北师大第二附属中学2024届高考数学三模试卷含解析

北师大第二附属中学2024届高考数学三模试卷

注意事项：

1.答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。

2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再

选涂其它答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效。

3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。

一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1.对于定义在R上的函数y=/(%),若下列说法中有且仅有一个是错误的，则错误的一个是()

A./(九)在(f,0]上是减函数B./(九)在(0,+。)上是增函数

C./(九)不是函数的最小值D.对于xeR,都有=—%)

22

2.设双曲线=-二=1(a>0,b>0)的右焦点为F,右顶点为A,过F作AF的垂线与双曲线交于B,C两点，过B,C

ab

分别作AC,AB的垂线交于点D.若D到直线BC的距离小于Q+而定，则该双曲线的渐近线斜率的取值范围是

()

A.(-1,0)(0,1)

B.(-0),-1)(1什)

C.(-72,0).(0,72)

D.(-8,-夜)U(元,+8)

3.已知|2a+q=2,a为e[—4,0],则同的取值范围是()

A.[0,1]B.g,lC.[1,2]D.[0,2]

22

4.已知双曲线亍—方=1的渐近线方程为其±y=0,则匕=()

昱

A.2不B.73C.D.4A/3

2

5.若复数Z满足(l+3i)z=(l+i)2,则|z|=()

A.在~B6丽D.叵

15.----C.

4525

6.点0在AABC所在的平面内，|。4|=|。制=|。。|,|AB|=2,卜。卜1,AO=2AB+//AC(2,//eR),且

42-〃=2Q0),则陷=()

A.-B.近C.7D.J7

32

7.定义在R上的函数/(尤)满足/'(4)=1,f(x)为/(x)的导函数，已知y=f(x)的图象如图所示，若两个正数a1

满足/(2。+加＜1,则。的取值范围是()

a+1

D.(-oo,3)

8.如图所示，直三棱柱的高为4,底面边长分别是5,12,13,当球与上底面三条棱都相切时球心到下底面距离为8,

C.D.

•二

9.阿基米德(公元前287年一公元前212年)是古希腊伟大的哲学家、数学家和物理学家，他和高斯、牛顿并列被称

为世界三大数学家.据说，他自己觉得最为满意的一个数学发现就是“圆柱内切球体的体积是圆柱体积的三分之二，并

且球的表面积也是圆柱表面积的三分之二”.他特别喜欢这个结论，要求后人在他的墓碑上刻着一个圆柱容器里放了一

个球，如图，该球顶天立地，四周碰边，表面积为54"的圆柱的底面直径与高都等于球的直径，则该球的体积为()

64〃

10.若集合M={L3},N={1,3,5},则满足MUX=N的集合X的个数为（）

A.1B.2

C.3D.4

11.中国的国旗和国徽上都有五角星，正五角星与黄金分割有着密切的联系，在如图所示的正五角星中，以A、5、

C、。、石为顶点的多边形为正五边形，且则AT—叵口£5=（）

22

A.浮QRB.铝RQC.存RDD.铝RC

12.某校团委对“学生性别与中学生追星是否有关”作了一次调查，利用2x2列联表，由计算得K2。7.218,参照下表:

PgNk。）0.010.050.0250.0100.0050.001

k。2.7063.8415.0246.6357.87910.828

得到正确结论是（）

A.有99%以上的把握认为“学生性别与中学生追星无关”

B.有99%以上的把握认为“学生性别与中学生追星有关”

C.在犯错误的概率不超过0.5%的前提下，认为“学生性别与中学生追星无关”

D.在犯错误的概率不超过0.5%的前提下，认为“学生性别与中学生追星有关”

二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。

13.在如图所示的三角形数阵中，用%（z>J）表示第i行第j个数（z,/eN*）,已知aiA=1-eN*）,且当行3

时，每行中的其他各数均等于其“肩膀”上的两个数之和,即k=+（2<J<Z-1）,若am2>2019,则正

整数旭的最小值为.

0

£1

22

312

44

7777

8448

152172115

16T2T16

I/J/

14.已知抛物线C:V=4x的焦点为尸，过点尸且斜率为1的直线与抛物线C交于点A,B,以线段AB为直径的圆E

上存在点RQ,使得以PQ为直径的圆过点。(-2"),则实数/的取值范围为

15.如图，直线/是曲线y=/(x)在x=3处的切线，贝！|八3)=.

