2023-2024届高三数学联考试卷附答案解析

2023-2024届高三数学联考试卷

一'单选题（本大题共9小题，共45.。分.在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）

1.已知集合4={%|%2-340,xEZ}B=[y\y=^9xEZ,yEZ},则力UB=（）

A.{-2,—lj1,2}B.{-2,-1,0,1,2)

C.{-1,1}D.{-2,2}

2.设命题p：Vx<-1,比2+]>0,则p的否定为（）

A.3%<—1,%2+%<0B.3%>—1,x2+x<0

C.Vx<-1,x2+x<0D.Vx>-1,x2+x<0

v

3.函数"无）=囱-3久的图象大致形状是（）

4.直线k：(3+m)x+4y=5—3m,l2：2%+(5+m)y=8,贝广租=-1或m=-7"是"J/%''的

（）

A.充分不必要条件B.必要不充分条件

C.充要条件D.既不充分也不必要条件

5.设a=2.1°3,b=log43,c=log21.8,则a、b、c的大小关系为（）

A.a>b>cB.a>c>bC.b>a>cD.c>a>b

6.已知Sn是等差数列{时}的前n项和，Tn为数列明的前n项和，若54=12,21s8=1OS12，则

712=（）

A.51B.52C.84D.104

7.木楔子在传统木工中运用广泛，它使得柳卯配合的牢度得到最大化满足，是一种简单的机械工

具，是用于填充器物的空隙使其牢固的木撅、木片等.如图为一个木楔子的直观图，其中四边形

ABCD是边长为1的正方形，且忆4DE,ABCF均为正三角形，EF//CD,EF=2,则该木楔子的体

积为（)

A・竽B・或C.孥D.孚

8.已知函数/（x）=3sin（o）x+0）（xCR,3>0,|如<刍的部分图象如图所示，则下列说法正确的

C.不等式f（久）2|的解集为廊兀+$6kn+^]keZ

D.将fQ）的图象向右平移爸个单位长度后所得函数的图象在[6兀，8兀）上单调递增

f|?x+2—II,%<0

9.已知函数/（比）=|一,若关于％的方程[/（%）]2+m/Q）+2=0恰有6个不同的实

I|log2%|,%>0

数根，则根的取值范围是（）

A.（—co,—U[―3,—2'\/2）

B.（—芋，-2V2）

C.（—8,一学）〃-¥，-2V2）

D.[—3,—2^2）

二、填空题（本大题共6小题,共30.0分）

10.已知复数2=若，则复数Z的虚部为

11.已知圆Ci：/+y2+4%+1=0和圆。2：/+y2+2%+2y+1=0,则圆的与圆C2的公共弦的

弦长

12.曲线y=|-InK在久=1处的切线的倾斜角为a,贝!Jcos(2a-号=.

13.定义在R上的函数/(%)满足/(-无)=-f(x),/(x-2)=/(x+2),5.xG(-1,0)时，f(x)=

2X+1,则f(log220)=.

14.若a>0,b>0,且b+8a-2ab=0,贝!)2a+b的最小值为；此时a=.

15.如图，在四边形ABCD中，zB=60°,AB=2,BC=6,且而=4近，而•布=一2则实数2

的值为,若M,N是线段BC上的动点，且|而|=1，则施.而的最小值为.

三、解答题(本大题共5小题，共60.0分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤)

16.在△ABC中，角A,B,C所对的边分别为a,b,c,且a=3奁，b=6,C=

4

(1)求c；

(2)求cos(Z—分的值；

(3)求cos(A—B—C)的值.

17.如图，在四棱雉P—ABC。中，PA_L平面ABCD,底面ABCD是直角梯形，其中4D〃BC,AB1

AD,AB=AD==：BC=2,PA=4,E为棱BC上的点，且BE=^BC

Z4

(1)求证：DE1平面PAC

(2)求平面APC与平面PCD所成的余弦值；

(3)设Q为棱CP上的点(不与C,p重合)，且直线QE与平面PAC所成角的正弦值为第，求

空的值.

18.已知圆C经过点4(1,3)和8(5,1),且圆心C在直线无一y+1=0上.

