湖北省武汉市江汉区学区四校联盟2023-2024学年八年级下学期月考数学试题（含答案解析）

湖北省武汉市江汉区学区四校联盟2023-2024学年八年级下

学期月考数学试题

学校:姓名：班级：考号：

一、单选题

1.式子GT在实数范围内有意义，则x的取值范围是（）

A.%>1B.x>lC.D.x<\

2.下列计算正确的是（）.

A.3A/3-V3=3B.2+6=2拒C.7G<=-2D.血=20

3.下列二次根式中，是最简二次根式的是（）

A.不B.瓜C.V03D.I

4.在下列由线段。，b,。的长为三边的ABC中，不能构成直角三角形的是（）

A.a2=c2-b1B.ZA:ZB:ZC=3:4:5

-5,13

C.a=,c?—I,c=一D.a=3k,b=4k,。=5左（左>。）

44

5.如图，E为平行四边形ABC。内一点，S.EA=EB=EC,若NO=50。，则/AEC的

C.100°D.110°

6.下列各命题的逆命题成立的是（）

A.两条直线平行，同位角相等

B.如果两个实数相等，那么它们的绝对值相等

C.等边三角形是锐角三角形

D.全等三角形的对应角相等

7.如图，在平面直角坐标系中，在平面直角坐标系中，平行四边形A8CZ）中，顶点A（-3,

2）,0（2,3）,2（—4,-3）,则顶点C的坐标为（）.

8.如图，长方体的长宽高分别是3、4、2,一只蚂蚁要沿着长方体的外表面从A点爬

到8点，最短路径长为（）

9.观察下列式子：Jl+]+]=g;Jl+±+]=U;Jl+&+[=1上;.，根

VI22-2V2-326V324212

据此规律，若Jl+3+士=则/+〃的值为（）.

Va2b290

A.110B.164C.179D.181

10.如图是一个6x6的正方形网格，每个小正方形的顶点都是格点，的顶点

都是图中的格点，其中点A、点3的位置如图所示，则点C可能的位置共有（）.

A.10个B.9个C.7个D.6个

二、填空题

试卷第2页，共6页

11.化简：T72-A/50=.

12.已知直角三角形的两边长为6和8,则第三边长为

13.如图，将一条宽度为1和一条宽度为2的两条纸条叠放在一起，使得ZABC=60。,

14.如图，YABCD中，对角线AC、8。相交于点O,OELBD交AD于点E,连接8E,

若YABCD的周长为28,贝IJ,ABE的周长为.

15.如图，已知ABC中，ZC=90°,AC=BC=y[2,将ABC绕点A顺时针方向旋

转60。到的位置，连接C3,则C5的长为.

16.如图，在平行四边形A5CD中，ZAfiC=120°,AB=10.连接8。，^.BD±CD,

CE平分NOCB交AD与于点E.点N在8c边上，BC=4CN,若线段PQ（点P在点。

的左侧）在线段CE上运动，PQ=56连BP、NQ,则BP+PQ+QN的最小值

三、解答题

17.计算

(1)373-78+372-727

(2)2A&走-5近

4

4-rC12、

18.先化简再求值：x+2-,其中》=若-4.

x—2(x-2)

19.如图，为迎接中国共产党建党100周年，武汉市卓刀泉中学拟对学校中的一块空地

进行美化施工，AB=3米，3C=4米，AD=13米，CD=12米，ZABC=9Q0,欲在此

空地上种植盆景造型，已知盆景每平方米500元，试用该盆景铺满这块空地共需花费多

少元?

20.如图，直角坐标系中的网格由单位正方形构成，ABC中，A点坐标为(2,3),B点、

坐标为(-2,0),C点坐标为(0,-1).

备用图

⑴请判断ABC的形状为___________三角形;

(2)在图中作A3C的高CH,则求出C"的长为.

(3)若以A、B、C及点。为顶点的四边形为平行四边形ABCD,在图中画出平行四边形

ABCD,并写出。点的坐标

21.如图，某港口。位于东西方向的海岸线上，“远航”号、“海天”号轮船同时离开港口,

试卷第4页，共6页

各自沿一固定方向航行，“远航”号每小时航行16海里，“海天”号每小时航行12海里

(1)若它们离开港口一个半小时后分别位于48处(图1),且相距30海里.如果知道“远

航”号沿东北方向航行，能知道“海天”号沿哪个方向航行吗？请说明理由

(2)若“远航”号沿北偏东30。方向航行(图2),从港口。离开经过两个小时后位于点尸

处，此时船上有一名乘客需要紧急回到PE海岸线上，若他从P处出发，乘坐的快艇的

速度是每小时90海里，他能在20分钟内回到海岸线吗？请说明理由.

