浙江省部分学校2023-2024学年高一年级上册12月联考数学试卷(含答案)

浙江省部分学校2023-2024学年高一上学期12月联考数学试卷

学校：___________姓名：班级：___________考号：

一'选择题

1.集合｛a,"的真子集个数为（）

A.3B.4C.5D.6

2.若pHx>l,X2-3X+2>0,则p的否定为（）

A.1»x2-3x+2<0B.Bx<1»x2-3x+2<0

C.V%<1>x~—3x+2<0D.X/x>1,%2—3x+2<0

3.若a>0,b>0,贝1]“。+/221”是“2而21”的（）

A.必要不充分条件B.充分不必要条件

C.充要条件D.既不充分也不必要条件

4.若一圆弧长等于其所在圆的内接正三角形的边长，则此圆弧所对的圆心角«的弧

度数为（）

兀

AA.—B.-C.A/3D.2

32

I2sinq-cosa/、

5.已知P（l,3）为角a终边上一点，则1Th.c=()

sma+2cosa

A.-7B.lC.2D.3

6.若机<“，p<q,J=L(77-m)(77-77)<0>(q-ni)(q-n)<0)则()

A.m<p<n<qp<m<q<n

C.m<p<q<nD.p<m<n<q

"3A,x<l

7.已知函数/(x)=ioggx〉i，则函数y=/(l—x)的大致图象是()

8.已知关于x的一元二次不等式32—3%+1<0的解集为（。力），则£+3介的最小值是

（）

A.2B.20C.3D.36

9.函数/（%）=lnx,已知实数》1>0,n>0,且机wzi,则下列命题正确的是（）

A.若=,贝1）/〃+"22

B.若叫,则1<加<〃

C.存在机〉〃，使得/（2m）</（2"）

m+n〉/(加)+/(〃)

恒成立

22

二、多项选择题

10.已知。>0,b>0,则下列各式正确的是（）

1\

a§=-6b

7

11.已知sin[]+a)=^

且一3<[<3，贝1Jtan（7i+o）的值可能是（）

C

院一6B「£TD.6

12.已知定义在R上的偶函数满足/（2-x）+〃x）=0,则下列命题成立的是（）

A.〃尤）的图象关于直线x=1对称

B./（3）=0

C.函数/（x-1）为偶函数

D.函数〃x+l）为奇函数

三、填空题

13.已知累函数/（%）=（加—1）才"的图象过点M（2,a）,贝.

14.在中国，周朝时期的商高提出了“勾三股四弦五”的勾股定理的特例，其中“弦”指

的是直角三角形的斜边.现将两个全等的直角三角形拼接成一个矩形，若其中一个三角

形“弦”的长度为4,则该矩形周长的最大值为.

15.已知实数MlogaZ?+logba=—,则lnb-41n〃=.

四、双空题

16.已知函数/1(%)=卜一一2|X|TX"0,则函数/(月的零点为________；若关于x

[lgx-l,x>0

的方程[/(x)T+时(x)+l-3疗=0有5个不同的实数根，则实数m的取值范围是

五、解答题

17.已知集合A={x|2WxW8},B=[x\m-l<x<4m}.

(1)若m=1,求AB；

(2)若AqB,求实数机的取值范围.

18.在平面直角坐标系x°y中，角e以x轴的非负半轴为始边，它的终边与单位圆

x*2*57+y2=1交于第二象限内的点P(m,n).

/，、#3十口2sin(兀+a)+cosa/士

(1)右〃=一,求tana及一/——叱------的1V值l；

5(兀)

cos—+a|+2cosa

(2J

7_

(2)若sintz+costz=—，求点尸的坐标.

13

19.某园林建设公司计划购买一批机器投入施工.据分析，这批机器可获得的利润y

(单位：万元)与运转时间x(单位：年)的函数关系式为y=-炉+14x-4(%<13,

且xeN*)

(1)当这批机器运转第几年时，可获得最大利润？最大利润为多少？

(2)当运转多少年时，这批机器的年平均利润最大？

20.函数〃力=霍^是定义在(-1,1)上的奇函数，且

(1)求/(%)的解析式；

(2)利用单调性的定义证明/(%)在(-1,1)上为增函数；

(3)解不等式/(X—l)+/(2x)<0.

21.已知函数/(%)=(%-2)(2*-a),aeR

(1)当a=l时，解关于x的方程/(x)=0；

(2)当尤23时，恒有求实数a的取值范围；

(3)解关于龙的不等式NO.

