四川省乐山市2023届高三三模理科数学试题（解析版）

乐山市高中2023届第三次调查研究考试

数学(理工类)

注意事项：

1.答卷前，考生务必将自己的姓名、座位号和准考证号填写在答题卡上.

2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需

改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上.写

在本试卷上无效.

3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回.

一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一

项是符合题目要求的.

「…人4=卜*_工-6«0]B=[x\-A<x<a\Q皿…珀…

1.已知集合[I>,I且L,则实数。的取值

范围是()

A.(-4,-2]B.(-3,-2]

C.[-3,3]D.[-2,3]

【答案】D

【解析】

【分析】求出集合A,利用并集的定义可求得实数。的取值范围.

【详解】因为A={x,—x—6K0}={H—2Kx<3},B=[x\-A：<x<a],且

AoJB=|x|-4<%<31,

-4-2a3x

所以，—2<a<3.

故选：D.

2.已知向量q,满足a.b=-2，|6|=1，则()

A.-4B.-2C.0D.4

【答案】A

【解析】

【分析】由数量积的运算律计算.

【详解】由已知，(a—26)/=。•。一2片=—2—2xF=—4.

故选：A.

3.工业生产者出厂价格指数(PPI)反映工业企业产品第一次出售时的出厂价格的变化趋势和变动幅度，

对企业的生产发展和国家宏观调控有着重要的影响.下图是我国2022年各月PPI涨跌幅折线图.(注：下

图中，月度同比是将上年同月作为基期相比较的增长率；月度环比是将上月作为基期相比较的增长率)

下列说法中，最贴切的一项为()

A.2021年PPI逐月减小

B.2022年PPI逐月减小

C.2022年各月PPI同比涨跌幅的方差小于环比涨跌幅的方差

D.2022年上半年各月PPI同比涨跌幅的方差小于下半年各月PPI同比涨跌幅的方差

【答案】D

【解析】

【分析】由折线图数据，结合同比与环比概念、方差大小与数据波动情况的关系进行辨析即可.

【详解】对于A,由2022年10月，PPI同比为负可知，2021年10月PPI大于2022年10月PPL

由2022年10月，PPI环比为正可知,2022年10月PPI大于2022年9月PPI,

由2022年9月，PPI同比为正可知,2022年9月PPI大于2021年9月PPL

故2021年10月PPI大于2021年9月PPLPPI逐月减小说法不正确，故选项A错误；

对于B,2022年2月、3月等月份，PPI环比均为正，相对于上月有增长，PPI逐月减小说法不正确，故选

项B错误；

对于C,2022年PPI同比涨跌幅的数据波动幅度明显比环比涨跌幅的数据波动幅度要大，

因此2022年各月PPI同比涨跌幅的方差大于环比涨跌幅的方差，故选项C错误；

对于D,2022年上半年各月PPI同比涨跌幅的数据波动幅度明显比下半年各月PPI同比涨跌幅的数据波动

幅度要小，

因此2022年上半年各月PPI同比涨跌幅的方差小于下半年各月PPI同比涨跌幅的方差，故选项D正确.

故选：D.

4.执行下图所示的程序框图,若输入N的值为8,则输出S的值为（）

-Ji

A.-72B.C.0D.—

2

【答案】c

【解析】

【分析】模拟程序运行，确定程序功能可得结论.

JT2兀.3兀.4兀.5兀.6兀.7兀.8兀

【详解】模拟程序运行可得：S=sin—+sin---l-sin---1-sin---l-sin---1-sin---1-sin---1-sin——

44444444

=走+1+走+0.变一变+0=0,

2222

故选：C.

5.将4名成都大运会志愿者分配到三个场馆,每名志愿者只分配到1个场馆，每个场馆至少分配1名志愿

者，则不同的分配方案共有（）

A.6种B.24种C.36种D.48种

【答案】C

【解析】

【分析】选2人去一个场馆，其余2人各去一个场馆，即可得.

【详解】由题意有且只有2名志愿者去一个场馆，因此不同的分配方案数为CjA；=36,

故选：C.

4

6.函数/(/=।x।的图象大致为()

J')e1+x+e1-x

【答案】A

【解析】

【分析】由函数的奇偶性和单调性进行辨析即可.

【详解】由己知，f(x}=-....l定义域为R，VxeR,都有-xeR,

、e+e

-x)4

+e「(r)一/f皿

•••函数/(%)为偶函数，其图象关于y轴对称，排除选项B和选项C.

