广东省广州市2023-2024学年九年级下学期月考数学试题（含答案解析）

广东省广州市第七中学2023-2024学年九年级下学期月考数

学试题

学校:.姓名:.班级:考号:

一、单选题

1.中国是最早采用正负数表示相反意义的量的国家.如果水位上升3m记作+3m,那

么水位下降2m记作（）

A.+2mB.—2mC.+lmD.-Im

2.某几何体的三视图如图所示，则该几何体是（

A.三棱柱B.三棱锥C.四棱柱D.圆锥

3.下列运算正确的是（)

丫32

A.B.|2-73|=^-2C.(-2/=_8/D.a-aa6

4.如图，点A、B、C在。上，AC//OB,=130°,则NBOC的度数为（）

B.50°C.40°D.80°

5.如图，在ABC中，点分别在",AC上，,且AZ）:=2:3,则VADE

与，ABC的周长比是（）

A

4:9C.2:5D.4:25

6.“绿水青山就是金山银山”.为了改造水质，某工程队对2400平方公里的水域进行水

质净化，实际工作时每天的工作效率比原计划提高了20%,结果提前了40天完成任

务.设原计划每天净化的水域面积为X平方公里，则下列方程中正确的是（）

A2400x(1+20%)2400_24002400

4QB.40

xx(l+20%)xx

C2400_2400x(1+20%)_24002400

D.40

xXx(l+20%)x

3%+y=6〃

7.已知关于工、y的方程组的解满足x—y=i,贝|J〃二（)

x+3y=2n—4

ABcD.

-1-4-42

8.二次函数>=以2+法的图象如图所示,则而_()

—2〃+/?C.—2a—bD.

9.如图，A5是。的直径，。。是。的弦，CD.LAB,垂足为E,连接5。并延长,

与过点A的切线AM相交于点P,连接AC.若O的半径为5,AC=8,则尸。的长是

().

35

A,B.10C.D.11

3T

点A在反比例函数y=9（x>0）的图象

10.如图，的直角顶点O为坐标原点,

X

上，点B在反比例函数y=：（x<0）的图象上，NQ4B=30。，则上的值为（）

试卷第2页，共6页

C.-3D.-4

二、填空题

11.若同=8,贝！J〃=

1

12.若式子在实数范围内有意义，则％的取值范围是

Jx+3

13.在反比例函数y=“口一1的图象的每一支上,y都随尤的增大而增大,且整式尤2+区+16

X

是完全平方式，则该反比例函数的解析式为

14.如图，在平面直角坐标系中，为等腰三角形，Q4=AB=5,点B到x轴的距

离为4,若将。钻绕点。逆时针旋转90。，得到△04®,则点8'的坐标为

15.如图，是一个圆锥的主视图，/ABC的余弦值等于：，则该圆锥侧面展开扇形的

圆心角的度数为.

16.如图，在正方形ABCD中，点E为边上的一个动点，连接AE,将"E沿AE

折叠得到△川汨，"交8。于点P.

当44£=30。时，ZAPD=

当E为BC的中点时，—=

三、解答题

x+l<2

17.解不等式组:

6-3x>0

18.如图，/1=/2,/3=/4,求证：AC^AD.

⑴化简P;

(2)若关于尤的方程尤,+(。+1卜+万=0有两个相等的实数根，求P的值.

20.某中学为了解学生“诵读经典”的情况，在全校范围内随机抽查了部分学生的阅读量,

学校将阅读量分成优秀、良好、较好、一般四个等级，绘制如下统计表：

等级一般较好良好优秀

阅读量/本3456

频数12a144

频率0.240.40b0.08

根据统计表中提供的信息，解答下列问题：

(1)本次调查一共随机抽取了名学生；

(2)求所抽查学生阅读量的平均数；

(3)样本数据中优秀等级学生有4人，其中只有1名男生，其余都是女生.现从中任选派

试卷第4页，共6页

2名学生去参加读书分享会，请用树状图法或列表法求所选2名同学中有男生的概率.

1k

2,•如图‘已知正比例函数片亍的图象与反比例函数片1的图象交于人2两点，

⑴求k的值;

Ik

(2)结合图象，直接写出不等式：工〉人的解集;

3x

⑶点尸是y轴上一点，连接,PB,若5寸的=24,求点尸的坐标.

