2024届上海市数学高三第一学期期末教学质量检测模拟试题含解析

2024届上海市上海中学东校区数学高三第一学期期末教学质量检测模拟试题

考生请注意：

1.答题前请将考场、试室号、座位号、考生号、姓名写在试卷密封线内，不得在试卷上作任何标记。

2.第一部分选择题每小题选出答案后，需将答案写在试卷指定的括号内，第二部分非选择题答案写在试卷题目指定的

位置上。

3.考生必须保证答题卡的整洁。考试结束后，请将本试卷和答题卡一并交回。

一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

2

1.已知双曲线C:一一==13>0）的一条渐近线方程为），=2缶，K，B分别是双曲线C的左、右焦点，点尸

在双曲线C上,且附=3,则阳=（）

A.9B.5C.2或9D.1或5

2

2.在AABC中，C=30°,cosA=--,=—2,则AC边上的高为（）

A.立B.2C.75D.叵

22

3.已知函数/（x）=（"l）庇若对任意xeR,都有/（x）<l成立，则实数左的取值范围是（）

A.（-oo,1—e）B.（1—C.（-e,0]D.（1-e,l]

生中，如果/geos/=fesmC-/gsiaB=-应2，贝!的形状是（）

A.等边三角形B.直角三角形C.等腰三角形D.等腰直角三角形

5.新闻出版业不断推进供给侧结构性改革，深入推动优化升级和融合发展，持续提高优质出口产品供给，实现了行业

的良性发展.下面是2012年至2016年我国新闻出版业和数字出版业营收增长情况，则下列说法错误的是（）

我国新闻出版产业和数字出版业营收增长情况

25000.0-23595.8

18-21655.9

182464l99AeL*ri

200000-

150000-

100000-

5000.0-1043387.744035"-4

nnH口「1

0.0-

2012年20”年2014年2015年2016年

□数字出版业营业收入（亿元）

□新闻出版业营业收入（亿元）

A.2012年至2016年我国新闻出版业和数字出版业营收均逐年增加

B.2016年我国数字出版业营收超过2012年我国数字出版业营收的2倍

C.2016年我国新闻出版业营收超过2012年我国新闻出版业营收的1.5倍

D.2016年我国数字出版营收占新闻出版营收的比例未超过三分之一

6.已知命题p：是"2">2"”的充要条件；qHxeR,|x+l区x,则（）

A.（T>）vq为真命题B.Pvq为真命题

C.，八4为真命题D.〃人（「4）为假命题

7.某几何体的三视图如图所示，图中圆的半径为1,等腰三角形的腰长为3,则该几何体表面积为（）

4A

;iEW百7一福邮嘲

Q>z

tavtm

A.7万B.67rC.5万D.4万

8.已知M是函数f(x)=1nx图象上的一点，过“作圆％2+,2-2)=0的两条切线,切点分别为AB,则

的最小值为()

c/y

A.2A/2-3B--1C.0D.2--3

2

x+y-l>0

9.已知实数x，.V满足不等式组(2x—y+4»0,则|3x+4y|的最小值为()

4x+y—4W0

A.2B.3C.4D.5

2Q

10.已知函数/(x)=-------j—,g(x)=-x+m+2,若对任意为e[1,3],总存在/e[1,3],使得/&)=g(%)

成立，则实数加的取值范围为()

A.^,9B.1-।[9,+8)

-179](171,T9、

C.—D.-00,--,+oo

1.42」14jL2)

11.若直线2x+y+机=0与圆/+2%+/一23；-3=0相交所得弦长:为26，则"？=()

A.1B.2C.75D.3

x-2y-2<0

12.若x、>满足约束条件y+120，则z=3x+2y的最大值为（）

A.5B.9C.6D.12

二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。

-x-y>0

13.若x，）‘满足约束条件x+y-240,则z=3x—2y的最小值是,最大值是.

y>0

14.如图，在正四棱柱ABC。一中，P是侧棱CG上一点，且£P=2PC.设三棱锥P—DQB的体积为匕，

正四棱柱ABC。-44G9的体积为V,则孑的值为.

