四川省成都市2024届高三联考数学理科试题（二）

四川省成都市成实外教育集团2024届高三联考数学理科

试题(二)

学校:姓名：班级：考号：

一、单选题

1.已知集合“=3|Inx>0},N={x]-1<x<5}，则McN=()

A.{%|x>0}B.{x10<x<5}C.{x11<x<5}D.|x>5J

2.己知复数z=a+6i(.,6eR),i是虚数单位，若z-27=2+3/，则复数’的虚部为

()

A-V3B.2GC-V3iD.2后

3.命题“VxeN*,2-x2wo”的否定是()

AxB

-3x0eN*,2»-x^>0-*0eN",2'。—x；>0

C-VxeN*,21-%2<0D-VxeN*,2x-x2<0

4.高三某班学生每天完成作业所需的时间的频率分布直方图如图，为响应国家减负政

策，若每天作业布置量在此基础上减少0,5小时，则减负后完成作业的时间的说法中正

A.减负后完成作业的时间的标准差减少(J；

B.减负后完成作业的时间的方差减少0.25

C.减负后完成作业的时间在4小时以上的概率大于io%

试卷第11页，共33页

D.减负后完成作业的时间的中位数在2至2.5之间

5.在中，BC=3,AC=5,C=y,贝U=（）

A.而B.病C跖D.7

6.现将5个代表团人员安排至甲、乙、丙三家宾馆入住，要求同一个代表团人员住同一

家宾馆，且每家宾馆至少有一个代表团入住.若这5个代表团中48两个代表团已经入

住甲宾馆且不再安排其他代表团入住甲宾馆，则不同的入住方案种数为（）

A.6B.12C.16D.18

7.已知直线/:丘+）-24-1=0与圆0：/+/=8交于42两点，则弦最短时，

k=（）

1-2

A.2B.1C.--D.

2

8.已知函数/（力=25苗（8+0）3>0,时的部分图象如图所示，其中心oj,

①函数〃x）在［空］上单调递减；

_4_

②将函数/（X）的图象向右平移2L个单位长度后关于了轴对称;

24

试卷第21页，共33页

(5兀

③当x曰兀,—

I4

则正确命题的个数为（）

A.0B.1C.2D.3

9'若。=ln26,6=41n2/n3,c=(l+ln3)2'则凡瓦c的大小关系是（）

AcD

'c<a<ba<b<c•c<b<a-b<a<c

10.已知函数/3=1口卜+卜2，且/（芭）+/（工2）+2<0,则（）

2X+1

A.x,+x2<0B・再+无2>0C•玉+招>-2D•再+/<-2

H.设。为坐标原点，综丹为椭圆c：《+E=l的两个焦点,点P在［C上,

43

cos/月朋=|,则两,尸&=（)

AB.ZC.2D.2

-I42

12.函数/(x)=e"+QsinX,H：,G(―下列说法不正确的是()

A.当〃=7时,/（%）〉（）恒成立

B.当°=1时，〃x）存在唯一极小值点不

C-对任意“>0,〃x）在xe（F,+oo）上均存在零点

二、填空题

xyx-j；<Qz——2x+y+2024

13.已知，满足V2x+y>0,贝U目标函数的最大值是

x+j?-l<0

试卷第31页，共33页

14,已知向量G*=若贝产石=.

15.如图，已知球的表面积为］6兀，若将该球放入一个圆锥内部，使球与圆锥底面和

侧面都相切，则圆锥的体积的最小值为.

16.已知双曲线£=l(a>0,b>0)的左、右焦点分别为耳工，过耳向圆/+/="

作一条切线/与渐近线分别交于点48,当|/划=百〃时，双曲线的离心率是.

三、解答题

17.已知数列｛%｝的前"项和为S=30.

"2

⑴求数列｛%｝的通项公式％;

(2)记6”=—^,求数列他J的前”项和.

的“+1

18.如图，在四棱锥尸中,底面ABCD为矩形，尸工,面

ABCD,PA=AD=4IAB'点"是尸刀的中点，

试卷第41页，共33页

（1）证明:AMYPC'

（2）设/C的中点为。，点N在棱尸C上（异于点尸,C），且0N=Q4，求直线4N与

平面/CM所成角的余弦值.

