第1章 二次函数 浙教版数学九年级上册单元提升必刷卷1(含答案)

【单元测试】第1章二次函数（夯实基础）一、选择题（本大题共10有个小题，每小题3分，共30分；在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1．若函数是二次函数，则m的值是（

）A．2 B．-1或3 C．-1 D．32．关于抛物线的图象，下列说法错误的是（

）A．开口向下 B．对称轴是直线C．顶点坐标为 D．与x轴有两个交点3．如图，线段AB＝5，动点P以每秒1个单位长度的速度从点A出发，沿线段AB运动至点B，以点A为圆心，线段AP长为半径作圆．设点P的运动时间为t，点P，B之间的距离为y，⊙A的面积为S，则y与t，S与t满足的函数关系分别是（

）A．正比例函数关系，一次函数关系 B．一次函数关系，正比例函数关系C．一次函数关系，二次函数关系 D．正比例函数关系，二次函数关系4．定义：我们将顶点的横坐标和纵坐标互为相反数的二次函数称为“互异二次函数”．如图，在正方形OABC中，点A（0，2），点C（2，0），则互异二次函数y=（x−m）2−m与正方形OABC有交点时m的最大值和最小值分别是（

）A．4，﹣1 B．，﹣1 C．4，0 D．，﹣15．在同一平面直角坐标系中，函数y＝ax2＋b与y＝ax＋2b（ab≠0）的图象大致如图（

）A．B．C．D．6．二次函数的部分图像如图所示，可知方程的所有解的积为（

）A．－4 B．4 C．5 D．－57．如图，小明以抛物线为灵感，在平面直角坐标系中设计了一款高OD为14的奖杯，杯体轴截面ABC是抛物线的一部分，则杯口的口径AC为（

）A．7 B．8 C．9 D．108．如图1，校运动会上，初一的同学们进行了投实心球比赛．我们发现，实心球在空中飞行的轨迹可以近似看作是抛物线．如图2建立平面直角坐标系，已知实心球运动的高度y（m）与水平距离x（m）之间的函数关系是y=，则该同学此次投掷实心球的成绩是（

）A．2m B．6m C．8m D．10m9．如图，四边形ABCD是正方形，AB＝2，点P为射线BC上一点，连接DP，将DP绕点P顺时针旋转90°得到线段EP，过B作EP平行线交DC延长线于F．设BP长为x，四边形BFEP的面积为y，下列图象能正确反映出y与x函数关系的是（）A．B．C．D．10．二次函数（、、是常数，且）的自变量与函数值的部分对应值如下表：…012……22…且当时，对应的函数值．有以下结论：①；②；③关于的方程的负实数根在和0之间；④和在该二次函数的图象上，则当实数时，．其中正确的结论是（