22.如图，在某大楼观测点P处进行观测，测得山坡A8上A处的俯角为15。，测得山

脚8处的俯角为60。.已知该山坡A8的坡度i=l:若，3”=10米，点、P,H,B,C,

A在同一个平面上，点X,B,C在同一条直线上，且

口

口P

口

口

口

口

口

HBC

(1)求观测点尸与山脚8点之间的距离；

(2)求观测点尸与山顶A点之间的距离.

23.如图，48是(O的直径，点C在。上.

(1)尺规作图：在弦8c的右侧作NBCD=NC4B,交A3的延长线于点。；(保留作图痕

迹，不写作法)

⑵在(1)所作的图中，

①求证：8是；O的切线；

②若BD=2OB,求tan/C钻的值.

24.已知抛物线yn-r-Zx+ag〉。)与y轴相交于点A,顶点为M.

⑴求点A/的坐标；(用含。的式子表示)

(2)直线y=与直线M4相交于点N,与抛物线的对称轴相交于点B.

①求二8M0的面积的取值范围；

②直线y=；尤-。与y轴相交于点C,抛物线上是否存在点P,使得以尸、A、C、N为

顶点的四边形是平行四边形？若存在，求y=-/-2x+a在-时的取值范围；

若不存在，请说明理由.

25.如图，在等边ABC中，AB=6,点。在3C边的延长线上，将线段0c绕点。逆

时针旋转120。得到线段DE,P为8E的中点.

⑴求A到5C的距离；

(2)连接AP,PD,求NAPD的度数；

(3)连接CP,求尸。+且CP的最小值.

3

试卷第6页，共6页

参考答案：

1.B

【分析】

本题考查了正数和负数，在一对具有相反意义的量中，先规定其中一个为正，则另一个就用

负表示，据此求解即可.

【详解】解：如果水位上升3m记作+3m,那么水位下降2m记作-2m,

故选：B.

2.A

【分析】

本题主要考查由三视图判断几何体.由主视图和左视图得出该几何体是柱体，再结合俯视图

可得答案.

【详解】解：根据题意得：该几何体是三棱柱.

故选：A

3.C

【分析】本题考查了整式的运算，实数的运算，解题的关键是掌握二次根式概念，绝对值和

整式的运算法则.根据二次根式的概念、绝对值、同底数幕的乘法和暴的乘方逐一判断即可.

【详解】解：A、6正=后=5,故该选项错误，不符合题意；

B、|2-6卜2-百，故该选项错误，不符合题意；

C、(-2a2)3=(一2丫“6=_8a6,故该选项正确,符合题意；

D、°3./=苏，故该选项错误，不符合题意；

故选：C.

4.B

【分析】

本题考查的是圆周角定理，熟知在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于这

条弧所对的圆心角的一半是解答此题的关键.

先根据三角形内角和定理，04=03,得出4=25。，再由平行线的性质得出ZB=ZCAB=25°,

根据圆周角定理即可得出结论.

【详解】

解：OA=OB,ZAO8=130。，

答案第1页，共22页

5A。-130。*

2

AC//OB,

ZB=ZCAB=25°,

:.ZBOC=2ZCAB=50a.(同弧所对的圆心角等于圆周角的2倍)

故选：B.

5.C

【分析】

本题考查了相似三角形的判定与性质，熟练掌握相似三角形的判定与性质是解题关键.先求

出">:AB=2:5,再证出△ADESAMC,然后根据相似三角形的周长比等于相似比即可

得.

【详解】解：：AO：D3=2:3,

AD,AB=2:5,

DE//BC,

AADE^AABC,

则VADE与ABC的周长比等于AD:AB=2:5,

故选：C.

6.D

【分析】本题主要考查了分式方程的应用.根据题意列出分式方程，即可得到结果；

【详解】解：：设原计划每天净化的水域面积为x平方公里，实际工作时每天的工作效率比

原计划提高了20%,

实际工作时每天净化的水域面积为(l+20%)x平方公里.

24002400

=40,

依题意，得:x_―(1+20%)%

故选：D.

7.C

【分析】

本题考查根据方程组的解的情况求参数，根据x-y=l,得到X=y+1,将方程组转化为未

知数为的方程组，进行求解即可.

【详解】解：：x-y=i,

答案第2页，共22页

x=y+l,

3

3（y+l）+y=6n2

・••原方程组化为:

y+l+3y=2〃-4j_

n=-

2

故选C.

【分析】

本题考查了二次函数的性质，以及二次根式的化简，根据二次函数图象得到。<0,b-a>0,

再利用二次根式性质化简病-J伍”)2,即可解题.