16.已知等比数列｛4｝的各项均为正数，％,+%=4,%+。3-42-4=1，则内的值为.

三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

17.(12分)某芯片公司对今年新开发的一批5G手机芯片进行测评，该公司随机调查了100颗芯片，并将所得统计数

据分为[9,10)[10,11),[11,12),[12,13),[13,14]五个小组(所调查的芯片得分均在[9,14]内)，得到如图所示的频率分布

直方图，其中a—b=O18.

(1)求这100颗芯片评测分数的平均数(同一组中的每个数据可用该组区间的中点值代替).

（2）芯片公司另选100颗芯片交付给某手机公司进行测试,该手机公司将每颗芯片分别装在3个工程手机中进行初测。

若3个工程手机的评分都达到11万分，则认定该芯片合格；若3个工程手机中只要有2个评分没达到11万分，则认

定该芯片不合格；若3个工程手机中仅1个评分没有达到11万分，则将该芯片再分别置于另外2个工程手机中进行二

测，二测时，2个工程手机的评分都达到11万分，则认定该芯片合格；2个工程手机中只要有1个评分没达到11万分,

手机公司将认定该芯片不合格.已知每颗芯片在各次置于工程手机中的得分相互独立，并且芯片公司对芯片的评分方

法及标准与手机公司对芯片的评分方法及标准都一致（以频率作为概率）.每颗芯片置于一个工程手机中的测试费用均

为300元，每颗芯片若被认定为合格或不合格，将不再进行后续测试，现手机公司测试部门预算的测试经费为10万元,

试问预算经费是否足够测试完这100颗芯片？请说明理由.

18.（12分）为响应“坚定文化自信，建设文化强国”，提升全民文化修养，引领学生“读经典用经典”，某广播电视台

计划推出一档“阅读经典”节目.工作人员在前期的数据采集中，在某高中学校随机抽取了120名学生做调查，统计结果

显示：样本中男女比例为3:2,而男生中喜欢阅读中国古典文学和不喜欢的比例是7:5,女生中喜欢阅读中国古典文学

和不喜欢的比例是5:3.

（1）填写下面列联表，并根据联表判断是否有95%的把握认为喜欢阅读中国古典文学与性别有关系？

男生女生总计

喜欢阅读中国古典文学

不喜欢阅读中国古典文学

总计

（2）为做好文化建设引领，实验组把该校作为试点，和该校的学生进行中国古典文学阅读交流.实验人员已经从所调

查的120人中筛选出4名男生和3名女生共7人作为代表，这7个代表中有2名男生代表和2名女生代表喜欢中国古

典文学.现从这7名代表中任选3名男生代表和2名女生代表参加座谈会，记J为参加会议的人中喜欢古典文学的人数,

求5的分布列及数学期望£年）

附表及公式：K-=----------、"----------,n^a+b+c+d.

(a+6)(c+d)(a+c)S+d)

0.050.0250.0100.0050.001

k°3.8415.0246.6357.87910.828

19.（12分）已知抛物线G：寸=2px（。＞0）上横坐标为3的点与抛物线焦点的距离为4.

（1）求P的值；

（2）设（0</<2）为抛物线G上的动点，过尸作圆（龙+1）2+/=1的两条切线分别与y轴交于A、B

两点.求IA却的取值范围.

20.（12分）已知函数/（x）=/一nu+21nx+4.

（1）当加=5时，求7（幻的单调区间.

（2）设直线/是曲线y=/（x）的切线，若/的斜率存在最小值-2,求的值，并求取得最小斜率时切线/的方程.

（3）已知/Xx）分别在七，七（七/%）处取得极值，求证：/（石）+/（%2）<2.

21.（12分）某中学准备组建“文科”兴趣特长社团，由课外活动小组对高一学生文科、理科进行了问卷调查，问卷共

100道题，每题1分，总分100分，该课外活动小组随机抽取了200名学生的问卷成绩（单位：分）进行统计，将数

据按照[0,20）,[20,40）,[40,60）,[60,80）,[80,100]分成5组，绘制的频率分布直方图如图所示，若将不低于

60分的称为“文科方向”学生，低于60分的称为“理科方向”学生.

理科方向文科方向总计

男110

女50

总计

（1）根据已知条件完成下面2x2列联表，并据此判断是否有99%的把握认为是否为“文科方向”与性别有关？

（2）将频率视为概率，现在从该校高一学生中用随机抽样的方法每次抽取1人，共抽取3次，记被抽取的3人中“文

科方向”的人数为4,若每次抽取的结果是相互独立的，求J的分布列、期望E（J）和方差。（J）.