）A．①② B．②③ C．③④ D．②③④二、填空题（本大题共8有小题，每题3分，共24分）11．如果函数y＝（m﹣2）是二次函数，则m的值为________．12．如图，△ABC中，AB＝AC，CD⊥AB于D，BD＝1，设BC＝x，AD＝y，当x＞时，y关于x的函数解析式为_____．13．如图，点，平行于x轴的直线分别交抛物线与于B、C两点，过点C作y轴的平行线交于点D．直线DE∥AC，交于点E，则的长为______．14．如图，在矩形ABCD中，AD＝3，点E是AD边上的动点，连接CE，以CE为边向右上方作正方形CEFG，过点F作FH⊥AD，垂足为H，连接AF．在整个变化过程中，△AEF面积的最大值是_______．15．如图，抛物线的开口向下，对称轴为，与x轴的一个交点在（－3，0）、（－2，0）之间，其部分图像如图所示，则下列结论：①；②；③若点（，）、（－，）、（，）是该抛物线上的点，则；④，其中正确结论为________．16．二次函数y＝ax2+bx+c的部分图象如图所示，下列说法：①abc＞0；②x＜0时，y随x的增大而增大；③ax2+bx+c＝0的解为x1＝﹣1，x₂＝3；④a+b+c＝0；⑤x＜﹣1或x＞3时，ax2+bx+c＜0，其中正确的序号是_________．17．如图，等腰直角三角形的直角边长与正方形的边长均为，边与边在同一条直线上，点与点重合，让沿方向运动，当点与点重合时停止运动．运动中两个图形重叠部分的面积与的长度之间的函数关系式为__________，自变量的取值范围是_________．18．如图，已知A，B，C是函数图象上的动点，且三点的横坐标依次为，，．小华用软件GeoGebra对△ABC的几何特征进行了探究，发现△ABC的面积是个定值，则这个定值为__________．三、解答题（本大题共6有小题，共66分；第19小题8分，第20-21每小题10分，第22-23每小题12分，第24小题14分）19．如图，直线与抛物线交于，两点，与轴于点，其中点的坐标为．(1)求，的值；(2)若于点，．试说明点在抛物线上．20．如图，在Rt△ABC中，∠B＝90°，AC＝30cm，∠A＝60°，动点D从点C出发沿CA方向以4cm/s的速度向点A匀速运动，同时动点E从点A出发沿AB方向以2cm/s的速度向点B匀速运动，当其中一个点到达终点时，另一个点也随之停止运动．设点D，E运动的时间是ts，过点D作DF⊥BC于点F，连接EF．(1)若四边形AEFD为菱形，则t值为多少？(2)在点D、E的运动过程中，设四边形ADFE的面积为y，请求出y与t的函数关系式？21．如图，抛物线的图像经过、两点．(1)求抛物线的解析式；(2)点先向左平移1个单位，再向下平移3个单位得到点，请判断点是否在抛物线上．22．已知二次函数．(1)直接写出抛物线与x轴交点坐标_____、_____；与y轴交点坐标_____；顶点坐标为_____；(2)在给出的平面直角坐标系中，画出这个二次函数的图象；(3)当时，y的取值范围是_______．23．如图，在平面直角坐标系中，已知抛物线L：与x轴相交于A，B两点，与一次函数相交于点A和点C．(1)求点A、B、C三点的坐标；(2)点P是抛物线上的一动点且在直线AC的上方，过点P作x轴垂线交直线AC于点D，当点P运动到什么位置时，线段PD的长度最大？求出此时点P的坐标和线段PD的最大值；(3)将抛物线L：的图像向下平移得到新的抛物线，直线AC与抛物线交于M，N两点，满足，在抛物线上有且仅有三个点，，使得△，△，的面积均为定值S，求出定值S及，，的坐标．24．如图，抛物线y=-x2+2x+6与x轴交于A，B两点（点A在点B的左侧），与y轴交于点C，其对称轴与抛物线交于点D，与x轴交于点E．(1)求点A，B，D的坐标；(2)点G为抛物线对称轴上的一个动点，从点D出发，沿直线DE以每秒2个单位长度的速度运动，过点G作x轴的平行线，交抛物线于M，N两点（点M在点N的左边）．设点G的运动时间为ts．①当t为何值时，以点M，N，B，E为顶点的四边形是平行四边形；②连接BM，在点C运动的过程中，是否存在点M，使得∠MBD=∠EDB，若存在，求出点M的坐标；若不存在，请说明理由；(3)点Q为坐标平面内一点，以线段MN为对角线作菱形MENQ，当菱形MENQ为正方形时，请直接写出t的值．

【单元测试】第1章二次函数（夯实基础）一、选择题（本大题共10有个小题，每小题3分，共30分；在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1．若函数是二次函数，则m的值是（

）A．2 B．-1或3 C．-1 D．3【答案】D【分析】根据二次函数的一般形式，可列出方程和不等式，计算即可．【详解】根据题意得：解得：m=3．故选：D．【点睛】本题考查了二次函数的概念，熟练掌握二次函数一般形式满足的条件是解题的关键．2．关于抛物线的图象，下列说法错误的是（

