四川省部分校2023-2024学年高三年级下册第二次联考理科数学试题

四川省部分校2023-2024学年高三下学期第二次联考理科

数学试题

学校:姓名：班级：考号：

一、单选题

L已知集合/={X|X2-2X-3W0},B=\X\3X~'>1）,贝必08=（）

A-（-1,1]B-[-1,3]C0,3]D.p,+8）

2.某圆锥的轴截面是斜边长为2的等腰直角三角形，则该圆锥的侧面积为（）

A-71B,叵tC-曷。，2兀

3.若角戊的终边位于第二象限，且sina=g,则sin（；+a/（）

A.1B.--C.6D.一立

22V2

4.14c同位素测年法最早由美国学者WillardFrankLibby在1940年提出并试验成功，

它是利用宇宙射线在大气中产生的C的放射性和衰变原理来检测埋在地下的动植物的

死亡年代，当动植物被埋地下后，体内的碳循环就会停止，只进行放射性衰变.经研

究发现，动植物死亡后的时间〃（单位：年）与死亡〃年后14c的含量[满足关系式

nlg2=57301g^（其中动植物体内初始气的含量为耳）•现在某古代祭祀坑中检测

出一样本中14c的含量为原来的70%,可以推测该样本距今约（参考数据：[g220.30

lg7ao.85）（）

A.2750年B.2865年C.3050年D.3125年

5.若复数z满足匕_2|=1，则目的最小值为（）

试卷第11页，共33页

A.0B.1C-V3D.2

6.在UBC中，“血+国＜|益I”是“//C8是钝角”的（）

A.充分不必要条件B.必要不充分条件

C.充要条件D.既不充分也不必要条件

7.2023世界科幻大会在成都举办，主题场馆以自由、扩散、无界的未来建筑形象诠释

科学与科幻主题，提取古蜀文化中神秘"古蜀之眼（黄金面具）”融入“星云”屋顶

造型，建筑首层围绕共享中庭设置了剧场、主题展区及博物馆三大主题空间.现将4名志

愿者安排到这三个主题空间进行志愿服务，则每个主题空间都有志愿者的不同的安排

方式有（）

A.6种B.18种C.24种D.36种

8.若函数〃月=1强2（2工+1）-於是偶函数,则"=（）

A.-1B._1C.1D.1

22

9.已知一样本数据（如茎叶图所示）的中位数为12,若x,y均小于4,则该样本的

方差最小时，x,y的值分别为（）

"0--1235

1xy456

20

A.1,3B.11,13C,2,2D.12,12

10.已知与，鸟是双曲线=I（。＞。，b＞。）的左，右焦点，点"化,/0）

a2b2

（%片0）是双曲线E上的点，点C是内切圆的圆心，若

,则双曲线£的渐近线为（）

S=SCMF?+5S

CFXF2

A-y土瓜=QB-x土岛=0C-2x+^y=0D-2y±V3x=0

试卷第21页，共33页

「xmtx

11.已知函数/（X）=e若对任意的实数，，均满足关于的方程

[kx,x<t

=m至多有一根，则上的取值范围是（）

A.（0,e]B-（-oo,e-1]C-[l,e]D-[e-2,l）

12,若函数-在siru+'osx在区间[°'4["'2°]上的值域分别为[%'""'"]，

J1人）—OliWI

则下列命题错误的是（）

A,若[%"]=[P，q]=[Tl],则"的最小值为竺

3

B.若[私〃]=[，句，则"的最小值为方

C.若…,则”的取值范围为兀1

D.若则"的取值范围为（0,事

二、填空题

13.若抛物线/=_2px过点附2]，则该抛物线的焦点为——•

14.曲线“x）=e*cosx+x在点（0J（0））处的切线方程为-----

15.在A/8C中，1,”=7,BC=8,则8C边上的高为—.

COS71——

7

16.如图，在平行四边形48C。中，Dc=41AD=42AC=4,AB=4AF=4EC,且

EF交AC于点、G，现沿折痕ZC将△ZOC折起，直至满足条件。C_L8C，此时

cos/EGF=.

