新疆维吾尔自治区普通高中2024届高考全国统考预测卷数学试卷含解析

新疆维吾尔自治区普通高中2024届高考全国统考预测密卷数学试卷

考生须知：

1.全卷分选择题和非选择题两部分，全部在答题纸上作答。选择题必须用2B铅笔填涂；非选择题的答案必须用黑色

字迹的钢笔或答字笔写在“答题纸”相应位置上。

2.请用黑色字迹的钢笔或答字笔在“答题纸”上先填写姓名和准考证号。

3.保持卡面清洁，不要折叠，不要弄破、弄皱，在草稿纸、试题卷上答题无效。

一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1.已知点4-3,0）,8（0,3）,若点尸在曲线y=—诏二7上运动，则△243面积的最小值为（）

93/-93/—

A.6B.3C.----v2D.—I—72

2222

2.第24届冬奥会将于2022年2月4日至2月20日在北京市和张家口市举行，为了解奥运会会旗中五环所占面积与

单独五个环面积之和的比值P,某学生做如图所示的模拟实验：通过计算机模拟在长为10,宽为6的长方形奥运会旗

内随机取N个点，经统计落入五环内部及其边界上的点数为“个，已知圆环半径为1,则比值尸的近似值为（）

22

3.已知椭圆三+2=1（。〉沙〉0）的左、右焦点分别为片、区,过点片的直线与椭圆交于尸、。两点.若APgQ的

内切圆与线段尸&在其中点处相切，与PQ相切于点片，则椭圆的离心率为（）

A.也B.旦C.也D.3

2233

J）19

4.若（1-九y°i9=%+4（*+］）++a2019（x+l）,xeR,则+++4019.3239的值为（）

A.-1-22019B.-1+22019C.1-22019D.1+22019

5.复数z=—^的共朝复数在复平面内所对应的点位于（）

l+2z

A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限

6.点。为AA5C的三条中线的交点，且。4,03,AB=2,则ACBC的值为（）

A.4B.8C.6D.12

7.下列函数中，图象关于V轴对称的为（）

X

A./(x)=B./(%)=，7+2x+J7-2x，xe[-l,2]

Jr2+1

ex+e

C./(x)=sin8xD.以x)=-

8.甲、乙、丙、丁四人通过抓阉的方式选出一人周末值班（抓到“值”字的人值班）.抓完阉后，甲说：“我没抓到.”乙

说：“丙抓到了.”丙说：“丁抓到了”丁说：“我没抓到.”已知他们四人中只有一人说了真话，根据他们的说法，可以断定

值班的人是（）

A.甲B.乙C.丙D.丁

9.（2,—1）（2—2”了的展开式中8'的项的系数为（）

A.120B.80C.60D.40

10.已知/（%+2）是偶函数，〃兄）在（-8,2］上单调递减，f（0）=0,则/（2-3%）〉。的解集是

22

A.（-℃,—）I（2,+co）B.（—，2）

12.已知非零向量.，人满足（a—（b-血单b,则。与人的夹角为（）

二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。

13.能说明“在数列｛4｝中，若对于任意的加〃eN+,am+n>am+an,则｛4｝为递增数列”为假命题的一个等差数

列是.（写出数列的通项公式）

14.已知变量看e（0,7"）（m>0）,且玉<%，若X）<%为恒成立，则山的最大值

15.在ABC中，角A,B,C的对边分别为a,4c,且acosB=acosC+ccosA,若ABC外接圆的半径为冬8,

3

则ABC面积的最大值是.

22

16.如图，K、工分别是双曲线工-与=1的左、右焦点，过工的直线与双曲线。的两条渐近线分别交于A、B两

a~b~

点，若居A=AB,F；BF,B=O,则双曲线C的离心率是.

三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

17.(12分)已知函数/(x)=lnx-依+a,其中a>0.

(1)讨论函数f(x)的零点个数；

(2)求证：eT+sinx>xlnx+l.

18.(12分)如图，四棱锥尸-A3CD中，底面A5C。是矩形，面底面ABC。，且AR4D是边长为2的等

边三角形，PC=在PC上，且PA面AffiD.

(1)求证:"是PC的中点;

AF

(2)在Q4上是否存在点尸，使二面角b-5D-M为直角？若存在，求出「的值；若不存在，说明理由.