1+x31+A

8+X+ei-xI(e_ei)X[4仁+)-x(e-e^)]

(e1+x+e'-A)2(e^+e1-")2

令g(x)=4(e""+)一-e」*),

则g'(九)=4(e1+x-e^)—(e"x—ej)—x(e1+t+广")=(3-x)e1+x-(3+x)e1^,

当x>3时,g'(%)<0,g(x)在区间(3,xo)上单调递减,

又g⑸=4.+厂)—5.—厂)=—e6+<0,

...当1>5时，g(x)<0,...当x>5时，f'(x)<0,

"%)在区间(5,+8)单调递减，故排除选项D.

故选：A.

7.将函数〉=5诂[2%+=]的图象向左平移2个单位长度，所得图象的函数()

I3；12

兀3n3兀

A.在区间上单调递减B.在区间71,—上单调递减

122」L2J

3兀5兀

C.在区间［兀,2可上单调递增D.在区间上单调递增

【答案】B

【解析】

【分析】结合函数的周期性可直接判断AC,求出平移后相应函数的解析式并化简，结合余弦函数性质判断

BD.

【详解】函数的最小正周期是7=?=兀，选项AC中区间长度是一个周期，因此不可能单调，图象左右

2

平移后也不可能单调，AC错；

函数y=sin"x+1］图象向左平移专个单位长度，所得图象的函数解析式为

y=sin［2(x+《)+三1=sin(2x+］)=cos2元,

371

选项B,xe［兀,一］时，2xe［2兀,3兀］,在此区间上y=cos2x是减函数，B正确；

2

353s

选项D,xe—时，2xe［—在此区间上y=cos2x不是单调函数，D错误.

_44J22

故选：B.

8.记S),为等差数列｛%｝的前〃项和，己知。1=-9,出+%=T。，则S”的最小值为()

A.-25B.-35C.-45D.-55

【答案】A

【解析】

【分析】由己知求得公差d,得等差数列前九项和S“，结合二次函数知识得最小值.

【详解】设公差为d,

则4+%=(-9)+d+(-9)+3d——10,d=2,

22

Sn=nx(-9)+x2=n-10n=(zi-5)-25,

所以〃=5时，S“取得最小值—25.

故选：A.

9.已知抛物线C：V=8%的焦点为R准线为/,过点尸的直线交。于P,。两点，PH上I于H,若

|HF|=|PF|,O为坐标原点，则Z\PFH与_OFQ的面积之比为（

A.6B.8C.12D.16

【答案】C

【解析】

【分析】根据给定的条件，求出直线PQ的方程，与抛物线方程联立求出P凡的长即可求解作答.

【详解】依题意，由于"，得|尸⑶=|尸司=|〃耳，即APEH是正三角形，

ZPFx^ZFPH=60，

而尸（2,0）,则直线尸。的方程为y=^（x-2）,

由,,一君（x—2）,消去y并整理，得3%2_20%+12=0,

y=8x

2

令尸（七,弘）,。（九2，%），解得玉=6,%=§，又准线/：%=—2,

Q

因此|「歹|=%+2=8,|。/|=%+2=§,

1,

S-\PF\-sin60g2

所以公PFH与/OFQ的面积之比p丝=丁2----------------------=--=12.

S.OFQjl2^MOF|sin601x2

故选：C.

10.在直三棱柱ABC-4与。1中，AB=AC=6，3C=A&=2,点p满足

CP=mCB+^-m^CCy,其中加e0,1,则直线AP与平面BCC1用所成角的最大值为（）

717171571

A.-B.-C.-D.—

64312

【答案】B

【解析】

【分析】分别取3C,用G中点2。，分别DA,DB,DD［为x,%z轴建立如图所示的空间直角坐标系

D-xyz,由空间向量法求线面角的正弦值，然后结合函数知识得最大值。

【详解】分别取中点2R,则DD{HBBX,即DDX，平面ABC,

连接AD,因为A5=AC,所以1BC,

分别DA,DB,DR为羽yz轴建立如图所示的空间直角坐标系D-xyz,

由已知AD=后，A(0,O,O),8(0』,0),C(0,-l,0),q(0,-1,2),

则CB=(0,2,0),Cq=(0,0,2),

因为CP=mCB+-=(0,2m,3-2m),

AC=(-V2,-1,0),

AP=AC+CP=(-42,2m-1,3-2m),

易知平面BCC&i的一个法向量是〃=(1,0,0),

7T

设直线AP与平面5CG与所成角为。，则。

sin6=cos(n,AP)=.2^f.=叵一应

'/MAP,2+(2根—I)?+(3—2机1,8(m—I)?+4

所以根=1时，(Sin6»)max，即。的最大值是巴.