22.设a,b,mcR,若满足,则称a比6更接近利

(1)设26比«+1更接近0,求x的取值范围；

(2)判断“》+了-2加＜一J,是“x比1更接近加，的什么条件,并说明理由;

九一y

(3)设尤＞0且x/6，y=色，试判断x与y哪一个更接近

X+1

参考答案

1.答案：A

解析：根据题意可知集合{。，耳中有3个元素，所以共有22-1=3个，

即有0,{a},{"三个真子集.

故选：A.

2.答案：D

解析：命题pHx>l,X?-3x+2>0是存在量词命题，其否定是全称量词命题，

所以命题p的否定为X/x>l,X2-3X+2<0.

故选：D.

3.答案：A

解析：取a=l,b=-,满足a+1,但2A/^=2<1,充分性不满足；反过来，

93

a+b>24ab>l^AL,故必要性成立.

故选：A.

4.答案：C

解析：不妨设正△ABC的外接圆半径r=2,圆心为。，

取的中点为。，连接A。，0C,易知。在A。上，且NOC8=30。，AD±BC；

如下图所示：

在中，OD=-OC=1,所以CD=百，BC=2^；

2

依题意可知该圆弧长/=BC=26，

所以圆心角叵=6.

r2

故选：C.

5.答案：B

解析：尸(1,3)为角c终边上一点，故tana=3,故2siwc°sj2tana-l=」=]

sina+2cosatana+25

故选：B.

6.答案：C

解析：因为(p-根)(p-〃)<0,

所以相和“一个大于p,一个小于p,

因为机<〃，所以机<p<〃，

因为，

所以相和〃一个大于q,一个小于q,

因为m<〃，所以/<q<〃，

因为p<q,

所以m<p<q<n,

故选：C.

7.答案：D

3\%<1

解析：因为函数〃x)=logIX,x〉l，

、3

3、20

所以函数/(I)=<log](I),x<0,

、3

当x=0时，y=/(l)=3,即y=〃l一力的图象过点(0,3),排除A；

当x=—2时，y=/(3)=-l,即y=〃l—x)的图象过点(―2,-1),排除B；

当工<0时，1一%>1,/(l-x)=logj(l-x)<0,排除C,

3

故选：D.

8.答案：A

解析：由一元二次不等式侬一3%+1<0的解集为(a,。)可得加>0,

八

a+b7=一3>0

利用韦达定理可得m，即可得Q+/?=3〃Z?,且〃>0,b>0,—+—=3；

71cab

ab=—>0

m

所以可得3+3ab=--+3ab=3a-l+a+b=4a+b-l；

bb

易知4a+b—1」仕+口（4。+人）—1」。+。+网+1]—12工（5+2、祖至]—1=2,

31ab）'7abJ3[\ab）

当且仅当小?即X时等号成立;

即幺+3"的最小值是2.

b

故选：A.

9.答案：D

解析：由/(x)=lnx,可知函数/(%)在(0,+8)上单调递增，

若|/(叫，则/(m)=一/(〃)，即ln/〃=一ln〃=lnL可得加=1,

A选项：m+n>2y［mn,当且仅当m="时等号成立，又mWn,贝Un?+〃>2,A选项

错误；

B选项：mn=l,m丰n,则0<相<1<〃或0<〃<l<〃z,B选项错误；

C选项：若用〉%则2m>2",则/(2.)>/(2")恒成立，C选项错误；

D选项：由/［智］=ln智，叽皿丁=ln屈,

又加"“2dmn，当且仅当根=〃时成立，又m半n,所以加十">J加―，贝(J

22

In二产>ln而?，即/"+"""〃)，D选项正确；

故选：D.

10.答案：ABD

解析：A选项：由兀-3>0,得《(n-3)4=n一3,A选项正确；

B选项:=a0b0=1,B选项正确;

m[

C选项：a，C选项错误;

N0m

2_i（2_i_IA_i_r_n2

333

D选项：4川a§+——=-6a^b=-6b9D选项正确;

、3?

故选：ABD.

11.答案：BC

解析：由题意得sin[]+a)=cosa=

tan（7i+a）=tana,

7C71

因为-一<a<一9

22

当一工<a<0时，因为cosa=——，所以sina=-Jl—cos2a=——,

222

此时tanc=包区=-走，故B项正确；

cosa3

当0<cr<二时，因为cosa=,所以sina=A/1-COS2a=—,

222

止匕时tana="q=且，故C项正确.

cos(73

故选：BC.

