2024高考数学一轮复习 空间向量与立体几何 讲义

空间向量与立体几何一一讲义

第01讲空间向量及其运算

【知识点梳理】

知识点一：空间向量的有关概念

1.空间向量

(1)定义：在空间，具有大小和方向的量叫做空间向量.

⑵长度或模：空间向量的大小.

(3)表示方法：

①几何表示法：空间向量用有向线段表示；

②字母表示法：用字母a,b,c,…表示；若向量a的起点是A,终点是8,也可记作：AB,其模记为⑷或|盛

知识点诠释：

(1)空间中点的一个平移就是一个向量；

(2)数学中讨论的向量与向量的起点无关，只与大小和方向有关，只要不改变大小和方向，空间向量可在空间

内任意平移，故我们称之为自由向量。

2.几类常见的空间向量

名称方向模记法

零向量任意00

单位向量任意1

_

a的相反向重：—a

相反向量相反相等—>—>

AB的相反向量：BA

相等向量相同相等a=b

知识点二：空间向量的线性运算

(1)向量的加法、减法

—>—>—>

加法

空间向量的OB=OA+OC=a+b

—>—>—>

运算减法

CA=OA~OC=a~b0aA

①交换律：a+b=b+a

加法运算律

②结合律：(a+b')+c=a+(b+c')

(2)空间向量的数乘运算

①定义：实数九与空间向量a的乘积而仍然是一个向量，称为向量的数乘运算.

当X>0时，解与向量。方向相同；

当入<0时，解与向量。方向相反；

当入=0时，3=0；猫的长度是a的长度的囚倍.

②运算律

结合律：A4Mi)=〃(Xa)=(M)a.

分配律：Q+M)a=Mt+〃a,X(a+fe)=Xa+XZ>.

知识点诠释：

(1)空间向量的运算是平面向量运算的延展，空间向量的加法运算仍然满足平行四边形法则和三角形法则.而且

满足交换律、结合律，这样就可以自由结合运算，可以将向量合并；

(2)向量的减法运算是向量加法运算的逆运算，满足三角形法则.

(3)空间向量加法的运算的小技巧：

①首尾相接的若干向量之和，等于由起始向量的起点指向末尾向量的终点的向量,

即：44+4A+A4++4_4=44

因此，求空间若干向量之和时，可通过平移使它们转化为首尾相接的向量；

②首尾相接的若干向量若构成一个封闭图形，则它们的和为零向量，

即：A4+AA+A4++4-4+44=。；

知识点三：共线问题

共线向量

(1)定义：表示若干空间向量的有向线段所在的直线互相平行或重合，则这些向量叫做共线向量或平行向量.

(2)方向向量：在直线/上取非零向量0,与向量a平行的非零向量称为直线/的方向向量.

规定：零向量与任意向量平行，即对任意向量a,都有0〃a.

⑶共线向量定理：对于空间任意两个向量a,优厚0),。〃方的充要条件是存在实数儿使。=肪.

(4)如图，。是直线/上一点，在直线/上取非零向量a,则对于直线/上任意一点P,由数乘向量定义及向量共线

的充要条件可知，存在实数九，使得分=版.

知识点诠释：此定理可分解为以下两个命题：

(1)°//灰620)0存在唯一实数/1,使得a=4b；

(2)存在唯一实数4,使得°=助9*0),则a//6.

注意：b不可丢掉，否则实数力就不唯一.

(3)共线向量定理的用途：

①判定两条直线平行；(进而证线面平行)

②证明三点共线。

注意：证明平行时，先从两直线上取有向线段表示两个向量，然后利用向量的线性运算证明向量共线，进而可以

得到线线平行，这是证明平行问题的一种重要方法。证明三点共线问题，通常不用图形，直接利用向量的线性运算即

可，但一定要注意所表示的向量必须有一个公共点。

知识点四：向量共面问题

共面向量

(1)定义：平行于同一个平面的向量叫做共面向量.

