专题04 实数解答题压轴训练（解析版）-2020-2021学年七年级数学下学期期末考试压轴题专练（人教版尖子生专用）

专题04实数解答题压轴训练（时间：60分钟总分：120）班级姓名得分解答题解题策略：（1）常见失分因素：①对题意缺乏正确的理解，应做到慢审题快做题；②公式记忆不牢，考前一定要熟悉公式、定理、性质等；③思维不严谨，不要忽视易错点；④解题步骤不规范，一定要按课本要求，否则会因不规范答题而失分，避免“对而不全”，如解概率题时，要给出适当的文字说明，不能只列几个式子或单纯的结论，表达不规范、字迹不工整等非智力因素会影响阅卷老师的“感情分”；⑤计算能力差导致失分多，会做的试题一定不能放过，不能一味求快，⑥轻易放弃试题，难题不会做时，可分解成小问题，分步解决，如最起码能将文字语言翻译成符号语言、设应用题未知数、设轨迹的动点坐标等，都能拿分。也许随着这些小步骤的罗列，还能悟出解题的灵感。（2）何为“分段得分”：对于同一道题目，有的人理解的深，有的人理解的浅；有的人解决的多，有的人解决的少。为了区分这种情况，中考的阅卷评分办法是懂多少知识就给多少分。这种方法我们叫它“分段评分”，或者“踩点给分”——踩上知识点就得分，踩得多就多得分。与之对应的“分段得分”的基本精神是，会做的题目力求不失分，部分理解的题目力争多得分。对于会做的题目，要解决“会而不对，对而不全”这个老大难问题。有的考生拿到题目，明明会做，但最终答案却是错的——会而不对。有的考生答案虽然对，但中间有逻辑缺陷或概念错误，或缺少关键步骤——对而不全。因此，会做的题目要特别注意表达的准确、考虑的周密、书写的规范、语言的科学，防止被“分段扣分”。经验表明，对于考生会做的题目，阅卷老师则更注意找其中的合理成分，分段给点分，所以“做不出来的题目得一二分易，做得出来的题目得满分难”。对绝大多数考生来说，更为重要的是如何从拿不下来的题目中分段得点分。我们说，有什么样的解题策略，就有什么样的得分策略。把你解题的真实过程原原本本写出来，就是“分段得分”的全部秘密。①缺步解答：如果遇到一个很困难的问题，确实啃不动，一个聪明的解题策略是，将它们分解为一系列的步骤，或者是一个个小问题，先解决问题的一部分，能解决多少就解决多少，能演算几步就写几步，尚未成功不等于失败。特别是那些解题层次明显的题目，或者是已经程序化了的方法，每一步得分点的演算都可以得分，最后结论虽然未得出，但分数却已过半，这叫“大题拿小分”。②跳步答题：解题过程卡在某一过渡环节上是常见的。这时，我们可以先承认中间结论，往后推，看能否得到结论。如果不能，说明这个途径不对，立即改变方向；如果能得出预期结论，就回过头来，集中力量攻克这一“卡壳处”。由于考试时间的限制，“卡壳处”的攻克如果来不及了，就可以把前面的写下来，再写出“证实某步之后，继续有……”一直做到底。也许，后来中间步骤又想出来，这时不要乱七八糟插上去，可补在后面。若题目有两问，第一问想不出来，可把第一问作为“已知”，先做第二问，这也是跳步解答。③退步解答：“以退求进”是一个重要的解题策略。如果你不能解决所提出的问题，那么，你可以从一般退到特殊，从抽象退到具体，从复杂退到简单，从整体退到部分，从较强的结论退到较弱的结论。总之，退到一个你能够解决的问题。为了不产生“以偏概全”的误解，应开门见山写上“本题分几种情况”。这样，还会为寻找正确的、一般性的解法提供有意义的启发。④辅助解答：一道题目的完整解答，既有主要的实质性的步骤，也有次要的辅助性的步骤。实质性的步骤未找到之前，找辅助性的步骤是明智之举。如：准确作图，把题目中的条件翻译成数学表达式，设应用题的未知数等。答卷中要做到稳扎稳打，字字有据，步步准确，尽量一次成功，提高成功率。