上海市华东师大一附中2024年高三二诊模拟考试数学试卷含解析

上海市华东师大一附中2024年高三二诊模拟考试数学试卷

注意事项

1.考生要认真填写考场号和座位序号。

2.试题所有答案必须填涂或书写在答题卡上，在试卷上作答无效。第一部分必须用2B铅笔作答；第二部分必须用黑

色字迹的签字笔作答。

3.考试结束后，考生须将试卷和答题卡放在桌面上，待监考员收回。

一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1.设命题函数/（x）=e*+0-*在7?上递增，命题4：在AABC中，A>3ocosA<cos瓦下列为真命题的是（）

A.P^QB.pv(—i^)C.(^77)AqD.(可)A(—

0•

2.设复数"—1,则团=()

1+3z

A1B④

C.-D.—

3322

3.已知三点A（l,0）,B（0,73）,C（2,6），则△A3C外接圆的圆心到原点的距离为（）

5721

A.-rR).----

33

2后4

Lr•-----D.-

33

4.下列说法正确的是（）

A.命题7/<0,2/Wsinx。”的否定形式是"Vx>0,2x>sinxM

B.若平面C,0,y,满足则。〃尸

C.随机变量J服从正态分布N（l,cr2）（。>0）,若P（0<J<l）=0.4,则尸修>0）=0.8

D.设x是实数，“x<0”是“工<1”的充分不必要条件

X

5.已知函数/（x）=Asin（a»x+0（4>0,。>0,［同<］）的部分图象如图所示，且/（。+九）+/（。一%）=0,贝U同

的最小值为（）

y

兀兀

A.B.

12~6

715TI

C.D.

~312

6.已知函数/(x)=Jl；g2：l，A：°方程/(%)-a=0有四个不同的根，记最大的根的所有取值为集合。，贝!)“函

x2+2x+2,x<0

数/(%)=/(%)—履("£>)有两个零点”是“左〉L，的().

2

A.充分不必要条件B.必要不充分条件

C.充要条件D.既不充分也不必要条件

7.若|Q4|=1,|O5|=百，OAOB^O,点C在A3上，且NAOC=30°，设OC="2。4+〃。8(根,"eH),

rrj

则一的值为（）

n

A.-B.3C.—D.6

33

8.某程序框图如图所示，若输出的S=120,则判断框内为()

开始

A.k>7?B.左>6?C.左>5?D.k>4?

9.为了进一步提升驾驶人交通安全文明意识，驾考新规要求驾校学员必须到街道路口执勤站岗，协助交警劝导交通.

现有甲、乙等5名驾校学员按要求分配到三个不同的路口站岗，每个路口至少一人，且甲、乙在同一路口的分配方案

共有()

A.12种B.24种C.36种D.48种

10.中国古代中的“礼、乐、射、御、书、数”合称“六艺”.“礼”，主要指德育；“乐”，主要指美育；“射”和“御”，就是

体育和劳动；“书”，指各种历史文化知识；“数”，数学.某校国学社团开展“六艺”课程讲座活动，每艺安排一节，连排

六节，一天课程讲座排课有如下要求：“乐”不排在第一节，“射”和“御”两门课程不相邻，贝!1“六艺”课程讲座不同的排

课顺序共有()种.

A.408B.120C.156D.240

11.若函数〃x)=2sin(x+26»)-cosx(0<^<|)的图象过点(0,2),则()

A.函数y=/(x)的值域是［0,2］B.点］是y=/(x)的一个对称中心

C.函数y=/(x)的最小正周期是2万D.直线x=?是y=/(x)的一条对称轴

12.已知定义在R上的偶函数Ax)满足〃x+2)=f(一尤)，且在区间［1,2］上是减函数，令

1

a=ln2］=1；|2,c=log］2,则的大小关系为()

A./(a)</(/?)</(c)B./(a)</(c)</(Zj)

C./(&)</(a)</(c)D./(c)</(a)</(Z?)

