2022北京西城区高一下学期期末数学试题和答案

2022北京西城高一（下）期末数学一、选择题共小题，每小题4分，共40分。在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项。14分）在复平面内，复数z=i+i2对应的点在()A．第一象限24分）设向量a=，b=(−2)，则(aA．B．−9B．第二象限C．第三象限=(C．−7D．第四象限))D．−534分）设m，n为两条直线，，为两个平面．若//，m//n，m⊥，则()A．n//C．m//B．n⊥D．以上答案都不对344分）若cos=，则sin(−)=()52353445A．B．−C．D．−5554分）函数f(x)=sin(2x+)，x[0，]的最大值和最小值分别为()62112121A1，1B．,−C．，D1，−)2264分）在ABC中，若a2+b2−c2=，则实数k的取值范围是(11A．(2)B．(C．(−，)D．2274分）已知向量a，b|a=4，|b=2，(abb，那么向量a，b的夹角为()A．B．C．D．63361−cos2xsinx84分）函数f(x)=A．关于原点对称的图像()B．关于y轴对称C．关于直线x=对称D．关于点(，0)对称294分）设(,)，则“(−，)”是“sin+cos0”的()44A．充分而不必要条件C．充分必要条件B．必要而不充分条件D．既不充分也不必要条件104分）如图，正方形ABCD的边长为2，P为正方形ABCD四条边上的一个动点，则PA的取值范围是()A．[−1，2]B．[0，2]C．[0，4]D．[−1，4]二、填空题共5小题，每小题5分，共25分。5分）设复数z满足zi=1−i，则|z=．3125分）在ABC中，a=3，A=，sinB=b=．33135分）已知长、宽、高分别为，4，5的长方体的八个顶点均在一个球的表面上，那么该球的表面积等于．145分）在直角ABC中，斜边=4，则+=．15．（5分）已知a为常数，θ∈，2π），关于θ的方程sin2θcosθa0有以下四个结论：①当0时，方程有2个实数根；②存在实数a，使得方程有4个实数根；③使得方程有实数根的a的取值范围是[1，；④如果方程共有n个实数根，记n的取值集合为，那么1∈，∈M．其中，所有正确结论的序号是．三、解答题共6小题，共85分。解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程。16分）在平面直角坐标系xOy中，角以Ox为始边，终边经过点(2)．（Ⅰ）求tan的值；（Ⅱ+)的值．417分）如图，在四棱锥P−ABCD)中，⊥平面ABCD，AD//BC，BAD=90，AD=2BC，E为的中点．（Ⅰ）若2，求四棱锥PABCD的体积；===−（Ⅱ）求证：BC⊥平面；（Ⅲ）求证：EC//平面．211813分）在ABC中，b=27，B=，从①c=2a；②sinA=；③a=2这三个条件中任选一个作为题314目的已知条件．（Ⅰ）求sinC的值；（ⅡABC的面积．319分）已知函数f(x)=2cosxsin(x+)−．32（Ⅰ）求f(x)的最小正周期；（Ⅱa0，若函数f(x)在区间a)上单调递增，求a的最大值．20分）如图，在正方体−ABCD中，AA=2，O为上底面ABCD的中心．111111111（Ⅰ）求证：AO⊥BD；（Ⅱ）求点A到平面1BD的距离；（Ⅲ）判断棱1上是否存在一点E，使得AO//BE？并说明理由．2115分）设函数f(x)的定义域为，af(ax)=Tf(x)，则称函数f(x)具有性质P．y=x是否具有性质P？（结论不要求证明）2]，其中常数a1．若存在常数T0，使得对任意的x，a]，都有（Ⅰ）当x，100]时，判断函数y=x2和（Ⅱa=3，函数f(x)具有性质P，且当x，3]时，f(x)=sin(x)，求不等式f(x)3的解集；6（Ⅲ）已知函数f(x)具有性质P，f（1）=0，且f(x)的图像是轴对称图形．