）A．开口向下 B．对称轴是直线C．顶点坐标为 D．与x轴有两个交点【答案】C【分析】根据的图象与性质解答．【详解】解：中，抛物线的开口向下，对称轴是直线，顶点坐标为，令y=0，得抛物线与x轴有两个交点故选项A、B、D正确，选项C错误，故选：C．【点睛】本题考查二次函数的图象与性质，涉及顶点式解析式，是基础考点，掌握相关知识是解题关键．3．如图，线段AB＝5，动点P以每秒1个单位长度的速度从点A出发，沿线段AB运动至点B，以点A为圆心，线段AP长为半径作圆．设点P的运动时间为t，点P，B之间的距离为y，⊙A的面积为S，则y与t，S与t满足的函数关系分别是（

）A．正比例函数关系，一次函数关系 B．一次函数关系，正比例函数关系C．一次函数关系，二次函数关系 D．正比例函数关系，二次函数关系【答案】C【分析】根据题意分别列出y与t，S与t的函数关系，进而进行判断即可．【详解】解：根据题意得，，即，是一次函数；⊙A的面积为，即，是二次函数故选C【点睛】本题考查了列函数表达式，一次函数与二次函数的识别，根据题意列出函数表达式是解题的关键．4．定义：我们将顶点的横坐标和纵坐标互为相反数的二次函数称为“互异二次函数”．如图，在正方形OABC中，点A（0，2），点C（2，0），则互异二次函数y=（x−m）2−m与正方形OABC有交点时m的最大值和最小值分别是（

）A．4，﹣1 B．，﹣1 C．4，0 D．，﹣1【答案】B【分析】根据函数解析式可得抛物线顶点在直线y=-x上，结合图象求解．【详解】解：∵y=（x-m）2-m，∴抛物线顶点坐标为（m，﹣m），∴抛物线顶点在直线y=﹣x上，如图，当抛物线经过点B时，m取最大值，∵四边形OABC为正方形，∴AB=BC=2，∴点B坐标为（2，2），将（2，2）代入y=（x-m）2-m得2=（2-m）2-m，解得m=或m=（不符合题意，舍去）．如图，当抛物线经过点A时，m取最小值，将（0，2）代入y=（x-m）2-m得2=m2-m，解得m=﹣1或m=2（不符合题意，舍去）．故选：B．【点睛】本题考查了二次函数的性质，解题关键是掌握二次函数图象与系数的关系，掌握二次函数与方程的关系．5．在同一平面直角坐标系中，函数y＝ax2＋b与y＝ax＋2b（ab≠0）的图象大致如图（

）A．B．C．D．【答案】B【分析】根据每一选项中a、b的符号是否相符，逐一判断．【详解】解：A、由抛物线可知，a＞0，由直线可知，a＜0，故本选项错误；B、由抛物线可知，a＜0，b＜0，由直线可知，a＜0，b＜0，故本选项正确；C、由抛物线可知a＞0，b＜0，由直线可知a＞0，b＞0，故本选项错误；D、由抛物线可知，a＜0，b＞0，由直线可知，a＞0，b＜0，故本选项错误．故选：B．【点睛】本题考查了一次函数和二次函数的图象．解答该题时，一定要熟记一次函数、二次函数的图象的性质．6．二次函数的部分图像如图所示，可知方程的所有解的积为（

）A．－4 B．4 C．5 D．－5【答案】D【分析】根据抛物线对称轴的定义以及抛物线图象来求该抛物线与x轴的两个交点的横坐标．【详解】解：由图象可知对称轴为，与x轴的一个交点横坐标是5，∵交点到对称轴的距离是3个单位，∴另外一个交点的横坐标是﹣1，∴.故选：D.【点睛】此题考查了抛物线与x轴交点，抛物线与x轴两个交点关于对称轴对称是解题关键．7．如图，小明以抛物线为灵感，在平面直角坐标系中设计了一款高OD为14的奖杯，杯体轴截面ABC是抛物线的一部分，则杯口的口径AC为（