【详解】解：由图知，二次函数开口向下，

a<0,

对称轴在y轴右侧，

；.b>0,

:.b—a>0,

贝！1-小(b-af=-a—(b-=—b>

故选：D.

9.A

【分析】

本题考查了切线的性质、圆周角定理，垂径定理、勾股定理、相似三角形的判定和性质.连

接AD,根据勾股定理可求出8。，证明qBZMs42MP,再根据相似三角形的性质计算，即

可求得线段阳的长.

【详解】解：如图，连接AD,

APM

是。的直径，CDLAB,

：.CE=DE,

：.AD=AC=8,

答案第3页，共22页

TAB是。的直径，。的半径为5,

AZADB=9Q°fAB=10f

BD=y/AB2-AD2=V102-82=6,

•「AM是圆。的切线，

ZADB=ZBAP=90°f

,:ZB=ZB，

:•一BDAS-BAP,

,BDBA

•・BA~BP9

即9」

10BP

解得：BP=y

5032

PD=BP-BD=--6=—

33

故选：A

10.B

【分析】

本题考查反比例函数的图象和性质，相似三角形的判定与性质，作x轴于点M,

期,彳轴于点双，先证“MBOs推出泮^=（等）:tanNOAB=g^=立，由反比

SNOA。4OA3

例函数的图象和性质可得S.M=goMMl=3,进而求出S“BO,即可得出人的值.解题的关

键是理解反比例函数比例系数上的几何意义.

【详解】

解：如图，作3M_Lx轴于点Af,AN_Lx轴于点N,

则ZBMO=ZONA=90°,

ZMBO+ZBOM=90°,

答案第4页，共22页

RtAAOB中ZBOA=90°,

:.ZAON+ZBOM=90°f

:.ZMBO=ZNOAf

.-.AMBO^ANOA,

,S(°B2

•-5MB0-=(市)'

。.NOAUA

Z(MB=30°,

「•tanZOAB=—,

OA3

.SMBO_(73、2_J_

•,飞"3'

uNOAJJ

点A在反比例函数y=9(x>0)的图象上，

X

•••S.N°A=；ON.NA=3,

,，*SMBO=§x3=l,

k

点8在反比例函数>=—(尤<0)的图象上，

x

k=-2SMBO=-2xl=-2,

故选：B.

11.±8

【分析】

本题考查绝对值的性质，非负数的绝对值是它本身，负数的绝对值是它的相反数.

【详解】解：•••时=8,

〃=±8.

故答案为：±8.

12.x>-3

【分析】

此题主要考查了二次根式有意义的条件以及分式有意义的条件.根据二次根式有意义的条件

以及分式有意义的条件，即可求解.

【详解】解:根据题意得：x+3"且X+3H0,

/.x>—3.

故答案为：x>-3

答案第5页，共22页

【分析】

本题考查反比例函数的图象与性质、完全平方式，先根据反比例函数的性质得到左<1,再

根据完全平方式的特点求得左=±8,进而求得％即可求解，熟知完全平方式的结构是解答的

关键.

【详解】

解：：在反比例函数y=的图象的每一支上，y都随尤的增大而增大，

X

***k-l<01

/.k<\

;整式/+区+16是完全平方式，

—k=土2x4=±8

左=±8

'：k<l

左=—8

.♦•该反比例函数的解析式为y=-‘；

X

9

故答案为：y=--.

X

14.«8)

【分析】过B作3C_LQ4于C,过皆作轴于。，构建=A03C,即可得出答

案.

【详解】过B作BCJLQ4于C,过8'作轴于。，

答案第6页，共22页

/B'DO=ZBCO=90。,

/•Z2+Z3=90,

由旋转可知ZBOB'=90°,OB=OB,

Zl+Z2=90°,

Z1=Z3,

VOB=OB，Z1=Z3,ZB'DO^ZBCO,

：.AOB'D-OBC,

：.B'D=OC,OD=BC=4,

"：AB=AO=5,

•*-AC=ylAB2-BC2=^52-42=3，

，OC=8,

：.B'D=8,

故答案为：（-4,8）.

【点睛】本题考查了旋转的性质以及如何构造全等三角形求得线段的长度，准确构造全等三

角形求得线段长度是解题的关键.