参考公式：其中"一+"c+d-

参考临界值:

0.100.050.0250.0100.0050.001

k。2.7063.8415.0246.6357.87910.828

22.(10分)已知顶点是坐标原点的抛物线「的焦点尸在y轴正半轴上，圆心在直线y上的圆E与X轴相切,

2

且E,尸关于点”(—1,0)对称.

(1)求E和「的标准方程；

(2)过点M的直线/与E交于4B,与「交于C,D,求证：

参考答案

一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1、B

【解析】

根据函数对称性和单调性的关系，进行判断即可.

【详解】

由/(x+l)=/(l—x)得/(X)关于X=1对称，

若关于x=1对称，则函数在(0,+co)上不可能是单调的，

故错误的可能是3或者是。，

若。错误，

则在(-8,0］上是减函数，在/Xx)在(0,+s)上是增函数，则/'(0)为函数的最小值，与C矛盾，此时C也错误,

不满足条件.

故错误的是3,

故选：B.

【点睛】

本题主要考查函数性质的综合应用，结合对称性和单调性的关系是解决本题的关键.

2、A

【解析】

由题意i.C(c-)，

aa

根据双曲线的对称性知。在x轴上，设则由

b1b2

BD,AS得：____a_=_Lc_jr=|_也，

c-xc-a|a*(a-c)|

因为。到直线的距离小于a+所以

b*Ir-j—ub*iia

|a*(a-c)|cr

1}h

即0〈一<1,所以双曲线渐近线斜率左=土一e(—l,O)u(O,l),故选A.

aa

3、D

【解析】

设〃z=2a+b，可得a2=a-m-2a2e[-4,01,构造(a-1加2，结合上”=2,可得a-^-meH

L」4164]_22

根据向量减法的模长不等式可得解.

【详解】

设m=2a+b>贝!J帆=2,

b=m—2a,a-b=a-m—2a2eI，。]，

1-、i-?1.1-21-2

/.(a—m)L-a--a*mT---m<2H---m

421616

m21

|加|2=标=%所以可得：4=_L,

82

11119

9929

配方可得—=—7712V2(a——tn)<4+-^=-,

28482

…1「13一

所以e—,

又Si'归"一，机<||a|+|1]加||

444

则同e[0,2].

故选：D.

【点睛】

本题考查了向量的运算综合，考查了学生综合分析，转化划归，数学运算的能力，属于中档题.

4、A

【解析】

22万

根据双曲线方程3-方=1(6>0),确定焦点位置，再根据渐近线方程岛±y=0得到,=百求解.

【详解】

22

因为双曲线上—1=1(b>0),

4b2

所以a=2,又因为渐近线方程为氐±y=0,

所以"上出，

a2

所以/?=2^/3.

故选：A.

【点睛】

本题主要考查双曲线的几何性质，还考查了运算求解的能力，属于基础题.

5、D

【解析】

31

先化简得z=g+gi,再求|z|得解.

【详解】

…2i2i(l-3i)31.

Z-l+3i--10——g+J，

所以|z|=^.

故选：D

【点睛】

本题主要考查复数的运算和模的计算，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平.

6、D

【解析】

54

确定点。为AABC外心，代入化简得到％4=彳，再根据5C=AC—A3计算得到答案.

63

【详解】

由囱=烟=凶

可知，点。为AABC外心,

--1-21-2

则ABAO=—A3=2,ACAO=-AC—,XAO=AAB+jiiAC9

22

2

AO-AB=AAB+]nAC-AB=42+ptAC-AB=2,

所以21①

AO.AC=XAB.AC+//AC=AAB-AC+//=—,

因为42—〃=2,(2)

54

联立方程①②可得％=因为3C=AC—A5,

63

所以BC?nAd+AB?—2AC-AB=7，即,C卜近.

故选：D

【点睛】

本题考查了向量模长的计算，意在考查学生的计算能力.

7、C

【解析】

6+1

先从函数单调性判断2〃+人的取值范围，再通过题中所给的〃涉是正数这一条件和常用不等式方法来确定——的取值

4+1

范围.

【详解】

由丁=/(x)的图象知函数/(x)在区间(0,+。)单调递增，而2a+b〉0,故由/(2a+3<1=/(4)可知2a+/?<4.