19.某校体育节组织定点投篮比赛，每位参赛选手共有3次投篮机会.统计数据显示,

每位选手投篮投进与否满足：若第左次投进的概率为p（o<p<i）,当第左次投进时，

第左+1次也投进的概率保持p不变，当第后次没能投进时，第k+i次能投进的概率为

£.

2

（1）若选手甲第1次投进的概率为［,求选手甲至少投进一次的概率；

2

（2）设选手乙第1次投进的概率为每投进1球得1分，投不进得0分，求选手得分

X的分布列与数学期望.

20.抛物线G：V=2PMp>0）的焦点到准线的距离等于椭圆G“2+16y2=1的短轴长.

（1）求抛物线G的方程；

⑵设0（11）是抛物线G上位于第一象限的一点，过。作£:（》_2）2+/=/（其中

0<r<l）的两条切线，分别交抛物线G于点M,N，过原点作直线MV的垂线，垂足

为0,证明点0在定圆上，并求定圆方程

21.已知函数/（x）=Qzl的图象在（1J（D）处的切线经过点（2,2e?）.

试卷第51页，共33页

⑴求。的值及函数“X)的单调区间；

(2)若关于x的不等式人卜3-x)-hue%+Inx<0在区间(1,+00)上恒成立，求正实数2的

取值范围.

22.在平面直角坐标系中，直线/的参数方程为!X=2T。为参数)，曲线0：

[y=A/3;

].以原点。为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系.

------1-V=1

2

(1)求直线I的极坐标方程和曲线c的参数方程；

(2)求曲线c上一点N到直线I距离的最小值,并求出此时N点的坐标.

23•已知函数/(彳)=|2%-3花(%)=3-卜-2|

⑴求不等式/(x)Vg(x)的解集N;

(2)设"的最小数为〃，正数“满足0+6=加，求眩±1+《的最小值.

2ab

试卷第61页，共33页

参考答案：

1.c

【分析】

首先解对数不等式求出集合川，再根据交集的定义计算可得.

【详解】由lnx>0,解得尤>1，所以M={x|lwc>O}={x|x>l},

又"={%|-1<%<5}，所以McN={x[l<x<5}・

故选：C

2.A

【分析】

根据复数代数形式加减运算和共轨复数的概念得到方程组，解出即可.

【详角牛】z-2'z=a+bi-2,^a-bi^=-a+3历=2+3也U

则厂”2,解得!--2,则其虚部为百.

[3b=3百[b=s5

故选：A.

3.B

【分析】

根据全称命题的否定即可得到答案.

【详解】根据全称命题的否定为存在命题，任意变存在，范围不变，结论相反,

则命题UVXGN*,2X-X2<0，；的否定是“现YN*,2M-X：>0"，

故选：B.

4.D

【分析】

根据方差、标准差的性质判断A、B,由频率分布直方图分析减负前完成作业的时间在4.5

小时以上的概率，即可判断C,分析减负前完成作业的时间的中位数位于[2,5,3）之间，即

可判断D.

答案第11页，共22页

【详解】

依题意若每天作业布置量在此基础上减少05小时，

则平均数减小0.5小时，方差和标准差均不变，故A、B错误；

减负前完成作业的时间在4.5小时以上的概率为(MxO.5=0.05<10%，

所以减负后完成作业的时间在4小时以上的概率为0.卜0.5=0.05<10%，故C错误;

由频率分布直方图可得(0.1+0.3+0,5)X0.5=0.45<0.5，

(0.1+0.3+0.5+0.4)x0.5=0.65>0.5'

所以减负前完成作业的时间的中位数位于［2,5,3)之间，

所以减负后完成作业的时间的中位数在2至2.5之间，故D正确.

故选：D

5.D

【分析】在“8C中，直接利用余弦定理求解

【详解】在“8C中，由余弦定理得：AB2=AC2+BC2-2ACBCcosC

=52+32-2x5x3x^-1j=49，

所以/B=71

故选：D.

6.A

【分析】

由题意可知只要将余下的3个代表团安排到乙、丙两家宾馆，且每个宾馆至少有一个代表团

即可

答案第21页，共22页

【详解】甲宾馆不再安排代表团入住，

则乙、丙两家宾馆需安排余下的3个代表团入住，

所以一个宾馆住1个代表团，另一个宾馆住2个代表团.