(1)求圆C的方程;

(2)设直线1经过点(0,3),且/与圆C相切，求直线/的方程.

(3)P为圆上任意一点，在(1)的条件下，求(％+1/+(y+2)2的最小值.

19.已知数列｛册｝是公比<7>1的等比数列，前三项和为13,且由，a2+2,03恰好分别是等差数列

｛g｝的第一项，第三项，第五项.

(1)求数列和｛时｝通项公式;

(2)设数列｛4｝的通项公式%=/小71为奇数：求数列｛4｝的前2九+1项和S2n+1；

bn,n为偶数,

-1

(3)(neN*).

"+1+1必4+2+1

20.已知函数/(x)=Inx+ax2+(2a+l)x.

(1)讨论"x)的单调性；

(2)当a<0时，证明f(无)<—标—2；

(3)若不等式/(%)>0恰有两个整数解，求实数a的取值范围.

答案解析

L【答案】B

【解析】【解答】解：因为力={%|/—340,xEZ}=(x\—V3<x<V3,xEZ]={—1»0,1},

2

B—{y|y——xEZryEZ}—{-2,1,1,2},

所以AUB={-2,-1,0,1,2},

故答案为：B.

【分析】本题考查集合的并集运算.先求出集合4B为:A=[-1,0,1},B={—2,-

1,1,2},再利用集合的并集运算求解.

2.【答案】A

【解析】【解答】解：命题p：Vx<-1,x2+x>0,

•1.p的否定为：<-1,x2+x<0,

故答案为：A.

【分析】由全称命题的否定为特称命题结合题意即可得出结果。

3.【答案】A

【解析】【解答】解：当久>0时，"久)=33其在(0,+8)单调递增，C,D错误；

当％<0时，/(%)=-3X,在(一8,0)单调递减，B错误，A正确.

故答案为：A.

【分析】本题考查函数图象.当久>0时，函数解析式为：f(x)=33可知在(0,+8)单调递增，可

判断C,D错误；当％<0时，函数解析式为：/(%)=-3X,可知在(-8,0)单调递减，可判断A,

B.

4.【答案】B

【解析】【解答】解：由题意，显然6+5H0,所以当直线匕〃%时，满足字=注％,解

Zj-r7Tlo

得m=—7,

所以=-1或租=-7”是““/%”的必要不充分条件，

故答案为：B.

【分析】本题主要考查了两直线的位置的判定及应用，以及必要不充分条件的判定.由两条直线平

行，制=患,3,可求解小=-7,在根据充要条件的判定方法，即可得到结论.

5.【答案】B

【解析】【解答】：a=2.1°-3>2.1°=l,

■:b=log^i=log2V3，c=log21.8,

且1,8<2,

Ab<c<l.

Aa>c>b.

故答案为：B.

【分析】利用对数函数的单调性和指数函数的单调性结合a,b,c与特殊值的大小关系，从而比较

出a,b,c三者的大小关系。

6.【答案】A

【解析】【解答】解：设等差数列的公差为d，则S4=4%+竽d=4al+6d=12,

由21s8=IOS"可得21(8%+等d)=10(121+lZ/d),整理可得2al=3d,

71

解得=^l，d=1,所以，Sn=71Q]+(n2l)d=1)=；兀2+n,则粤=%+1,

则沿—萼=强+1)+1—(聂+1)+，所以，数列｛1｝为等差数列,

所以，T-12(l+l+|xl2+l)_51

122

故答案为：A.

【分析】本题考查等差数列的通项公式和前n项和公式.根据等差数列的通项公式和前n项和公式可

列出的、d的方程组，解方程组可求出劭、d,再表示出Sn的表达式，利用等差数列的定义可证明

｛•｝为等差数列，利用等差数列求和公式可求出712的值.