15.如图所示，在直角梯形3CDF中，NCBF=NBCE=90，A、O分别是8/、CE上的点，AD//BC,且

AB=DE=2BC=2AF（如图①）.将四边形ADE/沿AO折起，连接跖、BF、CE（如图②）.在折起的过程中,

则下列表述：

图①图②

①AC//平面BEF;

②四点8、C、E、F可能共面；

③若£F_LCE,则平面ADE/_L平面ABCD；

④平面BCE与平面BEF可能垂直.其中正确的是.

16.复数z=——(i为虚数单位)的虚部为.

1+z

三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

17.(12分)某机构组织的家庭教育活动上有一个游戏，每次由一个小孩与其一位家长参与，测试家长对小孩饮食习

惯的了解程度.在每一轮游戏中，主持人给出A,B,C,。四种食物，要求小孩根据自己的喜爱程度对其排序，然后

由家长猜测小孩的排序结果.设小孩对四种食物排除的序号依次为XAXeXBD,家长猜测的序号依次为加了成40,其中

222

XAXBXCX”和NUpycyo都是1,2,3,4四个数字的一种排列.定义随机变量X=(x/i-+(x»-JB)+(xc-jc)+

(切-yQ2,用X来衡量家长对小孩饮食习惯的了解程度.

(1)若参与游戏的家长对小孩的饮食习惯完全不了解.

(i)求他们在一轮游戏中，对四种食物排出的序号完全不同的概率；

(ii)求X的分布列(简要说明方法，不用写出详细计算过程)；

(2)若有一组小孩和家长进行来三轮游戏，三轮的结果都满足XV4,请判断这位家长对小孩饮食习惯是否了解，说

明理由.

18.(12分)已知椭圆。:三+今=1(4>〃>0)的离心率为孝，且过点(1,手).

(I)求椭圆C的方程；

(H)设。是椭圆。上且不在x轴上的一个动点，。为坐标原点，过右焦点尸作。。的平行线交椭圆于“、N两个

不同的点，求匕|M号N|的值.

IOQr

x=—+cosa

19.(12分)在平面直角坐标系xOy中，曲线C的参数方程为(々为参数).以原点。为极点，x轴

的正半轴为极轴，且两个坐标系取相等的长度单位，建立极坐标系.

7F

(1)设直线/的极坐标方程为夕=2,若直线/与曲线C交于两点A.B,求A3的长；

12

7[

(2)设M、N是曲线C上的两点，若NMON=—,求AOMN面积的最大值.

2

-12

20.(12分)已知矩阵加=-的一个特征值为3,求另一个特征值及其对应的一个特征向量.

21.(12分)已知函数/(幻=龙/一。02'(aeR)在定义域内有两个不同的极值点.

(1)求实数。的取值范围;

(2)若/(x)有两个不同的极值点不，x2,且不<马，若不等式玉+/1工2>0恒成立•求正实数X的取值范围•

22.（10分）在多面体A6CO斡中，四边形A8CO是正方形，CF1YWABCD,CFDE,AB=CF=2DE=2,

G为BE的中点.

(1)求证：CGJ_A尸；

(2)求平面86与平面AEE所成角的正弦值.

参考答案

一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1、B

【解题分析】

根据渐近线方程求得人，再利用双曲线定义即可求得月月.

【题目详解】

由于9=20,所以。=2夜，

a

又归周一出刚=2且|P司2c-a=2,

故选：B.

【题目点拨】

本题考查由渐近线方程求双曲线方程，涉及双曲线的定义，属基础题.

2、C

【解题分析】

结合正弦定理、三角形的内角和定理、两角和的正弦公式，求得BC边长，由此求得AC边上的高.

