山东省烟台重点中学2024届高考诊断性测试数学模拟试题（二）（含答案）

2024年高考诊断性测试

数学模拟试题（二）

（时间：120分钟，满分：150分）

、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.

1.若集合A={%I九2—3xV0},B={xIx^l},则图中阴影部分表示的集合为（

A.,{x|x>0］

B.{xIOVxWl}

C.{xIIWx<3}

D.,{xI0<x<l或%23}

z2—2z

2.已知复数z=l+i,则二^).

z—1

A.2iB.-2iC.2D.-2

3.一个圆锥的侧面展开图的圆心角为90°,它的表面积为a,则它的底面积为（).

aaaa

A.B.一C.一D.

5432

71兀

4.已知函数/（x）=sin（2x+9）,其中9为实数，若f（%）W"（一）I对XJR恒成立，且/（一）>/（九），则/（%）的单调递增

62

区间是（）.

71.71_x

A.［如一一，小加+一](/-'z)

36

71

B.Z)

712兀

C.[虹+―,A兀+——](»z)

63

l兀n/、

D.［小兀一一，A7l］（A—Z）

2

九2

5.椭圆一+丁=1的左焦点为F,直线x=t与椭圆相交于48两点，当aEAB的周长最大时，的面积为（).

4

„3

A.y/3C.一D.3

2

I71717T106

6.已知函数/(%)—2sin(—X——),%£R.设?[0,—],/(3a+—)=—，/(3£+2兀)=—，则cos(a+/?)的值为().

3622135

56166333

A.B.——C.—D.—

65656565

已知/（x）=olnx+」x2,若方程/（x）=（a+l）x恰有两个不同的解，则实数o的取值范围是（

7.).

2

A.B.(-1,0)C.(0,1)D.(1,+0°)

8.小明跟父母、爷爷奶奶一同参加《中国诗词大会》的现场录制，5人坐成一排.若小明的父母至少有一人与他相邻，则

不同坐法的种数为（).

A.60B.72C.84D.96

1

二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求.全部选对的

得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.

9.在发生某公共卫生事件期间，有专业机构认为该事件在一段时间内没有发生大规模群体感染的标志为“连续10天，每

天新增疑似病例不超过7人”.根据过去10天，甲、乙、丙、丁四地新增疑似病例数据，不一定符合该标志的是().

A.甲地：总体均值为3,中位数为4

B.乙地：总体均值为1,总体方差大于0

C.丙地：中位数为2,众数为3

D.丁地：总体均值为2,总体方差为3

10.已知AA3c是边长为2的等边三角形，D,E分别是zc,A8上的两点，且AE=，AD=2DCBD与CE交于

点O,则下列结论正确的是().

UL1ULIL1UUUUUUU

A.ABCE=-1B.OE+OC=0

uuruunuumRULIUUUU7

C.\OA+OB+OC\=^~D.EO在8C方向上的投影为一

11.圆Oi：x2+y2—2x=0和圆。2：x2+y2+2x—4y=0的交点为4B,则有().

A.公共弦A8所在直线方程为x—y=0

B.线段Z8中垂线方程为x+y—l=0

C.公共弦AB的长为注

2

5

D.P为圆5上一动点，则P到直线A3距离的最大值为一+1

2

12.已知函数/(x)=a-x3,则以下结论正确的是().

A./(x)在R上单调递增

B./(Iog52)</^e</(lnn)

C.方程/(x)=—1有实数解

D.存在实数G使得方程/(x)=及有4个实数解

三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.将答案填在题后的横线上.

13.如图，圆。与x轴的正半轴的交点为A,点C,B在圆。上，且点C位于第一象限，点B的坐标为(g,—g],Z

AOC=a,若则6cos24—sin@cos4—且的值为.

2222

14.已知抛物线V=4x的焦点为尸，过F作直线AB交抛物线于A,B两点，。为原点，则。4.03=.

15.点。是平面a上一定点，A,8,C是平面a上△ABC的三个顶点，ZB,NC分别是边AC,AB的对角.有以下五个命

题：

UUULLU1ULIULIU

①动点P满足o尸=。4+P3+尸c，贝iJaABc的外心一定在满足条件的p点集合中；

2

ULULuum

②动点P满足OP=。4+入（（A>0）,则△48C的内心一定在满足条件的P点集合中;

ULWUUIU

ARAT

UUULlULCDCL

③动点P满足OP=OA+入（|吧.八+I吧.-）（A>0）,贝！J4Z8C的重心一定在满足条件的P点集合中;

ABsmBACsinC

ULmuum

AfiAC

ULULUULCUCL

④动点p满足OP=OA+入（巴吧~+巴吧二）（A>0）,贝IJ△48c的垂心一定在满足条件的P点集合中.