AP

19.（12分）已知函数/（x）=Inx—a*?+（〃—万―i）x+b+i（a,/,w尺）.

⑴若a=O,试讨论/(尤)的单调性;

⑵若。<“,』，实数2为方程/⑺”收的两不等实根,求证：1+f>4-2«.

20.(12分)已知函数/(x)=xlnx-21nx+3x—5,g(x)=lnx+""+二.

x%■

37)

(1)求证：/(x)在区间(1,内)上有且仅有一个零点七,且

2J4r

(2)若当时，不等式g(x)之0恒成立，求证：。〈一.

4

21.(12分)某超市计划按月订购一种酸奶，每天进货量相同，进货成本每瓶4元，售价每瓶6元，未售出的酸奶降

价处理，以每瓶2元的价格当天全部处理完.根据往年销售经验，每天需求量与当天最高气温(单位：℃)有关.如

果最高气温不低于25,需求量为500瓶；如果最高气温位于区间［20,25),需求量为300瓶；如果最高气温低于20,

需求量为200瓶.为了确定六月份的订购计划，统计了前三年六月份各天的最高气温数据，得下面的频数分布表：

最高气温[10,15)[15,20)[20,25)[25,30)[30,35)[35,40)

天数216362574

以最高气温位于各区间的频率估计最高气温位于该区间的概率.

(1)求六月份这种酸奶一天的需求量不超过300瓶的概率；

(2)设六月份一天销售这种酸奶的利润为丫(单位：元)，当六月份这种酸奶一天的进货量为450瓶时，写出y的所

有可能值，并估计y大于零的概率.

22.(10分)已知函数=.

⑴若/(x)=x—L—ln%在％A%)处导数相等，证明：/(石)+/(42)>3—21n2；

X

(2)若对于任意,直线，=辰+人与曲线y=/(x)都有唯一公共点，求实数b的取值范围.

参考答案

一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1、B

【解析】

求得直线A5的方程，画出曲线表示的下半圆，结合图象可得P位于(-1,0),结合点到直线的距离公式和两点的距离

公式，以及三角形的面积公式，可得所求最小值.

【详解】

解：曲线y=—加一。表示以原点。为圆心,1为半径的下半圆(包括两个端点)，如图，

直线的方程为x-y+3=0,

|-1-0+3|

可得|A5|=3立，由圆与直线的位置关系知P在(-L0)时，P到直线A5距离最短，即为=V2,

则APAB的面积的最小值为gx3&x0=3.

【点睛】

本题考查三角形面积最值，解题关键是掌握直线与圆的位置关系，确定半圆上的点到直线距离的最小值，这由数形结

合思想易得.

2、B

【解析】

根据比例关系求得会旗中五环所占面积，再计算比值P.

【详解】

设会旗中五环所占面积为S,

义工Snffl-ruc60〃

由于二==7，所以S=-^

60NN

「川nS12〃

故可得P=,=

5万兀N

故选：B.

【点睛】

本题考查面积型几何概型的问题求解，属基础题.

3、D

【解析】

可设的内切圆的圆心为/，设|尸耳上根，归闾="，可得加+〃=2a,由切线的性质:切线长相等推得m=g〃，

解得加、〃，并设|Q娟=/,求得/的值，推得“心。为等边三角形，由焦距为三角形的高，结合离心率公式可得所

求值.

【详解】

可设的内切圆的圆心为/,M为切点,且为尸工中点，・•」尸耳|=|五闸=悭司，

设|尸耳|=机，归闾=〃，则机=；〃，且有〃z+〃=2a,解得机=与，〃=?,

设|Q周=/，|。耳|=2aT,设圆/切Q8于点N,则|N用=|M£卜g,|QV|=|QG|=f,

由2aT=|Q闾=|QN|+|N£|=/+?,解得音，.•.闸=>+\=?,

DJD

所以为等边三角形，

\PF2\=\QF2\=^,APQQ

所以，2c=叵处,解得£=走.

23a3

因此，该椭圆的离心率为走.

3

故选：D.

【点睛】

本题考查椭圆的定义和性质，注意运用三角形的内心性质和等边三角形的性质，切线的性质，考查化简运算能力，属

于中档题.