【题目详解】

过B作比）_LC4,交C4的延长线于。.由于cos4=—|,所以A为钝角，且sinA=Jl—cos2A,所以

sinNCBA=sin（"一ZCS4）=sin（A+C）=sinAcosC+cosAsinC=x---x—=~-.在三角形

32326

/BCV15-2

ABC中，由正弦定理得，一即不=而一2，所以8c=2指.在MA5c。中有

sinAsinB---------

36

BD=BCsinC=2后乂；=后,即AC边上的高为石.

故选：C

R

【题目点拨】

本小题主要考查正弦定理解三角形，考查三角形的内角和定理、两角和的正弦公式，属于中档题.

3、D

【解题分析】

先将所求问题转化为伏-1)X<《对任意X€R恒成立，即y=｝得图象恒在函数

y=(左-l)x图象的上方，再利用数形结合即可解决.

【题目详解】

由/")<1得—由题意函数y=/得图象恒在函数y=(A-I)x图象的上方，

作出函数的图象如图所示

过原点作函数y=4的切线，设切点为（。,份，则-e"h1

,解得a=-l,所以切

eaae

线斜率为-e,所以一e<Z—1W0,解得1—e<A:Wl.

故选：D.

【题目点拨】

本题考查导数在不等式恒成立中的应用，考查了学生转化与化归思想以及数形结合的思想，是一道中档题.

4、B

【解题分析】

化简得，gcosA=/g辿£=-1g2,.sineI,结合0</<兀，可求/_，，Wp,r，_sinC=JsinB,从而可求

京cosA-茄=54=3B+C-3；

C,B,进而可判断.

【题目详解】

由kcos/=feme-fesin5=-也2,可得lScosA=/磊=一蛇，,烦/=篝=:'

0<A<nfjR〃-烈•••sinf=，sin5=4m（空,7.,.tanC=4i,C=^,B=^.

；in

v"“A-3B+C-32?MycosC+/mC762

故选：B

【题目点拨】

本题主要考查了对数的运算性质的应用，两角差的正弦公式的应用，解题的关键是灵活利用基本公式，属于基础题.

5、C

【解题分析】

通过图表所给数据，逐个选项验证.

【题目详解】

根据图示数据可知选项A正确;对于选项B：1935.5x2=3871<5720.9,正确;对于选项C：16635.3x1.5>23595.8,

故C不正确；对于选项D：23595.8x1«7865>5720.9,正确.选C.

3

【题目点拨】

本题主要考查柱状图是识别和数据分析，题目较为简单.

6、B

【解题分析】

由y=2'的单调性，可判断p是真命题；分类讨论打开绝对值，可得q是假命题，依次分析即得解

【题目详解】

由函数y=2、是R上的增函数，知命题p是真命题.

对于命题q,当x+120,即xN—1时，|x+=x+1>x;

当x+l<0,即x<—1时，|x+l|=-x—1,

由一次—得光=一5,无解，

因此命题q是假命题.所以(「P)vq为假命题，A错误；

为真命题，B正确；

〃八夕为假命题，C错误；

“△(r)为真命题，D错误.

故选：B

【题目点拨】

本题考查了命题的逻辑连接词，考查了学生逻辑推理，分类讨论，数学运算的能力，属于中档题.

7、C

【解题分析】

几何体是由一个圆锥和半球组成，其中半球的半径为1,圆锥的母线长为3,底面半径为1,计算得到答案.

【题目详解】

几何体是由一个圆锥和半球组成，其中半球的半径为1,圆锥的母线长为3,底面半径为1,故几何体的表面积为

1,

—x3x2万+2万=5万.

2

故选：C.

【题目点拨】

本题考查了根据三视图求表面积，意在考查学生的计算能力和空间想象能力.