、/max24

11.已知函数y=e*-ax有两个零点均、巧，函数y=lnx—1x有两个零点巧、x3,给出下列4个

--a

结论：①占=111%2；②％=e*；③%=13；@^-x3=xf.其中所有正确结论的序号是()

A.①②B.②③C.①②③D.①②④

【答案】D

【解析】

【分析】在同一坐标系作出y=e，与y=ln%的图象，利用反函数的基本性质逐项判断，可得出合适的选项.

【详解】在同一坐标系作出y=F与y=ln%的图象，

贝U曲线y=e'在(帆,em)处的切线方程为y-em=em(x-m),

将原点代入切线解得m=l,故y=/在(1,e)处的切线方程为V=",

y=e"—ax有两个零点，则a〉e,

由于y=e，与y=ln%,丁=侬与y=1x互为反函数，

a

故y=lnx—L%有两个零点，则a>e,

a

设函数y=⑪与y=e'图象交点坐标分别为4石,)、B(x2,e^);

_y=1大与y=ln%图象交点坐标分别为C(%2,hq)、D(x3,lax3).

其中点A、c关于直线y=x对称，B、。关于直线y=x对称，

则石=ln%2，%3=e"2,且$・％3=]n%2，e巧二工马.但二%;，

a

对于③，构造函数/(%)=e“一%—1,其中%>0,则广(x)=e"一1>0,

所以，函数八％)在(0,+8)上单调递增,则"%)=e-0,

故当x>0时，e">x+l，

构造函数g(x)=lnx-x+l,其中x>0,则g[x)=——l=----,

当0cx<1时，g'(x)>0,此时函数g(x)单调递增,

当x〉l时，g'(%)<0,此时函数g(x)单调递减，

故当x>0时，g(x)=lnx-x+l<g(l)=0,即x—iNlnx(当且仅当x=l时，等号成立)，

若西二记，则X]=e%>x3+1,又因为％=e*〉%+1，可得演>々，

所以，/七>(毛+1)%=为；+七>%；，与④矛盾，③错.

故选：D.

【点睛】结论点睛：互为反函数的两个函数的性质：①反函数的定义域和值域分别为原函数的值域与定义

域；

②严格单调的函数存在反函数，但有反函数的函数不一定是单调的(比如反比例函数)；

③互为反函数的两个函数关于y=%对称，

④奇函数不一定有反函数，若有反函数，则反函数也时奇函数；

⑤如果一个函数图象关于y=%对称，那么这个函数一定存在反函数，并且其反函数就是它本身.

22

12.设。为坐标原点，耳，K是双曲线H：二-谷=1(。>0*>0)的左、右焦点.过耳作圆。：

ab

4

/+/=62的一条切线片7，切点为T，线段片T交H于点M,若sinN用明=《，△OMT的面积为

1，则X的方程为()

2222

A,土-匕=1B.工-匕=1

2422

222

C.%2_匕=1D,土-工=1

1644

【答案】D

【解析】

【分析】由双曲线定义，△OMT的面积，直角△。吟中的锐角三角函数和△耳〃工中的正弦定理、余弦

定理建立。，b,。之间的关系方程，再求解即可.

又耳T,.•.在直角△OT£中,闺T|=J|OE『—|O7f=&2—b2=a，

\OTb

且sinN7T；O="i^——--

.\OFX

^\OT\-\MT\_\MT\-b_

在△OMT中,OTLMT,△QWT的面积5次除------------------------1?

22

•••IM=|

b

在△耳加工中,sinNMFF2=sin/TFQ=-,

c

\MF\

由正弦定理,2

sinZFxMF2sinZMF^

02

7=5b

42

5

5〃

由双曲线定义，|町|=|北里|—2a=5—2a,

99

又耳T|=a,|MT|=g,.•.眼£卜

.5/72Hs_5b2

・・-----2。=a----，Bpici-----1—.