22.在中.

(1)如图1,AB^AC,骸，4。于£,BE=6,CE=3,求A3的长.

⑵如图2,于。，NDAC=2NDAB,BD=3,DC=8,求「ABC的面积.

23.在..ABC中，AB=AC,点尸为，ASC所在平面内的一点，过点P分别作包〃AC

交A3于点E,PF〃AB交BC于点、D,交AC于点尸.

A

图1图2图3

(D如图1,若点P在3C边上，此时PD=0,直接写出P。、PE、PP与A8满足的数

量关系；

(2)如图2,当点P在一ASC内，猜想并写出P。、PE、P/与A8满足的数量关系，然

后证明你的猜想；

（3）如图3,当点尸在,ABC外，猜想并写出尸£）、PE、PF与AB满足的数量关系.（不

用说明理由）

24.如图1,在平面直角坐标系中已知点3（0疝），C（c,O）,其中人c满只

1+2闽+V^7i=0.

⑵点A为了轴正半轴上一点，且NABC=90。，求点A的坐标；

（3）如图2,在（2）条件下在y的正轴上否存在一点P,使NCB4=3NAPO,若存在,

求点尸坐标；若不存在，请说明理由.

试卷第6页，共6页

参考答案:

1.B

【分析】根据二次根式有意义的条件可得xT20,进行求解即可得出结果.

【详解】解：式子G在实数范围内有意义，

厂.1—120,

故选：B.

【点睛】本题考查了二次根式有意义的条件，一元一次不等式的求解，熟练掌握二次根式有

意义的条件是解答本题的关键.

2.D

【分析】利用二次根式的加减法，二次根式的性质逐个化简计算，逐个判断.

【详解】解：A.373-73=273,故此选项错误；

B.2、若不是同类二次根式，不能做合并同类二次根式计算，故此选项错误；

C./1=2,故此选项错误；

D.般=20,正确.

故选：D.

【点睛】本题考查二次根式的加减运算和二次根式的化简，掌握运算法则正确计算是解题关

键.

3.A

【分析】可直接将选项中的二次根式依次化简，无法化简的即为最简二次根式.

【详解】A.币=币,故是最简二次根式；

B.&=2忘，故不是最简二次根式；

C.阿=匕=叵,故不是最简二次根式；

V1010

D.'=*故不是最简二次根式；

故选：A

【点睛】此题考查最简二次根式，解题关键是最简二次根式的定义是被开方数不含分母，也

不含能开的尽方的因数或因式.

答案第1页，共21页

4.B

【分析】根据三角形的内角和定理和勾股定理的逆定理对各选项进行逐一判断即可.

【详解】解：A,-：a2=c2-b2,

Aa2+b2=c2,故能构成直角三角形；

B、VZA:ZB:ZC=3:4:5,

ZC=—X18O°=75°,

12

ABC是锐角三角形，故不能构成直角三角形，

C、+12=^,故能构成直角三角形；

D、(3靖+(4左)2=(5村，故能构成直角三角形.

故选：B.

【点睛】本题考查了三角形的内角和，勾股定理的逆定理，即如果三角形的三边长a,b,c

满足/+62=02,那么这个三角形就是直角三角形.

5.C

【分析】根据平行四边形的性质得出/ABC=/O=50。，再由等边对等角得出

/EAB=/EBA/EBC=NECB,利用三角形内角和定理及各角之间的关系求解即可.

【详解】解：四边形ABCD是平行四边形，

：.ZABC=ZD=50°,

EA=EB=EC,

：./EAB=ZEBA,/EBC=ZECB,

/EAB+ZECB=NEBA+NEBC=/ABC=50°,

ZAEB+ZBEC

=(180°-/EAB-ZEBA)+(180。-ZEBC-NECB)

=360°-(NEAB+NECB+NEBA+NEBC)

=360°—100°=260。，

ZAEC=360°-NAEB-NBEC=100°

故选C.