ABcosB\AC\cosC

UL1HULUU

uuuuumAC

uuu_i_crAB

⑤动点P满足CP=08+oc+A(?ran--------+T0巴二）（A>0），则△ABC的外心一定在满足条件的P点集合中.

2ABcosBACcosC

其中所有正确命题的编号是.

16.已知数列｛aj,若<j"=—"2+左”+4,且对于任意“CN*,都有a"+i<a”则实数上的取值范围是.

四、解答题：本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.

17.（10分）△A8C的内角A,B,C的对边分别为a,b,c,cosA+J^sinA=0,a=2出,b=2^.

⑴求c；

⑵设。为BC边上一点，且4D_L4C,求△ABD的面积.

18.（12分）数列｛为｝的前n项和为S”ai=l,an+i=25„（nt^N,）.

（1）求数列｛an｝的通项a„；

（2）求数列｛nan｝的前n项和Tn.

19.（12分）如图，在四棱锥P-ABCD中，四边形ABCD是矩形，平面%B_L平面4BC0,点、E,F勺BC,AP的中点.

（1）求证：EF〃平面PC。；

⑵若AD=AP=PB=—A8=1,求三棱锥P-DEF的体积.

2

20.（12分）某药物研究所为筛查某种超级细菌，需要检验血液是否为阴性.现宿■方金奇血液样本，每个样本取到的

可能性均等，有以下两种检验方式：（1）逐份检验，则需要检验"次；（2）混合检验，将其帆6蟒N*，左三2）份血液样本分

别取样混合在一起检验.若检验结果为阴性，则这左份血液全为阴性，因而这左份血液只要检验一次就够了；如果检验结果为

阳性，为了明确这左份血液究竟哪几份为阳性，就要对这k份血液再逐份检验，此时这左份血液的检验次数总共为左+1次.假

设在接受检验的血液样本中，每份样本的检验结果是阳性还是阴性都是独立的，且每份样本是阳性结果的概率为p（OVpVI）.

（1）假设有5份血液样本，其中只有两份样本为阳性，若采用逐份检验的方式，求恰好经过2次检验就能把阳性样本全部检

验出来的概率;

⑵现取其中左（左dN*，k22）份血液样本，记采用逐份检验的方式，样本需要检验的总次数为。，采用混合检验的方

式，样本需要检验的总次数为4.

①若E（4）=E（△）,试运用概率统计的知识，求P关于左的函数关系式P=f（左）;

3

1

②若p=l—十，采用混合检验的方式可以使得样本需要检验的总次数的期望值比逐份检验的总次数的期望值更少,求左的

Ve

最大值.

参考数据：In2-0.6931,In3^1.0986,In4比1.3863,In5=1.6094,In6^1.7918.

21.(12分)如图，已知椭圆二+当=1(°>8>0)的长轴AB长为4.梯形ABCO的两顶点C,。在椭圆上(点C在第一象

a2b2

限)，且|CD|=2,ZABC=30°.

(1)求椭圆的方程；

(2)点P是线段CO上的点，过点B作与PB垂直的直线交椭圆于点。.若△PBQ的面积为迫，求直线的斜率.

12

22.(12分)设函数/(x)=ex—ax+3("R).

(1)讨论函数/(x)的单调性；

⑵若函数/(x)在区间［1,2］上的最小值是4,求Q的值.

2024年高考诊断性测试

数学模拟试题(二)参考答案及评分标准

一、选择题

1.C.2.A.3.A.

4.C.提示：因为/(%)<1/(-)|对％，R恒成立，所以"(一)I=1.x=—是一条对称轴.

666

JTTLTL7T

因为7=兀，/(一)>/(TI)=/(0),而一：(0,-),所以尤=—时函数取得最小值.

2626

jr2.71

于是4兀+―,/m+―］(小Z)是八九)的单调递增区间.

63

5.A.6.B.7.A.

8.C.提示：解法1：若小明的父母中只有1人与小明相邻且父母不相邻，先在其父母中选1人与小明相邻，有C；种情况,

4

将小明与选出的家长看成一个整体，考虑其顺序有A；种情况，当父母不相邻时，需要将爷爷奶奶进行全排列，将整体与另一个

家长安排在空位中有A：A；种情况，此时有C；A；A；A；=48种不同的坐法；若小明的父母中只有1人与小明相邻且父母相邻，

即将父母及小明看成一个整体，小明在一端，有2种情况，考虑父母之间的顺序有2种情况，则这个整体内部有2X2=4种情

况，将这个整体与爷爷奶奶进行全排列，有A；种情况，此时有4XA；=24种不同的坐法；若小明的父母与小明相邻，即小明

在中间，父母在两边，将3人看成一个整体，考虑父母的顺序，有A；种情况，将这个整体与爷爷奶奶进行全排列，有A；种情

况，此时有2XA；=12种不同的坐法.