）A．7 B．8 C．9 D．10【答案】C【分析】利用待定系数法求出A、C的坐标，可求答案．【详解】解：当y=14时，，解得，，∴A（，14），C（，14），∴AC=．故选：C．【点睛】本题是关于二次函数应用题，主要考查了二次函数图象和性质，待定系数法，熟练掌握用待定系数法求点的坐标是解题的关键8．如图1，校运动会上，初一的同学们进行了投实心球比赛．我们发现，实心球在空中飞行的轨迹可以近似看作是抛物线．如图2建立平面直角坐标系，已知实心球运动的高度y（m）与水平距离x（m）之间的函数关系是y=，则该同学此次投掷实心球的成绩是（

）A．2m B．6m C．8m D．10m【答案】D【分析】根据该同学此次投掷实心球的成绩就是实心球落地时的水平距离，令y=0，解方程即可．【详解】解：该同学此次投掷实心球的成绩就是实心球落地时的水平距离，∴令y=0，则=0，整理得：x2-8x-20=0，解得：x1=10，x2=-2（舍去），∴该同学此次投掷实心球的成绩为10m，故选：D．【点睛】本题考查二次函数的应用和一元二次方程的解法，关键是理解题意把函数问题转化为方程问题．9．如图，四边形ABCD是正方形，AB＝2，点P为射线BC上一点，连接DP，将DP绕点P顺时针旋转90°得到线段EP，过B作EP平行线交DC延长线于F．设BP长为x，四边形BFEP的面积为y，下列图象能正确反映出y与x函数关系的是（）A．B．C．D．【答案】D【分析】方法一：根据P点在C点右侧时，BP越大，则四边形BFEP的面积越大，即可以得出只有D选项符合要求；方法二：分两种情况分别求出y与x的关系式，根据x的取值判断函数图象即可．【详解】方法一：由题意知，当P点在C点右侧时，BP越大，则则四边形BFEP的面积越大，故D选项符合题意；方法二：如下图，当P点在BC之间时，作EH⊥BC于H，∵∠DPE＝90°，∴∠DPC+∠EPH＝90°，∵∠DPC+∠PDC＝90°，∴∠EPH＝∠PDC，在△EPH和△PDC中，，∴△EPH≌△PDC（AAS），∵BP＝x，AB＝BC＝2，∴PC＝EH＝2﹣x，∴四边形BPEF的面积y＝x（2﹣x）＝﹣x2+2x，同理可得当P点在C点右侧时，EH＝PC＝x﹣2，∴四边形BPEF的面积y＝x（x﹣2）＝x2﹣2x，综上所述，当0＜x＜2时，函数图象为开口方向向下的抛物线，当x＞2时，函数图象为开口方向向上的抛物线，故选：D．【点睛】本题主要考查二次函数图象的性质，熟练根据题意列出函数关系式是解题的关键．10．二次函数（、、是常数，且）的自变量与函数值的部分对应值如下表：…012……22…且当时，对应的函数值．有以下结论：①；②；③关于的方程的负实数根在和0之间；④和在该二次函数的图象上，则当实数时，．其中正确的结论是（