8、C

【解题分析】

先画出函数图像和圆，可知若设NAMB=28,贝加加4卜囚5卜烹，所以

MA-MB=\MA^cos2^=2sin2^+—V--3,而要求的最小值，只要sin。取得最大值，若设圆

sm0

%2+9一2》=0的圆心为C,贝|sin®=而，所以只要|MC|取得最小值，若设M(x,lnx),则

|MC|2=x2+(lnx-l)2,然后构造函数g(x)=x2+(lnx-1%利用导数求其最小值即可.

【题目详解】

记圆％2+y2-2y=0的圆心为C,设Z4MC=e,贝!||M川=|班=3，冈11。=而，设

M(x,Inx),\MC^=X2+(Inx-1)2,记g(无)=1+(in无一1尸，贝ij

g'(x)=2x+2(lnx-l)・一=一(一+lnx-l),令〃(x)=x2+lnx-1,

xx

因为〃(乃=1+111%-1在(0,+8)上单调递增，且/z(l)=O,所以当O<X<1时，，2(x)</z(l)=0,g'(x)<0；当X>1

时，/7(x)>〃(l)=0,g'(x)>0,则g(x)在(0,1)上单调递减，在(I,”)上单调递增，所以g(x)1nhi=g(D=2,即

1,所以412cos26=2sin2e+一一一3>0(当sin6=立时等号成立).

|MC|®/2,0<sin6>

2sin'32

此题考查的是两个向量的数量积的最小值，利用了导数求解，考查了转化思想和运算能力，属于难题.

9、B

【解题分析】

3

作出约束条件的可行域，在可行域内求z=3x+4.v的最小值即为|3x+4y|的最小值，作y=-1x,平移直线即可求解.

【题目详解】

x+y-l>0

作出实数X，)'满足不等式组《2x—y+4N0的可行域，如图(阴影部分)

4x+y-440

故Zmin=3xl+0=3,

即|3x+4y|的最小值为3.

故选：B

【题目点拨】

本题考查了简单的线性规划问题，解题的关键是作出可行域、理解目标函数的意义，属于基础题.

10、C

【解题分析】

将函数/(x)解析式化简,并求得尸(x)，根据当％e[1,3]时/'(x)>0可得/(占)的值域；由函数g(x)=r+加+2

在9e[1,3]上单调递减可得g(w)的值域，结合存在性成立问题满足的集合关系，即可求得的取值范围.

【题目详解】

依题意/(x)/+3，+3「2+x+2(x+l)+l

v7x+1x+1

=XH-----------F2

X4-19

贝M'(X)=1—L

(x+1)

当xe［l,3］时，_f(x)>(),故函数〃x)在［1,3］上单调递增,

「「

当办<1,3］时,〃西)€匕7,121

而函数8(%)=-％+加+2在［1,3］上单调递减，

故g(X2)e［mT,m+l］，

"721~1

则只需+

24

故~；2解得1丁7《加《9

,、2142

Z72+1>——

I4

'179"

故实数/〃的取值范围为—.

_42_

故选：C.

【题目点拨】

本题考查了导数在判断函数单调性中的应用，恒成立与存在性成立问题的综合应用，属于中档题.

11、A

【解题分析】

将圆的方程化简成标准方程，再根据垂径定理求解即可.

【题目详解】

圆/+2x+/一2y-3=0的标准方程(x+1尸+(y-=5,圆心坐标为(-1,1)，半径为小，因为直线2x+y+m=Q

与圆/+2%+/一2了-3=0相交所得弦长为2班,所以直线2%+丁+m=0过圆心,得2*(-1)+1+m=0,即加=1.

故选：A

【题目点拨】

本题考查了根据垂径定理求解直线中参数的方法，属于基础题.

12、C

【解题分析】

作出不等式组所表示的可行域，平移直线z=3x+2y,找出直线在)，轴上的截距最大时对应的最优解，代入目标函数

计算即可.