【点睛】题目主要考查平行四边形的性质，三角形内角和定理，等边对等角，熟练掌握平行

答案第2页，共21页

四边形的性质是解题关键.

6.A

【分析】首先将各个选项的逆命题，再判定是否成立，A选项成立，B选项正数的绝对值是

它本身，负数的绝对值是它的相反数，C选项明显不成立，D选项对应角相等的三角形不一

定全等.故选A.

【详解】解：A选项逆命题为：同位角相等，两条直线平行，逆命题成立；

B选项逆命题为：如果两个实数的绝对值相等，那么它们相等，不成立；

C选项逆命题为：锐角三角形是等边三角形，不成立；

D选项逆命题为：对应角相等的三角形全等，不成立.

故选A.

【点睛】此题主要考查逆命题的判定，熟练掌握概念，即可得解.

7.A

【分析】设点CG,y),由平行四边形的性质可得「—3二+x=二—4+^2，审2+二M上—三3+23,即可求

2222

解.

【详解】解：设点C(尤，y),

:四边形ABC。是平行四边形，A(-3,2),。(2,3),8(-4,-3),

.-3+x_-4+22+y_-3+3

••=，=,

2222

.'.x=l,y=-1,

.•.点8(1,-2),

故选：A.

【点睛】本题考查了平行四边形的性质，坐标与图形性质，掌握平行四边形的性质是本题的

关键.

8.B

【分析】本题考查的是平面展开-最短路径问题，蚂蚁从A到B有三种爬法，要计算每一种

爬法的最短路程必须把长方体盒子展开成平面图形如图，再利用勾股定理计算线段的长,

进行比较即可.

【详解】解：第一种情况：如图1,把我们所看到的前面和右面组成一个平面，

答案第3页，共21页

B

A

图1

则这个长方形的长和宽分别是7和2,

所走的最短线段AB=j2?+72=回；

则这个长方形的长和宽分别是5和4,

•，•走的最短线段AB=，52+42=历；

第三种情况：如图3,把我们所看到的前面和上底面组成一个长方形,

B

A

图3

则这个长方形的长和宽分别是3和6,

，走的最短线段AB=7?W=3行；

底＞3也〉屈,

,第二种情况最短.

答案第4页，共21页

故选:B.

9.D

【分析】由题意得出J+，+总厂从而确定a,b的值，然后代入计算即可.

【详解】解：第一个式子为止》)心用

第二个式子为J1+2+(=

，二J

2x36

第三个式子为喘

=1—

12

•・•第n个式子为卜，+看=1』

1

90

a=9,b=10

.\a2+b2=92+102=181

故选：D.

【点睛】本题考查数的规律探索，通过观察准确找到题目中等式规律是本题的解题关键.

10.B

【分析】本题考查了网格中判断直角三角形，掌握勾股定理的逆定理是解题的关键.

根据网格的特点求得A5的长为亚，分A8为直角边和斜边两种情况讨论，进而确定C点

的位置.

【详解】由于每个小正方形的边长为1,则AB="77=J市，

如图，

答案第5页，共21页

F

①当A3为斜边时，

AB2=AC2+BC2=AD2+BD2=AE2+BE2=10

・・・可以作出RtaABC,RtAABD,RtZWE三个直角三角形

当AB为直角边时，AF2+AB2=BF2=20

・・・可以作出RtABF,RtZ\ABG两个直角三角形，

将上述三角以A2为对称轴翻折，可得出4个直角三角形，

综上所述，一共有9个直角三角形.

故选：B.

11.V2

【分析】此题考查了二次根式的减法，先化简二次根式，再合并同类二次根式即可.

【详解】解：A/72-A/50=6A/2-5^=72,

故答案为：72

12.10或2甘

【分析】分两种情况：6和8分别为两直角边；8为斜边，6为直角边；分别利用勾股定理

求解即可.

【详解】解：当6和8分别为两直角边时，斜边长=衍记=10；

当8为斜边，6为直角边时，则另一条直角边长=花?-6?=2々；

故答案为：10或2近.

【点睛】本题主要考查了勾股定理，正确分类、熟练掌握勾股定理是解题关键.

答案第6页，共21页

13.逋

3

【分析】证明四边形ABC。是平行四边形，过A作于E,过C作CF1AB于尸，则

CF=1,AE=2,再证23c=AB,然后由勾股定理求出8c=2叵，即可解决问题.

