高中数学学考复习优化练习17正弦定理、余弦定理含答案

优化集训17正弦定理、余弦定理基础巩固1.在△ABC中,内角A,B,C的对边分别为a,b,c.已知2bsinA=3a,则B=()A.π6 B.πC.π3 D.2.在△ABC中,若sin2A=sinB·sinC且(b+c+a)(b+c-a)=3bc,则该三角形的形状是()A.直角三角形 B.钝角三角形C.等腰直角三角形 D.等边三角形3.已知△ABC的三个内角A,B,C所对的三条边分别为a,b,c,若A∶B∶C=1∶1∶4,则a∶b∶c=()A.1∶1∶4 B.1∶1∶2C.1∶1∶3 D.1∶1∶34.设a,b,c分别是△ABC的三个内角A,B,C所对的边,若a=1,b=3,则“A=30°”是“B=60°”的()A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件5.在△ABC中,a=3,b=1,A=60°,则B=()A.30° B.60°C.30°或150° D.60°或120°6.在△ABC中,角A,B,C所对的边分别为a,b,c,已知csinC-(2a+b)sinB=(a-b)sinA,则C=()A.π6 B.π3或2π3 C7.(2023浙江浙北G2联盟)在△ABC中,sinA∶sinB∶sinC=3∶5∶7,则cosC的值为()A.-12 B.0 C.23 D8.(2023浙江温州新力量联盟)已知△ABC的三边分别为a,b,c,且a2+b2=c2,则△A.锐角三角形 B.直角三角形C.钝角三角形 D.不确定9.(多选)(2023浙江杭州六县九校)在△ABC中,角A,B,C的对边分别是a,b,c,下列说法正确的有()A.若A>B,则cosA<cosBB.若A=30°,b=5,a=2,则△ABC有两解C.若cosAcosBcosC>0,则△ABC为锐角三角形D.若a-c·cosB=a·cosC,则△ABC为等腰三角形或直角三角形10.(多选)(2023浙江钱塘联盟)△ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c,下列说法正确的有()A.若A=60°,a=3,则△ABC外接圆的半径等于1B.若cos2A2C.若a=3,b=4,B=π6D.若△ABC是锐角三角形,则sinA+sinB>cosA+cosB11.在△ABC中,角A,B,C的对边分别为a,b,c,若a=3,b=5,sinA=13,则sinB=,其外接圆的半径为.12.若满足∠ACB=30°,BC=2的△ABC有且只有一个,则边AB的取值范围是.

13.在△ABC中,若sinA∶sinB∶sinC=2∶3∶4,则cosC=;当BC=1时,△ABC的面积等于.

14.(2023浙江余姚中学)在锐角三角形ABC中,角A,B,C对应的边分别为a,b,c,△ABC的面积S=312(a2+b2-c2).若24(bc-a)=btanB,则c的最小值是.15.在△ABC中,角A,B,C所对的边分别是a,b,c,若B=π3,且(a-b+c)(a+b-c)=37(1)求cosA的值;(2)若a=5,求b的值.16.已知在△ABC中,角A,B,C的对边分别为a,b,c,且cosBcosC(1)求角B的大小;(2)若b=13,a+c=5,求△ABC的面积.能力提升17.在锐角三角形ABC中,A=2B,B,C的对边分别是b,c,则bb+cA.14,13 B.1C.12,23 D.218.(2023浙江奉化)在锐角三角形ABC中,角A,B,C的对边分别为a,b,c,且满足c-b=2bcosA.若λsinA-cos(C-B)<2恒成立,则实数λ的取值范围为()A.-∞,533 B.-∞,533C.(-∞,22) D.(-∞,22]19.(多选)(2023浙江强基联盟)在锐角三角形ABC中,角A,B,C的对边分别为a,b,c,cosC=b2a-A.b>a B.ca∈C.C=2A D.tanC>320.在等腰三角形ABC中,角A,B,C的对边分别为a,b,c,AB=AC,D为AC的中点,BD=1,则△ABC面积的最大值为.

