江西省鹰潭市2023-2024学年高二年级上册期末数学试题 附答案

鹰潭市2023-2024学年度上学期期末质量检测

高二数学试卷

本试卷分第I卷（选择题）和第II卷（非选择题）两部分，共4页.时量120分钟.满分150分.

一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项

是符合题目要求的，请将正确答案的序号填涂在答题卡上.

22

1.若双曲线鼻-与=1（。〉0］〉0）的离心率为2,则该双曲线的渐近线方程为（）

ab

A.+y=0B.x±Sy=0

C.x±y=0D.-\/5x+y=0

2.关于（x,y）的一组样本数据（L—1）,（2,—3）,（3.5,-6）,（5,—9）,…,（30.5,-60）,的散点图中，所有样本点均

在直线y=-2x+l上，则这组样本数据的样本相关系数r为（）

A.-2B.-lC.lD.2

3.已知正方体ABC。-AgGA的棱长为2,点尸为线段BG上的动点，则点P到直线AC的距离的最小值

为（）

A.1B.巫C.^~D.—

234

4.若直线］：2x—y+3=0关于直线/:%—y+2=0对称的直线为％则"的方程为（）

A,2尤+y+l=0B.尤+2y—1=0

C.x+y=0D.无-2y+3=0

5.按照编码特点来分，条形码可分为宽度调节法编码和模块组合法编码.最常见的宽度调节法编码的条形码是

“标准25码”，“标准25码”中的每个数字编码由五个条组成，其中两个为相同的宽条，三个为相同的窄条，

如图就是一个数字的编码，则共有多少（）种不同的编码.

A.120B.60C.40D.10

6.古希腊数学家阿波罗尼奥斯首次提出了圆锥曲线的光学性质，其中之一的内容为：“若点P为椭圆上的一

点，耳、鸟为椭圆的两个焦点，则点P处的切线平分二号尸心外.根据此信息回答下列问题：已知椭圆

+?=为坐标原点，/是点p（2,、历）处的切线，过左焦点耳作/的垂线，垂足为河，则

为（）

A.272B.2C.3D.2.73

7.若甲盒中有2个白球、2个红球、1个黑球，乙盒中有x个白球（xeN）、3个红球、2个黑球，现从甲盒中

随机取出一个球放入乙盒，再从乙盒中随机取出一个球，若从甲盒中取出的球和从乙盒中取出的球颜色相同

的概率大于等于£,则光的最大值为（）

12

A.4B.5C.6D.7

8.已知圆/：/+（y—2）2=1和直线/：y=龙，点尸为直线/上的动点，过点尸作圆M■的切线PAPB,切

点为AB,当最小时，直线AB的方程为（）

A.x-y-l=OB.x-y+l=O

C.2x—y+1—0D.2x—y—1=0

二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的四个选项中，有多项符

合题目的要求.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.

9.下列命题中，正确的命题有（）

A.设随机变量X〜则O（X）=5

B.若样本数据石,々，•，%的方差为3,贝IJ数据3%—2,3々—2,,3/一2的方差为25

C.天气预报，五一假期甲地的降雨概率是0.3,乙地的降雨概率是0.2,假定这段时间内两地是否降雨相互没

有影响，则这段时间内甲地和乙地都不降雨的概率为0.5

D.在线性回归模型中，尺2表示解释变量对于预报变量变化的贡献率，R2越接近于1,表示回归的效果越好

10.下列命题中正确的是（）

A.«=（x,2,l）,Z?=（4,—2+x,x）,a与b夹角为钝角，则4的取值范围是

B.在空间直角坐标系中，已知点。（1,2,3）,点尸关于坐标原点对称点的坐标为（—1,一2,—3）

C.若对空间中任意一点。，有0。=工。4+工。3+工。。，则P,A,&C四点共面

442

D.任意空间向量满足=a•伍•<?）

11.已知直线/：/nx+y=0与圆C：犬+/_2x_4y—4=0相交于A,8两点，贝I（）

A.直线/过定点（0,1）B.圆C的半径为3

C.当m=0时，|AB|=2君D.圆心。到直线/的最大距离是2

12.已知抛物线C：V=2px（p>0）与圆0：必+）?=5交于A、B两点，且|Afi|=4,直线/过C的焦点?，

且与。交于MJV两点，则下列说法中正确的是（）

A.p=2

11

B'|MF|+pV^-

C.存在某条直线/,使得耳+2|即|=5

D.若点G（2,2）,贝/GFM周长的最小值为3+6

第II卷非选择题

三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.