4、A

【解析】

取得到。取尤=则+。2019计算得到答案.

x=—1,0=22°\2,4+4-32・32++«2019-3=-1,

【详解】

取x=—l,得到%=2~"9；取光=2,则4+q•3+出・3~++%019.3~"9=—L

故20192019

qS+g-B?++«2019.3=-1-2.

故选：A.

【点睛】

本题考查了二项式定理的应用，取x=-1和％=2是解题的关键.

5^D

【解析】

由复数除法运算求出z,再写出其共物复数，得共朝复数对应点的坐标.得结论.

【详解】

ii（l-2i）i+221.-2121

=+z,Z=---i,对应点为（1,—三），在第四象限.

1+2，—（1+27）（1—2，）JJJDDDD

故选：D.

【点睛】

本题考查复数的除法运算，考查共朝复数的概念，考查复数的几何意义.掌握复数的运算法则是解题关键.

6、B

【解析】

2AC-BC=3AO[AC=2AO+BO

可画出图形，根据条件可得，从而可解出，然后根据03,AB=2进

2BC-AC=3BO[BC=2BO+AO

行数量积的运算即可求出ACBC=（2AO+BC^（2BO+A。）=8.

【详解】

如图：

A

点。为AABC的三条中线的交点

A(9=1(AB+AC)=1(2AC-BC),BO=^(BA+BC)=1(2BC-AC)

2AC-BC=3AO[AC=2AO+BO

，由〈可得：〈，

2BC-AC=3BO[BC=2BO+AO

又因AB=2,

.,.....2.2.2

ACBC=(2AO+BO}-(2BO+AO)=2AO+2BO~=2AB=8-

故选:B

【点睛】

本题考查三角形重心的定义及性质，向量加法的平行四边形法则，向量加法、减法和数乘的几何意义，向量的数乘运

算及向量的数量积的运算，考查运算求解能力，属于中档题.

7、D

【解析】

图象关于y轴对称的函数为偶函数，用偶函数的定义及性质对选项进行判断可解.

【详解】

图象关于y轴对称的函数为偶函数；

x

A中，xeR故f(x)=为奇函数;

A/X2+1

8中，/(X)=j7+2x+J7-2x的定义域为[-1,2],

不关于原点对称，故为非奇非偶函数;

C中，由正弦函数性质可知，/(%)=sin8x为奇函数;

。中，xeR且xwO,/(—x)==3=/(x),故/(x)=U^为偶函数.

(一元)X

故选：D.

【点睛】

本题考查判断函数奇偶性.判断函数奇偶性的两种方法：

⑴定义法：对于函数/Xx)的定义域内任意一个X都有〃x)=-/(-X),则函数/(x)是奇函数；都有/(%)=/'(-X),

则函数“X)是偶函数

(2)图象法：函数是奇(偶)函数<=>函数图象关于原点(V轴)对称.

8、A

【解析】

可采用假设法进行讨论推理，即可得到结论.

【详解】

由题意，假设甲：我没有抓到是真的，乙：丙抓到了，则丙：丁抓到了是假的，

T：我没有抓到就是真的，与他们四人中只有一个人抓到是矛盾的；

假设甲：我没有抓到是假的，那么丁：我没有抓到就是真的，

乙：丙抓到了，丙：丁抓到了是假的，成立，

所以可以断定值班人是甲.

故选：A.

【点睛】

本题主要考查了合情推理及其应用，其中解答中合理采用假设法进行讨论推理是解答的关键，着重考查了推理与分析

判断能力，属于基础题.

9、A

【解析】

化简得到(2*-1)(2-2*了=2'•(2-2"『-(2-2'1，再利用二项式定理展开得到答案.

【详解】

(2^-1)(2-2工7=2,•(2—2'丫—(2—2工了

展开式中8‘的项为2-rC；23(-2*)2-C；22(-2*)3=120x8\

故选：A

【点睛】

本题考查了二项式定理，意在考查学生的计算能力.

10、D

【解析】

先由/'(x+2)是偶函数，得到了(元)关于直线x=2对称；进而得出了(元)单调性，再分别讨论2-3x22和2-3x<2,

即可求出结果.