）A．①② B．②③ C．③④ D．②③④【答案】B【分析】①将点（0，2）与点（1，2）代入解析式可得到a、b互为相反数，c=2，即可判断；②将x=-1与x=2代入解析式得到m和n的表达式，再结合当时，对应的函数值，即可表示出m+n的取值范围；③根据点（1，2）与当时，对应的函数值可知方程的正实数根在1和2之间，结合抛物线的对称性即可求出方程的负实数根的取值范围；④分类讨论，当在抛物线的右侧时，的横坐标恒大于等于对称轴对应的x的值时必有，求出对应的t即可；当与在抛物线的异侧时，根据抛物线的性质当的横坐标到对称轴的距离小于到对称轴的距离时满足，求出对应的t即可.【详解】①将点（0，2）与点（1，2）代入解析式得：，则a、b互为相反数，∴，故①错误；②∵a、b互为相反数，∴将x=-1与x=2代入解析式得：，则：，∵当时，对应的函数值，∴得：，即：，∴.故②正确；③∵函数过点（1，2）且当时，对应的函数值，∴方程的正实数根在1和之间，∵抛物线过点（0，2）与点（1，2），∴结合抛物线的对称性可得抛物线的对称轴为直线，∴结合抛物线的对称性可得关于的方程的负实数根在和0之间.故③正确；④∵函数过点（1，2）且当时，对应的函数值，∴可以判断抛物线开口向下，∵在抛物线的右侧时，恒在抛物线的右侧，此时恒成立，∴的横坐标大于等于对称轴对应的x，即，解得时；∵当与在抛物线的异侧时，根据抛物线的性质当的横坐标到对称轴的距离小于到对称轴的距离时满足，即当时，满足，∴当时，解得，即与在抛物线的异侧时满足，，∴综上当时，.故④错误.故选：B.【点睛】本题主要考查二次函数的相关性质，解题的关键是能通过图表所给的点以及题目的信息来判断抛物线的开口方向以及对称轴，结合二次函数的图象的性质来解决对应的问题.二、填空题（本大题共8有小题，每题3分，共24分）11．如果函数y＝（m﹣2）是二次函数，则m的值为________．【答案】﹣3【分析】根据二次函数的定义，可得m2+m-4=2且m-2≠0，然后进行计算即可解答．【详解】解：由题意得：m2+m﹣4＝2且m﹣2≠0，∴m＝2或﹣3且m≠2，∴m＝﹣3，故答案为：﹣3．【点睛】此题主要考查了二次函数定义，解题的关键是掌握形如y=ax2+bx+c（a、b、c是常数，a≠0）的函数，叫做二次函数．12．如图，△ABC中，AB＝AC，CD⊥AB于D，BD＝1，设BC＝x，AD＝y，当x＞时，y关于x的函数解析式为_____．【答案】【分析】由BD=1，AD=y，可得AB=AC=y+1，在Rt△ACD中，CD2=AC2-AD2=2y+1，在Rt△BCD中，CD2=BC2-BD2=x2-1，即得2y+1=x2-1，可得答案．【详解】解：∵BD=1，AD=y，∴AB=y+1，∵AB=AC，∴AC=y+1，在Rt△ACD中，CD2=AC2-AD2=（y+1）2-y2=2y+1，在Rt△BCD中，CD2=BC2-BD2=x2-12=x2-1，∴2y+1=x2-1，∴．故答案为：．【点睛】本题考查勾股定理的应用，解题的关键是将CD2作等量，列出y与x的关系式．13．如图，点，平行于x轴的直线分别交抛物线与于B、C两点，过点C作y轴的平行线交于点D．直线DE∥AC，交于点E，则的长为______．【答案】2【分析】由A点坐标为（0，1）结合两个函数解析式求出点C的坐标，再根据CD∥y轴，利用y1的解析式求出D点的坐标，然后根据DE∥AC然后利用y2求出点E的坐标，用点E的横坐标减去点D得横坐标即可解答．【详解】解：∵,AC//x轴∴点A、C的纵坐标相同∴，解得x=2，∴点C（2，1），∵CD∥y轴，∴点D的横坐标与点C的横坐标相同为2，∴y1=22=4，∴点D的坐标为（2，4），∵DE∥AC，∴点E的纵坐标为4，∴，解得:x=4，∴点E的坐标为（4，4），∴DE=4-2=2，故答案为：2．