7.【答案】D

【解析】【解答】解：如图，分别过点48作EF的垂线，垂足分别为G,H,连接DG,CH,

EGHF

\\/D

AB

则由题意等腰梯形ABFE全等于等腰梯形CDEF,

则EG=HF=号=1,AG=GD=BH=HC=112-

取ZD的中点O,连接GO,因为4G=G。，所以GO1ZD,

f

•r._Q_lyV2v1

XX±-

•2A4DG—、ABCH—2^'-47'

因为AB//EF,AG1EF,所以ABIAG,因为四边形ABCD为正方形，

所以ABI力D,又因为ADCIAG=A,AD,AGu平面ADG,所以力B_L平面ADG,

所以EFl平面4G。，同理可证EF1平面BCH,

多面体的体积0=V三棱触_ADG+V三棱锥F-BCH+V三棱柱AGD-BHC=如三棱锥E-ADG+^棱柱AGD-BHC

x孝义贤2+孝义1=承

4Z43

故答案为：D.

【分析】本题考查棱锥的体积公式.如图，分别过点A,3作EF的垂线，垂足分别为G,H,连接

DG,CH,取AD的中点。，连接G。，利用勾股定理可求出G。的值，再利用三角形的面积公式可求出

V

S*DG=SABCH=¥，结合图形可将几何体的体积分割成多个几何体的体积：=V二棱锥E-ADG+

V三棱锥F-BCH+V三棱柱AGD-BHC，利用椎体的体积计算公式和柱体的体积计算公式可求出答案.

8.【答案】C

【解析】【解答】解：由函数图象可知，最小正周期为7=4(孚—第=6兀，所以3=罢=5

v44767r3

将点(苧,3)代入/(第)=3s讥(3%+(p),得3=3sin(|X苧+(p),

又I创<去所以g=金，故/'(%)=3s讥4％+金)，故A错误；

所以“空)=3s^=孥，故B错误；

令/(%)之家则+$•)>所以2kli+)4:%+-^2-2kjc+kEZ9解得6/CTT+4<%<

6/CTTH—丁，kEZ,

所以不等式/(%)其的解集为［6/CTT+a，6k7i+^］kEZ,故C正确；

将/(%)=3sin(^x+6)的图象向右平移各个单位长度后，得到/(%)=3sin(^x+1)的图象，令

CTT—5<不x+Yo—CTT+5，kE.Z9

2/z3ioz2/

解得6k兀—1^-<%<6kn+萼，kEZ,

令k=l得学竽，因为［6兀，8兀］仁［导，竽］,故D错误.

故答案为：C.

【分析】本题考查根据函数图象确定函数解析式和三角函数的性质.根据函数图象可先求出周期T，

再代入点(苧，3),可求出处进而求出函数/(久)解析式，可判断A选项；将自变量代入函数解析式

可判断B选项；由/(x)2|,可得s讥(聂+为其，利用正弦函数的图象可求出不等式的解；根据

平移的规律“左加右减”可先求出平移后的解析式f(x)=3s讥gx+a)，利用正弦函数的单调性可列

出不等式2版—当〈聂+4=2"+称，解不等式可求出单调递增区间，进而判断D选项.

Z3loZ

9.【答案】A

I2x+2-11r<n

1I'一,作出"久)的大致图象如下：

{\logx\,%>0

2

由图可知：当/'(X)=0时，此时由两个根，分别为-2,1,

当0<t<1时，此时/(久)=t有4个交点，

当1WtW3时，此时"久)=力有3个交点，

当t>3时，此时/(久)=t有2个交点，

故要使得［/(无)］2+m/(x)+2=0由6个不同的零点，则令/(%)-t,t2+mt+2-0有6个不同的

实数根，

/(%)=0显然不是[/(久)]2+mf(x)+2=0的根，

设g(t)=乎+mt+2的两个零点分别为q,以，且「1。以，

故当0<“<1,t2>3时，此时/(%)=匕有4个交点，/(%)=上有2个交点，满足题意,

f9(0)=2>0

故需要满足｛g(l)=3+m<0,解得血<—9，

(g(3)=11+3m<0

当1W匕<t2W3时，此时〃久)=匕有3个交点，/(%)=J有3个交点，满足题意，

故需要满足<4=m2—8>0,解得一3三m<一2/，

g⑴=3+m>0

、g⑶=11+3m>0

综上可得一3<m<—2企或m<一号

故答案为：A.