/?+14—2a+17_

故tr<---------=-2+<5,

a+1a+1a+1

b+1b+171

=-2+综上得3的取值范围是(3,5).

又有a+1ajb----

2^~2[+13

故选：C

【点睛】

本题考查了函数单调性和不等式的基础知识，属于中档题.

8、A

【解析】

设球心为，三棱柱的上底面的内切圆的圆心为，该圆与边切于点，根据球的几何性质可得

为直角三角形，然后根据题中数据求出圆二半径，进而求得球的半径，最后可求出球的体积.

【详解】

如图，设三棱柱为----且———；1--；，高._

<<<<

所以底面-为斜边是的直角三角形，设该三角形的内切圆为圆-，圆与边切于点-，

^JU/U/UjU/UjUjU/」，♦，u

则圆-的半径为^

Uj—,一,

一r.二.——

设球心为一,则由球的几何知识得-----为直角三角形，且:

所以

即球二的半径为八予

所以球二的体积为.“(加，=罕

故选A.

【点睛】

本题考查与球有关的组合体的问题，解答本题的关键有两个:

(1)构造以球半径二、球心到小圆圆心的距离二和小圆半径二为三边的直角三角形，并在此三角形内求出球的半径,

这是解决与球有关的问题时常用的方法.

(2)若直角三角形的两直角边为-斜边为则该直角三角形内切圆的半径合理利用中间结论可提

高解题的效率.

9、C

【解析】

设球的半径为R,根据组合体的关系，圆柱的表面积为S=2兀胪+2^-7?x27?=54〃，解得球的半径R=3,再

代入球的体积公式求解.

【详解】

设球的半径为尺，

根据题意圆柱的表面积为S=2兀卧+2»7?x27?=54万，

解得R=3,

44

所以该球的体积为厂=—nN=—x万x33=36乃.

33

故选：C

【点睛】

本题主要考查组合体的表面积和体积，还考查了对数学史了解，属于基础题.

10、D

【解析】

X可以是{5},{1,5},{3,5},{1,3,5}共4个,选D.

11、A

【解析】

利用平面向量的概念、平面向量的加法、减法、数乘运算的几何意义，便可解决问题.

【详解】

解：AT—^^~ES=SD—SR=RD=^^QR.

22

故选：A

【点睛】

本题以正五角星为载体，考查平面向量的概念及运算法则等基础知识，考查运算求解能力，考查化归与转化思想，属

于基础题.

12、B

【解析】

通过K?a7.218与表中的数据6.635的比较，可以得出正确的选项.

【详解】

解:K?。7.218>6.635,可得有99%以上的把握认为“学生性别与中学生追星有关”，故选B.

【点睛】

本题考查了独立性检验的应用问题，属于基础题.

二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。

13、2022

【解析】

根据条件先求出数列｛42｝的通项，利用累加法进行求解即可.

【详解】

'anA=]一^7，5»2),

下面求数列｛4.2｝的通项，

由题意知,="n+%-1.2，(“23),

4.2一4-1.2=4-1/=]_^T，(“23),

a_)+(«„_1-4-2.2)+…+(%.2-。2.2)+。2.2=+"一耳,

an2=(tz„2-n122

数列｛4.2｝是递增数列，且々021.2<2019<020222，

,用的最小值为2022.

故答案为：2022.

【点睛】

本题主要考查归纳推理的应用，结合数列的性质求出数列｛%,2｝的通项是解决本题的关键.综合性较强，属于难题.

14,[-1,3]

【解析】

由题意求出以线段AB为直径的圆E的方程,且点D恒在圆E夕卜，即圆E上存在点P,Q，使得DP，。。，则当DP,DQ

JF

与圆E相切时，此时NP'DQ'N',由此列出不等式，即可求解。

【详解】

x=y+1。

由题意可得，直线A3的方程为％=y+L联立方程组2二，可得y2—4y-4=0,

y=4x''

设4（%,%）,5（%2，%），则%+%=4,%%=-4,

设£（4,%）,贝！I%='2y2=2,xE=yE+1=3,

又|AB|=Xy+%2+2=%+1+%+1+2=8,

所以圆E是以（3,2）为圆心，4为半径的圆，所以点。恒在圆E外.