(2)共面向量定理：若两个向量”，6不共线，则向量p与向量a,b共面的充要条件是存在唯一的有序实数对

y)，使。=双+油.

____>-->-->-->

(3)空间一点尸位于平面ABC内的充要条件：存在有序实数对(x,y),使AP=xAB+yAC或对空间任意一点O,有0P

-->-->-->

^OA+xAB+yAC.

(4)共面向量定理的用途：

①证明四点共面

②线面平行(进而证面面平行)。

知识点五：空间向量数量积的运算

空间向量的数量积

(1)定义：已知两个非零向量a,b,则|a|161cos〈a,b}叫做a,占的数量积，记作即。仍=|a||臼cos{a,b).

规定：零向量与任何向量的数量积为0.

(2)常用结论(a,5为非零向量)

①a=0.

②。a=|a||a|cos(a,a)=|a|2.

③cos〈a,b)=献

(3)数量积的运算律

数乘向量与数量积的结合律(丸〃)•一=2(〃•5)—)

交换律ab=ba

分配律a(b+c)=ab+ac

知识点诠释：

(1)由于空间任意两个向量都可以转化为共面向量，所以空间两个向量的夹角的定义和取值范围、两个向量垂直

的定义和表示符号及向量的模的概念和表示符号等，都与平面向量相同.

(2)两向量的数量积，其结果是数而非向量，它的值为两向量的模与两向量夹角的余弦的乘积，其符号由夹角的

余弦值决定.

(3)两个向量的数量积是两向量的点乘，与以前学过的向量之间的乘法是有区别的，在书写时一定要将它们区别

开来，不可混淆.

知识点六：利用数量积证明空间垂直关系

当“_1/»时，ab=0.

知识点七：夹角问题

L定义：已知两个非零向量d、b,在空间任取一点D,作。4=凡。8=人，则NAOB叫做向量2与6的夹角,

记作〈。,方〉,如下图。

根据空间两个向量数量积的定义：a-b=同网cos〈a,。〉,

那么空间两个向量a、b的夹角的余弦cos〈a,b〉="^。

\a\-\b\

知识点诠释：

(1)规定:0<(a,b)<7i

(2)特别地，如果〈。口〉=0,那么〃与b同向；如果〈。力〉=万，那么。与匕反向;如果〈。/〉=90°,那么。与b

垂直，记作aLba

2.利用空间向量求异面直线所成的角

异面直线所成的角可以通过选取直线的方向向量，计算两个方向向量的夹角得到。

在求异面直线所成的角时，应注意异面直线所成的角与向量夹角的区别：如果两向量夹角为锐角或直角，则异面

直线所成的角等于两向量的夹角；如果两向的夹角为钝角，则异面直线所成的角为两向量的夹角的补角。

知识点八：空间向量的长度

1.定义：

在空间两个向量的数量积中，特别地0a=|4同8$0。=同°,所以向量。的模：产

将其推广：

\a+b\=^/(a±£>)2—\la2+2a-b+b2；\a+b+c\—\](a+b+c')2=\/a2+b2+c2+2a-b+2b-c+2c-a。

2.利用向量求线段的长度。

将所求线段用向量表示，转化为求向量的模的问题。一般可以先选好基底，用基向量表示所求向量，然后利用同2=/

来求解。

第02讲空间向量基本定理

【知识点梳理】

知识点01：空间向量基本定理及样关概念的理解

空间向量基本定理：

如果空间中的三个向量a，b,e不共面，那么对空间中的任意一个向量P，存在唯一的有序实数组(x,y,z),使

得°=阳+地+2d其中，空间中不共面的三个向量0，b，4组成的集合｛“，6，c｝，常称为空间向量的一组基底.

此时，a,6，c都称为基向量；如果p—xa+yb+zc，则称尤a++zc为p在基底｛。，匕，d｝下的分解式.

知识点2：空间向量的正交分解

单位正交基底：如果空间的一个基底中的三个基向量两两垂直，且长度都为1,那么这个基底叫做单位正交基底，

常用｛『,7,4｝表示.