【点睛】本题属于二次函数综合题型，主要考查了二次函数图像上点的坐标特征，根据平行于x轴的点的纵坐标相同，平行于y轴的点的横坐标相同，求出相关点的坐标成为是解答本题的关键．14．如图，在矩形ABCD中，AD＝3，点E是AD边上的动点，连接CE，以CE为边向右上方作正方形CEFG，过点F作FH⊥AD，垂足为H，连接AF．在整个变化过程中，△AEF面积的最大值是_______．【答案】【分析】证明Rt△EFH≌Rt△CED，设AE＝a，用含a代数式表示△AEF的面积，进而求解．【详解】解：四边形CEFG为正方形，,∠FEH+∠CED＝90°，FH⊥AD，，∠FEH+∠EFH＝90°，∴∠CED＝∠EFH，在Rt△EFH和Rt△CED中，，∴Rt△EFH≌Rt△CED（AAS），∴ED＝FH，设AE＝a，则ED＝FH＝3﹣a，∴S△AEF＝AE•FH＝a（3﹣a）＝﹣（a﹣）2+，∴当AE＝时，△AEF面积的最大值为．故答案为：．【点睛】本题考查二次函数的最值问题，解题关键是掌握正方形的性质，掌握全等三角形的判定与性质．15．如图，抛物线的开口向下，对称轴为，与x轴的一个交点在（－3，0）、（－2，0）之间，其部分图像如图所示，则下列结论：①；②；③若点（，）、（－，）、（，）是该抛物线上的点，则；④，其中正确结论为________．【答案】①②④【分析】对于①，观察图像与x的交点，可得出对应一元二次方程的根的情况，即可判断；对于②，根据对称轴计算即可；对于③，先确定点的对称点，再根据抛物线的性质判断；对于④，根据对称轴为，再结合时与时函数值相等，即可判断．【详解】①由函数图像可知，抛物线与x轴有两个不同的交点，∴关于x的方程ax2+bx+c＝0有两个不相等的实数根，∴Δ＝b2﹣4ac＞0，∴①正确；②∵抛物线y＝ax2+bx+c（a≠0）的对称轴为x＝﹣1，∴，∴2a＝b，∴②正确；③∵抛物线的对称轴为x＝﹣1，点在抛物线上，∴．∵，且抛物线对称轴左边图像y值随x的增大而增大，∴y1＜y3＜y2．∴③错误；④∵当x＝﹣3时，y＜0，且对称轴为，∴当与x=-3的函数值相同，∴④正确；故答案为①②④．【点睛】本题主要考查了二次函数图像和性质，掌握抛物线的对称性是解题的关键.16．二次函数y＝ax2+bx+c的部分图象如图所示，下列说法：①abc＞0；②x＜0时，y随x的增大而增大；③ax2+bx+c＝0的解为x1＝﹣1，x₂＝3；④a+b+c＝0；⑤x＜﹣1或x＞3时，ax2+bx+c＜0，其中正确的序号是_________．【答案】②③⑤【分析】根据抛物线的开口方向，对称轴以及与轴的交点坐标，即可判断①，根据对称轴的位置以及开口方向即可判断②，根据对称轴以及抛物线与轴的交点坐标结合函数图象即可判断③与⑤，令即可判断④，进而即可求解．【详解】解：∵抛物线开口向下，∴a＜0，∵抛物线对称轴为直线x＝﹣＝1，∴b＝﹣2a＞0，∵抛物线与y轴交点坐标为（0，3），∴c＝3，∴abc＜0，①错误．由图象可得当x＜1时，y随x增大而增大，∴当x＜0时，y随x增大而增大，∴②正确．∵抛物线经过点（﹣1，0），抛物线对称轴为直线x＝1，∴抛物线经过点（3，0），∴ax2+bx+c＝0的解为x1＝﹣1，x₂＝3，③正确．由图象可得当x＝1时，y＝a+b+c＞0，∴④错误．∵抛物线与x轴交点坐标为（﹣1，0），（3，0），抛物线开口向下，∴当x＜﹣1或x＞3时，y＜0，∴⑤正确．故答案为：②③⑤．【点睛】本题考查了二次函数图象与系数的关系，掌握二次函数图象的性质是解题的关键．17．如图，等腰直角三角形的直角边长与正方形的边长均为，边与边在同一条直线上，点与点重合，让沿方向运动，当点与点重合时停止运动．运动中两个图形重叠部分的面积与的长度之间的函数关系式为__________，自变量的取值范围是_________．【答案】