21.在△ABC中,已知tanA=14,tanB=35,且△ABC最长边的长为17,则△ABC的最短边的长为22.(2023浙江丽水)在△ABC中,三个内角A,B,C所对的边分别是a,b,c,AD=2DC,BD=2,且(a-c)sin(A+B)=(a-b)(sinA+sinB).(1)求B;(2)当2a+c取最大值时,求△ABC的周长.

优化集训17正弦定理、余弦定理基础巩固1.D2.D解析由正弦定理知,若sin2A=sinB·sinC,则a2=bc.又(b+c+a)(b+c-a)=3bc,所以(b+c)2=4bc,即b=c=a,所以该三角形是等边三角形.故选D.3.D解析设A=x,则B=x,C=4x,所以x+x+4x=180°,解得x=30°,则A=30°,B=30°,C=120°,则a∶b∶c=sinA∶sinB∶sinC=sin30°∶sin30°∶sin120°=1∶1∶3.4.B解析当a=1,b=3,A=30°时,由正弦定理得,sinB=bsinAa=3sin30°1=32,所以B=60°或120°,反之,当a=1,b=3,B=60°时,由正弦定理得,A=30°,故若a=1,b=3,则“A=30°5.A6.C解析依题意,由正弦定理得c2-(2a+b)b=(a-b)a,c2-2ab-b2=a2-ab,a2+b2-c2=-ab,a2+b2-c22ab因为0<C<π,所以C=2π3.故选7.A解析∵a∶b∶c=sinA∶sinB∶sinC=3∶5∶7,∴cosC=32+52-78.A解析设△ABC的内角A,B,C所对的边分别为a,b,c,由a2+b2=c2可知,c>a且c>b,因为a2+b2=c2,所以a2+b2+2ab>c2,即(a+b)2>c2,得a+b>c.在△ABC中,由余弦定理得cosC=a+b-c2a·b>0,所以角C是锐角,9.ACD解析对于A,∵π>A>B>0,函数y=cosx在(0,π)上单调递减,∴cosA<cosB,故A正确.对于B,由正弦定理可得asinA=bsinB,∴sinB=bsinAa=5对于C,∵cosAcosBcosC>0,角A,B,C为三角形的内角,∴cosA>0,cosB>0,cosC>0,可知A,B,C对于D,∵a-c·cosB=a·cosC,∴由正弦定理可得sinA=sinAcosC+sinCcosB,又sinA=sin(B+C)=sinBcosC+sinCcosB,因此sinBcosC+sinCcosB=sinAcosC+sinCcosB⇒sinBcosC=sinAcosC,∴bcosC=acosC,∴(b-a)cosC=0,∴b=a或cosC=0,即三角形为等腰三角形或直角三角形,故D正确.故选ACD.10.ABD解析设△ABC外接圆的半径为R,根据正弦定理,2R=asinA=33则△ABC外接圆的半径等于1,故A正确.cos2A2所以2sinC+2cosAsinC=2sinB+2sinC,所以cosAsinC=sinB=sin[π-(A+C)]=sin(A+C)=sinAcosC+cosAsinC,所以sinAcosC=0,在三角形中,sinA>0,所以cosC=0,所以C=π2,则此三角形为直角三角形,故B正确因为a=3,b=4,B=π6,所以asinB=32,所以asinB<a<b,则此三角形只有一解,故C因为△ABC是锐角三角形,所以0<C<π2,所以π2<A+B<所以0<π2-B<A<π2,所以sinπ2-B<sinA,即cosB<sinA,同理,cosA<sinB,则sinA+sinB>cosA+cosB,故D正确.故选ABD11.5992解析设△ABC的外接圆的半径为R,由a∴313=5∴sinB=59,R=912.{1}∪[2,+∞)解析∵满足∠ACB=30°,BC=2的△ABC有且只有一个,∴如图,AB⊥AC,或AB≥2,∴AB=1或AB≥2,∴边AB的取值范围是{1}∪[2,+∞).13.