2024年2月“鸽子杯”高三数学试题含答案

2024年2月“鸽子杯”线上测试

数学

注意事项：

1.答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。

2.回答选择题时,选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。

如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题

卡上，写在本试卷上无效。

3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。

一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只

有一项是符合题目要求的。

1.幕函数y=的图像经过(；,；)，则&=

A.--B.-C.-2D.2

22

2.若由最小二乘法得到的回归直线y=x+l,则其均值点可能是

A.(0,1)B.(1,0)C.(2,4)D.(3,7)

3.已知集合/={1,2,切},B={3,m2},若NClBw。，则满足条件的根有

A.3个B.4个C.5个D.6个

4.已知函数/(x)=2sin(函是奇函数，则/⑺=

A.0B.1C.2D.-2

5.设4,B,。是三个事件，则对事件“4,5不同时发生且5,。有且只有一个发

生”的表示中，正确的是

A.~ABCB.ABC+ABC

C.ABC+ABC+ABCD.ABC+ABC+ABC+ABC

6.设无穷整数数列他}的前〃项和为且有S；=2-%,则〃2024=

A.-2B.-1C.1D.2

7.函数/(x)=色竺的两个极值点对应的函数点均在直线/上，则/的方程为

x-2

A.y=xB.y=-xC.y=—xD.y=--x

数学试题第1页(共4页)

8.已知动点尸在圆/+j?=i上，定点。的坐标为。,1）,动点T满足0T=XOP+nOQ,

其中2,jLi＞0,不+2〃2=4,则|0刀的最大值为

A.2-V2B.V2C.2D.2+72

二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分。在每小题给出的四个选项中，有

多项符合题目要求。全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分。

9.设复数Z1=3+4i与4=-4+3i在复平面对应的点分别为尸，Q,平面坐标原点为O,

则

____]_

2

A.B+ZzkpqB.归12|=囤c.|Z]-z2|=|（9e|D.=|og|

10.已知椭圆C「双曲线。2有相同的焦点4，F-焦距为2,且G，C?离心率互为倒

数记4,4分别为C],的两个顶点,G，C2有公共点尸,且有闿＞|48|，

|4：＞|4工|，陷|＞陷|，则

A./4|=|尸6|B.|4阕=|尸居|C.F[PA.F2PD.FXF21F2P

三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。

12.在平面直角坐标系中，角a的顶点为。，始边与x轴正半轴重合，终边过点（2,-方），

贝！Jsin（a+.

13.已知正项数列｛%｝满足：当〃为奇数和偶数时，a„,all+l,%+2分别成等比数列和

等差数列.设%=1,%=15,则｛%｝的通项公式为;设数列｛a.｝的前

〃项和为Sn,贝ljSl0=.

14.已知等腰三角形的腰为1,则该等腰三角形内切圆面积的最大值为.

数学试题第2页（共4页）

四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

15.（13分）

某老师在课堂测验上设置了一种新的大题题型，这种大题题型由一个题干和五个与

题干有关的判断题组成，得分规则是：五道题中，全部正确判断则该大题得5分，有一

道错误判断则该大题得3分，有两道错误判断则该大题得1分，有三道及以上错误判断

则该大题不得分.假定随机判断时，每道题正确判断和错误判断的概率相等.

（1）若考生所有题目都随机判断，求此时得分的分布列和数学期望；

（2）若考生能够正确判断其中两道题目，其余题目随机判断，求此时得分的数学

期望.

16.（15分）

请从以下三个条件中选择一个条件加入题干并完成求解，不同条件对应的本题满分

不同，若选择多个条件进行求解，将以分值较大的解答作为评分依据：

甲（满分10分）：^BAC=60°,PB上PC；

乙（满分12分）：PA=2PB,△NBC的面积为10方；

丙（满分15分）：点尸到平面4BC的距离为叵，PA=275.

3

如图，在三棱锥P-N3c中，PALPB,PA1.PC,AB=5,AC=S.

（1）求三棱锥P-43C的表面积与体积;

（2）求二面角/-3C-尸的余弦值.