圆E上存在点尸,。，使得以PQ为直径的圆过点。（—2/）,即圆E上存在点尸,。，使得。PLOQ,设过。点的两

直线分别切圆E于尸,Q'点，

冗514>V2

要满足题意，则“叫出所以西=而再而彳=

整理得/_4/-3<0,解得2-夕</<2+近，

故实数t的取值范围为［2-77,2+77］

【点睛】

本题主要考查了直线与抛物线位置关系的应用，以及直线与圆的位置关系的应用，其中解答中准确求得圆E的方程，

把圆E上存在点P,Q,使得以尸。为直径的圆过点。（-2,。，转化为圆E上存在点RQ,使得。尸，DQ是解答的

关键，着重考查了分析问题和解答问题的能力，属于中档试题。

1

15>一・

2

【解析】

求出切线/的斜率，即可求出结论.

【详解】

由图可知直线/过点（3,3）［o,g）,

3--

可求出直线/的斜率小21，

3-02

由导数的几何意义可知，r（3）=1.

故答案为:1.

2

【点睛】

本题考查导数与曲线的切线的几何意义，属于基础题.

16、72-1

【解析】

运用等比数列的通项公式，即可解得4.

【详解】

a6+a5=41%(1+4)=4

解:

%+6一。2一6=]6(l+q)—tZ](l+q)=]

44

。3*~^~-%*工=1,%=4(4_q),<74-4<72+4=0,

(q2-2)2=0,q'=2,:.q=\[2,=4,

ad+qg"=4,(0+l)q=1,

1

a=A/2-1.

{0+1

故答案为：V2-1.

【点睛】

本题考查等比数列的通项公式及应用，考查计算能力，属于基础题.

三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

17、(1)11.57(2)预算经费不够测试完这100颗芯片，理由见解析

【解析】

(1)先求出。=025,Z7=0J07,再利用频率分布直方图的平均数公式求这100颗芯片评测分数的平均数；(2)先求

出每颗芯片的测试费用的数学期望，再比较得解.

【详解】

(1)依题意，(005+a+〃+035+028)xl=1,故a+Z?=032.

又因为a—b=(M8.所以a=025,匕=007,

所求平均数为95x0.05+105x025+115x035+125x028+135x007

=0.475+2625+4.025+35+0.945=1157(万分)

(2)由题意可知，手机公司抽取一颗芯片置于一个工程机中进行检测评分达到11万分的概率。=0.0.28+0.07=0.7.

设每颗芯片的测试费用为X元，则X的可能取值为600,900,1200,1500,

P(X=600)=032=009,P(X=900)=0.73+0.7x032+03x0.7x03=0.469,

P(X=1200)=Cx03x072x03=01323,P(X=1500)=C；x03x0.72x0.7=03087,

故每颗芯片的测试费用的数学期望为

E(X)=600x0.09+900x0.469+1200x01323+1500x03087=1097.91(元)，

因为100X1097.91>100000,

所以显然预算经费不够测试完这100颗芯片.

【点睛】

本题主要考查频率分布直方图的平均数的计算，考查离散型随机变量的数学期望的计算，意在考查学生对这些知识的

理解掌握水平.

17

18、(1)见解析，没有(2)见解析，—

6

【解析】

(D根据题目所给数据填写2x2列联表，计算出K?的值，由此判断出没有95%的把握认为喜欢阅读中国古典文学与

性别有关系.

(2)先判断出J的所有可能取值，然后根据古典概型概率计算公式，计算出分布列并求得数学期望.

【详解】

(1)

男生女生总计

喜欢阅读中国古典文学423072

不喜欢阅读中国古典文学301848

总计7248120

片=120(42x18-3。义3。)2=O,208<3.841

72x48x72x48

所以，没有95%的把握认为喜欢阅读中国古典文学与性别有关系.

(2)设参加座谈会的男生中喜欢中国古典文学的人数为m,女生中喜欢古典文学的人数为"，则。m+”.且4=2,3,4

C4。2cle11

P(^=2)=P(m=l,n=l)=21=-

C2cleUClC2C21

P《=3)=P(加=2/=l)+P(加=l/=2)=2；；=

UC4c3，

产(。=4)=尸(加=2,"=2)=:震

C4c36

所以J的分布列为

J234

1j_

p

326

贝!IE©=2X：+3X1+4X!=^.

32oo

【点睛】

本小题主要考查2x2列联表独立性检验，考查随机变量分布列和数学期望的求法，考查数据处理能力，属于中档题.

19、(1)p=2；(2)0<\AB\<2

【解析】

(1)根据横坐标为3的点与抛物线焦点的距离为4,由抛物线的定义得到3+'=4求解.