【题目详解】

x—2y—2<0

作出满足约束条件x-y+120的可行域如图阴影部分（包括边界）所示.

y<0

3z3z3z

由z=3x+2y,得y二一不彳+孑，平移直线y=—；x+5,当直线y=-;x+w经过点（2,0）时，该直线在），轴上

222222

的截距最大，此时z取最大值，

即Zmax=3x24-2x0=6.

故选：C.

【题目点拨】

本题考查简单的线性规划问题，考查线性目标函数的最值，一般利用平移直线的方法找到最优解，考查数形结合思想

的应用，属于基础题.

二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。

13、06

【解题分析】

作不等式组对应的平面区域，利用目标函数的几何意义，即可求出结果.

【题目详解】

31

求z=3x-2y的最值，即求直线y=在＞轴上的截距最小和最大时，

当直线2=3%一2），过点。（0,0）时，）’轴上截距最大，即z取最小值，

z.=3x0-2x0=0.

当直线z=3x-2），过点8（2,0）时，＞轴上截距最小，即z取最大值，

z“心=3X2-2X0=6・

故答案为：0;6.

【题目点拨】

本题主要考查了线性规划中的最值问题，利用数形结合是解决问题的基本方法，属于中档题.

1

14、-

6

【解题分析】

设正四棱柱A8C。-48。。的底面边长==高44=人，再根据柱体、锥体的体积公式计算可得.

【题目详解】

解：设正四棱柱ABC。—44C2的底面边长AB=8C=a,=b,

o

则1Gl^ABCDX—Clb,

Vp-DQB=VB-D'DP~SADQP'BC=^x^aba=^a2b

-VpfDB_1匕_1

••一,即--——

匕BCD-A禺GD]6V6

故答案为：7

6

【题目点拨】

本题考查柱体、锥体的体积计算，属于基础题.

15、①（§）

【解题分析】

连接AC、BD交于点M,取8E的中点N,证明四边形AKVM为平行四边形，可判断命题①的正误；利用线面平

行的性质定理和空间平行线的传递性可判断命题②的正误；连接。尸，证明出WEF,结合线面垂直和面面垂直

的判定定理可判断命题③的正误；假设平面8CE与平面孤下垂直，利用面面垂直的性质定理可判断命题④的正误.

综合可得出结论.

【题目详解】

对于命题①，连接AC、BD交于点M，取BE的中点M、N,连接MN、FN,如下图所示:

则且AF7/OE,四边形A8CO是矩形，且ACB£>=为8□的中点，

2

QN为BE的中点，；.MN//DE且MN=^DE,：.MN〃AF且MN=AF,

，四边形AfTVW为平行四边形，.•.A〃〃MV,即AC//FN,

ACZ平面3EF,FNu平面BEF,，AC”平面BEF，命题①正确；

对于命题②，QBC//AD,8。2平面4。所，的匚平面也后/〜二8^^/平面人力所，

若四点8、C、E、F共面，则这四点可确定平面。，则BCua,平面。平面4）上尸=石尸，由线面平行的性

质定理可得BC//EF,

则瓦7/AO,但四边形4DE户为梯形且AD、EF为两腰,AO与EF相交，矛盾.

所以，命题②错误；

对于命题③，连接。尸、CF,设AD=A尸=a,则O£=2a,

7T

在必AA£＞尸中，AD^AF^a,ZDAF=~,则A4QE为等腰直角三角形，

2

且ZAFD=ZADF=工,DF=后，："EDF=4,且。£=2a,

44

由余弦定理得EF2=DE2+DF2-1DEDFcosZEDF=2a2,：,DF2+EF2=DE2，

:.DFA.EF,又：EF上CF,DFCF=F,EF工平面CDF,

CDu平面CDF,:.CD上EF,

CDLAD,AD，族为平面ADEF内的两条相交直线，所以，CD，平面ADEF,

•.•CDu平面ABC7),，平面AD石尸_L平面ABC。，命题③正确；

对于命题④，假设平面BCE与平面BEF垂直，过点尸在平面B所内作£G_L6£,

平面BCE_L平面BEP，平面8CE平面BEF=BE,FGYBE,RJu平面BEE,

.•.EG，平面BCE,

8。€:平面8。七，，3。_18，

ADYAB,ADA.AF,BC//AD,BC1AB,BC1.AF,

又QA5IAF=A,..8C_L平面ABb,所＜=平面43尸，，3。_13尸.