【分析】本题考查函数与方程的综合运用.根据分段函数的解析式，作出函数的图象，采用换元法：

令f(x)=t,原问题转化为：方程产+加七+2=0有6个不同的实数根，对t进行分类讨论：当0<

ti<1,t2>3;当1<£1<±2三3时；讨论fQ)=t的交点个数，再利用二次函数零点的分布可列出

关于m的不等式组，解不等式组可求出实数m的取值范围.

10.【答案】1.5

【解析】【解答】解：z=告=，普，擀=等=3+精

所以复数z的虚部为|

故答案为：!

【分析】本题考查复数的运算法则.根据复数除法运算分子和分母同时乘以1+i可得z=*+*3进

而得答案.

11.【答案】2

【解析】【解答】解：圆Cl：(%+2)2+y2=3的圆心C1(—2,0),半径丁1=百，

圆。2：(%+l)?+(丫+l)?=1的圆心。2(—1，—1)半径厂2=1，

所以C1C2I=V2<+r2=1+V3,满足两圆相交有公共弦，

两圆公共弦所在直线方程为两圆方程作差得：(K2+y2+4％+1)_(久2+/+2%+2y+1)=0,即

久—y=0,所以圆心Cl(—2,0)到直线％—y=0的距离电=片"=鱼，则公共弦长为

2收一居=2,3-2=2.

故答案为：2.

【分析】本题考查圆与圆的位置关系.先对圆C1和圆C2进行配方，配成标准方程，再找出圆C1和圆C2

的圆心和半径，将两个圆的方程相减：(%2+y2+4久+1)—(%2+y2+2%+2y+1)=0,可求出两

圆公共弦所在直线方程，即x-y=0,利用点到直线的距离公式可求出圆心到公共弦所在直线的距

离，再代入圆的弦长公式：1=2必二定，可求出弦长.

12.【答案】-0.6

【解析】【解答】解：由y=]—上久，则y=-1―

所以tana=y'\x—1=-3,

7T.c2smacosa2tana2x（—3）3

所以cos（2a_彳）=sm2a=——o-----o—=——o----=----v=—­=-

sinzcr+coszcrtanza+l（一3）乙9+i5

故答案为：-

【分析】本题考查切线方程的求法.先求出导数为：y'=从而求得切线斜率为：k=

tana=y'|久=1=—3,即可求得tana的值，进而弦化切代入计算即可.

13.【答案】-1

【解析】【解答】解：由/(—%)=—/(%)可得函数/(%)为奇函数，

由/(%-2)=/(%+2)可得/(%+4)=/(%),

故函数的周期为4,

所以"log220)=/(4+log21)=/(log2=-/(-log2=-/(log21),

log2

因为-1<log2<0,所以/(log2§=25+[=,+)=1-

f(log220)=-1.

故答案为：-1.

【分析】本题考查函数的周期性和奇偶性.根据题意：/(-X)=-/(%),和/(%-2)=/(%+2)可得

/(x+4)=/(%),进而推出函数的周期为4,再根据对数运算法则结合％e(-1,0)时的解析式，即

可得答案；

14.【答案】9；1.5

【解析】【解答】解：因为b+8a—2泌=0,所以上+1=1.

Lab

因为a>0,b>0,所以2a+b=(2a+b)点+3=1+白+学+425+2^^^=9・

当且仅当言=学，即。=,，b=6时等号成立.

所以2a+b的最小值为9,此时a=|.

故答案为：9；|,

【分析】本题考查基本不等式求最值.先将b+8a-2ab=0,变形为：^+1=1,再利用“1”的代

换法：先乘以1,再将1进行替换，展开后可得：1+?+坐+4,使用基本不等式即可求解.

15.【答案】1；¥

【解析】【解答】解：因为近=4屁，所以同〃阮，

因为NB=60°,所以NBA。=120°,

所以而■AB=|AD|-|XB|cosl20°

——|,\AB|——24X6X2=—2=4=不

建立如图所示的坐标系久。y,

可得2(0,V3),。(2,g)，

设M(m,0),因为|而|=1，则N(m+1,0),

所以宿=(m,-V3),DN=-V3),

__2[2[]][

AM•DN=m(m—1)+(V3)=m2—m+3=(m--2)+-^->方，

当m=凯寸等号成立，

所以前•丽的最小值为理,

故答案为：学.