【详解】

因为/(x+2)是偶函数，所以/(元)关于直线尤=2对称；

因此，由/(0)=。得*4)=0；

又于(x)在(-8,2］上单调递减，则;'(X)在［2,+⑹上单调递增；

所以，当2—3x22即x<0时，由/(2-3x)>0得/'(2-3x)>/(4),所以2—3x>4,

解得x<—；

3

当2—3x<2即尤>0时，由/(2-3幻>0得了(2-3彳)>/(0),所以2-3<<0,

解得工〉2；

3

因此，/(2-3x)>0的解集是(—,-|)J(|,+8).

【点睛】

本题主要考查由函数的性质解对应不等式，熟记函数的奇偶性、对称性、单调性等性质即可，属于常考题型.

11、A

【解析】

确定函数在定义域内的单调性，计算x=l时的函数值可排除三个选项.

【详解】

x>0时，函数为减函数，排除B,T<x<0时，函数也是减函数，排除D,又x=l时，y=l—ln2>0,排除C,

只有A可满足.

故选：A.

【点睛】

本题考查由函数解析式选择函数图象，可通过解析式研究函数的性质，如奇偶性、单调性、对称性等等排除，可通过

特殊的函数值，函数值的正负，函数值的变化趋势排除，最后剩下的一个即为正确选项.

12、B

【解析】

由平面向量垂直的数量积关系化简，即可由平面向量数量积定义求得a与b的夹角.

【详解】

根据平面向量数量积的垂直关系可得-血与.a=L-0a2=。，

｛b-yf2a^-b—b->j2a-b-0,

r|1|

所以o'=£=6a-b，即a

由平面向量数量积定义可得M=闾。州cos卜,可，

所以cos(3号而(a,"e[0,司，

71

即a与6的夹角为一.

4

故选：B

【点睛】

本题考查了平面向量数量积的运算，平面向量夹角的求法，属于基础题.

二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。

13、答案不唯一，如a“=-1

【解析】

根据等差数列的性质可得到满足条件的数列.

【详解】

由题意知，不妨设

a

则m+n=~(m+n)-l>-(m+n)-2=am+an,

很明显｛4｝为递减数列，说明原命题是假命题.

所以1,答案不唯一，符合条件即可.

【点睛】

本题考查对等差数列的概念和性质的理解，关键是假设出一个递减的数列，还需检验是否满足命题中的条件，属基础

题.

14、e

【解析】

InY

在不等式两边同时取对数，然后构造函数/(X)=——，求函数的导数，研究函数的单调性即可得到结论.

X

【详解】

X1

不等式两边同时取对数得Inxj<lnx2,

即X2lnx\<Zx\lnx2,又石，/£(°,

InxInx

即一L<--成9立,

X2

Inx

设/(x)=---,(0,m),

x

Vxi<x2,/(xi)<f(x2),则函数/(x)在(0,m)上为增函数,

新的且新--x-lnx

函数的导数八乃=^^1-Inx,

X

由/(x)>0得1-得加xVL

得OVxVe,

即函数/(“)的最大增区间为(0,e),

则m的最大值为e

故答案为：e

【点睛】

本题考查函数单调性与导数之间的应用，根据条件利用取对数得到不等式,从而可构造新函数，是解决本题的关键

15、G

【解析】

由正弦定理，三角函数恒等变换的应用化简已知等式，结合范围台€(0,万)可求B的值，利用正弦定理可求5的值,

进而根据余弦定理，基本不等式可求优的最大值，进而根据三角形的面积公式即可求解.

【详解】

解：2Z?cosB=(2cosC+ccosA,

/.由正弦定理可得：2sinBcosB=sinAcosC+sinCcosA=sin(A+C),

,/A+B+C—7i,

/.sin(A+C)=sinB,

1TT

又一BG(0,^-),/.sinB^O,.-.2cosB=l,即cosB=—,可得：B=—

23

•「ABC外接圆的半径为冬8,

3

,b2一

.n~'3,解得匕=2,由余弦定理Z?2=/+才-2〃ccos5,可得/+/—〃c=4,又。之十片..？〃。，

sin—

2

4=a2+c2-ac..2ac-ac=ac(当且仅当〃=。时取等号)，即最大值为4,

：.^,ABC面积的最大值为-x4sinB=73.