二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。

13.古代“五行”学认为：“物质分金、木、土、水、火五种属性，金克木，木克土，土克水，水克火，火克金.”将五

种不同属性的物质任意排成一列，但排列中属性相克的两种物质不相邻，则这样的排列方法有种.(用数字作

答)

rrj

14.若函数f(x)=sin2x+cos2x在［0,万］和［3加㈤上均单调递增，则实数机的取值范围为.

x<3

15.若满足x+yN2,则目标函数z=y—2x的最大值为.

y<x

16.如图是一个算法流程图，若输出的实数y的值为-I,则输入的实数X的值为.

/输出y/

［结束］

三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

17.(12分)已知椭圆。斗+今=1(。〉0力〉0)的长轴长为4,离心率e=¥

(1)求椭圆。的方程；

(2)设A,3分别为椭圆与x轴正半轴和y轴正半轴的交点，P是椭圆C上在第一象限的一点，直线K4与V轴交于

点"，直线9与x轴交于点N,问APMN与AB钻面积之差是否为定值？说明理由.

18.(12分)某景点上山共有999级台阶，寓意长长久久.甲上台阶时，可以一步走一个台阶，也可以一步走两个台阶,

1?

若甲每步上一个台阶的概率为-，每步上两个台阶的概率为彳.为了简便描述问题，我们约定，甲从0级台阶开始向

上走，一步走一个台阶记1分，一步走两个台阶记2分，记甲登上第〃个台阶的概率为匕，其中“wN*，且“<998.

(1)若甲走3步时所得分数为X,求X的分布列和数学期望；

(2)证明：数列｛月由一片｝是等比数列；

(3)求甲在登山过程中，恰好登上第99级台阶的概率.

19.(12分)已知函数/(x)=sinox+cos[ox+Wj,其中xeR,a»>0.

(1)当o=l时，求/的值；

jr

(2)当/(元)的最小正周期为万时，求/Xx)在0,-上的值域.

_4_

20.(12分)已知△ABC的两个顶点A,B的坐标分别为(—0,0),(72,0),01E是4ABC的内切圆，在边上的

切点分别为P,Q,R,\CP\=2-y/2，动点C的轨迹为曲线G.

(1)求曲线G的方程；

(2)设直线/与曲线G交于M,N两点，点O在曲线G上,。是坐标原点OM+ON=OD，判断四边形OMDN的面积是

否为定值?若为定值,求出该定值;如果不是,请说明理由.

21.(12分)已知数列｛%｝,其前“项和为S“，若对于任意加，“eN*,且加。“，都有一^二5+4+册—4.

m+nm-n

(1)求证：数列｛a,J是等差数列

(2)若数列匕｝满足c〃=%+i%+2—a；("eN*),且等差数列｛4｝的公差为g,存在正整数，q,使得4+%,求

同的最小值.

22.(10分)已知〃力=卜+1|+卜+3].

(1)解不等式/'(x)<6；

(2)若a,4c均为正数，且〃a)+/0)+c=lO,求/+c?的最小值.

参考答案

一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1、C

【解析】

命题函数/(%)="+"'在(-8,0)上单调递减，即可判断出真假.命题好在AABC中，利用余弦函数单调性

判断出真假.

【详解】

解：命题P：函数/(x)=e'+er,所以/'(尤)=产—H'，当x<0时，尸(%)<0,即函数在(一9。)上单调递减，

因此是假命题.

命题4：在AABC中，A6e(O,；T),y=cosx在(0,不)上单调递减，所以A>BocosA<cosB,是真命题.

则下列命题为真命题的是(力)Aq.

故选：C.

【点睛】

本题考查了函数的单调性、正弦定理、三角形边角大小关系、简易逻辑的判定方法，考查了推理能力与计算能力，属

于基础题.

2、D

【解析】

先用复数的除法运算将复数Z化简,然后用模长公式求Z模长.

【详解】

初2-i(2-0(1-30--l-7z_1J_.

?，

1+3，(l+3z)(l-3z)101010

则比/总+［高嗡

L=也=也

0V22

故选：D.