17.(15分)

已知函数/(x)=-bsinx),a>0,b>0.

（1）若b=l,讨论/（x）在（0,2万）的单调性;

（2）设t="6>0,t为定值，若/（x）在R上单调,求？的取值范围.

数学试题第3页（共4页）

18.(17分)

循环排列(也称圆排列)是指从〃个不同元素中取出m个不同的元素排成一个环形,

既无头也无尾.循环排列视所有循环的情形为同一种排列，例如123、231、312在循环

排列中便视为一种排列；同时将顺时针和逆时针视为两种循环排列，例如123和132便

是两种不同的循环排列.(本题中，m,〃均为正整数，且加(〃)

(1)若从〃个人中选择〃，个人围坐成一个圆桌，直接写出这样的排列个数；

(2)定义：将〃个不同元素划分成加个非空循环排列(即每个排列中都有至少一

个元素)，所有这样的排列的个数用符号s(〃，M表示.并规定s(0,0)=1,s(%0)=0.

①求s(4,2)；

②证明：s(ji,m)+n-s(ji,m+1)=5(M+1,zn+1),其中

(3)已知某饭店有〃张圆桌，每张圆桌最多可以容纳”个人，最少可以不坐人.现

在有〃个人来到饭店就餐，若将每张桌上围坐多人时不同的循环排列视为不同方案，将

相同循环排列坐在不同桌视为同种方案，求总的方案数.

19.(17分)

在平面直角坐标系中有定点4(-&,0),F2(V2,0),动点尸满足：点尸到y轴

的距离与点尸到片，尸2距离之和的比值为?.

(1)求点尸轨迹厂的方程；

(2)设点0为「上一点，忸。=4,求△P。片面积的最大值.

数学试题第4页(共4页)

18.(17分)

在平面直角坐标系xqy中有定点片(-行,0),与(后,0),动点尸满足：点尸到了轴

的距离与点尸到4，F2距离之和的比值为?.

(1)求点尸轨迹厂的方程；

(2)设点0为厂上一点，\PQ\=4,求△P。耳面积的最大值.

19.(17分)

循环排列(也称圆排列)是指从〃个不同元素中取出m个不同的元素排成一个环形,

既无头也无尾.循环排列视所有循环的情形为同一种排列，例如123、231、312在循环

排列中便视为一种排列；同时将顺时针和逆时针视为两种循环排列，例如123和132便

是两种不同的循环排列.(本题中，m,〃均为正整数，且加W”)

(1)若从〃个人中选择用个人围坐成一个圆桌，直接写出这样的排列个数；

(2)定义：将"个不同元素划分成机个非空循环排列(即每个排列中都有至少一

个元素)，所有这样的排列的个数用符号S(〃M)表示.并规定s(0,0)=l,s(〃,0)=0.

①求s(4,2)；

②证明：(〃+1)S(〃,山)+S(〃,加+1)=S("+1,加+1),其中

(3)已知某饭店有〃张圆桌，每张圆桌最多可以容纳"个人，最少可以不坐人.现

在有"个人来到饭店就餐，若将每张桌上坐多人时不同的循环排列视为不同方案，求总

的方案数.

19.(17分)

从1,2,3,……，〃这〃个连续的正整数中取加个数(加，〃为正整数且机W”)，

将每种取法中的加个数求积，并将所有不同取法得出的积求和，其结果记为s(〃,加).

例如:5(3,2)=1x24-1x3+2x3=11.

(1)求s(4,2)；

(2)证明：(”+l)s(",»?)+s(〃,/n+1)=s(〃+1,加+1)，其中％<〃；

(3)规定s(0,0)=0,0)=0,证明：对任意正整数〃，有£s(〃,i)=(〃+l)!；

/=0

(4)试探索s(〃，⑼所表示的含义或应用情境.