若f(x)在，a]上有最大值1(A0)，且存在0[a+−1，a]使得f(0)=A，求证：其对应的T=1．a参考答案一、选择题共小题，每小题4分，共40分。在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项。1【解答】解：z=i+i故选：B．2=−1+i对应的点(位于第二象限．【点评】本题考查了复数的几何意义，以及复数代数形式的乘法运算，需要学生熟练掌握公式，属于基础题．2a坐标，再由数量积的坐标运算求(a【解答】解：由题设，a−，=5(+(2=11．．所以(a故选：A．【点评】本题主要考查了平面向量数量积的坐标运算，属于基础题．3【解答】解：，m⊥，n⊥，又//，n⊥．故选：B．【点评】本题考查了空间中的线面关系，属于基础题．4335【解答】解：因为cos=，所以sin(−)=−cos=−．52故选：B．【点评】本题考查诱导公式的应用，属基础题．52x+的取值范围，从而由正弦函数的性质得出函数y=f(x)的最大值和最小值．6【解答】解：因为x[0，]，2所以2x+[，]，666所以当2x+=，即x=时，f(x)的最大值为1，62612当2x+=，即x=时，f(x)的最小值为−．66212即f(x)=sin(2x+)，x[0，]的最大值和最小值分别为1，−．62故选：D．【点评】本题主要考查正弦函数的图象及性质，考查了函数思想，属于基础题．6k的取值范围．−c2=，【解答】解：a2+b2−c2kabkcosA===．2ab2ab2，−1cosA1，解得−2k2．故实数k的取值范围是(．故选：A．【点评】本题考查了余弦定理和三角函数的取值范围，属基础题．7a，再利用向量的夹角公式即可求解．【解答】解：因为|a=4，|b=2，(a，所以(a所以a，，12所以cosa，b=−，2|a又a，b[0，]，所以a，b故选：C．．3【点评】本题主要考查两向量夹角的求法，考查向量垂直的性质，考查运算求解能力，属于基础题．8f(x)=2sinx，可得函数为奇函数，可判断，求得对称轴与对称中心可判断CD．1−cos2x1−−2sin2x)2sinx2【解答】解：f(x)====2sinx，sinxsinxsinxf(−x)=2sin(−x)=2sinx=−f(x)，函数f(x)为奇函数，故图象关于原点对称，故A正确，B错误，函数f(x)的对称轴为x=k+，kZ，故C错误；2函数f(x)的对称中心为(k,0)，kZ，故D错误；故选：A．【点评】本题考查二倍角的余弦公式，以及函数的奇偶性，对称轴与对称中心，属基础题．9sin+cos=2+)，结合正弦型函数的性质，以及充分、必要条件的定义，即可求解．4【解答】解：sin+cos=2+)，4当(−,)时，则+(0,)，此时sin+cos0，充分性成立，444当sin+cos0，则+[2k,2k+]且kZ，即[2k−,2k+]且kZ，444,)，(−，)，必要性成立，44故“(−，)”是“sin+cos0”的充分必要条件．44故选：C．【点评】本题主要考查正弦型函数的性质，以及充分、必要条件的定义，属于基础题．10P在CD上，点P在BC上，点P在上，点P在上，利用数量积的坐标运算求解．【解答】解：建立如图所示平面直角坐标系：则(0,2)，B(2,2)，当点P在CD上时，设P(x，0)(0则=(x,2),=(x−−2)，，所以PA=x(x−2)+4=(x−2+34]；当点P在BC上时，设P(2，y)(0则PA=(2,y−2),PB=y−2)，，所以PAPB=(y−2)[0,4]；2当点P在上时，设P(x，2)(0则=(x,0),=(x−0)，，所以PA=x(x−2)=(x−−1[0]；2当点P在上时，设P(0，y)(0则=y−2),=(y−2)，，所以PAPB=(y−2)2[0,4]；综上：PA的取值范围是[−1，4]．故选：D．【点评】本题考查了平面向量数量积的坐标运算和取值范围的问题，属于中档题．