12.答案：BD

解析：因为函数八％)为偶函数，

所以函数八％)关于y轴对称，H/(2-x)=/(x-2),X/(2-x)+/(x)=0,

所以/(x_2)+/(x)=0,且/(x_2)=_/a)=_[_〃x+2)]=/(x+2),

所以函数/(%)关于点(-1,0)中心对称，且周期为4,

所以函数/(%)关于(1,0)对称，A选项错误；

/(3)=/(-1)=0,B选项正确；

〃x-l)由〃％)向右平移一个单位得到，则“％-1)关于点(0,0)对称，为奇函数，C

选项错误；

/（x+1）由〃龙）向左平移一个单位得到，则〃x+l）关于点（0,0）对称，为奇函数，D

选项正确.

故选：BD.

13.答案:4

解析：由函数/（x）=（加-1）缶为幕函数,得m-1=0,即机=2,

所以〃耳=公，

又函数/（X）过点M（2,a）,

则a=〃2）=22=4,

故答案为：4.

14.答案：872

解析：设直角三角形的两条直角边长分别为a,b,则/+步=42=16,a,b>0,

矩形周长为2（a+»,

（a+b）"=a2+b2+2ab<a2+b2+a2+b2=2^a2+b2^=32,^a+b<472,

当且仅当。=b=2夜时等号成立，

故周长的最大值为8a.

故答案为：872.

15.答案：0

17

解析：由log/+log/=1，换成以e为底，

可得她+电£=

InaIn/74

、几In/?117

设"——，贝!h+-=—,

Inat4

解得"4或yL

4

又b>a>\,lnZ?>lna>0,贝卜=^^>1,

ina

所以1=4,即]nb=4]na即In/?—41na=0,

故答案为：0.

16.答案：①.x=—1—万和x=10②:一1|,lj

解析：根据题意可得当xWO时，/(%)=%2+2%-1,

令/(x)=0,解得x=-1-0或x=-1+0(舍)；

当尤＞0时，/(x)=lgx-l,令/(x)=0,解得x=10,

所以可得函数的零点为X=-1-后和x=10;

令/(x)=t,贝!J方程［/(x)丁+时(x)+l-3/=0可转化为V+mt+l-3m2=0；

结合图象可知，当/«-2,-1］时，函数y=/与函数“%)有三个交点，

当/=-2或，＞-1时，函数y=f与函数/(%)有两个交点，

当》＜-2时，函数y=f与函数/(%)有一个交点；

若关于x的方程［/(x)］2+何•(x)+1-3疗=0有5个不同的实数根，

则方程产+皿+1-3〃/=0有两个不相等的实根％,t2,且满足4G(-2,-1］,与=-2或

t2＞—1;

若J=—2可得3根2+2根—5=0,解得叫=1,m2=—；

经检验当叫=1时，方程〃+加r+1-3根2=0即为r2+r—2=0,解得％=14=—2,不合

题意；

当网=—：时，关于/的方程可化为3/一5-22=0,解得^=-2,不合题

思；

所以可知方程》+布+1-3/=0有两个不相等的实根小需满足42,-1］且

三>一1；

若(£(―2,—1),

A=m2-4(l-3m2)>0

59

故<(-1)2-m+1-3m2<0解得一一—,

33

(-2)2-2m+l-3m2>0

、2

若%=—1,可得3加2+根—2=0,即加3=—1或m4=§；

检验当必=-1时，关于看的方程可化为—2=0,此时％=-1,t2=2>-l,满足题

思；

71

当砥=；时，关于/的方程可化为3产+2-1=0,此时乙=-1,?2=1>-1,满足题

思；

59

综上可知，实数机的取值范围为——或一<根<1,

33

所以实数m的取值范围是［-*-1

故答案为：x=—l—后和x=10；

17.答案：(1)AB={x|2<%<4}

(2)2<m<3

解析：(1)由机=1可得6={x|0WxW4},

由A={x|2WxW8}可得AB={x|2<x<4}.

m-1<2.

(2)若可得<,解得n2«加工3,

4m>8

所以实数机的取值范围是2WmW3.