正交分解：把一个空间向量分解为三个两两垂直的向量，叫做把空间向量进行正交分解.

知识点3：用空间向量基本定理解决相关的几何问题

用已知向量表示某一向量的三个关键点：

(1)用已知向量来表示某一向量，一定要结合图形，以图形为指导是解题的关键.

(2)要正确理解向量加法、减法与数乘运算的几何意义，如首尾相接的若干向量之和，等于由起始向量的始点指向

末尾向量的终点的向量.

(3)在立体几何中三角形法则、平行四边形法则仍然成立

第03讲空间向量及其运算的坐标表示

【知识点梳理】

知识点一、空间直角坐标系

1.空间直角坐标系

从空间某一定点。引三条互相垂直且有相同单位长度的数轴，这样就建立了空间直角坐标系Oxyz,点。叫做坐

标原点，x轴、y轴、z轴叫做坐标轴，这三条坐标轴中每两条确定一个坐标平面，分别是％。y平面、yOz平面、zOx

平面.

2.右手直角坐标系

在空间直角坐标系中，让右手拇指指向尤轴的正方向，食指指向y轴的正方向，如果中指指向z轴的正方向，则称

这个坐标系为右手直角坐标系.

3.空间点的坐标

空间一点A的坐标可以用有序数组(无，y,z)来表示，有序数组(x,y,z)叫做点A的坐标，记作A(尤，y,z),其中x

叫做点A的横坐标，y叫做点A的纵坐标，z叫做点A的竖坐标.

知识点二、空间直角坐标系中点的坐标

L空间直角坐标系中点的坐标的求法

通过该点，作两条轴所确定平面的平行平面，此平面交另一轴于一点，交点在这条轴上的坐标就是已知点相应的

一个坐标.

特殊点的坐标：原点(0,0,0)；x,y,z轴上的点的坐标分别为(x,0,0),(0,y,0),(0,0,z)；坐标平面yOz,xOz

上的点的坐标分别为(x,y,0),(0,y,z),(x,0,z).

2.空间直角坐标系中对称点的坐标

在空间直角坐标系中，点尸（x,y,z）,则有

点P关于原点的对称点是片（―x,—y,—z）；

点P关于横轴（x轴）的对称点是P,（x,-j,-z）；

点P关于纵轴（y轴）的对称点是片（-%,%—z）；

点P关于竖轴（z轴）的对称点是P4（―尤,—％z）；

点P关于坐标平面xOy的对称点是P5（x,y,-z）；

点P关于坐标平面yOz的对称点是稣（-%,y,z）；

点P关于坐标平面xOz的对称点是P,（羽-y,z）.

知识点三、空间向量的坐标运算

（1）空间两点的距离公式

若人（%,如4）,3（%2，%/2）,则

①AB=08-OA=（%,%，Z2）-（库加4）=（%-冷%-X，Z2）

即:一个向量在直角坐标系中的坐标等于表示这个向量的有向线段的终点的坐标减去起点的坐标。

②IA51-dAB--xj+（8-%）+（Z2-2（，

或J（尤2—%）2+（为一%）2+（22-21）2.

知识点诠释：两点间距离公式是模长公式的推广，首先根据向量的减法推出向量的坐标表示，然后再用模长

公式推出。

（2）空间线段中点坐标

空间中有两点人（%,％,21）,3（%2，y2,22），则线段AB的中点C的坐标为一；”,；丁2,4；Z?.

（3）向量加减法、数乘的坐标运算

若a=（石,乂，4）/=（%,%*2），则

①0+Z?=（%+%2，X+%，Z1+Z2）；

②&_/?=（七一/，弘一%，4_22）；

③4〃二（公,/1n1，以）（2£尺）；

（4）向量数量积的坐标运算

若a=（玉,X，zJ,Z?=（无2，%，Z2），则

a-b=x1x2+yly2+ziz2

即：空间两个向量的数量积等于他们的对应坐标的乘积之和。

（5）空间向量长度及两向量夹角的坐标计算公式

若a=b二也四山）,则

(1)|a|=>Ja-a=Qa；+a；1=\/bb=yjbf+b1+bj.