2

I%一左(毛+1)|

(2)设过点P(/，%)的直线方程为V-%=左(X-%),根据直线与圆(x+l)2+y2=1相切，则有=1,

产+1

整理得：(/2+2%)42_2%(%+1)左+(%2_1)=0,根据题意4(0,为_勺/)，5(0,为_左2%)，建立

I%&|%/J(匕+&『一4匕』，将韦达定理代入求解.

【详解】

(1)因为横坐标为3的点与抛物线焦点的距离为4,

由抛物线的定义得：3+3=4,

2

解得：。=2.

(2)设过点q(％,%)的直线方程为y一为=左(》一玉))，

因为直线与圆(%+1)2+丁=1相切，

所以少1)1=1,

整理得：(/2+2%)左2—2%(%+1)左+(为2—1)=0,

2

_2y0(x0+l)_y0-l

〜十长2一2,n为长2-2,n'

x0+2X0X0+2X0

由题意得：A(0,y0-Zqx0),B(O,yo-k2x0)

所以|A同二|左「左21%=/J(K+A)2—4,#2，=2J。(.；2j(Xo+2『+(/+2)+l'

因为。<%«2,

111

所以-------<—

x0+22

所以0<|AB|W2.

【点睛】

本题主要考查抛物线的定义及点与抛物线，直线与圆的位置关系，还考查了运算求解的能力，属于中档题.

W

20、(1)单调递增区间为(2,4)；单调递减区间为［g,2］；(2)m=6,2x+y-l=0i(3)证明见解析.

【解析】

(1)由/'(%)的正负可确定/(%)的单调区间;

(2)利用基本不等式可求得x=l时，/'(%)取得最小值4-m，由导数的几何意义可知4-m=-2,从而求得加，

求得切点坐标(1,/。))后，可得到切线方程;

(3)由极值点的定义可知外,马是2公一g+2=0的两个不等正根，由判别式大于零得到机的取值范围，同时得到

2

韦达定理的形式；化简/(玉)+/(%)为-?+6,结合加的范围可证得结论.

【详解】

(1)由题意得：/(九)的定义域为(0,+e),

当加=5时，/(x)=x2-5x+21nx+4,

二当了€(0，1］和(2,+8)时，/(%)>0；当时，/,(%)<0,

.•./(X)的单调递增区间为〔0,(2,+8)；单调递减区间为］;,21

7IT2

(2),x>0,所以.•./'(x)=2x+・—加22加=4—根(当且仅当2%=—,即％=1时取等号),

Xy%

切线/的斜率存在最小值-2,「Z—"二—2,解得：m=6,

.-./(1)=1-6+4=-1,即切点为(1,—1),

从而切线方程/：y+l=-2(为一1),即：2x+y-l=0.

/一、、c22x2-mx+2

(3)/'(x)=2x+——m=--------------,

XX

/(X)分别在玉，%(%W%)处取得极值，

%,(%wy)是方程2厂—+2=0,即2f一蛆+2=0的两个不等正根.

m

则八=加一16>0,解得：加之>16,且%+%2=5>。，%X2=1.

x2

-*-/(i)+〃％2)=片+/—袱西+x2)+8+21n(xl%2)+x2)-2x1x2-m(x1+x2)+8+21n(x1x2)

(mV入.m门…<m2

=--2xl-mx——b8+21nl=------1-6,

^2)24

加2

机2>16，------F6<2,

4

即不等式%)+/(%)<2成立.

【点睛】

本题考查导数在研究函数中的应用，涉及到利用导数求解函数的单调区间、导数几何意义的应用、利用导数证明不等

式等知识；本题中证明不等式的关键是能够通过极值点的定义将问题转变为一元二次方程根的分布问题.

21、(1)列联表见解析，有；(2)分布列见解析，|,连.

【解析】

(1)由频率分布直方图可得分数在［60,80)、［80,100］之间的学生人数，可得列联表.根据列联表计算K?的值，结合

参考临界值表可得到结论；

(2)从该校高一学生中随机抽取1人，求出该人为“文科方向”的概率P.由题意J〜6(3,p),求出分布列，根据公式

求出期望和方差.

【详解】

(1)由频率分布直方图可得分数在［60,80)之间的学生人数为0.0125x20x200=50,在［80,100］之间的学生人数为

0.0075x20x200=30,所以低于60分的学生人数为120.因此列联表为

理科方向文科方向总计

男8030110

女405090

总计12