【分析】本题考查平面向量基本定理的应用和平面向量的数量积公式.利用平行线的性质先求出

Z.BAD=120°,根据题意而.屈=-2,再利用数量积公式可求出4的值；建立平面直角坐标系，设

M(m,0).则N(?n+1,0),利用数量积的坐标表示可将前•丽表示为：AM-DN=m2-m+

3,式子为关于m的二次函数，利用二次函数的性质可求出其最值.

16.【答案】(1)解：由余弦定理得c2=a2+M一2abeosC=18+36-2•3迎・6cos竽=90,

•'-c=3-/10

⑵解：由正弦定理荒=嬴，得益=第？，解得sinA=^・

丁。＜b9A为锐角,I.cos力=V1—sin2i4="患,

・,71、An...n3V10V2VTO72275

,,cos(^A4—4)—cos力cos4+tsin力sin4=-—(I—JQ-,-

(3)解：由(2)可得cos2A=1—2sin2A=

B+C=Ti—A,cos(4—B—C)=cos(2A—兀)=—cos2A=—

【解析】【分析】⑴由余弦定理即可求c；

(2)由正弦定理可求sinA,再求出cosA,根据余弦差角公式即可求cos(A-勺；

(3)cos(X—B—C)=cos(2X一兀)=—cos2X=—再结合(2)sinA的值即可计算.

17.【答案】(1)因为PA_L平面ABCD,ABu平面ABCD,ADu平面ABCD,所以PA_LAB,

PA±AD,又因为AB_LAD,

则以A为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系.

由已知可得A(0,0,0),B(2,0,0),C(2,4,0),D(0,2,0),P(0,0,4),E(2,1,0)

所以屁=CL,-1,0)AC=(2,4,0AAP=(TO,0,4;

因为屁•前=2x2—1x4+0=0,~DE-AP=0.所以DE1AC,DE1AP

又APOAC=A,APu平面PAC,ACu平面PAC

所以DE1平面PAC.

(2)设平面PAC的法向量记，由(1)可知沅=屁=(2,-1,0),

设平面PCD的法向量元=(%,y,z)

._.uuuuu

因为PD=(0,2,-4),PC=(2,4,-4)-

建U即2y-4z=0

所以

2%+4y—4z=0'

不妨设z=L得诂=(—2,2,1).

沅・亢2x(-2)+(—l)x2+0275

cos{m,

阳，㈤j22+(-l)2xJ(-2)2+22+l丁

又由图示知二面角4—PC—。为锐角，

所以二面角4-PC-。的余弦值为等.

(3)设器=4(0<4<1),即&=4而=(一2九-4A,4A).

所以Q=(2—24,4-4A,44).即诬=(一2九-42,44).

因为直线QE与平面PAC所成角的正弦值为增,

__________\QE-m\__12x24—(44—3)+0]

所以|cos(QE-m)\-砺-।2「222

SI17nlJ22+(-1)ZXJ(2A)+(4A-3)+(-4A)

即J36/12-244+9=3'解得2=多即以，=多

【解析】【分析】本题考查直线与平面垂直，利用空间向量求平面与平面所成的角，直线与平面所成

的角.

(1)利用直线与平面垂直的性质可推出：PALAB,PA1AD,ABLAD,以力为坐标原点，建立如

图所示的空间直角坐标系，先写出点的坐标，再表示出茄，AC,AP>利用空间向量的数量积运算公

式可证明DELAC,DELAP,利用直线与平面的判定定理可证明结论;

(2)写出平面中两个相交向量，再求出平面APC与平面PCD的法向量，利用向量的夹角计算公式

饿求出答案;

(3)设格=A(0<A<1),可表示点Q,再利用直线与平面所成角的计算公式可列出方程

12x22-(44-3)+01/5

122厂22=亏，解方程可求出入的值，进而求出答案.