共有C；A；=6种方法，

故选：A

7.D

【分析】

求出直线所过定点0(2,1)，当N8时，却最小，根据直线垂直与斜率的关系即可得

到答案.

【详解】fcc+y-24-1=0变形为左(工-2)+夕-1=0，故直线过定点Q(2,l)，

因为22+『=5<8，则该定点0(2,1)在圆内，

而产+y=8的圆心为o(o,o),半径为2a，设圆心到该直线的距离为"，

因为|/同=2\lr2—d~=248-d~,

则当“最大时，|/同取得最小值，而当OQ_L4B时，"最大，即14刈取得最小值，

因为L」，则，

0Q2

故选：D

8.B

【分析】通过图象求出/(x)的解析式，再利用三角函数的图象和性质逐项判断即得・

【详解】由题意可知蚓吆—/一—],7=4—，。口、

43124)网2

/兀7。。1。.(711[7171keZ

J=2sin1—k+0J=-2，smI——+</?!=—1?——+=——+2k,,

答案第31页，共22页

.兀

夕二一］+2左，,・1同＜、，••(p=--，--f(x)=2sinI4x~~71

233

①因此,当一强2左44x-§号k,即谭垮+时〃x）单调递增,

当E时，与匹，兀］有交集，故错误;

②/（X）的图象向右平移二个单位长度可得，

24

y

=2sinl4x--=-2cos(4%)，关于轴对称，故正确;

③当代卜与）时，4x-詈亍｝/（x）e（-A2］,故错误.

综上，只有命题②正确，

故选：.

1R5

9.D

【分析】

做差法比较a,6的大小，利用对数的性质比较兄。的大小.

222

【详解】a=ln6=(ln2+ln3))c=(lne+ln3)

因为In2+ln3<lne+ln3,所以(In2+ln3)2<(lne+ln3『，即"0，

a=ln26=(ln2+ln3广^=41n2-ln3-

则a-6=(ln2+ln3)2-41n2Jn3=(ln2—ln3)2>0'即，

所以K"

答案第41页，共22页

故选：D.

10.A

【分析】

先判断函数单调性和奇偶性，然后结合单调性及奇偶性求解不等式.

【详解】

由已知/(-%)+/(%)=In(Jl+x2.x)—］jx+In(，］+%2+%)一］\

叫(7177一x)(VIZ7+川一^1r一工=一2，

因为/(再)+/(工2)+2<0，令g(x)=/(工)+1，则定乂域为R，

则g(-x)+g(x)=/(-x)+/(x)+2=0，故g(1x)为奇函数,

又y=In(x+G7T),y=-不，在乩+°°)上单调递增，

则g(x)在［0,+00)上单调递增，又其为奇函数，

所以g(xJ+g(X2)<0，即g(xJ<-g(X2)=g(-X2)，

所以演<一马，即$+/<0,

故选：A.

11.A

【分析】

由椭圆的定义可得卢用+1尸园=<再结合余弦定理可得户由叫卜,，然后由向量数量积

定义得解.

【详解】由椭圆的定义可得归国+P闾=4，

答案第51页，共22页

在△尸片与中，由余弦定理用阅2=阀「+|尸阅2_2回归闾cosNK尸工，

又因用=24^=2,cos/G%=：可得：

I尸图2+|叫2-如/叫=4,即(附|+|%)2=与产周归阊+4,

即1物归引+4=42=16,即附归引=*

则可尾=|可%cos4%=gg=：,

故选：A.

12.C

【分析】

对于A：代入直接函数性质判断；对于B：代入“t，求导研究函数单调性来判

断；对于CD：求出/(x)在xe(-兀,+8)上的单调性和极值，再来判断即可.