试卷第31页，共33页

三、解答题

17.已知数列㈤｝的前"项和s“=_j_〃2+的(^N*)，且的最大值为？.

⑴确定常数心并求知;

⑵求数列也小的前15项和0.

18.如图，在三棱柱48c由百。中，NC44=60°,AB=BC,AC=CQ•

(1)求证：AC1AtB；

(2)若底面48c是正三角形，且平面/CG4_L平面48C，求直线与平面BCCfi所

成角的正弦值.

19.某半导体公司打算对生产的某批蚀刻有电源管理芯片的晶圆进行合格检测，已知

一块直径为120mm的完整的晶圆上可以切割若干块电源芯片，检测方法是：依次检测

一块晶圆上的任意4块电源芯片.若4块电源芯片均通过检测，再检测该晶圆其他位置

的1块电源芯片，若通过检测，则该块晶圆合格；若恰好3块电源芯片通过检测，再

依次检测该晶圆其他位置的2块电源芯片，若都通过检测，则该块晶圆也视为合格，

其他情况均视为该块晶圆不合格.假设晶圆上的电源芯片通过检测的概率均为3,且

试卷第41页，共33页

“各块芯片是否通过检测”相互独立.

(1)求一块晶圆合格的概率；

(2)已知检测每块电源芯片所需的时间为10秒，若以“一块晶圆是否合格”为标准，记

检测一块晶圆所需的时间为#(单位：秒)，求『的分布列及数学期望.

20.在平面直角坐标系中，分别过点”(一2，°),/2,0)的直线4,4的斜率之积为-3.

4

⑴求k与的交点P的轨迹方程；

(2)已知直线/P与直线x=2交于点°,线段@的中点为V,若点尸的坐标为尸0,0),

证明：点3关于直线77M的对称点在尸尸上.

21.已知函数/(x)=(x+6)ln(x+a)的导函数为/'(x>

⑴当a=0且6=1时，求/〈X)的最小值；

(2)当.*0且6=0时，若/(x)存在两个极值点，求。的取值范围.

22.在平面直角坐标系宜"中，直线’的参数方程为[无='cosa,«为参数)，以坐

[>=l+，sina,

标原点。为极点，X轴正半轴为极轴建立极坐标系，点M是曲线C：0=i_sin6上的一

动点.

⑴若直线/过点工(2,0)，求直线/的斜率；

(2)设直线/恒过定点N,若|儿困=在,求点"的极径

23.已知函数/⑴=卜_3a之卜卜+引(4/$R+),

(1)当〃=6=1时，解不等式

(2)若函数/(x)的最小值为加，且〃+6=2，求加的最小值.

试卷第51页，共33页

参考答案:

1.c

【分析】

根据不等式的解法和指数函数的性质，求得集合42,结合集合交集的运算，即可求解・

【详解】

由不等式X2-2X-3W0，解得-14X43，即n=[一1,3]，

又由解得x>l，即8=(1,+8)，所以Nc8=(l,3]-

故选：C.

2.B

【分析】

根据题意，求得圆锥的底面圆的半径和母线长，结合侧面积公式，即可求解.

【详解】

设圆锥的底面圆的半径为.，母线长为/,

因为圆锥的轴截面是斜边长为2的等腰直角三角形，可得厂=iJ=亚,

所以该圆锥的侧面积为$=兀珈,

故选：B.

3.D

【分析】根据已知条件利用诱导公式确定sin(]+c]=cosa,再根据角0所属象限确定

2一后前=等即可求蟀

【详解】由诱导公式有：sin(]+a]=cosa，

答案第11页，共22页

因为角a的终边位于第二象限，则cosa=-VT福=-更，

2

所以sin(^ba]=cosa=-1■

故选：D.

4.B

【分析】

根据题意，求得马=w,代入关系式，运用对数的运算性质计算即得.

P“7

【详解】

依题意，经过〃年后"C含量为°,7々，所以有代入关系式得〃lg2=57301g(9),

7

lg(10+7)l-lg7®2865

«=5730x-^------^=5730x—^-。2865，所以

lg2lg2

故选:B.

5.B

【分析】

先确定z在复平面上对应的点的轨迹为圆，根据圆的性质可得答案.