2

故答案为：百.

【点睛】

本题主要考查了正弦定理，三角函数恒等变换的应用，余弦定理，基本不等式，三角形的面积公式在解三角形中的应

用，考查了转化思想，属于中档题.

16、2

【解析】

b

根据三角形中位线证得A0〃3耳，结合耳、己3=0判断出A0垂直平分典，由此求得[的值，结合求

得二的值.

a

【详解】

VF2A=AB,，A为2月中点，AOHBF,,VFXBF,B=Q,二49垂直平分8耳，

ZAOF,=ZAOB=ZBOF,=60°,即？=tan60°=逐，,6=&,c2=3a2+a2=4a2，即e='=2.

aa

故答案为：2

【点睛】

本小题主要考查双曲线离心率的求法，考查化归与转化的数学思想方法，属于基础题.

三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

17、(1)a=l时，f(x)有一个零点；当。>0且awl时，/(无)有两个零点；(2)见解析

【解析】

(D利用/(%)的导函数，求得/(%)的最大值的表达式，对。进行分类讨论，由此判断出了(%)的零点的个数.

(2)由InxWx-l,得至(Jxlnx+lw/-％+1和,构造函数々(x)=e*+sinx-%2+尤一1,利用导数证得

7z(x)>0,即有产+sinx>必一%+1,从而证得Q+sinx>x?_%+i>x]n尤+1,即e*+sin尤>xlnx+L

【详解】

(1)f(X)=-——(6Z>0,X>0),

X

工当%£(o")时，/(x)>0,当xw(',+8)时，f'(x)<0,「./(九)在(0-)上递增，在d,+oo)上递减，

aaaa

/.f(%)<f(一)=-Ina+a—1.

a

令g(x)=-lnx+x-1=-(Inx-x+1),g(x)在(0,1)上递减，在(一)上递增，

gMNg(l)=。，.-.-lna+a-l>0,当且仅当a=1时取等号.

①。=1时，/(%)有一个零点；

②a>］时，-w(0,1),/(—)=—lna+ae(0,1),/1|=—ina-^-a—l>0,/(1)=0,f(―)=-<0,此时f(x)

aaa\ajee

有两个零点；

③0<avl时，一〉1,/(一)=—In〃+〃—1〉0,/(I)=0,/(——)=—2InCL---1-ct9令

aaaa

(p(x)=-21nx--+x(x>1),(p(x)=――>0,(p{x}在(0,1)上递增,

xx

夕(x)<0(1)=0,/(4)=-21ntz--+a<0,此时/X*)有两个零点；

aa

综上:a=l时，/(%)有一个零点;当〃>0且awl时，八>)有两个零点；

(2)由(1)可知：InxS%-L；.%ln%+lS%2—%+i,%s/T,

令h(x)=ex+sinx-x2+x-l,li(x)=ex+cosx-2x+l>ex-2x+l+cosx>0,h(x)在(0,+。)上递增，

h(x)>h(0)=0,ex+sinx>x2-x+1>xlnx+1.

【点睛】

本小题主要考查利用导数研究函数的零点，考查利用导数证明不等式，考查分类讨论的数学思想方法，考查化归与转

化的数学思想方法，属于中档题.

AF3

18、(1)见解析;(2)「=w.

AP8

【解析】

试题分析：(1)连AC交3。于E可得E是AC中点，再根据面"BD可得PAME,进而根据中位线定理可得结

果；(2)取AO中点。，由(1)知。4,0E,。尸两两垂直.以。为原点，。4,。2。尸所在直线分别为工轴,y轴，z轴

建立空间直角坐标系，求出面A/BD的一个法向量”，用彳表示面汇BZ)的一个法向量加，由“•7”=0可得结果.

试题解析：(1)证明：连AC交5。于E,连ME.A5CD是矩形，.•.£是AC中点.又PA面"BD,且ME是面PAC

与面"D3的交线，是PC的中点.

⑵取A。中点。，由（1）知。4,OE,OP两两垂直.以。为原点，0AoEOP所在直线分别为x轴，

V轴，z轴建立空间直角坐标系（如图），则各点坐标为

A（l,0,0）,B（l,3,0）,D（-l,0,0）,C（-l,3,0）,P（0,0,V3）,wf-1,|,^.