2b2b

43

•.•NET。为直角，.•.易知为钝角，.•.由sinN耳鸣=g知，cosZF.MF^--

在△耳加工中，由余弦定理，闺月「=|四川2+|丽可2_2眼耳,必讣©os/及陷,

22

5bI5b-2xfy-2ajx3

-----la+生x

2

2整理得"-"=/?

：.4a2+4/---lQab+4a+^^+---6ab,9-a)=0,

442

・・b=a.

5b2

又3a-1—,将Z?=a代入，解得a=b=2.

2b

22

双曲线7/的方程为：—-^=1.

44

故选：D.

【点睛】本题的解题关键，是建立起。，b,c之间的关系，通过方程组进行求解.作为选择题，可以适当

5b2

运用解题技巧：当得到。，〃之间的第一个关系3a=—+—时，可以通过将选项中的。，〃依次代入检

2b

验，快速选出正确选项.

二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.

7+i

13.-------

3+4i

【答案】1—i

【解析】

【分析】利用复数的除法运算直接计算作答.

…叔、7+i_(7+i)(3-4i)_25-25i_

【I羊角牛】———11

3+4i(3+4i)(3-4i)25

故答案为：1—i

2x-3y+6>0,

14.已知无，y满足约束条件|2x+y+220,则3尤的最小值为.

x<1,

【答案】~

2

【解析】

【分析】作出可行域，作出目标函数对应的直线，平移该直线可得最优解.

【详解】作出可行域，如图，内部(含边界)，

作直线/:3x-y=0,

在直线z=3x-y即y=3x-z中，-z为直线的纵截距，因此直线向上平移时，z减小,

3

2x-3y+6=0x——3

由<"得＜2,即A(——,1),

[2x+y+2=Q"12

311

平移直线/,当它过点4--,1）时，z=3x—y取得最小值

22

故答案为：一；.

15.已知数列｛。“｝满足aa+i=2。“+2,%=1,则。“=.

【答案】3x2"T-2

【解析】

【分析】凑配法得出数列｛6,+2｝是等比数列，由等比数列的通项公式可得结论.

【详解】由。用=2%+2得a.+2=2（为+2）,又q+2=3,

a,,+2-

所以」±^_=2,即｛4+2｝是等比数列，

。“+2

所以a“+2=3x2"T,即4=3X2"T—2.

故答案为：3x2"T-2.

16.在三棱锥P—ABC中，PA=PC=BA=BC=2,平面？AC,平面ABC,则三棱锥P—ABC的外

接球表面积的最小值为.

【答案】16（V2-l）7i

【解析】

【分析】分别过和一ABC的外心作平面24c和平面ABC的垂线，则垂线交点为三棱锥外接球的

球心，再利用图形中的几何关系，将外接球半径的平方尺2表示为函数关系，求其最值即可.

如图，取AC中点£),连接PD,BD,

由PA=PC=BA=BC=2,则POLAC,BDLAC,

由面B4c，面ABC,面PAC面ABC=AC，PDu面PAC,所以？D_L面ABC,

而5。匚面ABC,所以PDLND,

/、

JI

设ZAPD=e,0e0,-,则PD=2cose,AD=2sin0

I2)

易知VABCM/VLPC,BD=PD=2COS0,

取ZiAPC外接圆的圆心。一易知。।在直线P。上，设△APC外接圆半径为广,

1AC12AD12x2sin。1

由正弦定理,r=POX=—X---------------------=—X--------------=—X--------------------------

2sinZAPC2sin2022sin^cos6,cos。

同理，取△APC外接圆圆心。2，则。2在直线尸。上，BO,=----

cos6>

过0,02分别做平面PAC和平面ABC的垂线交于点。,

易证OQAsOOXP=OOXC,OO2A=OO2B=/\OO2C,

：.OP=OA=OB=OC,。为三棱锥P—ABC外接球的球心.

①当P£)=2cos92—-—=尸。时，—<cos20<1,cosdej"/，0Q,—

cos02[2JI4.

。一。2分别在线段P£>，BD上,易知OO]=80—30,=2cos6———,

COS。

设三棱锥P—ABC外接球的半径为R,贝!J,

7?2=OP2=OQ2+PO.2=f2cos6»———+f-^—=4cos26>+^-—4,

11cos6»Jlcos6>Jcos?。

由基本不等式，A?=4cos2g+一——422」4cos2。.一——4=4&—4,

cos2evcos2e

当且仅当4cos29=^^,即cos?。：也时，等号成立.

cos02

②当P£)=2cos8<--—=PQ］时，0<(?0$2。<工，COS^G0,—,0e(—,—

cos。2(2J<42

。1，R分别在线段PD，BD的延长线上，如下图所示，

止匕时，7?2=OP2=OOf+PO；=|———2cos+||=4COS26>+^——4,

(cos。)^cos6»Jcos?。

,1

0<cos'A?>2,且无最小值.