【详解】设2=》+贞(i为虚数单位)，

有心一2)+利=1'即(x-2)2+y2=1'

z在复平面上对应的点在圆(工_2)2+/=1上，

所以目是该圆上的点到原点距离的最小值，忖的最小值为2-1=1・

故选：-

DR

6.C

答案第21页，共22页

【分析】

由向量减法以及模的运算公式平方可得直.法＜0,结合数量积的几何意义即可得解.

【详解】

“而+词＜网”等价于“用+词〈陛-引”，

->2--►--»--»2I--►--»|--»2--►--»--、2

所以W+词2=CA+2CA-CB+CB<\CB-CA\^CA-2CA-CB+CB

从而出•与＜0,显然4B，C不共线，原条件等价于//CS是钝角.

故选：C.

7.D

【分析】根据已知条件先分组再分配.

【详解】首先根据题意将志愿者分成（2,1,1）三组有仁=6种分法，

安排到三个主题空间有吊=6种，根据分步乘法计数原理，

不同的安排方式有6x6=36种.

故选：D.

8.D

【分析】

根据偶函数的定义结合对数运算分析求解.

【详解】

由题意可知：函数y（x）的定义域为R，关于原点对称，

1+2]

且/(-X)=log,QT+1)+依=log.------\+ax=log2(2"+1)—(1—

rJ

右函数/(%)是偶函数,则/(_%)=/(x),即log2(2"+l)_Qx=log2(2'+l)_(l_a)x，

答案第31页，共22页

小、।aHl曲1

所以，即Rn0=—.

2

故选：D.

9.C

【分析】

由题意结合中位数可得x+y=4,再求出平均数，再根据方差公式即可得解.

【详解】

因为X,>均小于4,由茎叶图可知，中位数为l°+x+i°+y=[2,

2

所以X+>=4,样本的平均值为l+2+3+5+l°+x+l°+y+14+15+16+20=w)

10

要使样本的方差52最小，即使最小，

又、+22(X+»=8,当且仅当“'='"2，，时，等号成立，

2

所以x,y均为2.

故选：C.

10.A

【分析】

根据面积关系可得=c，即可由双曲线定义得c=2a,进而可求解6=囱°-

【详解】

解：设△町层内切圆的半径为小则有J龙用“=g四周子+；闺引/，

所以|町|-|阿；卜C，由双曲线的定义可知C=2a，继而6=6。，

E的渐近线为止_工=0,化简为J±6x=°,

a1b1

答案第41页，共22页

故选：A.

11.A

【分析】

根据已知题意分三种情况：后=0，k<0,k>0'把方程的根的个数问题转化为函数图象

的交点个数问题，结合函数的单调性，求解即可.

【详解】①若左=0,对于加=0,方程/(无)=7M有无数个解，不符合题意；

②若左<0,函数“X)在区间(-80上为减函数，在区间上,+00)上为增函数，对于任意

me(max,,〃},+8),方程)(X)=机恒有两不同的解，不符合题意；

③若k>0,函数〃x)在区间(-(»,/)，上,+8)上为增函数，

当X<%时，九x(X)趋近于kt，

当时，7mm(x)=S，若满足题设条件，则只需满足制工以即可，

当two时，恒成立，当,>°时，后4即可，

t

令g⑺=9,贝1Jg'(f)=^^，

所以g⑺在(-00,1)上为减函数，在(1,+8)上为增函数，

所以gmm(，)=g#=e，即0(左We;

综上所述：上的取值范围为0〈左4e-

故选：*.

12.C

答案第51页，共22页

【分析】

将/(x)=^-sinx+-^cosx整合为f(x)=sin卜+胃

,再针对选项逐项分析即可.