I222J

设存在E满足要求，且竺=2,则由河=2”得：F（1-2,0,A/32）,面"BD的一个法向量为〃=11,一匕至

AP''33

面的一个法向量为m=1,-g,42-23

,由4加二。，得1+^+——=0,解得％=—,故存在R,使二面角

9328

4F3

F—BD—M为直角,此时——=-.

AP8

19、（1）答案不唯一，具体见解析（2）证明见解析

【解析】

（1）根据题意得了'（尤），分6W-L与b＞-1讨论即可得到函数〃光）的单调性;

/、Inx-Inx.

（2）根据题意构造函数g（x）,得g（xJ=g（X2）=根，参变分离得a—2=-；9二%

分析不等式即转化为:"一2吸，设于=®＞1）,再构造函数g«）=21n—+；,利用

导数得单调性，进而得证.

【详解】

（1）依题意尤＞0,当a=0时，/'（x）=L—3+1）,

X

①当1时，尸。）＞0恒成立，此时了（无）在定义域上单调递增;

②当"T时’若.°,££,+8，小）＜。;

,f\x)>0；若xe

故此时了(尤)的单调递增区间为(0,|,单调递减区间为[1工,+s].

Ib+lj\b+l)

(2)方法1：由/(x)=相一ax?得In尤+(a—2)无+2—m=0

令g(x)=Inx+(a-2)x+2,则g(%)=g(x2)=m,

cInx,-Inx

依题意有InX]+(a-2)引=Inx+(«-2)x,即a-2=----=---------,

2一一2Xj一%2

11,-X+-2(lnx-InxJ

要证---1-->4-2a,只需证------>2(2-d)---------?--------(不妨设玉<马)，

占x2玉%2%-%2

即证土一21n2,

x2石不

x1211

令二=/«〉1),设g«)=2hUT+;则g'(/)=二一1—3=一(——1)2<0,

x\tttt

・•・g⑺在(L+8)单调递减，即g«)vg⑴=0,从而有，+'->4-2〃.

x1x2

方法2：由/(%)=根—ax2得Inx+(a—2)x+2一根=0

令g(x)=lnx+(a—2)%+2,则=gQ)=根，g\x)=--(2-a)

x

当xe(0,」一)时g'(x)>0,xe(」一,+(»)时g'(x)<0,

2-a2-a

故g(x)在(0,')上单调递增，在(，,+oo)上单调递减，

2-a2-a

不妨设％v/，则。<玉v」一<9'

2—a

11xx1

2G

要证一+—>4-2a9只需证再~~---,易知7^一7),

巧x2(4-2a)x2-1(4-2a)x2-12-a

故只需证g(xj<gj::—7),即证g(z)<g(A/；—-)

(4-2a)x2-1(4-2a)x2-1

JQ1

令为(x)=g(x)—g(/“c、(X〉----),

(4-2a)x-l2-a

1Y

贝(]〃(()己------;----隹*'("r、)

川x)=g'x+[(4-2a)x-lJ(4-2a)—x-7l

1-(2-。)尤+1(2-a)x-1-4(2-a)[(2-a)x-1]

x[(4-2a)x-l]2LxJ[(4-2a)x-l]2<，

(也可代入后再求导)

/i(x)在一—,+8上单调递减，；.丸(x)</z(—)=0,

—aJ2—a

1JQ11

故对于x〉----时，总有g(x)<g(~-).由此得一+—>4-2a

2-a(4-2a)x-lXXX2

【点睛】

本题考查了函数的单调性、最值问题，考查导数的应用以及分类讨论思想，转化思想，属于难题.

20、(1)详见解析；(2)详见解析.

【解析】

(D利用求导数，判断了(x)在区间(1,y)上的单调性，然后再证7•§),/•(：)异号，即可证明结论；

(2)当时，不等式g(x)20恒成立，分离参数只需无>1时，av『(lnx+2)恒成立,

x-1

设〃(x)=r(lnx+2)需必好1nm〈号，根据(1)中的结论先求出飘x)1n,再构造函数结合导数法,

x-14

49

证明"(')min<7即可・

【详解】

22

(1)/"(x)=1+Inx---1-3=Inx---1-4,

xx

1?