2

综上所述，A?的最小值为=4忘—4,

三棱锥尸—ABC的外接球表面积的最小值为Sg=4成髭=16(、历-1)兀.

故答案为：16(0-1)兀.

【点睛】方法点睛：解决外接球问题方法的核心是找球心，找球心常用方法：

(1)定义法：到几何体所有顶点距离相等的点是外接球的球心；

(2)补形法：将几何体补形为正方体或长方体，则体对角线的中点为外接球的球心；

(3)垂线法：小圆圆心的垂线过球心.

三、解答题：共70分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.第17~21题为必考题,

每个试题考生都必须作答.第22、23题为选考题，考生依据要求作答.

(一)必考题：共60分.

17.某地区为深入贯彻二十大精神，全面推进乡村振兴，进一步优化农产品结构，准备引进一条农产品加

工生产线.现对备选的甲、乙两条生产线进行考察，分别在甲、乙两条生产线中各随机抽取了200件产

品，并对每件产品进行评分，得分均在［75,100］内，制成如图所示的频率分布直方图，其中得分不低于

90产品为“优质品”.

频率频率

毓

0.10

96

C5

0.054

^3

0.032

.O

0.01.O

O7580859095100得分O7580859095100得分

甲生产线乙生产线

(1)求在甲生产线所抽取200件产品的评分的均值(同一区间用区间中点值作代表);

(2)将频率视作概率，用样本估计总体.在甲、乙两条生产线各随机选取2件产品，记“优质品”件数

为求J的分布列和数学期望

【答案】(1)91.75分

(2)分布列见解析，-

2

【解析】

【分析】(1)用每个小矩形底边中点的横坐标与小矩形的面积(频率)的乘积之和估计均值即可；

(2)由相互独立事件的概率求出自每个取值的概率，再求数学期望即可.

【小问1详解】

甲生产线抽取200件产品中,评分在[75,80),[80,85),[85,90),[90,95),[95,100]的频率分别为

0.05,0.05,0.15,0.50,0.25.

则评分均值为又=77.5x0.05+82.5x0.05+87.5x0.15+92.5x0.50+97.5x0.25=91.75•

甲生产线抽取200件产品的评分的均值为91.75分.

【小问2详解】

由频率分布直方图知，甲生产线抽取到“优质品”的频率为0.50+0.25=0.75,

乙生产线抽取到“优质品”的频率为0.06x5+0.(Mx5=0.5,

将频率视作概率，用样本估计总体.甲、乙生产线抽取到“优质品”的概率分别为之，

42

在甲、乙两条生产线各随机选取2件产品，记“优质品”件数为则J=01,2,3,4.

则尸(4=0)=《

13

P(^=l)=C'x-x-xC°[口+9

PC=2)=Cxg]xC；

P(^3)=C'x|xjxC^gJ+CtxgJxC'xQj=|^

d)=C；

则自的分布列为

01234

111139

P

64832864

故自的数学期望为EX=0XL+1X」+2XU+3X3+4X2=&=9.

64832864642

18.在_ABC中，角A,B,C所对的边分别为a,b,c.已知sinA:sinB:sinC=1:、/5:2，b=2.

(1)求c的值；

(2)求cosA的值；

(3)求sin12A的值.

【答案】(1)C=2y/2

⑵

8

⑶5疗-9G

32

【解析】

【分析】(1)由正弦定理可得；

(2)由正弦定理化角为边，然后由余弦定理求解；

(3)由二倍角公式求得sin2A、cos2A,然后由两角差的正弦公式计算.

【小问1详解】

在—ABC中，由正弦定理及〃=2,sinB:sinC=V2:2>

,bsinC八2八

可得1=2x丁=2/2.

sinB，2

【小问2详解】

由sinA:sinB:sinC=1:、历:2及正弦定理得a\b\c-\\、历:2，

再由余弦定理有cosA==W2.

2bc8

【小问3详解】

由（2）可得sinA=Jl-cos'I=，

cepi-^5叵5币

期以sin2A=02smA4cosAA=2x-----x------=------,

8816

9

cos2A=2cos9A-l=—.

