2024年高考数学第一轮复习 等差数列 思维导图及练习 含答案

6.2等差数列

思维导图

等差数列的概念

等差数列的概念^^3概念

等差数列的通项

通项的性质

等差数列的性质

前n项和的性质

知识点总结

1.等差数列的有关概念

如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的差都等于那么这个数

定义

列就叫做等差数列，即即+］一即=d（"CN*,d为常数）

通项

设｛斯｝是首项为由，公差为d的等差数列，则通项公式斯=

公式

等差由三个数a,A,8组成的等差数列可以看成是最简单的等差数列.这时，A

中项叫做。与）的等差中项.根据等差数列的定义可以知道，2A=

2.等差数列的前〃项和公式

已知条件前〃项和公式

斯,n

ai,d,n

典型例题分析

考向一等差数列基本量的运算

1.已知等差数列｛斯｝的各项均为正数，其前〃项和为S“且满足06=17,S5=a2a3,则©2=()

A.28B.30

C.32D.35

pii+5d=17,

解析：选D设公差为d且d>0,由4/6=17,$5="2的，得｛5ai+10d=(ai+tZ)(ai+2t/),=>

ld>0

"i=2,

故"i2=ai+lld=2+33=35.

d=3,

2.(2022•全国乙卷)记S“为等差数列｛斯｝的前〃项和.若2s3=3SZ+6,则公差d=.

解析：因为2s3=3S2+6,所以2(41+“2+的)=331+。2)+6,化简得3d=6,得d=2.

答案：2

方法总结

解答等差数列运算问题的通法

⑴等差数列运算问题的一般求法是设出首项41和公差d,然后由通项公式或前〃项和公式转化为方程

(组)求解.

⑵等差数列的通项公式及前〃项和公式，共涉及为，a„,d,n,S“五个量，知其中三个就能求另外两个，

体现了解方程的思想.

考向二等差数列的判定或证明

［典例］在数列｛斯｝中，S“+i=4%+2,ai=l.

⑴设c,尸器求证数列｛c“｝是等差数列；

(2)求数列｛斯｝的通项公式.

［解］⑴证明:在数列｛%｝中,VnGN*,S„+i=4a„+2,则当"》2时，有&=4曲-1+2,

两式相减得%+1=4斯-4%-1,而c,产引即即=2"以，则有2"+ic“+i=4X2"c"-4X2"FC"-I,

=-

整理得Cn+l2Cn1,即c〃+i+c〃-1"2c〃,

所以数列｛C“｝是等差数列.

(2)由S,+i=4%+2得ai+a2=4ai+2,而内=1,则的=5,仃=%=：,C2=,=*

因此，等差数列｛C"｝的公5差13即｛c“｝是以作1为首3项，?为公差的等差数列，则c“=；1+3*"—l)

=|«—1,即第J：1,于是得即=(3"-1>2"-2,

所以数列｛斯｝的通项公式斯=(3〃-1)・2厂2.

［方法技巧］等差数列的判定与证明方法

如果一个数列｛%｝从第2项起，每一项与它的前一项的差等于同一个常

定义法

数，那么可以判断数列｛斯｝为等差数列

等差如果一个数列｛%｝对任意的正整数n都满足2%+1=即+斯+2,那么可以

中项法判断｛斯｝为等差数列

如果一个数列｛为｝的通项公式满足斯="+%，〃为常数)的形式，那

通项

么可以提出｛斯｝是首项为p+g,公差为p的等差数列，适用选择、填空

公式法

题

2

如果一个数列｛斯｝的前n项和公式满足Sn=An+Bn(A,B为常数)的形

前〃项和

式，那么可以得出数列｛斯｝是首项为A+3,公差为2A的等差数列，适

公式法

用选择、填空题

考向三等差数列的性质

角度7等差数列的性质

［例1］⑴已知等差数列｛%｝的前〃项和为S”，若Sn)=10,$20=60,则S40等于()

A.110B.150C.210D.280

(2)我国古代数学著作《九章算术》有如下问题：“今有金维，长五尺.斩本一尺，重四斤.斩末一

尺，重二斤.问次一尺各重几何？”意思是：“现有一根金杖，长5尺，一头粗，一头细.在粗的一端截

下1尺，重4斤，在细的一端截下1尺，重2斤.问依次每一尺各重多少斤？”假定该金杖被截成长度相

等的若干段时，其质量从大到小构成等差数列.若将该金杖截成长度相等的20段，则中间两段的质量和

为斤.