令/(%)=皿％),则加⑴=—+—■>0,

xx

所以m(x)=f\x)在区间(1，位)上是增函数,

则/'(%)>/⑴=2,所以/(x)在区间(1,y)上是增函数.

(3、131

又因为/不二—Klnj—KvO,

\乙J乙乙乙

任］」1/+」(1_1目〉0,

⑷444414J

所以/(X)在区间(1,y)上有且仅有一个零点X。，且X。e1)

(2)由题意，g(x)=lnx+—3+=20在区间[L+oo)上恒成立,

JCX

即（x-V）a<x1（In犬+2）在区间［1,+oo）上恒成立,

当％=1时，a£R；

当x>l时，aw/（lnx+2）恒成立,

x-1

x2(Inx+2)

设h(x)=(X>1),

x-1

x[(x-2)lnx+3x-5]

所以"(%)=x"(x)

(X-1)2(X-1)2

由（1）可知,3me,使70)=0,

所以，当xe(l,m)时，h\x)<0,当xe(加,+8)时，h'(x)>0,

由此必幻在区间（1,加）上单调递减，在区间（相,+8）上单调递增,

所以丸(x)min=="。=+2).

m-1

又因为/(附=(加一2)lnm+3m-5=0,

5—3mFH2

所以lnm=一从而以幻疑二久加）=」匚

m-22-m

22

所以<7《_加.令h(ni)=,me

2-m2-m

r।z，/、一根2+4m八

贝!|h(m)=-------->0,

(2-m)2

所以/lO)在区间上是增函数,

74949

所以/z（刈）<h了，故〃«/1（根）<1.

【点睛】

本题考查导数的综合应用，涉及到函数的单调性、函数的零点、极值最值、不等式的证明，分离参数是解题的关键,

意在考查逻辑推理、数学计算能力，属于较难题.

21、(1)—.(2)一.

55

【解析】

(1)由前三年六月份各天的最高气温数据，求出最高气温位于区间［20,25)和最高气温低于20的天数，由此能求出

六月份这种酸奶一天的需求量不超过300瓶的概率.

(2)当温度大于等于25℃时，需求量为500,求出¥=900元；当温度在［20,25)℃时，需求量为300,求出丫=300

元；当温度低于20℃时，需求量为200,求出y=-100元，从而当温度大于等于20时，y>0,由此能估计估计y大

于零的概率.

【详解】

解：(1)由前三年六月份各天的最高气温数据，

得到最高气温位于区间［20,25)和最高气温低于20的天数为2+16+36=54,

根据往年销售经验，每天需求量与当天最高气温(单位：。C)有关.

如果最高气温不低于25,需求量为500瓶，

如果最高气温位于区间［20,25),需求量为300瓶，

如果最高气温低于20,需求量为200瓶，

:.六月份这种酸奶一天的需求量不超过300瓶的概率P=氤54=：3.

(2)当温度大于等于25℃时，需求量为500,

F=450x2=900元，

当温度在［20,25)℃时，需求量为300,

300x2-(450-300)x2=300元，

当温度低于20℃时，需求量为200,

F=400-(450-200)x2=-100元，

当温度大于等于20时，F>0,

由前三年六月份各天的最高气温数据，得当温度大于等于20℃的天数有：

90-(2+16)=72,

724

二估计y大于零的概率尸=痴=岁

【点睛】

本题考查概率的求法，考查利润的所有可能取值的求法，考查函数、古典概型等基础知识，考查推理论证能力、运算

求解能力、空间想象能力，考查数形结合思想、化归与转化思想，是中档题.

22、(I)见解析(H)Z?>-ln2

【解析】

，

(1)由题X>0,/(%)=l+4--J由f(X)在X=X1,X2(X1/X2)处导数相等，得到/'(%)=/'(%2)="，得

XX

£

--+l-m=0

再

--+l-m=0

九2

由韦达定理得3+丁=1，由基本不等式得玉+/=%・工2>26^",得玉由题意得

/(石)+/(%)=玉%2—ln(x1A2)-1，令.=石〉4,则石羽,令

g⑺=f—1W—1">4),,利用导数性质能证明g