【详解】对于A：当。=一1时，/(x)=e“-sinx,ii；£(-+8)，

当工£(一兀,0)时，ex>0,sinx<0，则e”-sinx>0，

当xw[0,+8)，ex>l,sinxG[-1,1]J则e”-sinx>0，不能取等号，

所以/(x)>0恒成立，A正确；

对于B：当a=l时，/(%)=ex+sine(-则=e*+cosx

令力⑴=e*+cosx，则〃'(x)=e，-sinx，由选项A得/(%)>0恒成立,

则/'(x)在(-兀,+00)上单调递增,又((-兀$=Y&兀0,(-0(昌0O)，

答案第61页，共22页

故存在x°e（-兀,0）使得/'（x0）=0，

所以在（一私修）上单调递减，在（%,+8）上单调递增，故/（x）存在唯一极小值点飞，

B正确；

对于CD：令〃x）=e、+asinx，当工而次亚，显然不是零点，

当时，令/（x）=0,得〃=_工，

sinx

\'X.y/2excosx+^-1

则令尸（x）=_/£,则9处经二^\__D，

I'sin2xsin2x

当加超兀［占左）丘时，/（、）<°，尸（X）单调递减，

当xe［-泊须加e时，尸《）>°，-⑺单调递增

此时有极小值尸卜士兀加"-友e">#4>>

当xe叵承,+乂）%时，尸'（、）>°，尸⑺单调递增，

当.］而温兀，+困时，尸'（、）<°，/⑺单调递减,

此时有极大值尸［4兀加塞卜-L2eE<>

故选项C中任意a>o,/（x）均有零点，错误；

选项D中，存在"°，”》）在酒（-兀，+8）上有且只有一个零点，此时.=_&/，

答案第71页，共22页

故选：C.

【点睛】方法点睛：一：对于不等式恒成立问题可以构造函数，转化为函数最值问题来解

决；二：对于零点问题，可以转化为函数图象的交点个数问题来解决.

1J32028

【分析】

由约束条件作出可行域，数形结合得到最优解，把最优解的坐标代入目标函数得答案.

xy(x-y<0

【详解】因为，满足卜x+yNO，作出可行域如下所示:

x+y-l<0

由产+y=0,解得卜=一1,即

[x+y-i=o[y=2

由图可知，当直线z=_2x+y+2024过点A时，z有最大值，

且Zmax=—2x(-1)+2+2024=2028-

故答案为：2028•

14.-/2,5

2

【分析】

首先求出汗-23的坐标，再由向量垂直得到小(1-23)=°,即可求出“，再根据数量积的

坐标表示计算可得.

答案第81页，共22页

【详解】因为方=(1,2)，

所以@_23=(1,2)_2(尤,T)=(l_2x,4)，

因为"('_2今，所以晨("2B)=1-2X+2X4=0,解得彳=_|,

一一一一5

所以q・b=x-2=—.

2

故答案为：-

2

1u64.647r

13.——71/------

33

【分析】设圆锥的底面半径为7•&>2)，圆锥的高为人则母线长为犷寿，利用圆锥的

轴截面得〃=£，求出圆锥的体积〃4卜2-4+4『，令-4,再利用基本不等

2_4/=—兀-----9---------

「r43/-4

式或利用导数求最值可得答案.

【详解】依题意，得球的半径R=2,设圆锥的底面半径为"r>2)，圆锥的高为%,

则母线长为寿，如图是圆锥的轴截面，

则轴截面的面积S=；x2rx〃=；(2厂+2,2+〃2)尺,

即泌一2r=2而+/，平方整理得〃=4",

r1-^

/_4--4+4)2,令"，2_4,

则圆锥的体积14

V=-7l7tm=—

33r2-4-3-一4~

答案第91页，共22页

当且仅当t=4时取得最小值，此时厂=20・

r3(r2-8)

_4r",8

［或求导："―3兀'产_4所以忆=-"-

当产-8>0即厂>2四时/>0，k9）单调递增，

当尸2-8<0即o</<2后时忆'<。,/①单调递减,

所以当〃=2加时"最小，且最小值为竺兀］

3

故答案为：—71.

3

16.2或2百

3

【分析】依题意可得切点必在渐近线（）轴左侧）与圆的交点，不妨令为A（A在渐近线

y=--x±）,分''分别在一、二象限和二、三象限两种情况讨论，分别求出渐近线的斜

a

率，进一步计算离心率.

答案第101页，共22页

【详解】双曲线1一1=15＞0/＞0）的渐近线为＞=一2工和y=2x,

a'oaa

显然渐近线与犬+产=/相交,

过耳向圆/+/=/作一条切线/,且切线/与渐近线分别交于点A、B,

yAAZ,

所以切点必在渐近线。轴左侧）与圆的交点，不妨令为（在渐近线夕=-9》上），

若|典=③，在RtA4O3中，3=凡朋=瓦,侬=2°，

当民,分别在一二象限时（如图1）,//°8=60。，设＞=2x的倾斜角为“，

则tana=—=V3,所以《=£=1^+—=2；

aa\a2

An71a

当'分别在二、三象限时（如图2）,设＞的倾斜角为，

则taiftag鸿，所以e=样考，

综上可得双曲线的离心率为2或拽.