【分析】根据图形及题意所述可得出重叠部分是等腰直角三角形，结合三角形面积公式解答．【详解】解：是等腰直角三角形，四边形MNPQ是正方形是等腰直角三角形由题意可知，AM=MR=x，故答案为：，．【点睛】本题以动态的形式考查了二次函数的应用，涉及三角形和正方形形重叠部分的面积、等腰直角三角形的性质、正方形的性质等知识，是重要考点，掌握相关知识是解题关键．18．如图，已知A，B，C是函数图象上的动点，且三点的横坐标依次为，，．小华用软件GeoGebra对△ABC的几何特征进行了探究，发现△ABC的面积是个定值，则这个定值为__________．【答案】1【分析】作AD⊥x轴于D，BE⊥x轴于E，CF⊥x轴于F，求得A、B、C的坐标，即可求得AD=（a+1）2=a2+2a+1，BE=a2，CF=（a-1）2=a2-2a+1，然后根据S△ABC=S梯形ADFC-S梯形ADEB-S梯形BEFC求得△ABC的面积是定值1．【详解】解：如图，作AD⊥x轴于D，BE⊥x轴于E，CF⊥x轴于F，∵A，B，C三点的横坐标依次为a+1，a，a-1，∴AD=（a+1）2=a2+2a+1，BE=a2，CF=（a-1）2=a2-2a+1，∴S△ABC=S梯形ADFC-S梯形ADEB-S梯形BEFC=（a2+2a+1+a2-2a+1）×2-（a2+2a+1+a2）×1-（a2+a2-2a+1）×1=1；∴△ABC的面积是个定值，这个定值为1．故答案为：1．【点睛】此题考查了二次函数图象上点的坐标特征，梯形的性质以及梯形的面积．此题难度较大，注意掌握数形结合思想的应用．三、解答题（本大题共6有小题，共66分；第19小题8分，第20-21每小题10分，第22-23每小题12分，第24小题14分）19．如图，直线与抛物线交于，两点，与轴于点，其中点的坐标为．(1)求，的值；(2)若于点，．试说明点在抛物线上．【答案】(1)，(2)见解析【分析】（1）利用待定系数法，把问题转化为解方程即可．（2）如图，分别过点A，D作AM⊥y轴于点M，DN⊥y轴于点N．利用全等三角形的性质求出点D的坐标，可得结论．【详解】(1)把点A（-4，8）代入，得：∴；把点A（-4，8）代入，得：∴；(2)如图，分别过点A，D作AM⊥y轴于点M，DN⊥y轴于点N．∵直线AB的解析式为y=-x+6，令x=0，则y=6∴C（0，6），∵∠AMC=∠DNC=∠ACD=90°，∴∠ACM+∠DCN=90°，∠DCN+∠CDN=90°，∴∠ACM=∠CDN，∵CA=CD，∴△AMC≌△CND（SAS），∴CN=AM=4，DN=CM=2，∴D（-2，2），当x=-2时，y=×22=2，∴点D在抛物线y=x2上．【点睛】本题主要考查了二次函数的性质，待定系数法，全等三角形的判定和性质等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造全等三角形解决问题．20．如图，在Rt△ABC中，∠B＝90°，AC＝30cm，∠A＝60°，动点D从点C出发沿CA方向以4cm/s的速度向点A匀速运动，同时动点E从点A出发沿AB方向以2cm/s的速度向点B匀速运动，当其中一个点到达终点时，另一个点也随之停止运动．设点D，E运动的时间是ts，过点D作DF⊥BC于点F，连接EF．(1)若四边形AEFD为菱形，则t值为多少？(2)在点D、E的运动过程中，设四边形ADFE的面积为y，请求出y与t的函数关系式？【答案】(1)5s(2)【分析】（1）由DF∥AE且DF=AE，得四边形ADFE是平行四边形，若构成菱形，则邻边相等即AD=DF，可得关于t的方程，求解即可；（2）由直角三角形的性质可求DF，BF的长，即可求解．