试题做完后要认真做好解后检查，看是否有空题，答卷是否准确，所写字母与题中图形上的是否一致，格式是否规范，尤其是要审查字母、符号是否抄错，在确信万无一失后方可交卷。一、解答题1．材料一：如果一个三位正整数满足百位数字小于十位数字，且百位数字与十位数字之和等于个位数字，那么称这个数为“上升数”．例如：，满足，且，所以123是“上升数”；，满足，但，所以247不是“上升数”材料二：对于一个“上升数”（且a，b，c为整数），交换其百位和十位得到，规定例如：为上升数，，（1）判断459和138是不是“上升数”，并说明理由；（2）若s，t都是“上升数”，其中，（，y，a，，且x，y，a，b都为整数），若，求s．【答案】（1）459是上升数，138不是上升数，理由见解析；（2）347【分析】（1）根据“上升数”的定义判断即可；（2）根据G(m)的含义可得，G(m)=a-b，故有G(s)=x-y=2x-7，G(t)=2-a，由此可得a与x的关系式，根据a与x均为整数及偶数的性质，即可求得a，x的值，从而可求得y的值，最后求得s的值．【详解】（1）459是上升数，138不是上升数，∵且∴459是上升数，∵且∴138不是上升数（2）∵s，t是上升数∴，且，∵∴∵∴∴∵∴即∵为偶数，2为偶数∴a为偶数又∵且a<10∴a＝4或6或8当a=4时，x=3，此时y=4；当a=6时，x=4，此时y=3，但不满足x<y，故不合题意；当a=8时，x=5，此时y=2，不满足x<y，故不合题意∴a=4，x=3，y=4∴【点睛】本题是属于新定义问题，要求熟练掌握整数的奇偶性质，关键是理解新定义“上升数”的含义，G(m)的含义，根据a的范围分情况考虑．2．阅读下列材料：定义：对于一个两位数x，如果x满足个位数字与十位数字互不相同，且都不为零，那么称这个两位数为“相异数”，将一个“相异数”的个位数字与十位数字对调后得到一个新的两位数，将这个新的两位数与原两位数求和，再同除以11所得的商记为．例如，，对调个位数字与十位数字得到的新两位数31，新两位数与原两位数的和为，和44除以11的商为，所以．（1）若一个“相异数”y的十位数字是k，个位数字是，且，求相异数y；（2）若一个两位数x是“相异数”，且，求满足条件的x的个数．【答案】（1）46；（2）17、26、35、53、62、71【分析】（1）根据“相异数”的定义，由S（y）=10，列方程求出“相异数y”的十位数字和个位数字，进而确定y；（2）设出“相异数”的十位、个位数字，根据“相异数”的定义，由S（x）=8，得出十位数字和个位数字之间的关系，进而得出结论．【详解】解：（1）由“相异数”y的十位数字是k，个位数字是2（k-1），且S（y）=10得，10k+2（k-1）+20（k-1）+k=10×11，解得k=4，∴2（k-1）=2×3=6，∴相异数y是46；（2）设“相异数”的十位数字为a，个位数字为b，则x=10a+b，由S（x）=8得，10a+b+10b+a=8×11，即：a+b=8，当a=1时，b=7，此时“相异数”x为17；当a=2时，b=6，此时“相异数”x为26；当a=3时，b=5，此时“相异数”x为35；当a=5时，b=3，此时“相异数”x为53；当a=6时，b=2，此时“相异数”x为62；当a=7时，b=1，此时“相异数”x为71．【点睛】本题主要考查有理数和整式的运算，理解“相异数”的意义是正确解答的关键．3．已知，在计算：的过程中，如果存在正整数，使得各个数位均不产生进位，那么称这样的正整数为“本位数”．例如：2和30都是“本位数”，因为没有进位，没有进位；15和91都不是“本位数”，因为，个位产生进位，，十位产生进位．