2）以A为原点，AC,AB,AF分别为x,y,z轴建立空间直角坐标系，求出平面ACM的法向量，利用夹角

公式求出即可.

【详解】

（1）连接BD,交AC与。，连接

在ADEB中，MO//FB,

又歹6.平面ACM,MOu平面ACM,

所以EB//平面ACM；

（2）由平面A3CD_L平面ABEF,AC±AB,AB为平面ABC。与平面ABEF的交线，故AC_L平面ABEb,故

AF±AC,又所以AR，平面ABC。，

以A为原点，AC,AB,AF分别为x,y,z轴建立空间直角坐标系，

4（0,0,0）,C（4,0,0）,5（0,2,0）,D（4,-2,0）,F（0,0,2）,M（2-1,1）,

设平面ACM的法向量为机=（x,y,z）,AC=（4,0,0）,AM=（2,-1,1）,

[m-AC=4x=0

由V,得7〃=(O,l,l),

m-AM=2x-y+z=0

平面ACF的法向量为AB=（0,1,0）,

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