3

【详解】解：由题意得：AD//BC,AB//DC,

••・四边形A5CD是平行四边形，

过A作隹_L3C于E，过C作CF1AB于尸，则CF=1,AE=2,

S平行四边形Ms=BC.AE=AB-CF,

:.2BC=AB,

ZABC=60°,

/.NBAE=90°-ZABC=30°,

/.AB=2BE,

.•.鹿=3C,点E与C重合，

AB2-BC2=AE2,

222

即(2BC)-BC=2,

解得：BC=^i(负值舍去)，

3

.s-BC-AE-2"x2~4#

••0平行四边形ABC。-QJCD-aX乙一'

故答案为：—.

【点睛】本题考查了平行四边形的判定与性质、含30。角的直角三角形的性质以及勾股定理

等知识，熟练掌握平行四边形的判定与性质是解题的关键.

14.14

【分析】根据平行四边形的性质证得AB+AD=14,再证明。£为线段的垂直平分线，

则BE=ED,由AfiE的周长=钻+攵＞即可求解.

答案第7页，共21页

【详解】解：：四边形ABC。是平行四边形，

OB=OD,AB=CD,AD=BC,

:平行四边形的周长为28,

••AB+AD=14,

,:OELBD,

・・・0E是线段即的垂直平分线，

BE=ED,

.ABE的周长=AB+BE+/1E=AB+AD=14.

【点睛】本题考查平行四边形的性质、线段垂直平分线的判定与性质、三角形的周长，熟练

掌握平行四边形的性质及中垂线的性质，证明0E是线段BO的垂直平分线是解答的关键.

15.73-1

【分析】连接班'，根据题意，AB=AB',且/5钻'=60。，可判定是等边三角形，

继而得到54=38',结合AC=BC=6,得到C'A=CB'=拒,继而判定直线CB是线段AB,

的垂直平分线，设直线C5与A9的交点是£,则43'，2万,4石=="=2,根据勾股定理

计算即可.

【详解】连接班'，

根据题意，AB=AB',且/及15'=60。，

一.543'是等边三角形，

/.BA=BB'=AB',

;AC=BC=拒,

C'A=C'B'=6，AB=y/AC2+BC2=2,ZC'AB'=ZEC'A=45°,

/.直线CB是线段A9的垂直平分线，

设直线CB与AB'的交点是E,

则AB'1BE,AE=C'E=^AB=1,

BE=A/A82-AE2=y/3，

/.C'B=BE-C'E=y/3-l,

故答案为：V3-1.

答案第8页，共21页

B1

E

16.5A/7+5A/3

【分析】取的中点G,连接EG,则石G〃AB,EG=：A5=5,取瓦＞的中点M,连接GM,

设GM与CE的交点为「故点G,M关于直线CE对称；连接PG,过点N作NTLEC于

点T,连接GN,连BM,则成+92氏0,故3P+QN23M,当B,P,M三点共线时，

BP+QV取得最小值，最小值为浏/,计算即可，本题考查了平行四边形的判定和性质，勾

股定理，三角形不等式求最值，熟练掌握平行四边形的判定和性质，三角形不等式求最值是

解题的关键.