(3)已知数列｛斯｝,｛与｝都是等差数列，S„,T.分别是它们的前"项和，并且*=翌住，则皆=

-<nJHIO〃7

［解析］(1)因为等差数列｛斯｝的前〃项和为Sn,所以S10,S20-S10,S30T20,S40~S30也成等差数

歹lj,故(S30—S2O)+SIO=2(S2。-Sio),所以530=150.又因为(820—510)+(840—530)=2(530—320),所以Su)=

280.

(2)设该若干段的质量从大到小构成等差数列｛斯｝,由题意得，每4段为1尺，即m+也+的+。4=4,

,3

。2。+“19+。18+。17=2,两式相加得4(。1+。20)=6,贝I］〃10+〃11=。1+〃20=5・

13(即+°13)

(3)因为｛斯｝,出“｝为等差数列，所以%差=骷^=帚丁T浮又|=需，

乙口7十。13十。13)1131nJ〃十N

2

所以"=龌=2:13+3=a=

印以岳7133X13+8474

［答案］(DD(2)|(3)2

［方法技巧］

(1)运用等差数列的有关性质和结论可以提升解题效率.

(2)应用性质解题时，注意性质成立的前提条件.

(3)要注意等差数列通项公式及前"项和公式的灵活应用，如a„=am+(n-m)d,4=包=，S2„-i=

n-m

〃(“1+即)"(。2+斯-1)5*、至

(2〃l)Gn,»SH22(〃，f/Z£N).

角度2等差数列前"项和的最值

［例2］(多选)记等差数列｛”"｝的前”项和为S,.若“2=10,S5=S2,贝lj()

A.S§=S4B.。6=10

c.s,的最大值为30D.斯的最大值为15

ai+d=10,

［解析1设等差数列的公差为d,则由题可得解得，

5al+10d=2al+d,

“Q5+20-5〃)35〃-5〃2

l)X(-5)=20-5n,S=，二“4=0,S=s,故A正确；a=-10,故B错

lt22346

误；当"=3或"=4时，S,取得最大值为30,故C正确；由于d<0,.，.即的最大值为ai=15,故D正

确.

［答案］ACD

［方法技巧］

求等差数列前"项和S,最值的方法

(1)函数法：利用等差数列前n项和的函数表达式S„=an2+bn(a^0),通过配方或借助图象求二次函

数最值的方法求解.