【点睛】

本题考查复数的基本概念和基本运算,属于基础题.

3、B

【解析】

因为△月3。外接圆的圆心在直线的垂直平分线上，即直线工=1上

可设园心P（l,p）,由P4=P砥:|p|=,1+（p-问2,得p=竽

园心坐标为P（1,竽）

2

/12y/21

所以国心到原点的距离|OP|=</1+

33

选B.

考点：圆心坐标

4、D

【解析】

由特称命题的否定是全称命题可判断选项A；a,,可能相交，可判断B选项；利用正态分布的性质可判断选项C；

,<1n%<0或x>1,利用集合间的包含关系可判断选项D.

x

【详解】

命题“三不<0,2/Wsinx。”的否定形式是“VxWO,2x>sinx”，故A错误；

2,则必分可能相交，故B错误；若尸（0<。<1）=0.4,则？（1<。<2）=0.4,所以

1-04-041

年<0）===0.1,故PC>0）=0.9,所以C错误；由一<1,得x<0或

2x

故“x<0”是“工<1”的充分不必要条件，D正确.

x

故选：D.

【点睛】

本题考查命题的真假判断，涉及到特称命题的否定、面面相关的命题、正态分布、充分条件与必要条件等，是一道容

易题.

5、A

【解析】

。是函数/（元）的零点，根据五点法求出图中零点及y轴左边第一个零点可得.

【详解】

311TT7TTTTT

由题意7，7=万，.•.函数/（x）在y轴右边的第一个零点为一+—=——，在y轴左边第一个零点是

41266412

71冗71

~6~7~~12f

.•.何的最小值是?

故选：A.

【点睛】

本题考查三角函数的周期性，考查函数的对称性.函数/(%)=Asin(@r+9)的零点就是其图象对称中心的横坐标.

6、A

【解析】

作出函数f(x)的图象，得到D=(2,4],把函数F(x)=f(x)—kx(xeD)有零点转化为y=kx与y=f(x)在(2,

4]上有交点，利用导数求出切线斜率，即可求得k的取值范围，再根据充分、必要条件的定义即可判断.

【详解】

作出函数f(x)=]!咋24》>0的图象如图，

x+2%+2,%«0

由图可知，D=(2,4],

函数F(x)=f(x)-kx(xcD)有2个零点，即f(x)=kx有两个不同的根，

也就是丫=入与丫=**)在(2,4]上有2个交点，则k的最小值为g；

设过原点的直线与y=log2x的切点为(Xo,log2x0),斜率为——,

X.Q1H，

1

Ix/、

则切线方程为y-log2=—-X。)，

x0ln2

把(o,o)代入,可得一log,Xo=—J；,即x0=e,.•.切线斜率为工，

m2eln2

.•.k的取值范围是

12eln2)

...函数F(x)=f(x)—kx(xeD)有两个零点”是“k>!”的充分不必要条件，

故选A.

【点睛】

本题主要考查了函数零点的判定，考查数学转化思想方法与数形结合的解题思想方法，训练了利用导数研究过曲线上

某点处的切线方程，试题有一定的综合性，属于中档题.

7,B

【解析】

利用向量的数量积运算即可算出.

【详解】

解：NAOC=30°

cos<OC,OA>=

=V3

m2|OA|+ImnOA-OB+n2网画2

|OA|=1,|OB|=A/3,OA.OB=0

m6

yjm2+3n22

2

二.m=9rT

又C在上

:.m>0,n>0

m

­二3

n

故选：B

【点睛】

本题主要考查了向量的基本运算的应用，向量的基本定理的应用及向量共线定理等知识的综合应用.

8、C

【解析】

程序在运行过程中各变量值变化如下表:

KS是否继续循环

循环前11

第一圈24是

第二圈311是

第三圈426是

第四圈557是

第五圈6120否

故退出循环的条件应为k>5?

本题选择C选项.

点睛：使用循环结构寻数时，要明确数字的结构特征，决定循环的终止条件与数的结构特征的关系及循

环次数.尤其是统计数时，注意要统计的数的出现次数与循环次数的区别.