15.120°/120度

【分析】本题考查了圆锥的计算，圆锥的侧面展开图是一个扇形，此扇形的弧长等于圆锥底

面周长，扇形的半径等于圆锥的母线长.设圆锥的底面半径8。为则圆锥的母线长为

AB=3a,设圆锥侧面展开扇形的圆心角为废，根据圆锥侧面积公式列方程解出即可.

【详解】解：作AD13C,垂足为。，

由题意得AB=AC,则3Z）=CD,

]BD

在Rt/\/47?/?中，cosNA3c=—=----,

3AB

设圆锥的底面半径为。，

答案第7页，共22页

；•圆锥的母线长为AB=3a,

设圆锥侧面展开扇形的圆心角为"。，

••7i-a-3a=——-—―,

360

解得n—120.

即圆锥的侧面展开图中扇形的圆心角为120。.

故答案为120。.

3

16.1050/105度-/0.75

【分析】

当的£=30。时，由正方形的性质得到N&m=90。，NADB=45。,由折叠的性质可得

ZFAE=ZBAE=30P,则可得ZDAP=30°,再利用三角形内角和定理即可求出

ZAPD=180°-ZADP-/DAP=105°；

当E为BC的中点时，取AE中点T,连接3T,过点B作BGLAE于G,过点P作尸

于H,设AB=8C=20,则骸=10,利用勾股定理求出AE=10/，则AT=£T=56，证

明△AEBSABEG,求出EG=2/BG=4非,则TG=3«,证明NBAT=NABT,进而

PHA

证明得至|J一=一=_,设尸》=4毋AH=3x,证明△PBH是等腰直角

AHTG3

DPAH3

三角形，得至1」皿=9=4》，再证明P”〃&D,即可得到——=—=：.

BPBH4

【详解】解：：四边形ABCD是正方形，

ZBAD=90°,ZADB=45°,

当ZBAE=30。时，由折叠的性质可得NE4E=ZS4E=30。，

ZDAP=90°-ZFAE-ZBAE=30°,

ZAPD=180°-ZADP-ZDAP=105°；

如图所示，取AE中点T,连接BT,过点B作BGLAE于G,过点P作尸X，AB于H,设

AS=3C=20,]OE=10,

AE=yjAB2+BE2=1075，

AT=ET=5y[5,

'：/ABE=ZBGE=90°,ZAEB=/BEG,

AAEBsABEG,

答案第8页，共22页

.EGBGBEanEGBG10

99BE~AB~AE'1020IOA/5'

EG=2/BG=4百，

TG=3/,

由折叠的性质可得=

ZBAP=2ZBAE,

•:AT=BT,

JZBAT=ZABT,

：.ZBTG=ZBAT+/ABT=2ZBAT=/BAP,

又*；/AHP=NTGB,

:.AAHP^ATGB,

.PHBG_4

AW-7U-3

设PH=4x,AH=3x,

：NPBH=45。，

・・是等腰直角三角形,

*.BH=PH=4x,

：ZBAD=ZBHP=90°,

•・PH//AD,

DPAH_3

———，

BPBH4

3

故答案为：105。；

4

BEC

【点睛】本题主要考查了正方形与折叠问题，勾股定理，相似三角形的性质与判定，平行线

分线段成比例定理，等边对等角等等，正确作出辅助线构造相似三角形是解题的关键.

17.x<l

答案第9页，共22页

【分析】

本题主要考查的是解一元一次不等式组，先求出每个不等式的解集，再根据口诀：同大取大,

同小取小，大小小大中间找，大大小小无解了，确定不等式组的解集.

【详解】

x+142①

解:

6-3尤＞0②

由①得：X<1

由②得：—3x>-6,解得：x<2

.♦•不等式组的解集为xVI

18.详见解析

【分析】

本题主要考查了三角形全等的判定和性质，解题的关键是熟练掌握三角形全等的判定方法,

ASA,ASA,SSS,SAS,HL.证明ABC当ARD(ASA),得出答案即可.

【详解】

证明：Z3=Z4,

ZABC^ZABD,

Z1=Z2

在,ABC与AABD中｛AB=AB

ZABC=ZABD

：..ABC^ABD(ASA),

：.AC^AD.

19.(1)^—

a+1

Q)P=土逅

2

答案第10页，共22页

【分析】

本题考查了分式化简，一元二次方程根的判别式；

(1)先对括号内进行通分运算，同时对分子、分母进行因式分解，再将除转化为乘，进行

约分，结果化为最简分式或整式，即可求解；

(2)由根的判别式得(。+1)-4xlx]=。，求出。，代入尸，即可求解；

掌握分式化简的步骤，一元二次方程根的判别式：“A>0时，方程有两个不相等的实数根;

△=0时，方程有两个相等的实数根；A<0时，方程有无的实数根；”是解题的关键.