FGBF=F,;.BC上平面BEF,EFu平面BEF,：,BC上EF.

AD/IBC,,.EF±AD,显然EF与AZ)不垂直，命题④错误.

故答案为：①③.

【题目点拨】

本题考查立体几何综合问题，涉及线面平行、面面垂直的证明、以及点共面的判断，考查推理能力，属于中等题.

16、1

【解题分析】

2i2i(\一力2；+2

试题分析：：=二=，一=二^=1一,即虚部为1,故填：1.

1+：I1-:11-;12

考点：复数的代数运算

三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

17、(1)(i)9(ii)分布表见解析；(2)理由见解析

8

【解题分析】

(1)(i)若家长对小孩子的饮食习惯完全不了解，则家长对小孩的排序是随意猜测的，家长的排序有24种等可

能结果，利用列举法求出其中满足“家长的排序与对应位置的数字完全不同”的情况有9种，由此能求出他们在一轮游

戏中，对四种食物排出的序号完全不同的概率.

(ii)根据(D的分析，同样只考虑小孩排序为1234的情况，家长的排序一共有24种情况，由此能求出X的分布列.

(2)假设家长对小孩的饮食习惯完全不了解，在一轮游戏中，P(X<4)=P(X=0)+P(X=2)=!，三轮游戏结果

都满足“XV4”的概率为一二<工，这个结果发生的可能性很小，从而这位家长对小孩饮食习惯比较了解.

2161000

【题目详解】

(1)(O若家长对小孩子的饮食习惯完全不了解，

则家长对小孩的排序是随意猜测的，

先考虑小孩的排序为XA,XB,xc,XD为1234的情况，家长的排序有A：=24种等可能结果，

其中满足“家长的排序与对应位置的数字完全不同”的情况有9种，分别为：

2143,2341,2413,3142,3412,3421,4123,4312,4321,

93

家长的排序与对应位置的数字完全不同的概率尸=一=-.

248

基小孩对四种食物的排序是其他情况，

只需将角标A,B,C,。按照小孩的顺序调整即可，

假设小孩的排序XA,XB,xc,XD为1423的情况，四种食物按1234的排列为ACOB,

再研究yAyBycyD的情况即可，其实这样处理后与第一种情况的计算结果是一致的，

他们在一轮游戏中，对四种食物排出的序号完全不同的概率为：.

O

(«)根据⑴的分析，同样只考虑小孩排序为1234的情况，家长的排序一共有24种情况,

列出所有情况，分别计算每种情况下的x的值，

X的分布列如下表：

X02468101214161820

1]_12111]_1]_1

P

24824612nn624824

(2)这位家长对小孩的饮食习惯比较了解.

理由如下：

假设家长对小孩的饮食习惯完全不了解，由(1)可知，在一轮游戏中,

P(X<4)=尸(X=0)+P(X=2)=-,

6

三轮游戏结果都满足“XV4”的概率为(!)3=—!<士；，

62161000

这个结果发生的可能性很小，

.•.这位家长对小孩饮食习惯比较了解.

【题目点拨】

本题考查概率的求法，考查古典概型、排列组合、列举法等基础知识，考查运算求解能力，是中档题.