13.已知随机变量X服从正态分布N（2,（y2）,若尸（X,,a）=0.32,则P（a<X”4—a）=.

14.已知点A（l,、/）在抛物线C：/=2°x上，则A到C的准线的距离为.

15.在（1+幻3+（1+幻4+―+（1+为1。的展开式中，含/项的系数是.

22

16.设双曲线r：二-3=i（a〉o力〉0）的左、右焦点分别为耳和工，以r的实轴为直径的圆记为。，过点

a~b~

3

写作c的切线/,/与r的左，右两支分别交于A8两点，且cos/KB&=y,则：r的离心率的值为

四、解答题：本题共6小题，第17题10分，第18-22小题各12分，共70分.解答应写出文字

说明、证明过程或演算步骤

17.已知圆C:/+;/—4y+3=0,直线/:%+，盯T=0

（1）当直线/与圆C相交时，求机的取值范围.

（2）若。为直线/与x轴的交点，过。作圆。的切线，求切线的方程.

18.已知①展开式中的所有项的系数之和与二项式系数之和的比为243:32；②展开式中的前三项的二项式系

数之和为16,在这两个条件中任选一个条件，补充在下面问题中的横线上，并完成解答.

问题：己知二项式

(1)求展开式中的二项式系数最大的项；

(2)求展开式中的系数最大的项.

19.积化和差的重要应用在于求解傅里叶级数.为了解学生掌握该组公式的情况，在高一、高三两个年级中随机

3

抽取了100名学生进行考查，其中高三年级的学生占g,其他相关数据如下表:

合格不合格总计

高三年级学生54

高一年级学生16

总计100

(1)请完成2义2列联表，依据小概率值a=0.001的独立性检验，分析“对公式的掌握情况”与“学生所在年

级”是否有关？

(2)以频率估计概率，从该校高一年级学生中抽取3名学生，记合格的人数为X,求X的分布列和数学期

望.

附表及公式：

a0.10.050.010.0050.001

X22.7063.8416.6357.87910.828

”(a+b)(c+d)(a+c)(b+d)，^C^n~a+i>+C+^

20.6位同学报名参加2022年杭州亚运会4个不同的项目(记为A,B,C,D)的志愿者活动，每位同学恰报

1个项目.

(1)6位同学站成一排拍照，如果甲乙两位同学必须相邻，丙丁两位同学不相邻，求不同的排队方式有多少

种？

(2)若每个项目至少需要一名志愿者，求一共有多少种不同报名方式？

(3)若每个项目只招一名志愿者，且同学甲不参加项目A,同学乙不参加项目。，求一共有多少种不同录用

方式？

21.如图，在四棱锥P—ABCD中，底面A3CD是边长为2的菱形，NADC=60,..24。为正三角形，0

为的中点，且平面平面是线段PC上的点.

(2)是否存在点M，使得直线AM与平面的夹角的正弦值为亚，若存在；求出此时小的值;

10PC

若不存在，请说明理由.

22.如图所示，分别为椭圆三+丁=1(。〉1).的左、右顶点，离心率为Y3.

a-2

(1)求椭圆的标准方程；

(2)过人点作两条互相垂直的直线MA,MB与椭圆交于两点，证明直线A5过定点，并求面

积的最大值.

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高二数学参考答案

1-8ABCDDACB

9.AD10.BC11.BCD12.ABD

916.巫

13.0.3614.-15.164

42

1.A【解析】由题意可知，e=2,则2=/二£1=J7=1=

a\a

所以双曲线的渐近线方程为y=±氐，即gx±y=0.