16

U5.兀）.c.兀c..兀5619g577-973

所以sin|2A----=sin2Acos-----cos2Asin—=------x--------x——=-------------.

I3J3316216232

19.如图，正方形ABC。的边长为4,B4_L平面43C。，CQ_L平面ABC。，PA=CQ=2,/为棱RD上

一点.

（1）是否存在点M,使得直线A"//平面BPQ?若存在，请指出点M的位置并说明理由；若不存在，请

说明理由；

（2）当ABAf的面积最小时，求二面角5—。以―。的余弦值.

【答案】（1）存在，M为尸。的中点时满足条件

⑺2栋

\Z/----------

29

【解析】

【分析】（1）取M为的中点时满足条件，设。为AC,3。的交点，得OM//BP,再证明

AC//PQ,然后可得线面平行，从而得面面平行，最后可得到线面平行AM//平面BPQ；

(2)确定尸。时，的面积最小，然后建立如图所示的空间直角坐标系，由空间向量法求二

面角.

【小问1详解】

当M为的中点时满足条件.证明如下：

设。为AC,8。的交点.

因为四边形4BCD为正方形，所以。为8。的中点，

故在中，OM为△P8D的中位线，即。欣〃3P.

又因为B4_L平面ABC。，CQ_L平面A8CZ),

所以AP〃CQ,即四点A,C,P,Q共面，

又因为PA=CQ,所以四边形AC。尸为平行四边形，所以AC〃PQ.

而AC与OM相交，不在平面内，ACQM在平面AMC内，

所以PQ//平面AMC,BP//平面AMC,

又PQ与BP相交，且PQ,3P是平面3PQ内的直线，所以平面〃平面BP0,

又因为AMu平面ACM,所以直线4"//平面BPQ.

【小问2详解】

因为孙，平面ABC。，A3u平面ABCD，所以A4LAB.

因为四边形ABC。为正方形，所以AB_LAD,故AB_L平面E4D

又因为AMu平面9八，所以ABLAM,即,ABN为直角三角形.

由于S"BM，故当|A"|最小时,ZAB”最小，此时AM_LPD.

因为AD=4,PA=2,PA±AD，

所以AM=勺5，尸”=2逝，即

555

由124LA3,PA±AD,ABLAD,可以以AB,AD,AP所在直线为x,y,z轴建立如图所示坐标

系.

z.

则A(0,0,0),B(4,0,0),D(0,4,0),C(4,4,0),P(0,0,2),

48

所以

所以。C=(4,0,0)=4(1,0,0),

DM-k-y,|U|(O,-2,l).

设平面DCM一个法向量是4=(%,乂/1)，

n,-DC=%=0

则〈，取％=1得平面0cM的一个法向量为％二(0,1,2).

•DM=-2%+4=0

又因为8C=(0,4,0),BM=

%=0

设平面BCM的法向量为巧=(x2,y2,z2)则＜

5x2-y2-2z2=0

取％2=2,得平面BCM的一个法向量为巧=(2,0,5).

_102J145

所以85〈々・%〉=

匐国—石x屈一29

注意到二面角B-CM-£＞的平面角是钝角,

所以二面角3—。/—。的余弦值为—2叵

29

22

20.已知椭圆C：=+二=1(。〉6〉0)的右焦点为厂(&,0),短轴长等于焦距.

ab

(1)求C的方程;

(2)过尸的直线交C于P,Q,交直线％=2&于点M记OP,OQ,ON的斜率分别为匕，k2,%,

若（《+&）左3=1，求『的值.

22

【答案】（1）土+2_=i

42

（2）6

【解析】

【分析】（1）求出仇c可得椭圆方程；

⑵设P（4M）,0（%，%），N（2y/2,n\,直线PQ的方程为x=（y+JL其中/=1,直线方程代

'7n

11112

入椭圆方程后应用韦达定理得%+%，%%，代入/+厂得厂+r=广，利用已知得人42=1，用左，左2

K、"2R3

分别表示出P,Q的坐标，计算IOP『+|。。『可得结论.

【小问1详解】

由题意c=b=3，从而a=+。2=2,

22

于是C的方程为工+匕=1.

42

【小问2详解】

设P（X，X），Q（/,%），N（2y/2,n）,直线尸。的方程为x=（y+JL其中/=也.