3(。+1)

【详解】(1)解:

(a+l)(a—1)

_a-13(a+l)

Q+1+—1)

3

a+i'

(2)

解：方程有两个相等的实数根,

••\=b1-4-ac=0,

3

二.(a+1)9-4xlx-=0,

解得：a=±^6—1,

当"二"T时'0二后石=*'

当时'/，=V6^T7T="T,

.•.尸=±逅

2

20.(1)50

(2)所抽查学生阅读量的平均数是4.2

⑶3

【分析】

答案第11页，共22页

(1)由一般的频数和频率，求本次调查的总人数；

(2)由平均数的定义即可得出答案；

(3)画树状图，共有12种情况，其中所选2名同学中有男生的有6种结果，再由概率公式

即可得出答案.

【详解】(1)解：本次抽取的学生共有：12+0.24=50(名)

(2)解：：“=50x0.40=20,

平均数为：^x(3xl2+4x20+5xl4+6x4)=4.2.

(3)

解：画树状图如下：

开始

女女女为

小

女女男女/N女男女/N女见女/N女女

共有12种情况，其中所选2名同学中有男生的有6种结果，

•••所选2名同学中有男生的概率为4=j.

【点睛】

此题考查的是用树状图法求概率以及频数分布表、平均数等知识.树状图法可以不重复不遗

漏的列出所有可能的结果，适合两步或两步以上完成的事件；解题时要注意此题是放回试验

还是不放回试验.用到的知识点为：概率=所求情况数与总情况数之比.

21.⑴左=12

(2)-6<x<0或无>6

⑶尸(0,4)或尸(0,-4)

【分析】

本题主要考查了反比例函数与一次函数的交点问题，解题时注意：反比例函数与一次函数的

图象的交点坐标满足两函数的解析式.

(1)把A的横坐标为6代入y=可得点A的坐标，再根据待定系数法，即可得到反比

例函数的表达式；

答案第12页，共22页

1k

(2)依据函数图象，即可得到不等式：；x>—的解集；

3x

(3)设P(O,p),依据S△皿=24,列方程求解即可得到点尸的坐标.

【详解】(1)

1/c

%=§x6=2,

4(6,2),

：.k=12

(2)

:点A与点B是关于原点成中心对称

•*.3(—6,—2),

，不等式的解集为：一6<x<0或无>6

⑶

设P(O,p),依题意得：!xl2x|p|=24\p\=4p=±4

•••P(0,4)或P(O,T)

22.(1)观测点尸与山脚B点之间的距离是20米

⑵观测点P与山顶点A之间的距离是2072米

【分析】

本题主要考查了解直角三角形的应用，解题的关键是熟练掌握三角函数的定义，数形结合.

族=-^--迪=20

(1)先求出ZEPB=ZPBH=60。，根据三角函数求出sin60。一扣(米)即可；

~T

(2)过点A作AD13C,交8C的延长线于点D,先求出ZABD=30°,得出

答案第13页，共22页

BP_20a。石

/尸54=180。-NABr>-NPB〃=90。，根据三角函数求出cos450点~即可得出

V

答案.

【详解】(1)

解：如图E

Pm

HBC

VZEPB=60°,PE//CH,

：.ZEPB=ZPBH=60°,

"：PHLHC,

ZPHC=90。，

在RtBPH中,BH=10,

BP—^--^=20

..sin60°3(米)，

~2

观测点P与山脚B点之间的距离是20米.

(2)

解：如图，过点A作AD13C,交BC的延长线于点Q,

mP

o

oA

n

HBCD

'：ZEPA=15°,Z.EPB=60°,

ZAPS=NEPB-ZEPA=45°,

..,山坡AB的坡度i=l:0,

.AD1=y/3

在RtABP中，tanZABD=—=^,

BD3

答案第14页，共22页

：.ZABD=30°f

：.ZPBA=180°-ZABD-ZPBH=90°,

在RtAftP中，依=20米，

・AP=取=半=2。6

cos45°y/2(米)，

~T

・・・观测点P与山顶点A之间的距离是20近米.