综上，一共有48+24+12=84种不同的坐法.

二、选择题

9.ABC.

10.BCD.提示：由题E为AB中点，则CE1AB.

如图，以E为原点，EA,EC分别为x轴，y轴正方向建立平面直角坐标系,

所以E(0,0),A(l,0),8(T,0),C(0®ng,羊).

uunuuuri2n

设0(0,y\yE.(0,v3),BO=(Ly),Z)O=(-g,y---),

昵〃相，所以y-宜解得产也，

332

ULIUULUU

即。是CE中点，OE+OC=0，所以选项B正确.

iuuruunuun,,uunuuni|lUun1.R

\pA+OB+0C|=\10E+0C|=|0E|=,所以选项c正确.

UL1UUL1U

因为CE14B，ABCE=0»所以选项A错误.

luumuun1.9

uum12J3、uuwr-uuuuuu,ED-BCQ7

ED—»BC—(LA/3)JED在6c方向上的投影为一pu叫——-----——

33BC26

所以选项D正确.故选BCD.

11.ABD.解析：对于A,由圆Oi：x2+y2—2x=0与圆。2：*2+必+2乂-4y=0的交点为4B,两式作差可得4x—4y=0,

即公共弦Z8所在直线方程为x—y=0,故A正确.

对于B,圆Oi：x2+y2-2x=0的圆心为(1,0),小跖=1则线段A8中垂线斜率为一1,即线段48中垂线方程为丫一0=—1

X(x-l),整理可得x+y—1=0,故B正确.

对于C,圆。1：x2+y2-2x=o,圆心01(1,0)到X—y=0的距离为“二//一：—,半径r=l,所以

A/12+(-1)2

IAB|=2jl-f—=夜，故C不正确.

\l2J

亚

对于D,P为圆01上一动点，圆心0式1,0)到x—y=0的距禺为"=——,半径r=l,

2

即P到直线A8距离的最大值为也+1，故D正确.

2

5

故选ABD.

12.BCD.提示：/（x）=ex•x3,则/'（x）=e*•x3+e*•3x2=x?ex（x+3）,

故函数在（一8,一3）上单调递减，在（-3,+8）上单调递增，A错误;

1<1，Inn>l,根据单调性知/（Iog52）<e]V/（ln兀），B正确;

0<log52<-，

2

f(O)=O,/(—3)=——<—1,故方程/(x)=-1有实数解，C正确；

e

/(x)=Lx,易知当x=0时成立，当xWO时，b=--=exx2,设g(x)=eXx2,

x

则g<x）=eXx（x+2）,故函数在（0,+8）上单调递增，在（一2,一0）内单调递减，在（一8,—2）上单调递增，且g（—2）

4

e2

一4

画出函数图象如图所示，当0VAV）时有3个交点.

e

综上所述：存在实数A,使得方程/（x）=及有4个实数解，D正确.故选BCD.

三、填空题

13.3.14,

55

15.②③.提示：①当动点P满足O尸=04+pg+PCoAP=P5+尸。时，则点P是△A8C的重心，所以①不正

UUU

cAJCULIU

确；②显然在NR4C的角平分线上，而”与NB4C的平分线所在向量共线，所以△48C的内心一定在满足条

ULMULIU1

皿ABACluuniluumi

件的点P集合中，因此②正确；③变形为嗯I•n+i■呼叫.「），而ABsinS,MGsinC表示点A到BC边的距

ABsinBACsinC।।II

ULUAULIUULUUULUUU1UULIU

离，设为A。，所以AP=----（AB+AC），而AB+AC表示BC边的中线向量，所以A尸表示BC边的中线向量，因此^ABC

AD

的重心一定在满足条件的P点集合中，所以③正确；④当N4=90°时，ZVlBC的垂心与点A重合，但显然此时垂心点P不满足

公式，所以④不正确；⑤当BC的中点即为△ABC的外心时，公式显然不成立，所以⑤不正确.

16.k<3.