数学试题第4页(共4页)

2024年2月“鸽子杯”线上测试

数学试题参考答案

（参考答案仅提供部分解法）

一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只

有一项是符合题目要求的。

题号12345678

答案BACACDCD

二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分。在每小题给出的四个选项中，有

多项符合题目要求。全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分。

题号91011

答案ABCBDABD

三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。

题号121314

为奇数575-11

n=<

答案un380----------------71

一五1,〃为偶数2

四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

15.（13分）

（1）设考生得分为X,X为离散型随机变量，则X的可能取值为0、1、3、5.

则尸（x=5）=",尸（X=3）=C；（；）.（；）4$,尸（X=l）=（,

p（X=0）=；,故X的分布列为：

X0135

£551

P

2163232

因此考生得分的数学期望E(X)=9xl+Wx3+°x5=".……7分

16323216

数学试题参考答案第1页共6页

（2）设考生得分为y,丫为离散型随机变量，则丫的可能取值为0、1、3、5.

1111331

贝I）尸（丫=5）=（_）3=_,p（y=3）=C；（—）•（—）2=—,尸（y=l）=_,p（y=o）=—.

28八22888

因此考生得分的数学期望E（y）=±4xl+4±x3+1L5=1U7.……13分

8888

16.（15分）

（1）

甲：由余弦定理，BC2^AB2+AC2-2AB-AC-cosABAC,BC=1.

PA2+PB2=AB2

由于E4,PB,PC两两垂直，因此根据勾股定理得〈尸52+PC2=3c2,解

PC2+PA2CA2

得R4=2布,必=VJ,PC=2VTT.

故表面积S=-PAPB+-PBPC+-PCPA+-AB-AC-sinZBAC^5+

2222

3库+106;体积%=；・（；・必・尸C）•以……4分

乙：因为E4_LP3,^LPA2+PB2=AB2,而R4=2PB,因止匕E4=2j?,PB=B

因为E4_LPC,所以尸C=J/C2一a2=2而.

而$一备*由，故，

二用形=-2-AB-AC-sinABAC=10sinABAC2=—,0ABAC<90°

故/R4c=60。，所以3c2=/炉+4。2一2/3-/C.COS/3/C,BC=1.

注意至1」%2+尸。2=及支，因止匕必，尸C.

故表面积S=-PAPB+-PBPC+-PC-PA+-AB-AC-smABAC=5+

2222

3V55+10V3；体积%=・尸C>H=?而.……6分

丙：设尸在平面/3C中的投影为P,连接P/,P'B,P'C,贝I]PPJ_平面45c.

故PP与尸/,P'B,PC均垂直.而24=2JL故PB=M,PC=2VH,

又因为尸尸=叵，因此4尸'=二百，BP'=-y[i,CP'=—4i.

3333

由余弦定理，计算得cos//P3=-U,cos//PC=」，则

14714

sin/NPC=±百，因此COS/BPC=-L,由余弦定理8c=7.

72

数学试题参考答案第2页共6页

故PB?+PC?=BC?,PBVPC.

故表面积S=-PAPB+-PBPC+-PCPA+-AB-AC-sinZBAC^5+

2222

3V55+10V3；体积%••必・尸C>H……9分

(2)方法一：设二面角N-3C-P的大小为6；作垂足为

由于E4_LP3,PALPC,PB^PC=P,PB,尸Cu平面尸3C,因此刃_L

平面尸8c,而8Cu平面B8C,因此我IBC.^PHIBC,PHC^4=P，因此3c_L

平面hH,^LAHIBC.因此44Hp是二面角/-BC-尸的平面角.

p„-PHBCq/7T7

故cos0=cosNAHP=----=-y------------==角形™0=----.

AH-AH-BC,三角物BC30

2

.......10分/12分/15分

方法二：以P为原点，PB,PC,R4为x,y,z轴，建立空间直角坐标系.

因止匕P(0,0,0),5(75,0,0),C(0,2A/1T,0),^(0,0,275),AB=(75,0-275),

AC=(o,2Vn-2V5).