3

故答案为：2或正

答案第111页，共22页

【点睛】关键点点睛：本题关键是分析出切点恰好在渐近线（y轴左侧）与圆的交点，另

外一点就是分类讨论，根据交点的位置得到不一样的图形.

17.（1）«„=„

【分析】

⑴根据巴作差即可得解;

Sn-Sn_l,n>2

（2）由（1）可得L,利用裂项相消法计算可得.

nn+1

n_+1）

【详解】（1）数列的前项和为S”=-------,

2

当I时…=

当""2时〃（及一1）

n—\2

所以a.=S“-九=?-丁="，

又当〃=1时，也成立，

:•数列｛%｝的通项公式为%=〃.

（2）由（1）可得b“=」一=,1、=1--—

。〃。〃+1矶〃+1）〃〃+1

答案第121页，共22页

则北=4+&+&+…+2

22334nn+ln+\n+1

18.(1)证明见解析

【分析】

(1)通过面面垂直的判定定理先得到面面垂直，再利用面面垂直的性质得到线面垂直，进

而得到线线垂直；

(2)建立空间直角坐标系，利用向量法先求出点"坐标，再利用向量法求线面角.

【详解】⑴因为尸/=/"，点A/为中点，则/M_LPZ)

因为尸N_L面/3C0，P/u面P4D，所以面尸面48czp

又底面/BCD为矩豚则CD_LAD，

因为面尸40c面4BCD=4D，CDu面4BC。，

所以0)_1_面尸/。，所以

因为PDcCD=。，PD,CDu面PCD，

所以NM1面尸czr又pcu面尸czr

所以MW_LPC；

(2)由已知得/8,/DMp两两垂直，设48=1，如图建立空间直角坐标系，

则/(0,0,0),8(1,0,0),(7(1,正,0),0(0,后,0),「(0,0,夜),川0,g*，

答案第131页，共22页

o，L，J",o），

所以戒=

设平面4cM的法向量为方=（x,y,z），

足-_/\_6V2__片T亢=（四,-1,1）

则1/1/・〃=（羽乃2）=《->+《-2=0,取，得'）

AC•元=x+^[2y=0

又吟,设N（XN，%,ZJ,丽=2卮=（九收4一行

即卜N，NV，ZN_J^）=（2,J^2,_"D,所以N（2,&；1,a_收2）,

又o（士正,o],ON=ON=也，

[22）2

所以+收2-孝+"-/4）=|,解得"5或（舍去）,

所以款=12迪迪]，

H5，5J

设直线4N与平面/CM所成角为e,

卜.两3^/2

则sinO=j_丁一岳

司AN1481810

j2+l+lx〈----1------1----

252525

所以直线/N与平面"CM所成角的余弦值为返.

10

答案第141页，共22页

19-⑴言

(2)分布列见解析，期望(

【分析】

(1)记选手甲第上次投进为事件4(%=1,2,3)，未投进为事件④，利用概率的乘法公式求

解即可；

(2)X的取值可为0』,2,3,分别求出对于的概率，然后再求期望.

【详解】(1)记选手甲第人次投进为事件4(笈=1,2,3)，未投进为事件无，

则选手甲至少投进一次这一事件的概率为1一尸(444),

因为咽啊.1一1得嗡

(2)选手乙得分X的取值可为0,1,2,3,

记选手乙第k次投进为事件B^k=1,2,3)，

答案第151页，共22页

711

根据题意，3次都投进的概率依次为尸（⑷"，尸（8,）=：,尸（四）=，

336

1255

尸(X=0)=—x—x—二

33627

/.2121121217

P(X=1)=—x—x—+—x—x—+—x—x—=

',33333333627

P(X=2)=|212111117

X—X—+—X—X—+—x—x—=

3333333327

所以丫的分布列为

A.