则根据上面给出的材料：（1）下列数中，如果是“本位数”请在后面的括号内打“√”，如果不是“本位数”请在后面的括号内画“×”．106（）；111（）；400（）；2015（）．（2）在所有的四位数中，最大的“本位数”是，最小的“本位数”是．（3）在所有三位数中，“本位数”一共有多少个？【答案】（1）×，√，×，×；（2）3332；1000；（3）（个）．【分析】（1）根据“本位数”的定义即可判断；（2）要想保证不进位，千位、百位、十位最大只能是3，个位最大只能是2，故最大的四位“本位数”是3332；千位最小为1，百位、十位、个位最小为0，故最小的“本位数”是1000；（3）要想构成“本位数”，百位可以为1，2，3，十位可以为0，1，2，3，个位可以为0，1，2，所有的三位数中，“本位数”一共有（个）．【详解】解：（1）有进位；没有进位；有进位；有进位；故答案为：×，√，×，×．（2）要想保证不进位，千位、百位、十位最大只能是3，个位最大只能是2，故最大的四位“本位数”是3332；千位最小为1，百位、十位、个位最小为0，故最小的“本位数”是1000，故答案为：3332，1000．（3）要想构成“本位数”，百位可以为1，2，3，十位可以为0，1，2，3，个位可以为0，1，2，所有的三位数中，“本位数”一共有（个）．【点睛】本题考查了新定义计算题，准确理解新定义的内涵是解题的关键．4．阅读理解题：定义：如果一个数的平方等于-1，记为①，这个数i叫做虚数单位，那么和我们所学的实数对应起来就叫做复数，复数一般表示为（，为实数），叫做这个复数的实部，叫做这个复数的虚部，它与整式的加法，减法，乘法运算类似．例如：解方程，解得：，．同样我们也可以化简．读完这段文字，请你解答以下问题：（1）填空：______，______，______．（2）已知，写出一个以，的值为解的一元二次方程．（3）在复数范围内解方程：．【答案】（1）-i，1，0；（2）；（3），．【分析】(1)根据题意，则，，然后计算即可；(2)利用，得到，，，即可求解(3)利用配方法求解即可．【详解】(1)，，∵，∴，同理：，每四个为一组，和为0，共有组，∴，(2)∵，∴，，∴，，，∴以，的值为解的一元二次方程可以为：．(3)，，，，∴，．【点睛】本题考查了实数的运算，解一元二次方程，熟练掌握解一元二次方程的方法是解题的关键．5．任意一个个位数字不为0的四位数x，都可以看作由前面三位数和最后一位数组成，交换这个数的前面三位数和最后一位数的位置，将得到一个新的四位数y，记f（x）＝，例如：x＝2356，则y＝6235，f（2356）＝＝﹣431．（1）计算：f（5234）＝，f（3215）＝．（2）若x的前三位所表示的数与最后一位数之差能被11整除，求证：f（x）能被11整除．（3）若s＝1100+20a+b，t＝1000b+100a+23（1≤a≤4，1≤b≤5，a、b均为整数），若f（s）+f（t）被7除余2，求满足条件的f（t）的最小值．【答案】（1）79，-234；（2）证明见详解；（3）-211．【分析】（1）根据f（x）的定义计算即可求解；（2）．设x的最后一位为a，前三位为b，则b-a=11k，∴b=11k+a，由题意得x=10b+a，y=1000a+b，得到，根据k、a都是整数，问题得证；（3）分别计算出，，进而得到，根据被7除余2，得到（k为整数），根据1≤a≤4，1≤b≤5，a、b均为整数，分别把a、b的值代入试算，得到当a=2，b=1时，k为整数，且f（t）最小，即可求出．