二、填空题共5小题，每小题5分，共25分。【解答】解：1−i−ii−i，z===−1−i，ii2|z=(−2+(−=2．2故答案为：2．【点评】本题主要考查复数的运算法则，以及复数模的公式，属于基础题．ab12=可求b．sinAsinB33abasinB3【解答】解：由正弦定理得：=，得b===2．sinAsinBsinA32故答案为：2．【点评】本题考查了正弦定理，属基础题．13．【分析】因为长方体的对角线为外接球的直径，由长方体的棱长可得外接球的直径，代入球的表面积公式，求出其值．【解答】解：因为长方体的对角线为外接球的直径，设外接球的直径为2R，则(2R)4R=50．2=32+42+5=50，即22所以外接球的表面积S4R=2=，故答案为：．【点评】本题考查长方体的对角线与外接球的直径的关系，球的表面积公式的应用，属于基础题．14【解答】解：因为在直角ABC中，斜边4，=所以AB+=AC+CB=AB(AC+CB)=AB|AB|=16，故答案为：16．【点评】本题考查了平面向量数量积的性质和运算，属于基础题．15．【分析】利用同名三角函数将题上方程转化为关于θ且含有参数a的一元二次方程进行求解．【解答】解：由于关于θ的方程sin2θ﹣cos+＝0且θ∈，2π化简为cos2+cosθ﹣（+1）＝，令＝cos∈[﹣，1]，则2+﹣（a+1）＝0，t+t＝﹣，t•t＝﹣（+1Δ＝4+5．1212对于①：当a0时，Δ＞，cosθ＝θ∈，2π），故θ有2个值，故①正确．对于②：当0时，若θ∈（﹣11），θ就有两个解，又∈[02π），θ可能对应有四个解，故②正确．对于③：令cos＝，∈﹣1，，则（）＝﹣2﹣++1要有实数根即：Δ≥0、（﹣1）且（1）；即4a+5≥0、a﹣，即﹣≤a≤﹣1，故③错．对于④：当0时，无实数根；当Δ0，θ可能有一个解，θ可能有12个值；当＞0时，θ可能有两个不同的值，则θ可能有234个值，故④对．故答案为：①②④．【点评】本题考查的知识要点：同名三角函数的转化，三角函数与一元二次方程的联系，参数和方程的根的关系，主要考查学生的运算能力和数学思维能力，属于中档题，易错题．三、解答题共6小题，共85分。解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程。16）直接根据任意角三角函数的定义即可求解tan的值，进而利用二倍角的正切公式可求tan的值．（Ⅱ）根据任意角三角函数的定义可求sin，cos的值，进而利用两角和的余弦公式即可求解+)的值．4）因为在平面直角坐标系xOy中，角以Ox为始边，终边经过点(2)，2所以tan==2，12tan2243所以tan===−；1−tan21−2222551+−5（Ⅱ）由题意可得sin==−，cos==−，(2+(2)2(2(2)2552255210所以+)=cos−sinsin=(−)−(−)=．44452210【点评】本题主要考查了任意角三角函数的定义和二倍角的正切公式以及两角和的余弦公式在三角函数化简求值中的应用，考查了计算能力和转化思想，属于基础题．17(I)由题设知ABCD为直角梯形，结合已知求其面积，根据⊥平面ABCD，知四棱锥P−ABCD的高为，利用体积公式可求四棱锥P−ABCD的体积；(II)由题设得BC⊥AB，线面垂直的性质有PA⊥BC，根据线面垂直的判定可证结论；(III)取中点N，连结EN，CN，通过证平面CEN//平面，可证EC//平面．【解答】解：(I)由AD//BC，BAD=90，知ABCD为直角梯形，又AD=2BC，2，且⊥平面ABCD，===12BC=1，故SABCD=2+2)=3，1四棱锥P−ABCD的体积为23=2；3(II)由题设知：⊥，而AD//BC，故BC⊥AB，又平面ABCD，BC平面ABCD，PABC，⊥⊥，，面，故BC⊥平面；(III)证明：如图，取中点N，连结EN，CN，为的中点，EN//AP，AD=2BC，AN=BC，D，四边形ABCN是平行四边形，AB//CN，，BA，平面CEN//平面，平面ENC，CE//平面．