'7n

由<\一得（/+2）/+20口-2=0,

x+2y=4

44rAc—T,yflt-2

故△>0，%+%=w，％%=巨5

z'十/，十/

从而1I1二入11々二（“1+行）%+（"2+0）％

hk2%%X%

,0（y+M）.-4t,4\/2

=2/+2L_SZl__^=2，+——=4/=-^.

X%-2几

因为％3="ON=/T"，所以丁二.

2A/2K3n

一112

从而7-+［二1，

hk2左3

k}+k02

即F—=1，于是（《+&）左3=2左1左2,

左/2左3一一

由（左1+左2）左3=1得匕攵2=~•

设OP:y—k］X,OQ\y=k2x.

y=Kx4

由<不+2^_］得：（1+2将）f=4,即只=五至.

彳+5―1

同理可得看=丁会,

故的+时w项占+5；)金=彳3+髭

【点睛】方法点睛：直线与椭圆相交中定值问题的处理方法，设交点坐标P(芝,％),Q(%,%),设直线

方程，由韦达定理得出石+%,(或M+%,%%)，把此结论代入已知条件后可得出参数间的关系结

论，利用新结论(有时是韦达定理的结论)代入待求定值的式子化简可得定值.

21.己知函数/(x)=(x—l)e*+奴+2.

(1)若f(x)在区间(0,1)上存在单调递增区间，求。的取值范围；

（2）若尤20,/（%）>sinx+cosx,求a的取值范围.

【答案】(1)(-e,+s)

(2)

【解析】

【分析】(1)求出了‘(X),对。分类讨论确定/'(%)>0是否在(0,1)上可能成立即可得；

(2)引入新函数力(x)=/(x)-sinx—cosx,由/z(O)=O,求出/z'(x)确定/z(x)的单调性，

对"(x)需要再引入新函数进行求导操作，以便确定单调性得出正负，由于含有三角函数，可对自变量》的

范围分类讨论，结合不等式性质确定正负.

小问1详解】

由/(x)=(x-l)er+ax+2,得f'(x)=xex+a,

①若则(九)>0,此时/(尤)在区间(0,1)上单调递增，满足条件；

②若a<0,令g(x)=xe'+a,可知x>0时，g(无)单调递增，

由于/(x)在区间(0,1)上存在单调递增区间，则g(x)>。即a>-xe，在(。,1)上有解，

由于一xe*在(0,1)上单调递减，则-e<-xe*<0，此时-e<a<0.

综上所述，若了(无)在区间(0,1)上存在单调递增区间，则。取值范围是(—e,+8).

【小问2详解】

令h(x)=(%-l)ex+ax-sin%-cosx+2,原不等式即为h(x)>0,

可得力(0)=0,h\x)~xcx+a-cos%+sinx,〃'(0)=a-l,

令M(X)=h'(x)=xex+a-cosx+sinx,贝!I/(x)=(x+l)el+sin%+cosx,

又设《x)=(x+l)e*,贝卜'(x)=(x+2)e1则xNO,/(x)>0,可知f(x)单调递增，

若xeO，］］，有(x+De*〉。，sinx+cosx>0,则〃'(x)>0；

若xe/'+00］'有(x+l)e*2+〉e,则M'(X)=(x+l)e"+sinx+cosx〉0,

所以，x>0,/(x)>0,则a(x)即/(％)单调递增,

i)当a—120即a21时，h\x)>hr(0)>0,则％(无)单调递增,

所以，/i(x)2/1(0)=。恒成立，则符合题意.

ii)当。一1<0即a<1时，〃'(。)<。，

7z'(2—ci)—(2—a)e°'"+a—cos(2—a)+sin(2-a)22—a+a—cos(2—a)+sin(2-a)>0,

存在尤oe(0,2-a),使得h\x0)=0,

当0<x<x°时，〃'(x)<0,则％(x)单调递减，所以无。)</?(0)=0,与题意不符，

综上所述，a的取值范围是［L+8).

【点睛】方法点睛：用导数研究不等式恒成立问题，一般把不等式化为〃(无)》0,然后利用导数确定”。)

的单调性，由函数〃。)的最小值大于或等于0,得出结论.难点在于需要对/z(x)(或其中部分函数)再

一次求导(也可能几次求导)，结合不等式的性质、分类讨论思想得出结论.

(二)选考题：共10分.请考生在第22、23题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第

一题记分.

［选修4-4：坐标系与参数方程］

x=-l+V