2.B【解析】因为所有样本点都在直线y=-2X+1上，所以回归直线方程是y=-2x+l,

可得这两个变量是负相关，故这组样本数据的样本相关系数为负值，

且所有样本点都在直线上，则有H=1,相关系数r=-l，

3.C【解析】正方体ABCO-AiBiCbDi的棱长为2,点尸为线段BQ上的动点，

以。为坐标原点，D4、OC、所在直线分别为无轴，y轴，z轴，建立空间直角坐标系，

则A(2,0,0),C(0,2,0),B(2,2,0),设尸(2-t,2,力，(0<Z<2),

BP=(T,Oj),AC=(-2,2,0),AB=(0,2,0),

y

设异面直线的公共法向量为〃=(x,y,z),

AC•〃=-2x+2y=0

则，，，取x=l,得〃=

BP-n=-tx+/z=0

・•・点尸到直线AC的距离为：

,2_273

斤飞F，

点P到直线AC的距离的最小值为马8.

3

2x—y+3—0x——1/、

4.D【解析】联立〈°八，解得，，即4与/的交点为（-M）.

x-y+2=0[y=l''

又点A（0,3）在4上，设A关于/的对称点为A（叫,

b-3,

-------二一]（1

Z7-0〃=1/、

则二八。，解得，c,即A（L2）,

a+0^+3|2-0小=2”）

、22

所以直线k的斜率k=二力=1,

从而直线4的方程为y—2=g（x—1）,

即x~2y+3=0.

5.D【解析】由题意可得，该题等价于将5个元素（3个分别相同、2个分别相同）排成一列的所有排列数

A5

N=^^=10.

国6

6.A【解析】如下图所示:

延长片交于点N,由题意可知NEPM=NNPM,

又因为则人为耳N的中点，且归胤=归叫，

所以，怩M=|ZW|+归阊=|P£|+=2a=40,

又因为。为耳鸟的中点，则|（W卜;优N|=；x4&=2j5.

7.C【解析】设第一次从甲盒取出白球，红球，黑球的事件分别为A,4,4,

从甲盒中取出的球和从乙盒中取出的球颜色相同的事件为8,

则尸伊）=尸（A）尸（阴4）+尸（4）尸（阴4）+尸（A）尸（初A）

2x+i24132x+13、5

5x+65x+65x+65（x+6）12'

解得x<6,则％的最大值为6.

【解析】由题意可得：

8.BSPAM=||PM|.M=1|AP|.|AM|,

\PMf\PM\

要使得|A却最小，只需直线上的动点p到点”的距离最小，其最小值是圆心（0,2）到直线y=x的距离，此

|2|厂

时4=-=0,且满足

所以此时直线的方程为：y-2=-l（x-0）,即y=-x+2,

联立，解得：\,即（）

b=101,1,

由于P,M四点共圆，以|加|为直径的圆的方程

+y2-x-3y+2=0

即：f+y2—x—3y+2=0,联立两个圆的方程<

+(>-2)2=1

得到直线的方程为：x-y+l=0.

9.AD【解析】选项4,随机变量X〜则D（X）=20xgx[l—；）=5,故A正确;

_]W

选项3,由题意，设原数据组占,％,・，%0的平均数为元=高工引，

10i=i

110

方差为1一元）2=3，

10i=l

则新数据组3石—2,3々—2,…,3石。—2的的平均数为

110

则方差为6Z[3玉—2-（3元一2）「

1。1=1

110110

=6X（3%—3可一=9X6X（%—可一=9$2=27,故B错误；

选项C,由题意，甲地不降雨的概率为0.7,乙地不降雨的概率为0.8,

由相互独立事件同时发生的概率公式得0.7x0.8=0.56,故C错误；

£”）2

选项。，由决定系数表达式尺2=1-胃---------，

Zu-y）2

Z=1

R2表示解释变量对于预报变量变化的贡献率，

且尺2越接近于1,表示回归的效果越好，故选。正确.

10.BC【解析】对于选项A：由〃.0＜（）,可得4x+2（—2+x）+x＜0,解得冗＜,；

由a力共线可得a=劝，即有x=4X,2=2（x-2）,l=2x,解得x=—2"=—g

4

所以X的取值范围是X<一,且xw—2,故A错误；

7

对于选项8点尸(1,2,3),点尸关于坐标原点对称点的坐标为(—1,—2,—3),故5正确；

1-1一1——111

对于选项c：OP=-OA+-OB+-OC,满足一+—+—=1,故P,AB,C四点共面，故C正确；

442442

对于选项。：(。力>。表示与c共线的向量，人伍々)表示与。共线的向量，二者不一定相等，故。错误.