四、解答题

17.解：（1）由已知可得tanA=一占，所以4=变.（2分）

36

5兀

在△Z8C中，由余弦定理得28=12+c?—4在ccos——,（3分）即c2+6c—16=0,（4分）

6

解得c=-8（舍去），c=2.（5分）

兀兀

（2）由题设可得NOD=—,所以N8AD=N8AC—NCW=—.（6分）

23

S-ACg^DIs

故第8----------=2.（8分）又SMBC=-X2X2百sin'=（9分）

26

ZABDAABgAD^in-

6

所以S/\ABD=•（10分）

3

18.解：（1）因为a〃+i=2Sn,所以Sn+i—Sn=2S〃，即一—=3（显然%>0）.（1分）

又因为51=6=1,因此，数列｛S”｝是首项为1,公比为3的等比数列，（2分）

从而多=3〃-1（供N*）.（3分）

fl,n=\,

当心2时，a=2Sn-i=2,3n-2（n^2）,（4分）故如=<（5分）

n[2g3"R?B2.

（2）Tn—01+202+3（73H----Fnan,（6分）

Xn2

当〃=1时，Ti=l；当“22时，Tn—1+4•3°+6•3H-----\-2n,3',①（7分）

3〃=3+4・3x+6・32H-----\~2n・3^,②（8分）

3（1—3〃-2）

①一②得：-2〃=-2+4+2（3i+32H-------F3n-2）-2n•3"；=2+

~1^3~

-2n•3nl=-l+（l-2n）-3nl.（10分）

得了n='+（〃-2）3。,（“22）（丁1=01=1也满足上式），（11分）

22'

所以了“=,+（〃一,）3"-1（成N*）.（12分）

19.解：（1）如图，取PD中点G,连接GF,GC.

11（穿

在△勿。中，<?G,F分另IJ为P。，AP中点，/.GF//-AD,且GF=—AD.（1分）

22

在矩形A8CO中，•・•£为8c中点，：.CE//-AD,且CE='AD,/.GF//EC,且GF=EC.

（2分）

22

，四边形GCEF是平行四边形，・・・GC〃EF.（3分）

•.七0一平面。。。，EF，平面PC。，.・・EF〃平面PCO.（4分）

（2）V四边形八8c。是矩形，：.AD±AB,AD//BC.（5分）

,/平面以8_L平面488,平面%BQ平面48CD=48,A0~平面以8,AD_L平面以8,（6分），平面以D_L平面%8,

8c〃平面%D.（7分）

•:AD=AP=PB=]AB=\,:.AB=血,：.AP2+PB2=AB2,（8分）

：.AP.LBP,・・・BP_L平面以D.（9分）

•・・8C〃平面力。，，点E到平面外。的距离等于点8到平面外D的距离.（10分）

_111111八、

而S&PDF=—XPFXAD=—，・•VP-DEF=—SgDF*BP=—X—XI——.（12分）

2433412

20.解：（1）设恰好经过2次检验就能把阳性样本全部检验出来为事件4

L（1分）

则P（4）=T2

A；10

故恰好经过2次检验就能把阳性样本全部检验出来的概率为’.（2分）

10

⑵①由已知得EJ1=左，^的所有可能取值为1，左+1，

P（42=1）=（1—P）3p（42=左+1）=1一（1一,）'，（3分）

7

所以E或=(l~P)k+(左+1)El-(l-p)kl=(k+l)-k(l~p)k.(4分)

若"i=E42，则左=(左+1)一左(1—p)'nP=I—(―)%，(5分)

所以P关于左的函数关系式P=f（左）=1—（2）&（jl£N*，左22）.（6分）

②由题意可得E41>£自2，得工V（l—ppMlT=ynM左〉,左.（7分）

k</e3

设/(x)=Inx——x(x>0),则_f(x)=——1.(8分)

3x3

当x£(0,3)时，f(x)>0,则/(x)单调递增；(9分)

当x£(3,+8)时，/，(x)VO,则f(x)单调递减；(10分)

445

Xin4^1.3863,-^1.3333,所以In4>—.因为In5pL6094,-^1.6667,(11分)

333

所以ln5V*.故人的最大值为4.（12分）

3

2

丫2v114

21.（1）由题意，得。=2.点C的坐标为1,（1分）代入工+勺=1,得一+r=1,解得〃=—.（2分）所

4b243b29

r2Qv2

以椭圆的方程为上+二-=L（3分）

44

（2）设直线BQ的斜率为k，则直线BQ的方程为y=k（1一2）.

由得直线的方程为y=-1（X—2）.（4分）

k

Jy=k(x—2),

联立方程组消去y,得（1+9左2）%2—36左2%+36左2—4=0.（5分）设点5,。的横坐标分别为4，忆，

[x2+9y2=4,

则/兀=霁5,所以『沙.（6分）所以忸。|=户卜—（7分）

1I7RLIyix