【详解】•・,四边形ABCQ是平行四边形，AB=IQ,

：.ABCD,AB=CD=lOfAD//BC,AD=BC,

■:BD工CD,

:.BDJ.AB,ZDEC=ZBCE,

,:CE平分NDCB,

：.ZDCE=ZBCE,

：.NDCE=NDEC,

：.DE=DC=10,

•・・/ABC=120。，

AZA=60°,ZA7)B=3O°,ZAZ)C=120°,

:.ZDEC=ZDCE=ZADB=30°f

：.AD=20,

：.AE=ED=10fBC=AD=20f

BC=4CN,

：.BN=15,CN=5,

如图所示，取5。的中点G,连接EG,

答案第9页，共21页

BNC

则石G〃AB,EG=-AB=5

2f

AZABD=ZEGD=90°,^DEG=^A=60°,

取即的中点M,连接GM,设GM与CE的交点为尸，

：.GM=EM=DM=-ED=5,

2

：.EG=GM=EM=DM=5,

・•・EGM是等边三角形，

・•・Z.GEF=ZMEF=30°,

JGF=FM=-GM=-,GFLEC

22f

故点G,M关于直线CE对称；

连接尸G,

:・PG=PM,

过点N作NT，£C于点T,连接GN,

•・•四边形ABC。是平行四边形，NA=60。，ZDCE=3。。,

：.ZBCD=60°,/BCE=30。,

：.BT=-NC=~,

22

:・BT=GF,BTFG,

・・・四边形GN7尸是矩形，

・・.GNPQ,

JZGNB=ZTCN=30°,

ZABC=120°,?ABD90?,

・•・/GBN=30。,

：.NGBN=/GNB=/TCN=30。,

：.GB=GN,

,­*BD=yJAD2-AB2=1。6，

答案第10页，共21页

/.GB=GN=54,

PQ=543,

：.PQ=GN,

.•.四边形PGNQ是平行四边形，

/.PG=QN,

：.PM=PG=QN,

连BM,

贝！JBP+RW2BM,

故BP+QNNBM,

当8,P,M三点共线时，BP+QN取得最小值，最小值为期,

过点M作MH±AB于点H,

则AH=gAM=g(AD-5=7^产力7=

/.BH=AB-AH=-,

2

•*-BM=^BH2+MH2=5s，

/.第+尸。+。7^的最小值为56+5近，

故答案为：56+5币.

17.⑴0

⑵这

10

【分析】(1)先化简，后合并同类二次根式计算即可.

(2)根据二次根式的混合运算法则计算即可.

本题考查了二次根式的运算，熟练掌握运算法则是解题的关键.

【详解】(1)3宕-曲+3夜-厉

=3若-28+3忘-3石=也.

(2)2A/12X^-5A/2

答案第11页，共21页

二4—陪

1—也

18.

x+4'3

【分析】先根据分式混合运算法则进行化简，然后再代入数据求值即可.

【详解】解：原式=匕三十三二3

x—2x—2

_4-xx-2

x-2(x+4)(x-4)

1

=~，

x+4

原式=一万二_一曰

当x=G-4时,

【点睛】本题主要考查了分式的化简求值，解题的关键是熟练掌握分式混合运算法则，准确

计算.

19.用盆景铺满这块空地共需花费18000元.

【分析】首先利用勾股定理得出AC的长度，然后利用勾股定理得逆定理得到△ADC是直

角三角形，进而求出△ADC和.ABC的面积，两个面积之和即为空地面积.

【详解】解：如图，连接AC,

在中，AB=3,BC=4,ZABC=90°,

由勾股定理得AC=A/AB2+BC2=V32+42=5(米)，

在"DC中，AD2=132^52+U2^AC2+CD2,

由勾股定理得逆定理得△ADC是直角三角形，且/ACZ)=9()。,

...空地面积=$△ADC+S/^ABC

=-CDAC+-ABBC

22

答案第12页，共21页

=-xl2x5+-x4x3

22

=36（平方米）.

，用盆景铺满空地需要36x500=18000（元）.

答：用盆景铺满这块空地共需花费18000元.

【点睛】本题主要考查勾股定理和勾股定理得逆定理的应用，关键在于求出/4券=90。.

20.⑴直角

（2）画图见解析，CH=2

（3）画图见解析，。点的坐标为（4,2）

【分析】本题主要考查图形变换，勾股定理，平行四边形的性质和判定，掌握勾股定理的逆

定理，平行四边形的性质是解题的关键.

（1）根据格点的特点，分别求出的长度，再根据勾股定理的逆定理即可求解;

（2）首先根据网格的特点作交A8于点H,然后利用等面积法求解即可；

（3）首先根据平行四边形的判定画出图形，进而求出点。坐标即可.

【详解】（1）：472=22+42=20,BC2=12+22=5,AB2=32+42=25

AC"+BC2=AB1

ABC的形状为直角三角形；

（2）如图所示，即为所求；

ABC的面积=4x4-'xlx2-工x2x4-'x3x4=5

222

：女=32+42=25

AB=5

J.^ABCH=5,gp|x5CH=5

解得CH=2；

（3）如图所示，平行四边形ABC。即为所求；

答案第13页，共21页

点的坐标为（4,2）.

21.（1）“海天”号沿西北方向航行，理由见解析

（2）能在20分钟内回到海岸线，理由见解析

【分析】（1）根据勾股定理的逆定理得出A08是直角三角形，进而解答即可；

（2）过点A作于。，根据含30度角的直角三角形的性质，根据勾股定理得出F

到无轴距离，进而得出答案.