【点评】本题考查求空间几何体的体积，考查线面垂直，线面平乖的证明，属中档题．18(I)选①，由余弦定理求出a=2，c=4，再由正弦定理即可求出答案；选②由sinC=sin(A+B)由两角和的正弦公式代入即可求出答案；选③，由正弦定理求出sinA，再由sinC=sin(A+B)代入两角和的正弦公式即可求出答案；(II)选①或③，直接由面积公式代入即可得出答案，选②，由正弦定理求出a，再由面积公式即可求得答案．【解答】解：(I)由题知，三角形为钝角三角形，a2+c2−b2a2+4a2−281选①，由余弦定理得：B===−，解得a=2，c=4，2ac2a2a234cbcsinB2172=，所以sinC===；由正弦定理得：sinCsinBb27215714选②，因为sinA=，所以cosA=，1421157143217所以sinC=sin(A+B)=sinAB+AsinB=(−)+=；142232abasinB142=，sinA===，选③由正弦定理得：sinAsinBb2757所以cosA=，1421157143217所以sinC=sin(A+B)=sinAB+AsinB=(−)+=；1422113(II)选①，因为a=2，c=4，B=，所以ABC的面积S=acsinB=24=23．32222127abbsinAsinB14选②，由正弦定理得：=，a===2，sinAsinB3211217所以ABC的面积S=absinC=227=23．227选③，因为b=27，a=2，sinC=，11217所以ABC的面积S=absinC=227=23．22【点评】本题考查正余弦定理在解三角形中的应用，考查了计算能力和转化思想，属中档题．19Ⅰ）由题意，利用三角恒等变换化简函数的解析式，再根据正弦函数的周期性，得出结论．（Ⅱ）由题意，利用正弦函数的单调性，求得a的最大值．3）函数f(x)=2cosxsin(x+)−32133=2cosx(sinx+cosx)−222121+cos2x3=sin2x+3−22=sin(2x+)，3故该函数的最小正正周期为=．2（Ⅱ），函数f(x)在区间a)上单调递增，则2x+(，2a+)，2a+，求得0a，33333212故a的最大值为．12【点评】本题主要考查三角恒等变换，正弦函数的周期性和单调性，属于中档题．20(I)连接AB，AD，三角形ABD是等边三角形，即可证明⊥BD，进一步通过//BD，所以11111111AO⊥BD．(II)设点A到平面1BD的距离为d，所以VA−A,BD=V1−ADB，代入即可得出答案，(III)画出图形，得出1B是平行四边形，再证明不存在即可．【解答】证明：(I)连接AB，AD，因为AB=AD，O为BD的中点，111111所以⊥BD，又因为//BD，所以AO⊥BD．1111解：(II)设点A到平面1的距离为d，所以VA−1BD=V1−ADB,1131233所以Sd=SABDAA1，则(4+4)2d=222．所以d=．1BD4233233所以A到平面1的距离为．(III)不存在，如下图，作一个相同的正方体−BC，11取O为上底面BCGH的中心，连接OO，OB，易知AOOB是平行四边形，111111所以AO//OB，而OB与相交，11所以棱1上不存在一点E，使得AO//BE．【点评】本题考查点到面的距离，考查学生的空间想象能力及运算能力，属于中档题．21Ⅰ）由函数f(x)具有性质P判断即可；（Ⅱ）若a=3，函数f(x)具有性质P，当x，3]时，f(x)=sin(x)，可确定T的值，再利用性质P求出f(x)6在x，9]上的解析式，按分段函数解不等式即可；（Ⅲ）根据函数f(x)具有性质P，且函数图像是轴对称图形，在区间，a]上有最大值(A0)，分别讨论0T1，T1时，函数的最值情况，得出矛盾，