【详解】解：（1），故答案为：79，-234；（2）设x的最后一位为a，前三位为b，则b-a=11k，∴b=11k+a，由题意得x=10b+a，y=1000a+b，∴，∵k、a都是整数，∴f（x）能被11整除；（3）由s＝1100+20a+b，t＝1000b+100a+23（1≤a≤4，1≤b≤5，a、b均为整数），得s的个位数字为b，t的个位数字为3，∴，，∴，∵被7除余2，∴（k为整数），∵1≤a≤4，1≤b≤5，a、b均为整数，∴在a、b的几组值中试算，当a=2，b=1时，k为整数，且f（t）最小，此时．【点睛】本题考查了新定义问题，求代数式的值与系数整数值之间的关键，对整除概念的理解，综合性较强，理解f（x）的含义，并结合所学知识灵活应用是解题关键．6．若一个三位数m＝（其中x，y，z不全相等且都不为0），现将各数位上的数字进行重排，将重排后得到的最大数与最小数之差称为原数的差数，记作M（m）．例如537，重排后得到357，375，753，735，573，所以537的差数M（537）＝753﹣357＝396（1）若一个三位数t＝（其中b＞a＞c且abc≠0），求证：M（t）能被99整除．（2）若一个三位数m，十位数字为2，个位数字比百位数字大2，且m被4除余1，求所有符合条件的M（m）的最小值．【答案】（1）见解析；（2）297【分析】（1）直接表示出重新排列各数位上的数字必可得到一个最大数和一个最小数，然后求差，提公因式即可证明．（2）根据题意写出满足条件的三位数m，再根据定义求出所有符合条件的M（m）的最小值．【详解】（1）设三位数t＝（其中b＞a＞c且abc≠0），则最大数＝100b＋10a＋c，最小数＝100c＋10a＋b，M（）＝（100b＋10a＋c）﹣（100c＋10a＋b）＝99b﹣99c＝99（b﹣c）．∴M（t）能被99整除；（2）满足条件的三位数m有325，729，M（325）＝532﹣235＝297，M（729）＝972﹣279＝693．故所有符合条件的M（m）的最小值为297．【点睛】本题考查了新定义问题，对这类问题，关键要弄清楚新定义的含义．7．阅读材料，完成下列问题：材料一：若一个四位正整数（各个数位均不为0），千位和十位数字相同，百位和个位数字相同，则称该数为“重叠数”，例如5353、3535都是“重叠数”．材料二：将一位四位正整数m的百位和十位交换位置后得到四位数n，F（m）＝m﹣n．（1）F（1234）＝；F（8735）＝；（2）试证明任意重叠数能被101整除；（3）若t为一个“重叠数”，另一个“重叠数”s＝1000a＋100（a＋4）＋10a＋（a＋4）．（1≤a≤8）．若F（s）＋F（t）为一个完全平方数，请求出所有满足条件的F（t）的值．【答案】（1）-90，360；（2）证明见解析；（3）-360或540．

【分析】（1）按照F（m）＝m﹣n进行求解；（2）设重叠数个位、百位数字为a，十位、千位数字为b，然后根据定义重叠数的数值进行整理后可以得到解答；（3）可设t=m+100m+10n+1000n，则由题意可以用m、n表示出F（s）＋F（t），再根据题意由完全平方数的意义可以得到结果．【详解】解：（1）由题意可得：F（1234）＝1234-1324=-90，F（8735）＝8735-8375=360，故答案为-90，360；（2）设某重叠数个位、百位数字为a，十位、千位数字为b，则其值为：a+100a+10b+1000b=101a+1010b=101（a+10b），∵a、b为整数，∴a+10b为整数，∴任意重叠数能被101整除；（3）设t=m+100m+10n+1000n，则：F（t）=（m+100m+10n+1000n）-（m+10m+100n+1000n）=m+100m+10n+