【详解】(1)解：∵∠B＝90°，∠A＝60°，∴∠C=30°，∴CD=2DF，AC=2AB，∵AC＝30cm，∴AB=15cm，根据题意得：CD=4tcm，AE=2tcm，则AD=（30-4t）cm，∴DF=2tcm，∴DF=AE，∵DF⊥BC，∴DF∥AE，∴四边形AEFD是平行四边形，当DF=AD时，四边形AEFD为菱形，即30-4t=2t，解得：t=5；(2)解：∵∠B＝90°，AC＝30cm，AB=15cm，CD=4tcm，DF=2tcm，∴，，由（1）得：四边形AEFD是平行四边形，∴．【点睛】本题主要考查了二次函数，菱形的性质、平行四边形的判定与性质以及含30°角的直角三角形的性质等知识，熟练掌握菱形的性质是解题的关键．21．如图，抛物线的图像经过、两点．(1)求抛物线的解析式；(2)点先向左平移1个单位，再向下平移3个单位得到点，请判断点是否在抛物线上．【答案】(1)(2)不在，过程见解析【分析】（1）把点、代入，利用待定系数法即可得出抛物线的解析式；（2）根据点的坐标平移规律，先确定点的坐标，然后将点的横坐标代入（1）中所得二次函数解析式进行计算，将所得的函数值与点的纵坐标比较即可作出判断．【详解】（1）解：∵抛物线的图像经过、两点，∴，解得：，∴抛物线的解析式为．（2）∵点先向左平移1个单位，再向下平移3个单位得到点，∴，当时，，∴点不在抛物线上．【点睛】本题考查用待定系数法求二次函数的解析式，二次函数图像上点的坐标特征，点坐标平移的变化规律．点的坐标平移变化规律：（1）将点左右平移纵坐标不变，上下平移横坐标不变；（2）将点向右（或向上）)平移几个单位长度横坐标（或纵坐标）就增加几个单位长度；将点向左（或向下）平移几个单位长度横坐标（或纵坐标）就减少几个单位长度．理解和掌握点的坐标平移变化规律是解题的关键．22．已知二次函数．(1)直接写出抛物线与x轴交点坐标_____、_____；与y轴交点坐标_____；顶点坐标为_____；(2)在给出的平面直角坐标系中，画出这个二次函数的图象；(3)当时，y的取值范围是_______．【答案】(1)（1，0），（3，0），（0，3），（2，﹣1）(2)见解析(3)﹣1≤y＜3【分析】（1）令二次函数=0，解方程即可求得与x轴的交点，令x=0，即可求得与y轴的交点，化为顶点式即可求得顶点坐标；（2）根据列表，描点连线的方法画出二次函数图象即可；（3）观察函数图象即可求解．【详解】（1）令y=0，即解得抛物线与x轴的交点为：（1，0），（3，0），令x=0，解得y=3∴抛物线与y轴的交点坐标为（0，3）∵y=x2-4x+3=（x-2）2-1；∴顶点坐标为（2，-1）故答案为：（1，0），（3，0），（0，3），（2，﹣1）（2）列表如下，x…01234…y…31-103…函数图象如图（3）观察函数图象知，当0＜x＜3时，y的取值范围是：-1≤y＜3．故答案是：-1≤y＜3．【点睛】本题考查l抛物线与坐标轴的交点，顶点坐标画二次函数图象，二次函数的性质．23．如图，在平面直角坐标系中，已知抛物线L：与x轴相交于A，B两点，与一次函数相交于点A和点C．(1)求点A、B、C三点的坐标；(2)点P是抛物线上的一动点且在直线AC的上方，过点P作x轴垂线交直线AC于点D，当点P运动到什么位置时，线段PD的长度最大？求出此时点P的坐标和线段PD的最大值；(3)将抛物线L：的图像向下平移得到新的抛物线，直线AC与抛物线交于M，N两点，满足，在抛物线上有且仅有三个点，，使得△，△，的面积均为定值S，求出定值S及，，的坐标．【答案】(1)，，(2)当运动到横坐标为时，此时取得最大值，最大值为，(3)定值S为，，【分析】（1）令抛物线解析式中，解方程即可求得的坐标，联立一次函数解析式与抛物线解析式即可求得的坐标；（2）根据题意设，则，求得，根据二次函数的性质求得最大值，继而求得的坐标；（3）先求得的长，根据求得的长，联立新抛物线与，根据的长确定新抛物线解析式，进而根据有且仅有三个点，，使得△，△，的面积均为定值S，求得切点的坐标，根