9、C

【解析】

先将甲、乙两人看作一个整体，当作一个元素，再将这四个元素分成3个部分，每一个部分至少一个，再将这3部分

分配到3个不同的路口，根据分步计数原理可得选项.

【详解】

把甲、乙两名交警看作一个整体，5个人变成了4个元素，再把这4个元素分成3部分，每部分至少有1个人，共有C：

种方法，再把这3部分分到3个不同的路口，有种方法，由分步计数原理，共有•禺=36种方案。

故选：C.

【点睛】

本题主要考查排列与组合，常常运用捆绑法，插空法，先分组后分配等一些基本思想和方法解决问题，属于中档题.

10、A

【解析】

利用间接法求解，首先对6门课程全排列，减去“乐”排在第一节的情况，再减去“射”和“御”两门课程相邻的情况，最

后还需加上“乐”排在第一节，且“射”和“御”两门课程相邻的情况；

【详解】

解：根据题意，首先不做任何考虑直接全排列则有震=720（种），

当“乐”排在第一节有团=120（种），

当“射”和“御”两门课程相邻时有尺6=240（种），

当“乐”排在第一节，且“射”和“御”两门课程相邻时有用/=48（种），

则满足“乐”不排在第一节，“射”和“御”两门课程不相邻的排法有720-120-240+48=408（种），

故选：A.

【点睛】

本题考查排列、组合的应用，注意“乐”的排列对“射”和“御”两门课程相邻的影响，属于中档题.

11、A

【解析】

根据函数/（九）的图像过点（0,2）,求出凡可得/（x）=cos2x+l,再利用余弦函数的图像与性质，得出结论.

【详解】

由函数〃x）=2sin（x+2e>cosx（0<^<|）的图象过点（0,2）,

可得2sin26=2,即sin28=1,

/.20=-0=-

2499

故〃%）=2sin（%+2，）•cosx=2cos2x=cos2x+l,

对于A,由—1VCOS2XV1,则0K/（x）<2,故A正确；

对于B,当x=?时，/^=1,故B错误；

对于C,T=U=/，故C错误；

对于D,当X=£时，/^=1,故D错误；

故选：A

【点睛】

本题主要考查了二倍角的余弦公式、三角函数的图像与性质，需熟记性质与公式，属于基础题.

12、C

【解析】

可设尤e［0,1］,根据/\尤)在R上为偶函数及了(％+2)=/(一x)便可得到：/(x)=/(-x)=/(-%+2),可设七,

x2e［0,l］,且不<々，根据Ax)在［1,2］上是减函数便可得出/&)</(%),从而得出Ax)在［0』上单调递增，再

根据对数的运算得到。、b、。的大小关系，从而得到〃a)J0)J(c)的大小关系.

【详解】

c=log2=-1

解：因为lnl<ln2<lne,即又=1

2

设%根据条件，f(x)=/(-%)=/(-%+2),-x+2e[l,2]；

若再，马e[0,l],且玉vx?9则：—玉+2>—x?+2；

/(x)在［1,2］上是减函数;

.•J(f+2)</(-%+2)；

</(%);

・・•/⑴在［0』上是增函数；

所以〃。)="2)=〃0),/(c)=/(-l)=/(l)

/(^)</(«)</(<1)

故选:C

【点睛】

考查偶函数的定义，减函数及增函数的定义，根据单调性定义判断一个函数单调性的方法和过程：设玉</，通过条

件比较/(占)与/(々)，函数的单调性的应用，属于中档题.

二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。

13、1.

【解析】

试题分析：由题意，可看作五个位置排列五种事物，第一位置有五种排列方法，不妨假设排上的是金，则第二步只能

从土与水两者中选一种排放，故有两种选择不妨假设排上的是水，第三步只能排上木，第四步只能排上火，第五步只

能排上土，故总的排列方法种数有5x2xlxlxl=l.

考点：排歹!J、组合及简单计数问题.