而eo,

（2）邻项变号法：①若〃i>0,dVO,则满足的项数机使得当取得最大值SM；

lAn+lWO

而<0,

②若41V0,d>0,则满足、八的项数根使得S〃取得最小值

、而+B0

基础题型训练

一、单选题

1.观察下面的数表：若第“行的各数之和为231,则〃=（）

12

123

1234

12345

A.15B.18C.20D.21

S”5"十3%

2两等差数列2伽｝的前〃项和的比S厂筋+7'则於勺值是

28235348

A.—B.—C.—D.——

17152725

3.设等差数列｛4｝的前”项和为S",若$<0,几>0,则当S“取最小值时，〃的值为（）

A.8B.9C.16D.17

4.在等差数列｛4｝中，若4+4+%=3,%]+%2+43=12,贝|〃5+〃9=（）

A.15B.10C.5D.1

5.已知｛%｝是各项均为正数的等差数列，且。6+2%+%。=20,则，，7/8的最大值为（）

A.10B.20C.25D.50

6.数列｛%｝的前"项和为弘若点（〃，S“）在函数〃x）=d+2x的图象上，则出⑼=（）

A.2021B.4041C.4042D.4043

二、多选题

7.若｛〃“｝为等差数列，的=11，%=5,则下列说法正确的是（）

A.〃〃=15-2〃

B.-20是数列｛““｝中的项

C.数列｛%｝单调递减

D.数列｛%｝前7项和最大

8.已知关于无的方程优-8》+根)(尤2-8*+。=0的四个根是公差为2的等差数列｛%｝的前四项，5“为数

列｛%｝的前w项和，则()

A.。1=2B.rn-\-t=22

C.S5=afD.S10=100

9.《九章算术》〃竹九节〃问题：现有一根9节的竹子，自上而下各节的容积成等差数列，上面4节的

容积共3升，下面3节的容积共4升，则第4节的容积为升.

10.已知等差数列｛4｝的前〃项和S“有最小值，且-1＜包＜0,则使得S“＞0成立的〃的最小值是

。12

11.已知公差不为零的等差数列｛4｝的前〃项和为S“，若卬-%+%=0,贝1.

6

12.已知数列｛4｝中，«i=-60,an+l=an+3,则同+同+同++|%)|=.

四、解答题

13.已知等差数列｛4｝中，%=1,%=-3,求数列｛凡｝的通项公式

,、1CL

14.已知数列｛q｝满足4=§，。用=高1.

⑴求证数列是等差数列；

(2)求｛4｝的通项公式；

⑶试判断，历是否为数列｛%｝中的项，并说明理由.

15.在等差数列｛4｝中，%=8,%=-4.

(1)求知的通项公式；

(2)求(=14I+I。2I++1%I的表达式.

16.已知在公比为2的等比数列｛%｝中，4,生，%-4成等差数歹!J.

(1)求数列｛%｝的通项公式；

5log,+1,”为奇数，

(2)设〃=；求数列也｝的前2〃项和邑

(4)2,〃为偶数,

提升题型训练

一、单选题

1.在等差数列｛〃〃｝中，若q=1,。2+。4=1。，贝U〃20=()

A.38B.39C.40D.41

2.已知直线y=25—3x,点(小初)在该直线上，则〃3+〃5=()

A.24B.25C.26D.27

3.北京天坛圜丘坛的地面由石板铺成，最中间的是圆形的天心石,围绕天心石的是扇环形的石板，从内

到外各圈的石板数组成等差数列｛4｝,它的前〃项和为S“，且生=18,%+%=1。8,则邑1=()

A.2079B.2059C.2022D.1890

4.已知等差数列｛%｝的前〃项和为S“，若(々—IP+2010&-1)=1,（“2009-1）3+2。1。（。2009-1）=-1’下列为真

命题的序号为（）

①邑009；（）；（）^oo9<ai?22•

=2009252010=201032009Vs

A.①②B.②③C.②④D.③④

5.孙子定理是中国古代求解一次同余式组的方法，是数论中一个重要定理，最早可见于中国南北朝时期

的数学著作《孙子算经》，1852年英国来华传教士伟烈亚力将其问题的解法传至欧洲，1874年英国数学家

马西森指出此法符合1801年由高斯得出的关于同余式解法的一般性定理，因而西方称之为"中国剩余定

理”.这个定理讲的是一个关于整除的问题，现有这样一个整除问题：将2至2021这2020个整数中能被3

除余2且被5除余1的数按由小到大的顺序排成一列构成一数列，则此数列的项数是()

A.132B.133C.134D.135

6.在a,b中插入〃个数，使它们和a,b组成等差数列d%,为，an,b,则q+g++an=()

A.〃(a+份B,正幺

2

C(〃+l)(a+6)D("+2)(。+6)

'2'2

二、多选题

7.关于等差数列，有下列四个命题，正