0123

1

2222

c7725

^(X)=Ox—+lx—+2x—+3x—=-

v7272727273

20.(l)/=x

(2)D=|

【分析】

（1）直接根据椭圆的短轴长求出p,进而可得抛物线方程；

（2）设〃■（/,〃）,N（/,6），求出直线々W的方程，求出切线。0,DN的方程，然后化归

为二次方程的根的问题，利用韦达定理可得直线儿火过的定点，进而可得点0所在圆的方

答案第161页，共22页

程・

【详解】(1)由椭圆02：/+16「=1可知短轴长26=]_,

2

所以抛物线C>：y2=2Px(P>0)的焦点到准线的距离等于p，，

故椭圆方程为V=x；

(2)因为D(i#是抛物线。上位于第一象限的一点，所以*=i，又/>0，

所以0(1,1)，

设则直线的方程为y_q=

(Q+b)\7

即％-(a+b)y+qb=0，

因为DM：(尸1乂〃2即x_(〃+])y+Q=0与圆£：(工一2)2+/=/相切,

|〃+2]_(r2-l)tz2+(2r2—4)a+2r2-4=0

所以而而二、整理得①,

同理，直线ON与圆E相切可得&2_1)62+(2/_4)6+2/_4=(^

由①②得a,6是方程卜2_]卜2+(2--4b+2/-4=0的两根，

后”,4-2r2,2r-4

所以Q+6=---,ab----,

r2-lr2-l

2

代入x-(Q+b)y+qb=0整理得++2)r——=0，

令(x+2y+2=0,解得J"。,故直线过定点(O,T),

[-x-4y-4=0[y=-1

答案第171页，共22页

所以点。在以（°T）和仅⑼连线为直径的圆上，且圆的方程为/+,+_LJ=J.；

【点睛】

方法点睛：证明点在定圆上，一般转化为证明直线过定点问题，从而得到点在某两定点连

线为直径的圆上.

21.（1）1

⑵匕+8]

【分析】

（1）求导，求出切线方程，然后代点（2,2e）求出〃的值，进而利用导数求函数单调性即

可；

（2）将不等式变形为士亡二1,然后令'=lnxJ>0,可得利用

InxAx

/（X）的单调性得到，进而构造函数求导求最值即可.

【详解】（1）函数/@）=贮二1的定义域为

答案第181页，共22页

2axe2;（恁2:1）,则/⑴=肉+1,又/⑴=娘2-1

则小)

所以“X）在点（1J（l））处的切线/-（ae,-1）=（ae?+l）（x-l），

代入点(2,2e?)得262-(於-1)=体2+1)(2-1)，解得。=1；

2xe2x-（e2x-l）2x设夕（％）=（2x-1）e?"+1,xw0

则八上（2x-l）e+l

则d(x)=4xe2",令d(x)>0,得x>0,令"(x)<0‘得)<°,

所以夕(x)〉夕(0)=0，即/*000在(-8,0)11(0,+8)上恒成山

所以函数/(x)的单调增区间为0),(0,+00)，无单调减区间；

1

(2)由(1)得〃彳)=上J2.x二1

A（x3-x）-liwe2Al+hu<0在区间（1,+8）上恒成立，即<e?J

InxAx

令t=lnxJ>0,则e"-1士e"'-1.即〃

tAx

只需要""无，也就是22皿在(L+00)上恒成立,

X

令〉1,则=,

XX

令”(x)〉0得0<x<e，令l(x)<0得、>e,

故〃。入"二刀仁)：:,所以24

ce

答案第191页，共22页

即正实数'的取值范围是L+”：

【点睛】

关键点点睛：本题第二问关键是将不等式变形为三1〈亡二*,令"1n阳”°,然后转

InxAx

化为〃/）4/（以），利用函数函数的单调性来解答，充分利用了函数单调性来解决问

题.

22.（1）直线/的极坐标方程为：60cose+psine-2百=0，曲线C的参数方程为

'/-0C

X=yj2cosa（为参数）

y=sina

⑵石等N2标

【分析】

（1）利用消元法求出直线/的直角坐标方程，再利用直角坐标和极坐标互化公式即可求出

直线’的极坐标方程，直接根据同角三角函数的平方关系可得曲线°的一个参数方程；

（2）设点"的坐标为N（血cos%sinc）,表示出点"到直线’的距离，结合辅助角公式和

正弦函数的值域，即可得出距离最小值，进而求出点双的坐标.

【详解】