点评：本题考查排列排列组合及简单计数问题，解答本题关键是理解题设中的限制条件及“五行”学说的背景，利用分

步原理正确计数，本题较抽象，计数时要考虑周详.

【解析】

化简函数，求出〃龙)在［0,»］上的单调递增区间，然后根据〃尤)在0,-和［3m,村上均单调递增，列出不等式求

解即可.

【详解】

由/(x)=sin2x+cos2x=A/2sin(2x+工)知，

4

当xe［0,句时，/(x)在［0,g］和苧，乃上单调递增，

8X_

/(%)在0,—和［3%句上均单调递增,

m〈兀

,万一百

.5n'

3m>——

[8

5%—71

——<m<一,

244

5%n

m的取值范围为:

24

5万n

故答案为:

24*7,

【点睛】

本题主要考查了三角函数的图象与性质，关键是根据函数的单调性列出关于机的方程组，属中档题.

15、-1

【解析】

由约束条件作出可行域，化目标函数为直线方程的斜截式，数形结合得到最优解，把最优解的坐标代入目标函数得答

案.

【详解】

由图可得，当直线y=2x+z过点3时，直线在y轴上的截距最大，

x+y=2（x=l/、

由'得，即6（1,1）,贝！|z有最大值z=1—2=—1,

[y=i

故答案为-1.

【点睛】

本题主要考查线性规划中利用可行域求目标函数的最值，属简单题.求目标函数最值的一般步骤是“一画、二移、三求”:

（1）作出可行域（一定要注意是实线还是虚线）；（2）找到目标函数对应的最优解对应点（在可行域内平移变形后的

目标函数，最先通过或最后通过的顶点就是最优解）；（3）将最优解坐标代入目标函数求出最值.

1

16、——

4

【解析】

根据程序框图得到程序功能，结合分段函数进行计算即可.

【详解】

log,（2%+1）,^<0

解：程序的功能是计算y=卜,

2,x>Q

若输出的实数y的值为-i,

则当尤<0时，由1。82（2%+1）=—1得了=-；,

当%>0时，由2%=—1，此时无解.

故答案为：4

【点睛】

本题主要考查程序框图的识别和判断，理解程序功能是解决本题的关键，属于基础题.

三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

2

17、(1)匕+无2=1(2)是定值，详见解析

4

【解析】

a=2

(1)根据长轴长为4,离心率e=@,则有，£=g求解.

2a2

a2-b2=c2

(2)设P(毛,%)(%>0,%>0)，则4/2+为2=4,直线%x-i),令尤=0得，y”=—则

%-1

\BM\=\2-yM\,直线尸3:1=止2%+2,令y=0,得/=二^,贝！］|⑷V|=卜赤|，再根据

X2%_2

S"MN—~(SAM42V~^^PAN)—(^ABAN~^APAN)=^AMAN—^^BAN求解・

【详解】

a=2

c_A/3

(1)依题意得

a2

a2-b2=c2

a=2

解得

b=l

2

则椭圆C的方程乙+炉=1.

4

(2)设>0,%>0),则4/2+为2=4,

直线PA：y=%

5—1

令X=0得，坨=-^7,

%—1

贝!|忸M=|2_%|=2+3

%0—1

直线P5:y=如二x+2,

令y=0,得乐=-，

%-2

则=—4=1+&|,

一^APMN-^APAB=(S^MW-^APAN)—(^ABAN~^APAN)=^AMAN~~^ABAN

=-\AN\-\BM\=-2+^-1+^^=2.

22x()—1%-21

【点睛】

本题主要考查椭圆的方程及直线与椭圆的位置关系，还考查了平面几何知识和运算求解的能力，属于中档题.

18、见解析

【解析】

(1)由题可得X的所有可能取值为3,4,5,6,

11212

且尸(X=3)=(-)3=—,P(X=4)=C^X-X(-)2=-,

P(X=5)=C；x(|)2x|=|,尸(X=6)=(|)3=:，

所以X的分布列为

X3456

1248

P

279927

1o4R

所以X的数学期望E(X)=3x万+4乂§+5、+6*药=5.