J22+(-1)ZXJ(2A)Z+(4A-3)Z+(-4A)Z

18.【答案】(1)因为圆心C在直线无一y+1=0上，

所以设圆C的圆心C(a,a+1),半径为r(r>0),

所以圆的方程为(x-d)2+(y-a-l)2=r2,

因为圆C经过点2(1,3)和B(5,1),

所以［(1—叱+R-"1)：=二即［25—6a+5=N

解得『=I

l丁=5

所以圆C的方程为。-5)2+(y-6)2=25；

(2)由题意设直线［的方程为y=kx+3或％=0,

当/的方程为％=0时，验证可知/与圆C相切；

当/的方程为y=k%+3,Wflkx—y+3=0时，

j15fc-6+31

圆心C到直线/的距离为d="ry—­=5,

Jk+1

解得k=—白，

所以Z的方程为了=—挡x+3,即8%+15y—45=0.

所以直线Z的方程为x=0或8久+15y-45=0.

(3)由⑴知圆心为C(5,6),半径为5,

则圆心与点(—1,—2)的距昌为d=V62+82=10>

因为(x+l)2+(y+2)2可以看作圆上任意一点PQ,y)与点(一1,一2)的距离的平方，所以0+

I)2+(y+2)2的最小值为(10-5)2=25.

【解析】【分析】本题考查圆的定义，圆的切线方程，点与圆的位置关系.

(1)因为圆心在直线％-y+1=0上，先设圆心坐标，半径，写出圆的方程，把点A,B的坐标代

222

(l-a)+(3-a-l)=r解方程组可求出圆的方程；

((5-a)2+(1-a-I)2=r2

(2)分斜率存在和不存在写出切线方程，当斜率不存在时，验证知符合题意，当斜率存在时，设出/的

I5/C-6+3I

方程为，利用圆切线的性质：圆心到直线的距离等于半径可可列出方程不^=5r,解方程组可

X+1

求出k的值，进而求出圆的切线方程.

(3)根据圆的几何性质可将问题转化为圆上的点到点(-1,-2)的距离最小值，先求出圆心到点

(-1,-2)的距离，再减去半径再可平方后可求出最小值.

19.【答案】⑴由题意得［可+,+吸=:

解得｛々］；或(不合题意,舍去)，

所以即=351,又二;，所以d=2,

所以bn-2n-l.

(2)设奇数项的和为2n+i，

Qn+11

022

^+1=3+3+-+3"=-g-一

设偶数项的和为区，

Bn=3+7+—I-4n—1=2n2+n,

2

所以S2n+i=4i+i+Bn=-----1+2n+n-

(3)(23-4)。讦1-1=(4—)3-1=_______J,所以(23-4)&+「1=

+1fi+1i+1+1+1

\+l+l'\+2(2-3+l)(2-3+l)2-3，+l2-3+l'Z_J,=I\+l'\+2

I八I.1——.12.•••J.—Ti—^ln■ny

2X32+12X32+12X33+12-3"+l2-3n+1+l2-3n+1+l-

【解析】【分析】本题考查等差数列和等比数列的定义，数列的求和公式.

(1)根据等比数列的通项公式和等差中项的定义可列出方程组，解方程组可求出｛?二;，利用等比

数列的通项公式可求出与；进而根据二;可求出公差d,利用等差数列的通项公式可求出“；

(2)原问题可转化为数列的分组求和问题：利用等比数列前〃项求和公式求出奇数项的和，利用等

差数列前〃项求和公式求出偶数项的和，将奇数项和与偶数项和相加可求出答案；

(3)由(1)可得产=一俨―6)3；；_,式子可进行裂项，再利用裂项相消可求出

%+1+1%+2+1(2-31+1)(2-31+1+1)

答案.

20.【答案】(1)解：由题意，得/(%)的定义域为(0,+oo),f(x)=1+2ax+2a+1=

(x+l)(2ax+l)

x.

若则当％e(o,+oo)时，f(%)>o，故/(%)在(o,+8)上单调递增，若av0,则当％e

(0,—A)时,f(%)>0，当久e(—上，+8)时/(黑)vo,故/(%)在(0,—左)上单调递增,在

乙