22

18、（I）—+^-=1（II）1

42

【解题分析】

(I)由题，得e=£=①，二+==1,解方程组，即可得到本题答案;

a2a22b2

x=my

(II)设直线。。：*=阳，则直线MN:x=my+夜，联立＜—

x-my+V2

4m24_4AW2+4

\OQ^=x^+y2，联立x2y21，得

Qnv+2+/+2m2+2

、42

|MN1="^\/（必+%）2-4乂%=TTTG7J（竺竺）2+Y—=/a,由此即可得到本题答案.

v1--1-Vm2+2m2+2m2+2

【题目详解】

(I)由题可得e=£=也，即

a222

将点1,当代入方程得*+募=1,即5+.=1，解得/=4,

22

所以椭圆C的方程为：土+匕=1；

42

(U)由(I)知,F(x/2,0)

设直线OQ：x=my,则直线=+夜，

x=my

整理得工2=有4

联立VV%2=

-----1------1+2nr+2

142

2

所以lOOk&/+yQZ4nf44m+4

-7-----+-n-----=—；-------

m~+2tn+2trr+2

x—my+V2

联立《尤22整理得（根2+2）丁+2y/2my-2=0,

—+^-=1

I42

设MGQJNK，%）,则乂+%=一涕叱=一品，

所以|MN|=横+病"（乂+%）2-4%%=VF+M/（2卢加—+81—‘彳+4

V机~+2m+2+2

4m2+4

\MN_\_〃广+2_1

所以.9.11

\0Q\24m+4

m2+2

【题目点拨】

本题主要考查椭圆标准方程的求法以及直线与椭圆的综合问题，考查学生的运算求解能力.

19、（1）V2;（2）1.

【解题分析】

（1）利用参数方程、普通方程、极坐标方程间的互化公式即可；

（2）M（g,e）,N（02，e+3,由（1）通过计算得到s=；月夕2sin^=sin（2e+m）,即最大值为1.

【题目详解】

（1）将曲线c的参数方程化为普通方程为（x-g]+（丁—亭）=1,

即x2+y2-x-y/3y=0；

再将Y+y2=02,X=pcos09y=psin。代入上式,

得p1-pcos。一百夕sin。=0,

故曲线C的极坐标方程为夕=2sin1e+J

显然直线/与曲线C相交的两点中，

必有一个为原点O,不妨设。与A重合，

即|A同=|0却"0=工=2sin],+/=0.

12\O12/

（2）不妨设M（g,e）,+

则—QWN面积为

1.兀1c-（c兀）C-（c兀兀）

Sc—一夕]夕2sin———,2sin0-\—,2sin04---1—

2226Jy26J

=2sin（e+^cos（6+V）=sin（2e+。）

当5山（26+与）=1,即取0=1时，S—l.

【题目点拨】

本题考查参数方程、普通方程、极坐标方程间的互化，三角形面积的最值问题，是一道容易题.

20、另一个特征值为1,对应的一个特征向量a=

—1

【解题分析】

根据特征多项式的一个零点为3,可得“=i,再回代到方程/（4=0即可解出另一个特征值为4=-1,最后利用求

特征向量的一般步骤，可求出其对应的一个特征向量.

【题目详解】

矩阵”的特征多项式为：

/⑷=12几:=（4-1）（4-+4,

4=3是方程/"）=0的一个根，

「12一

」.（3-1）（3-a）—4=0,解得a=l,即知=2]

，方程/（4=0即（％—1）（4-1）-4=0,42—22—3=0，

可得另一个特征值为：4=-1,

,「X

设4=T对应的一个特征向量为：a~

y.

f-2x-2y=0

则由4a=A/a,得〈-^x=-y,

--2x-2y=0

令x=l,则y=-l,

所以矩阵M另一个特征值为-1,

-1

对应的一个特征向量a=

-1

【题目点拨】

本题考查了矩阵的特征值以及特征向量，需掌握特征多项式的计算形式，属于基础题.

(n

21、(1)0,-；(2)A>1.

【解题分析】

Y4-1

(1)求导得到彳+1-2。炉=0有两个不相等实根，令2a=「一=/z(x),计算函数单调区间得到值域，得到答案.

X+1故/?(X])</z]—