311

18.答案：(1)--；—

410

⑵

解析：(1)由已知角a的终边与单位圆一+/=1交于第二象限内的点

则sina=〃，cosa=m,tantz=一，m2+n2=1,且根<0,

m

由〃=3,得7〃=—J]-"=,

55

3

则tancr=—=)

m_44

-5

再由诱导公式可得

2sin(兀+a)+cosa-2sina+cosa-2tana+1I3)11

\Ji\c-sina+2cosa-tana+2.\4।_10

cos—+a+2cosa-lx——+2

U)I3j

77

(2)由sincr+costz=-,z得m+/t=一，m<0,n>0,

1313

又加2+〃2=1,贝(J+〃)2=m2+n2+2mn=1+2mn=-4-9-,解/得=---6-0，

,7169169

所以3崎=-2加=1+以=空

'7169169

一17

所以n—m--

13

12

所以加=—-—n=—,

1313

即

19.答案：(1)当这批机器运转第7年时，可获得最大利润，最大利润为45

(2)当运转2年时，这批机器的年平均利润最大

解析：(1)由y=-%2+14x-4=-(x-7y+45,x<13,

可知当x=7时，y取最大值为45,

即当这批机器运转第7年时，可获得最大利润，最大利润为45.

-x2+14x-44

(2)由已知可得年平均利润s=』=-x--+14=-XH---+14,

XxXX

x<13,

则s=—、+3卜14<—26+14=10,

当且仅当x=±,即x=2时，等号成立，

X

即当运转2年时，这批机器的年平均利润最大.

20.答案：(1)=XG(-1,1)

(2)证明见解析

⑶M

解析：(1)对于都有—所以x)=M1；

又函数/(x)=竺当是定义在(-1,1)上的奇函数,

1+X

所以/(—%)=—/⑴，即表在=—三子，可得人=0,所以〃x)=U；

1

-CL

33,

3历”历，解得Q=l;

所以〃力=占

J.\Ji

因此/(%)的解析式为

1+X

（2）取Vxjx2e（-l,l）,且x<X2.

西（1+舅）―々（1+硝_（%1_々）（1_石々）

则人)-〃6亡-士（1+%；）（1+考）（1+1乂1+1）

因为Xi，x2,且石<%2，所以占一刀2<0，芯%2<1，BP1-x{x2>0,

可得(；」?，：—笑)<0,所以〃％)_/5)<0,即〃%)</«)；

(1+%)(1+超)

所以"％)在(-1,1)上为增函数.

(3)将不等式/(x—1)+/(2”<0转化为/(1—1)<—/(2”,

又/(%)是定义在(-1,1)上的奇函数，所以可得/(X-1)</(-2%),

x—1<一2%

再根据(2)中的结论可知<-l<x-1<1,解得0<%<!；

-1<2X<1

即不等式"x-1)+/(2力<0的解集为0,；.

21.答案：(1)x=2或x=0

(2)(-00,7]

(3)答案见解析

解析：(1)当a=l时，方程/(x)=0即为/(x)=(x—2)(2*—1)=0,

解得％=2或x=0.

(2)当xN3时，不等式/(%”1可化为。<2£———,

x—2

依题意可知，需满足。<(2工-——

，xe[3,+co),

(x-2min

由于函数y=2,在［3,+oo)上单调递增，函数y=-—匚在［3,包)上单调递增；

x—2

所以函数y=2'-」一在[3,+oo)上单调递增，因止匕义]=23--1-=7,

x-21x_2ymjnJ-2.

即实数。的取值范围是(-8,7］.

(3)由/(x)20可得(x—2)(2「a”0,

①当aWO时，可得2，-。>0,不等式等价x-2>0,此时不等式解集为［2,+8)；

②当0<a<4时,方程(x—2)(2*—a)=0有两根，即芭=2,x2=log2a,且

2>log2a；

此时不等式解集为［2,+co)(^»,log2a］；

③当。=4时，方程(1-2乂2:a)=0仅有一根，即x=2,此时不等式解集为R；

④当a>4时，方程(1-2乂2*-々)=0有两根，即西=2,x2=log2a,且Zvlog?。；

此时不等式解集为［logz。,”).(Y),2］.

22.答案：(1)[0,1)

(2)充分不必要条件，理由见解析

(3)y更接近石

解析：(1)根据题意可得已五'-。)<^Vx+1-oj,BP3x—2y[x—1<0；

可得+1)<0,解得0Wx<l；

即x的取值范围为[0,1).

(2)充分性：显然xwy,由虫二四<_1可得也出1,

①若x-yvO,贝！J—加)+(y-m)>y-%,可得%—根>0；

又x-yvO可得xvy,所以根>0；

即可得(％-加丫<(y-加了,此时可以得出匕比y更接近W；

②若x-y>0,贝!J(x-加)+(y-m)vy-x,可得x-m<0；

又x-y>0可得x>y,ff(^X0>x-m>y-m；

即可得(尤-根丫v(y-mF,此时可以得出匕比y更接近W；

因此充分性成立.

必要性：由x比y更接近机可得