设平面N3C的法向量为1,平面尸3c的法向量为故*=(0,0,1).设

n2=(x,y,z),贝°,解得叼=(2"1,6.

n2,AC=0

々扑2V165

设二面角A-BC-P的大小为0,则cos。=•

30

10分/12分/15分

17.(15分)

(1)f(x^eax-bcosx(a-bsinx),求导函数得/'(x)=eax-bcosx(a2-b2sin2x-Z>cosx),

即f(尤)=eax-bmsx(b2cos2x-bcosx+a2-b2).

1-x-cosx311

令Q=5，b=l,则/，(x)=e2(cosx--)(cosx+—),当/*(x)<0,cosx+—

>0；当/，(x)〉0,cosx+—<0.

2

数学试题参考答案第3页共6页

.147r1yTT

在区间(0,2万)中，cosx+—<0时——<x<——，cosx+—>0时0<x<——或

23323

4^

--<x<2%.

3

因此“X)在(0,g)单调递减，在(g,手)单调递增，在(事,2%)单调递减.

...6分

(2)若/(%)单调性不变，贝！J必有b2cos2x-bcosx+〃2一〃不变号.设》=cosx,则

-1<W<1,即讨论g(〃)=Z?2〃2一加+〃2一〃不变号，由于b>0,因此g(〃)是二次函数.

若g(“)40在恒成立，则[g(T"°,即由于a>0,b>0,

[g(l)<0[a2-b<0

因此此情形不成立;

g$)»o

g(i)>or

若g(〃)20在［-1J］恒成立，则<2b或<1>，即aNdb。+；s>；)或

0<—<12b~,

2b

4b-bfi<b<^

(0<Z?<^-),由于，=a一b>0,

a>4b因止匕<11分

0<6<!时"(b)=一,0<b<；时〃(b)>0,:时〃(b)<0.故

224b

j.

0<b<；时〃(b)max=；；6>；时h⑹=411

~/=-<一•

,21,2V2+24

.\b+-+b

V4

因此摩匕15分

4

18.(17分)

Aw

(1)C：-(m-l)!(或工)……3分

m

(2)①s(4,2)是指将4个元素分为2个圆排列.考虑到4个元素分为2个圆排列共

有两种情况，一种是分为一个含有3个元素的圆排列和含有1个元素的圆排列，另一种

是分为两个含有2个元素的圆排列.

对于第一种情况，计算方式为C：(3-1)!,结果为8；

数学试题参考答案第4页共6页

对于另一种情况，计算方式为屋，结果为3.

2

因止匕s(4,2)=8+3=ll.……7分

②我们只需讨论在已有的〃个元素在加+1个圆排列中的情况下，新增第〃+1

个元素时的情况数.若原有的〃个元素已经分布在前加个圆排列，则第〃+1个元素一定

在第m+1的圆排列,共s(〃,加)种情况；若原有的n个元素分布在m+1个圆排列中，则

第〃+1个元素可以插入进任意一个圆排列的任意两个元素之间(若某个圆排列只有一个

元素则只考虑加入圆排列)，共(储机+1).两种情况求和即为s(〃+l,加+1).

因止匕5(%加)+〃”(%加+1)=5(〃+1,加+1)........12分

(3)所求即为设］=£s(〃/)=

z=lz=l1=0

〃+ln♦

贝UT〃+i=+1,0=，s(〃+l,z)+s(n+1,"+1)=Z(s(〃N—1)+〃,s(〃/))+

z=lz=lz=l

s(ji+1.«+1)=£s(〃/)+n+s(n+1,«+1)-s(n,n).

i=\i=\

由于5(〃,〃)=5(〃+1,〃+1)=1,故&i=(〃+l)],^-=n+l.

Tn

而—1)=1,0=2,4=3,……,"依次相乘得北=〃！

TT]T”-i

综上，总的方案数为〃!.……17分

19.(17分)

(1)设点尸坐标为(飞,汽).

由题意可知：|X0|=-yj(x0—y[2)"+yg+J+V^")-+y；,

J(x()―历丫+y：一/x+行)?+就

两边同时乘0得

2A/2|X0|

-22

V2)+y1