-1431516解析设△ABC的内角A,B,C所对的边分别为a∵在△ABC中,sinA∶sinB∶sinC=2∶3∶4,∴a∶b∶c=2∶3∶4,设a=2k,则b=3k,c=4k,k>0,∴cosC=a2+b当BC=1时,AC=32,∴△ABC的面积S=12×1×32sin14.233解析由面积公式得12absinC=312(a2+b即sinC=33所以sinC=33cosC,tanC=3因为C∈0,π2,所以C=π6.24(bc-a)=btanB变形得到c=tanB因为B∈0,π2,所以tanB>0.由基本不等式得c=tanB24+12tanB+32≥2tanB24·12tanB+3215.解(1)由(a-b+c)(a+b-c)=37bc可得a2-(b-c)2=a2-b2-c2+2bc=37bc即a2=b2+c2-117bc,即b2+c2-a2=117由余弦定理可得cosA=b2(2)由(1)及三角函数的基本关系式,可得sinA=1-cos2A=5143,在△ABC中,16.解(1)由题意及正弦定理得,cosBcosC即2sinAcosB+cosBsinC=-sinBcosC,则2sinAcosB=-(sinBcosC+cosBsinC)=-sin(B+C)=-sinA.∵A∈(0,π),∴sinA≠0,∴cosB=-12∵B∈(0,π),∴B=2π(2)由余弦定理得,b2=a2+c2-2accosB,即13=(a+c)2-2ac-2accos2π3=25-2ac+ac=25-ac,解得ac=∴S△ABC=12acsinB=6sin2π3=能力提升17.B解析∵0<A<π2,0<C<π2,A=2B,∴π6<B<π4,cosB∈22,32,cos2sinC=sin(π-A-B)=sin(π-3B)=sin3B=sin(B+2B)=sinBcos2B+cosBsin2B=sinB(2cos2B-1)+2sinBcos2B=4cos2BsinB-sinB=4(1-sin2B)sinB-sinB=3sinB-4sin3B,所以由正弦定理可知bb+c=sinBsinB18.B解析因为c-b=2bcosA,所以sinC-sinB=2sinBcosA,即sinAcosB+cosAsinB-sinB=2sinBcosA,sinAcosB-sinB=sinBcosA,sinAcosB-sinBcosA=sinB,sin(A-B)=sinB.又因为A,B,C均为锐角,所以A-B∈-π2,π2,所以A-B=B,A=2C=π-A-B=π-3B,所以cos(C-B)=cos(π-4B)=-cos4B=-(1-2sin22B)=2sin22B-1.因为0<A=2B<πλsinA-cos(C-B)<2恒成立,即λsin2B-(2sin22B-1)<2⇔-2sin22B+λsin2B+1<2⇔2sin22B-λsin2B+1>0恒成立,其中B∈π6,π因为B∈π6,π4,所以2B∈π3,π2,sin2B∈3设t=sin2B,t∈32,1,则有2t2-λt+1>0在32,1内恒成立,则有λ<2t+1t对t∈32,1恒成立.又当t∈32,1时,2t+1t>533,所以故选B.19.ACD解析∵△ABC为锐角三角形,∴cosC=b2a-12>0,即b2a>由正弦定理可知,2cosC=sinBsinA-1,即2sinAcosC+sinA=sinB=sin(A+C)=sinAcosC+cosAsin∴sinA=sin(C-A),又三角形为锐角三角形,∴C-A=A,即C=2A,故C正确.由C知,0<C=2A<π∴π3<C=2A<π∴3<tanC,故D正确.∵ca=sinCsinA=sin2Asin∴2cosA∈(2,3),故B错误.故选20.23解析由题意易知23<b<2.在△ABD中,由余弦定理可得cosA=b2+14b∴△ABC的面积S=12b2sinA=12b2·1-(54-1b2)

2=21.2解析在△ABC中,tan(A+B)=tanA+tanB1-tanAtanB=14+3因为tanB>tanA,所以角A所对的边最小.由tanA=14可知sinA=17由正弦定理可知asinA=csin