11.BCD【解析】对A,由初x+y-相=0可得，m(x-l)+y=0,

所以直线/过定点(1,0),A错误；

对8,圆C：/+/一2%-4丁—4=0的圆心为C(l,2),

半径厂=世运还=3,B正确；

2

对C,m=0时，直线/：y=0,

圆心到直线/的距离为2,

所以|AB|=2后Z=26,C正确；

对。，设/过定点。(1,0),则卬=2,

当CD，/时，圆心C到直线/的距离最大，最大为|CD|=2,。正确；

12.ABD【解析】由对称性得点(1,2)在抛物线上，

所以22=2°,解得p=2,故A选项正确；

设直线/和双曲线交于,%),N(x］，先)两点，

设直线方程为工=冲+1,

代入抛物线方程可得：y2-4my-4=0,A=16m2+16>0«

所以=T,%+%=4/77,

所以：

1+11+1_再+々+2_加（弘+为）+44m2+4

-----------I

MF2故选项正确;

\\|NR|X]+lX2+1玉々+玉+%+1（y%）2+皿%|y2H34m+43

16

则M刊+2］版|=(悭同+2|而|)・(」+」)=3+^^+吗之3+20,

11111111\MF\|NF|\MF\|NF|

当且仅当|MF|=I+V2,|A^F|=I+^时等号成立，故c错误；

如图，过点M作准线的垂线，垂足为朋7,交y轴于加|,取的中点为。，过点。作y轴的垂线,

过G作GH垂直于准线，垂足为“，

所以△GFM的周长为附q+|MF|+|GF|=|MG|++石引GW|+6=3+6,

当且仅当点人的坐标为(1,2)时取等号，故D选项正确.

故选：ABD.

13.0.36【解析】随机变量X服从正态分布N(2,(y2),；.〃=2,

由正态分布图像的对称性可得曲线关于%=2对称.

P(X>4-«)=P(X<a)=0.32,

.\P(a<X<4-a)=l-P(X<a)-P(X>4一a)=1—2P(X<a)=0.36.

4

15.164【解析】因为。+x)”的二项展开式为=C：xl"-rx，=C>z,r=0,1,2,

可知(1+x)”的展开式中，含V项的系数是C；,

由(1+X)3+(1+X)4++(1+X)I°的展开式中，

可得一项的系数C；+G+C；+…+C：o=c+C；+C：+C+…+C；o—1

=C：+C：+C"-+C；o-l=C；+C"-+C；o-l=C：]-l=164,

所以含/项的系数是164.

16.史【解析】设直线/与圆C的切点为P,则|OP|=a,OP1PF),

2

由|。凰=0,得|尸盟="0耳『―|0尸『=&2—a2=b，

过点F2作工A3于点。则OP//KQ,

由。为耳弱的中点,得田Q|=2|尸制=2b,|QR|=2|oH=2a,

因为3"%=不"即为锐角’所以sm4时=EB、‘

有忸闾=siJ/耳!片=彳=了，得忸。|=忸鸟|cosN耳时=,x[=弓，

所以用3=国。|+忸Q|=2b+£,由双曲线的定义知，

\BF\-\BF^=2a,即26+日—弓=2a,解得匕=日，

又°2=/+。2,所以。=巫£,所以双曲线的离心率为e=f=M3.

2a2

故答案为：叵.

2

17.【解析】（1）解：由题意，圆。：/+丁2-4y+3=0即为f+（y—2）2=1,

圆心为C（0,2）,半径为r=1.

:直线/与圆C相交，则圆心C到直线I的距离d＜r

|2m-l|4

d—i＜1,即3加2—4加＜0，解得：。＜根＜不.

yjl+m23

•••M的取值范围是|（）,:）.

..•。为直线/与X轴的交点，.•.Q（LO）,则。在圆外.

当过。的直线斜率不存在时，直线方程为尤=1..