192

(2)由题可得《+2=］与+1+§C，所以匕+2-匕+1=-§(匕+1-5)，

又＜=1葭£=；?+少1=7?所以七一£=4占0,

42

所以｛EM-月｝是以§为首项，为公比的等比数列.

(3)由(2)可得%=(%—%)+(%-舄7)++(£-《)+6

^x[l-(-1)98]

134

H--=---------x

i+23515

3

V31,

19、(1)(2)—,1

2

【解析】

(1)根据。=1,得到函数/Xxhsinx+cosa+J),然后，直接求解的值;

O

rr

(2)首先，化简函数/(x)=sin(Gx+]),然后，结合周期公式，得到。=2,再结合工£0,,及正弦函数的性

质解答即可.

【详解】

71

(1)因为。=1,所以/Cx)=sinx+cosX+—

7171TC_V3

——l-COS—+—

336一2

(2)因为/(x)=sincox+cosa)x+—

I6

.兀.

sincox+coscoxcos---sincoxsi.n—71

66

22

=sin

Icox+—3

即/(x)=sin[ox+g

2〃

因为T=——=兀，所以G=2

CD

所以/(x)=sin新+g

冗

因为XCt

~,c717n1357万T

所以2%+不£—

336

所以当x=0时，f(x)力.当》=工时，/3=1(最大值)

212

77]

当％=:时，/(%)=-

42

77"JTJT

/(X)在0,—是增函数，在—是减函数.

12124

・••/(x)的值域是1,1.

【点睛】

本题主要考查了简单角的三角函数值的求解方法，两角和与差的正弦、余弦公式，三角函数的图象与性质等知识，考

查了运算求解能力，属于中档题.

22_

20、(1)?+1_=1(y/O).(2)四边形的面积是定值，其定值为

【解析】

⑴根据三角形内切圆的性质证得|C4|+|CB|=4>MM，由此判断出C点的轨迹为椭圆，并由此求得曲线G的方程.

(2)将直线/的斜率分成不存在或存在两种情况，求出平行四边形QWZW的面积，两种情况下四边形QWDN的面

积都为甚,由此证得四边形OMDN的面积为定值.

【详解】

(1)因为圆后为小ABC的内切圆，所以|C4|+|CB|=|CP|+|CQ|+|B1|+|QB|=2|CP|+|AK|+|5R|=2|CP|+|45|=4>|AB|

所以点C的轨迹为以点A和点3为焦点的椭圆(点。不在*轴上)，

所以c=yp2,a=2,b=,

22

所以曲线G的方程为L+2L=I(y^O),

42

(2)因为QM+QN=8,故四边形QWZW为平行四边形.

当直线I的斜率不存在时，则四边形QWDN为为菱形，

故直线MN的方程为x=-1或x=l,

此时可求得四边形OMDN的面积为痛.

当直线I的斜率存在时，设直线I方程是y=kx+m,

代入到—+—=1^(l+2k2)x2+4kmx+2m2-4=0,

42

-4km2m2-4

/.X1+X2=-----------三,X1X2=——2左24=8(4幺+2-zw2)>0,

l+2k2

.,.yi+y2=k(xi+X2)+2m=心?,\MN\=71+A:2x2aE+2-/

J.十乙K1+2左2

点o到直线MN的距离d=~r=,

J1+左2

—A/fYj

由。M+ON=8,得知=।”,=--7T，

1+2左-\+2k~

•.•点O在曲线C上,所以将D点坐标代入椭圆方程得l+2k2=2m2,

由题意四边形OM0V为平行四边形,

2虎义，4左2+2—刃22^2|m|14k2+2-疗

OMDN的面积为S=Jl+rx

1+2公1+2公

由l+2k2=2m2得S=,

故四边形OMDN的面积是定值，其定值为#.

【点睛】

本小题主要考查用定义法求轨迹方程，考查椭圆中四边形面积的计算，考查椭圆中的定值问题，考查运算求解能力，

属于中档题.

21、(1)证明见解析；(