1000n-m-10m-100n-1000n=90（m-n），由题意可得：F（s）=1000a＋100（a＋4）＋10a＋（a＋4）-1000a-10（a＋4）-100a-（a＋4）=360，∴F（s）＋F（t）=360+90（m-n）=90（4+m-n），∵1≤m≤9，1≤n≤9，∴-8≤m-n≤8，∴-4≤4+m-n≤12，由题意可得：4+m-n=0或4+m-n=10，即m-n=-4或m-n=6，∵F（t）=90（m-n），∴F（t）=-360或F（t）=540．【点睛】本题考查新定义下的实数运算，通过阅读材料搞清新定义的概念及运算是解题关键．8．解决问题：已知是的整数部分，是的小数部分．（1）求，的值；（2）求的平方根，提示：．【答案】（1），；（2）±4【分析】(1)先确定在哪两个整数之间，再确定，的值即可；(2)把，的值代入求出式子的值，再求平方根即可．【详解】解:(1)∵，∴，∴，∴，；(2)，∴的平方根是：．【点睛】本题考查了算术平方根的估算和求平方根，解题关键是准确的确定一个数的算术平方根的整数部分和小数部分，注意：一个正数的平方根有两个．9．材料一：如果四位数满足千位数字与百位数字的差等于十位数字与个位数字的差，则称这个数为“等差数”，例如：3423，因为，所以3423是一个“等差数”．材料二：对于一个四位数，将这个四位数千位上的数字与百位上的数字对调、十位上的数字与个位上的数字对调后可以得到一个新的四位数，记．例如，对调千位上数字与百位上数字及十位上数字与个位上数字得到4152，所以．（1）判断是否是“等差数”，并求出的值；（2）若，都是“等差数”，其中，（，，，，、、、都是整数）规定：，若，求k的最大值．【答案】（1）是“等差数”，36；（2）2．【分析】（1）根据“等差数”定义证明即可．利用新定义的运算计算即可．（2）根据题意可知s为，t为．由s和t都为“等差数”，可求出只含一个字母的s和t，由可推出，即当取最小值时k最大，且．再由新定义的运算可推出，即当尽可能靠近时最小，最后确定当时最小，且此时即可求出的值．【详解】（1）∵，∴6273是一个“等差数”；根据题意可知，，∴，故．（2）根据题意可知s为，∵s为“等差数”，∴，∴．∴s为．同理可知t为，∴，∴．∴t为．∵，∴，∴，∴当取最小值时k最大，且．∵∴当尽可能靠近时最小，∵，∴，∴当时最小，且此时．∴．【点睛】本题考查新定义下的实数运算．理解题意，掌握“等差数”和新定义下的运算法则是解答本题的关键．10．任意一个四位数n可以看作由前两位数字和后两位数字组成，交换这两个两位数得到一个新的四位数m，记．例如：当时，则，．（1）直接写出__________，__________，（2）求证：对任意一个四位数n，均为整数．（3）若，（，，a、b均为整数），当是一个完全平方数时，求满足条件s的最大值．【答案】（1）0；25,（2）证明见详解;（3）满足条件s的最大值．【分析】（1）根据定义即可求出；（2）对任意一个四位数n=，m=根据定义求,由均为整数，也为整数,可得对任意一个四位数n，均为整数；（3）由定义可得=,由是一个完全平方数,满足条件s的最大值只要最大即可,可求最大=9,可得9b-11为平方数，9b-11=25，解方程即可．【详解】解：（1），，故答案为0；25；（2）对任意一个四位数n=，m=，，，，因为均为整数，也为整数，所以对任意一个四位数n，均为整数；（3），=，1≤a≤5，1≤b≤5，a、b均为整数∵是一个完全平方数，当b=5,9b-2=43,43-9a=平方数=1,4,9,16,25,36，a=当b=4,9b-2=34,34-9a=平方数=1,4,9,16,25，a=当b=3,9b-2=25,25-9a=平方数=1,4,9,16,a=当b=2,9b-2=16,16-9a=平方数=1,4,9,a=当b=1,9b-9a-2满足条件s的最大值只要最大即可，∴最大=3，b=5满足条件s的最大值．