此时圆心C（0,2）到直线的距离为d=l=r,则直线x=1为切线

当过。的直线斜率k存在时，设切线方程为y=左（％—1）即依一y—左=0,

\2+k\3

由圆心到切线的距离1=与—=厂=1,解得：k=一一

3

则切线方程为y=—W（x—1），即3x+4y—3=0.

综上，过。作圆。的切线的方程为3x+4y—3=0或％=1.

18.【解析】（1）选①：令x=l得所有项的系数和为3"，又二项式系数和为2"，所以3"：2〃=243:32,

解得：〃=5

2

选②：由题意：C：+C；+C；=16,化简得：n+n-30=01所以〃=5..

所以展开式中的二项式系数最大的项为第三、四项，

因为加1=（2/厂=c；25-x"

521064

即：T3=C|2-X-=80X.

7；Me*"。"=40x

⑵展开式第r+1项为小（2产产”⑵1—

C：25-r>C：+125-(r+1)

由<',,一1、得且reN*，

C；25-r>C；-125-(,-1)

所以厂=1,2,所以系数最大的项为

4103521064

T2=C；2x-=80尤7,T3=cf2-x-=80x..

3

19.【解析】（1）由100名学生中高三年级的学生占g,可知高三年级的学生有60人，高一年级的学生有

40人..

补充完整的列联表，如下:

合格不合格合计

高三年级的学生54660

高一年级的学生241640

合计7822100

.提出零假设“°：”对公式的掌握情况”与“学生所在年级”无关.

士曰短可打年主r+M物短阳，100x（54x16-6x24）25400...

根据列联表中1的数据，得Z"=---------------------------—=--------仁12.59n>10.828=x,.

78x22x60x4039x11n0n0n01

根据小概率值c=0.001的独立性检验，我们推断Ho不成立，即认为“对公式的掌握情况”与“学生所在年级

有关，此推断犯错误的概率不大于0.00L.

243

（2）由（1）得，高一年级的学生对公式的掌握情况合格的频率为一=一.

405

依题意，得乂~513,|

则p(x=o)=

20.【解析】

(1)根据题意先把甲乙看成整体，与除了甲、乙、丙、丁之外的两人进行排列，再把丙丁插空进行排列,

所以共有A>A，A：=144.

(2)先分为4组，则按人数可分为1,1,1,3和1,1,2,2两种分组方式，共有

厂1厂1厂1厂3厂1厂2厂2

种;

A；

/厂1厂1厂1厂3厂1厂1厂2厂2、

再分到4个项目,即可得共有Jj।JxA：=1560.

A；A，A；7

(3)先考虑全部，则共有A：种排列方式,

其中甲参加项目A共有A；种，同学乙参加项目。共有A；种;

甲参加项目A同时乙参加项目。共有A；种,

根据题意减去不满足题意的情况共有A：-2A；+A；=252种..

21.【解析】

(1)证明：连接OC,AC,如图所示，

因为四边形A3CD是菱形，所以AD=CD,

因为NADC=60°,所以,ACD为等边三角形，

又因为。为AO的中点，所以OCLA。

因为,K4D是等边三角形，。为AD中点，所以POLA。，

因为POcOC=O,PO,OCu平面POC,所以A£>_L平面POC

又因为AO〃5C,所以平面POC,

因为PCu平面POC,所以PC,5c.

PC3

因为平面平面ABCD,平面K40C平面ABCD=AT>，

由（1）知，PO±AD,POu平面K4O，所以POL平面ABCD,

因为OC_LA。，以点。为坐标原点，OC,OD,。尸所在直线分别

为x,V,z轴建立空间直角坐标系，如图所示，

则A（0,—l,0）,网后-2,00C（V3,0,0）,网0,0,⑹,

A3=（G,-1,0）,AP=（0,1,73）,PC=（A0,-A/3）

设PM=XPC=2（G,0,—G）=（相/l,0,—G；l）,（0<2<l）,

AM=AP+PM=（0,1,73）+（V32,0,-^/31）=（732,1,73-732）.

设平面PAB的一个法向量加=（%,y,z）,

m-AB=yj3x-y=0

<

m-AP=y+=0

因为直线AM与平面PAB的夹角的正弦值为**，

10

.\AM-m\|2A/32|