【详解】（1）解：：04=16x1.5=24（海里），03=12x1.5=18（海里），AB=30（海里），

O^+OB2=AB2,

•*.493是直角三角形，

ZAOB=90°,

•••“远航”号沿东北方向航行，

ZAON=45°,

：./3ON=90°—45°=45°,

•••“海天”号沿西北方向航行；

（2）过点尸作FD_LPE于。，

图2

答案第14页，共21页

3=16x2=32(海里)，

NOFD=ZNOF=30。,

:.OD=-FO

2

/.FD=陋OD,

:.FD=?OF=叵乂32=16屯(海里)，

22

20

V90x—=30(海里)，

60

30>16A/3,

...能在20分钟内回到海岸线.

【点睛】此题考查勾股定理的应用，关键是根据勾股定理的逆定理得出A08是直角三角形

解答.

22.(1)£

(2)33

【分析】(1)利用勾股定理求解即可；

(2)作ZDAC的角平分线交3C于点E,过点E作，AC于点〃，再证明一ABD冬AED,

△AED^AEM,由全等的性质可得OE=3r>=3,EM=DE=3,AD^AM,由勾股定理

求得CM,AD,再根据三角形的面积公式求解即可.

【详解】(1)解：AB=AC,CE=3,

:.AE=AB-3,

3E_LAC于E,

:.ZBEA^90°,

AB2=AE2+BE2,

BE=6,

AS2=(AB-3)2+62,

AB=--

2

(2)解：如图，作/ZMC的角平分线交BC于点E,过点E作ENLAC于点M,

答案第15页，共21页

A

图2

则/DAE=/CAE=-ADAC,

2

ZDAC=2^DAB,

:.ZDAB=ZDAE,

ADLBC于D,

:.ZADB=ZADE=90°,

在△AB。和△AE。中，

ZADB=ZADE

<AD=AD,

ZDAB=/DAE

AED(ASA),

DE=BD=3,

ED上AD,EM^AC,AE平分/DAC,

/.ZADE=ZAME=90°,/FAD=/FAM,

在△AED和AAEM中，

ZADE=ZAME=90°

<ZEAD=ZEAM,

AE=AE

,\Z\AED^AEM(AAS),

:.EM=DE=3,AD=AM,

DC=8,

.•.C石=8—3=5,

/.CM=y/CE2-EM2=4，

设AD=x,贝UAC=X+4,

在RtADC中，AD1+CD2=AC2,BPx2+82=(x+4)2,

答案第16页，共21页

解得：x=6,

AD=6,

ABC的面积=；BCAZ)=；X(3+8)X6=33.

【点睛】本题是三角形综合题，考查了勾股定理，全等三角形的判定和性质，三角形的面积,

角平分线的性质，熟练掌握知识点并灵活运用是解题的关键.

23.(1)PD+PE+PF=AB

(2)PD+PE+PF=AB

(3)PE+PF—PD=AB

【分析】(1)证平行四边形FE4F,推出==根据等腰三角形性质推出

NB=NC=NEPB,推出PE=3E即可；

(2)过点尸作MN〃CB分别交AB、AC于M、N两点，推出尸E+尸尸=40,再推出

=即可；

(3)过点P作分别交48、AC于M、N两点,推出PE+尸尸=40,再推出

=即可.

【详解】(1)结论是PD+PE+PF=AB,

证明：VPE//AC,PF//AB,

.•.四边形尸E4F是平行四边形，

:.PF=AE,

AB=AC,

:.ZB=ZC,

'：PE//AC,

:.NEPB=NC,

:.ZB=ZEPB,

:.PE=BE,

AE+BE=AB,

:.PE+PF=AB,

PD=O,

:.PD+PE+PF=AB.

答案第17页，共21页

(2)结论是BD+PE+尸尸=AB,

证明：过点尸作血N〃CB分别交A3、AC于Al、N两点,

由(1)得：PE+PF=AM,

四边形BDPM是平行四边形，

MB=PD,

:.PD+PE+PF=AM+MB=AB.

(3)结论是PE+RF—PD=AB.

证明：过点尸作MN〃CB分别交A3、AC延长线于M、N两点,

由(1)得：PE+PF=AM,

四边形BDPM是平行四边形,

MB=PD,

:.AB=AM-MB=P