,.,a-b%。+a2b2+a3b3/n,c、

(2)cos<«-b)=---------I,1-2),33(a#o力w0).

\a\-\b\Ja；+ag+a；•Jb；++b：

知识点诠释:

①夹角公式可以根据数量积的定义推出:

n•h

a-b=|a||Z?|cos〈a­。〉=>cos〈a-。〉=-------,其中。的范围是［0,万］

1。1皿1

②（AC,BD）=g<AC,DB）=7L—『<CA,BD>=兀—6=<CA,DB>=6.

③用此公式求异面直线所成角等角度时，要注意所求角度与0的关系（相等，互余，互补）。

（6）空间向量平行和垂直的条件

若a=（%,%,&）,b=也也加3），则

①a//〃=d=460为=AX2,%=,z；=2z,(2e7?)<»—=-=—丰0)

9%Z2

②a_LZ?<^>a-b=0<=>x1x2+%%+Z］Z,=0

规定：0与任意空间向量平行或垂直

作用：证明线线平行、线线垂直.

第04讲空间向量及其运算的坐标表示

【知识点梳理】

知识点一、空间直角坐标系

1.空间直角坐标系

从空间某一定点。引三条互相垂直且有相同单位长度的数轴，这样就建立了空间直角坐标系Oxyz,点。叫做坐

标原点，x轴、y轴、z轴叫做坐标轴，这三条坐标轴中每两条确定一个坐标平面，分别是％Qy平面、yOz平面、zOx

平面.

2.右手直角坐标系

在空间直角坐标系中，让右手拇指指向尤轴的正方向，食指指向y轴的正方向，如果中指指向z轴的正方向，则称

这个坐标系为右手直角坐标系.

3.空间点的坐标

空间一点A的坐标可以用有序数组(x,y,z)来表示，有序数组(x,y,z)叫做点A的坐标，记作A(x,y,z),其中x

叫做点A的横坐标，y叫做点A的纵坐标，z叫做点A的竖坐标.

知识点二、空间直角坐标系中点的坐标

1.空间直角坐标系中点的坐标的求法

通过该点，作两条轴所确定平面的平行平面，此平面交另一轴于一点，交点在这条轴上的坐标就是已知点相应的

一个坐标.

特殊点的坐标：原点(0,0,0)；x,y,z轴上的点的坐标分别为(x,0,0),(0,y,0),(0,0,z)；坐标平面yOz,xOz

上的点的坐标分别为(x,y,0),(0,y,z),(x,0,z).

2.空间直角坐标系中对称点的坐标

在空间直角坐标系中，点P(x,y,z),则有

点P关于原点的对称点是A-z)；

点P关于横轴(x轴)的对称点是鸟(羽一y,-z)；

点P关于纵轴。轴)的对称点是g(-x,y,-z)；

点P关于竖轴(z轴)的对称点是且(-x,-y,z)；

点P关于坐标平面xOy的对称点是居(九,y,-z)；

点P关于坐标平面yOz的对称点是Pb(-九,y,z)；

点P关于坐标平面xOz的对称点是P,(x,-y,z).

知识点三、空间向量的坐标运算

(1)空间两点的距离公式

若人(%,%乌),5(孙%，&)，则

①=05-OA=(8%，Z2)-4)=(%-/%-X，Z2-4)

即:一个向量在直角坐标系中的坐标等于表示这个向量的有向线段的终点的坐标减去起点的坐标。

②IA31=4AB~=—七)2+(V2-+伍-zj2,

或+(Z2—Zj2.

知识点诠释：两点间距离公式是模长公式的推广，首先根据向量的减法推出向量A8的坐标表示，然后再用模长

公式推出。

（2）空间线段中点坐标

空间中有两点人（不，乂,21）,3（%2，%，22），则线段AB的中点C的坐标为~

\2

（3）向量加减法、数乘的坐标运