23.(1)详见解析

(2)①详见解析；②变

2

【分析】(1)根据作已知角的等角的方法作图即可；

(2)①连接OC,根据圆的性质可得/C4O=NACO,NACB=90。，结合=

即可证明；②设QB=a,则8。=2a,=OC=a,AD=4°,根据勾股定理求出CD=26a，

由/5DC=/Ar)C,ZBCD=ZCAD,可证明即Cs«CDA,根据相似三角形的性质即可

求解.

【详解】(1)如图所示，48为所求.

•••ZCAO=ZACO,

ZCAO=ZBCD,

■.ZACO=NBCD

A2是。的直径

ZACB^90°,

ZACO+ZOCB=Z.BCD+Z.OCB=90°

答案第15页，共22页

即OCA.CD,

8是Q的切线

②设OB=a,则BD=2a,OA=OC=a,AD—4a,

在RtAOCD中，CD=yJOD2-OC2=J(3a)2-a2=1-Jla,

/BDC=ZADC,Z.BCD=Z.CAD,

BDCs,CDA,

,BCCD2缶百

ACAD4〃2

...在RtaABC中，tanZCAB=—=^.

AC2

【点睛】本题考查了圆的相关性质，解直角三角形，相似三角形的判定与性质，基本作图,

解题的关键是灵活运用这些知识解题.

24.⑴J仁4a迫

(2)®5>|；②一24或一

4oooo

【分析】

本题考查了二次函数与一次函数的综合问题，二次函数与特殊四边形问题等知识点，掌握函

数的性质是解题关键.

(1)将抛物线的一般式写成顶点式即可求解；

(2)①作于点。，求出直线M4的解析式，根据1^^^二^加必加即可求解；

②分类讨论当点P在〉轴左侧时，当点P在y轴右侧时，两种情况即可求解；

【详解】(1)

施军：,**y=—(%2+2x)+a=—(%?+2x+1—1)+〃=—(%+1)+1+々，

M(—1,1+；

(2)

解：①作ND,处于点。，

答案第16页，共22页

当x=0时，y=a,

：.A（O,a）,

设直线MA的解析式为y=kx+b,把A（O,a）、M（—1,1+a）代入得,

[b=a

[—k+Z?=1+a

\k=-1

解得，，

[b=a

：.直线MA的解析式为y=-x+a

y=-x+a

联立方程组得，1,

y=-x-a

12

4a

x=一

3

解得，

a

y=——

I3

当%=_；一%

1,———,

'-sMBN=­MB-ND=^a+3

*.*tz>0,

・<4/3丫_3

••S>—x———,

3⑷4

3

即S>J

4

答案第17页，共22页

②如图，当点尸在y轴左侧时,

当x=o时，y=-a,

.C（0,-a）

•/四边形APCN是平行四边形，

AC与PN互相平分，

.•.1；

将点P的坐标代入y=-/一2x+a得,

a168

———-----6Z2H-a+a,

393

解得〃¥或。=。(不合，舍去),

O

、1,15,/八223

当〃=不n时，y=_(%+i)+k，

oO

，，一,9

当％=1时，y取得取小值-三，

O

,9//23

..——<y<一；

88

②当点P在y轴右侧时，

：四边形ACPN是平行四边形，

NP//ACNP=AC,

・•・喈,-

，A（0,a）,C（O,—aj,

4a7a

：.P'

33

7〃--a2--a+a,解得Q=°或a=0（舍）,

将点P的坐标代入,=一%2-2%+。得,

3938

j__7

・•・P

2，-8

ao11

当q=g时，y=-（x+iy+—

oo

当x=l时，y取得最小值一421,

o

2111

・——<y<—

88

答案第18页，共22页

25.⑴3若

⑵/APD=90。

(3)尸。+且CP的最小值是回

3

【分析】(1)如图所示，过点A作于H,利用等边三角形的性质和勾股定理求出

AH=3K,则A至IJBC的距离为3K；

(2)以AD为边在AD左侧作等边三角形ADE，连接BF,EP,先证明*AB尸丝.ACD(SAS),

得至！］NABF=NACO=120。，BF=CD=DE,进而得到尸=60。，证明3尸DE,得

到NPBF=ZE,进而证明BFP玛EDP(SAS),得到EP=OP,则由三线合一定理可得

AP1DF,则/AP£>=90。；

(3)由(2)可知，AP=A/3PD,则CP+J^PD=CP+AP,如图3,作AF13C于尸，连

接FP,证明，AEPSAC。，得至IJNAFP=NACD=12O。，则/DEP