【点睛】本题考查新定义，整式加减，一元一次方程，掌握新定义的含义，利用新定义整式为平方数构造方程是解题关键．11．如图1，把两个边长为1的小正方形沿对角线剪开，所得的4个直角三角形拼成一个面积为2的大正方形．由此得到了一种能在数轴上画出无理数对应点的方法．（1）图2中A、B两点表示的数分别为___________，____________；（2）请你参照上面的方法：①把图3中的长方形进行剪裁，并拼成一个大正方形．在图3中画出裁剪线，并在图4的正方形网格中画出拼成的大正方形，该正方形的边长___________．（注：小正方形边长都为1，拼接不重叠也无空隙）②在①的基础上，参照图2的画法，在数轴上分别用点M、N表示数a以及．（图中标出必要线段的长）【答案】（1），；（2）①图见解析，；②见解析【分析】（1）根据图1得到小正方形的对角线长，即可得出数轴上点A和点B表示的数（2）根据长方形的面积得正方形的面积，即可得到正方形的边长，再画出图象即可；（3）从原点开始画一个长是2，高是1的长方形，对角线长即是a，再用圆规以这个长度画弧，交数轴于点M，再把这个长方形向左平移3个单位，用同样的方法得到点N．【详解】（1）由图1知，小正方形的对角线长是，∴图2中点A表示的数是，点B表示的数是，故答案是：，；（2）①长方形的面积是5，拼成的正方形的面积也应该是5，∴正方形的边长是，如图所示：故答案是：；②如图所示：【点睛】本题考查无理数的表示方法，解题的关键是理解题意，模仿题目中给出的解题方法进行求解．12．规定：求若千个相同的有理数（均不等于）的除法运算叫做除方，如等，类比有理数的乘方，我们把记作，读作“的圈次方”，记作，读作“的圈次方”，一般地，把记作，读作“”的圈次方．（初步探究）（1）直接写出计算结果：；；（2）关于除方，下列说法错误的是（）A．任何非零数的圈次方都等于B．对于任何正整数C．D．负数的圈奇数次方结果是负数，负数的圈偶数次方结果是正数（深入思考）我们知道，有理数的减法运算可以转化为加法运算，除法运算可以转化为乘法运算，有理数的除方运算如何转化为乘方运算呢？（3）试一试：，依照前面的算式，将，的运算结果直接写成幂的形式是，；（4）想一想：将一个非零有理数的圆次方写成幂的形式是：；（5）算一算：．【答案】（1），；（2）C；（3），；（4）；（5）-5．【分析】概念学习：（1）分别按公式进行计算即可；（2）根据定义依次判定即可；深入思考：（3）由幂的乘方和除方的定义进行变形，即可得到答案；（4）把除法化为乘法，第一个数不变，从第二个数开始依次变为倒数，结果第一个数不变为a，第二个数及后面的数变为，则；（5）将第二问的规律代入计算，注意运算顺序．【详解】解：（1）；；故答案为：，；（2）A、任何非零数的圈2次方都等于1；所以选项A正确；B、因为多少个1相除都是1，所以对于任何正整数n，1ⓝ都等于1；

所以选项B正确；C、，，则；故选项C错误；D、负数的圈奇数次方结果是负数，负数的圈偶数次方结果是正数，故D正确；故选：；（3）根据题意，，由上述可知：；（4）根据题意，由（3）可知，；故答案为：（5）．【点睛】本题考查了有理数的混合运算，也是一个新定义的理解与运用；一方面考查了有理数的乘除法及乘方运算，另一方面也考查了学生的阅读理解能力；注意：负数的奇数次方为负数，负数的偶数次方为正数，同时也要注意分数的乘方要加括号，对新定