4

【详解】由题知〃x）=sinf令=衣为§+k(左EN),

JT

f（x）=l,x=—+2fc（左wN）,

北加=TIriri]»34

右*，贝!]ciH—兀应c———/a之一，

623

取〃=*兀时"1,则20+巴="，此时必有，I

366

此时满足[加,〃]=[夕,司=,A正确；

因为WH=[p，q],若则加=〃O）=L

32

只需夕=〃2a）=sin（2n升g=g,解得Q或"。（舍），

a

所以的最小值为57r,B正确；

3

当O〈Q<g■时，冽=；,此时与条件加，不符，

当如奥—时，/（。）”（2〃），止匕时加F=/（〃），满足条件…,

39

当始”—时，机=/（。）</（2。），不满足条件冽加，

93

答案第61页，共22页

当时，"'=T,不满足条件加加，C错误；

3

因为当0<a4,,"=/(a)=p,满足条件"'P,

当空人“〈—时，，=/(。)>〃2。)=。,不满足条件J

93

当02四时，"=1,不满足条件D正确.

3

故选：C.

13-(-1,0)

【分析】

根据题意，代入求得p=2,结合抛物线的几何性质，即可求解.

【详解】

解：将赳21代入抛物线方程丁=_2.，可得p=2，即F二一以，

所以抛物线/=_心的焦点为(7,0)•

故答案为：(一1,0).

14.y=2x+l

【分析】求出导函数，得/(0)=2,即切线斜率，然后可得切线方程.

【详解】由〃x)=excosx+x'则“0)=1

由题意fr(x)=excosx-exsinx+1,则/'(。)=2

所以曲线〃x)=e，cosx+x在点(0J(0))处的切线的斜率为左=/(0)=2

答案第71页，共22页

所以所求切线方程为：y-l=2(x-0),即y=2x+l

故答案为：y=2x+l

【点睛】本题考查导数的几何意义，函数/(x)在点(%,/(%))处的切线方程是

y-/(^o)=/,(xo)(x-xo)'属于基础题，

15.也

22

【分析】

首先求出sinN=逋，再利用正弦定理和正弦的定义即可求出答案.

7

【详解】

因为“4°，兀)，所以sin/=VI3^=3i,

7

由正弦定理得sinC=".Sin/=7x迪xL型，

BC782

设8C边上的高为人则〃=NC-sinC=^5.

2

故答案为：述.

2

16.-1/-0.5

2

【分析】

根据条件可得平面O/CL平面/BC，求得相关线段长度后利于余弦定理求解即可.

【详解】由题意可知△及；尸三CGE'所以GF=GE=1，

答案第81页，共22页

折起后如图所示，因为0c_L8C，

又DC=VL1D=VL4c=4，则NOL/C，

所以8C1AC'

又NCI/A=/，AD],/Cu平面D/C，

则3CJ,平面D/C，又BCu平面48C，

则平面D/C_L平面/3C，

分别过点及尸作/C的垂线£A/,—V，

垂足分别为点M,N，又平面。/Cc平面48C=/C，

即有£M_LJW,ACV_L7VF，同时易证得E“_LNF，

EF=EM+MN+NF,

-----2•-22(,2]]

EF=EM+MN+NF=—+2+—=3,

22

所以EF=0,所以由余弦定理可知：

cos/EGF=

2x1x12

故答案为：T

答案第91页，共22页

【分析】

（1）根据题意，求得S,=-L"2+3",结合a,=S,-S"T,即可求得数列｛%｝的通项公式;

（2）由⑴求得s=」/+3〃，结合q=一$5+2$3,即可求解.

"2

【详解】（1）

解：由数列｛%｝的前〃项和S,=-：7?2+融,eN*）,

根据二次函数的性质，可得当”=无时，S“=-初取得最大值,

2

11o"=31

2222

即&=—k+k=—k=—,解得，所以S=—n+3nJ

k222n2

2

当"22时，%=s“_s._|=_；/+3”_-l（„-l）+3（n-l）=1-n

当"1时，（符合上式），

所以数列｛“"｝的通项公式为

〃2

（2）解：由（1）知*=5一"，可得s_t，（2+2~n）

——〃+3〃

2

答案第101页，共22页

且当〃《3且几eN*时，可得a>0；当〃24且〃GN*时，可得a<0,

所以数列｛卜1｝的前项和：4=-S15+风=21

152-|-1xl5+3xl5j+2l-—X32x3=11

2

18.（1）证明见解析:

⑵叵

5

【分析】（1）由已知，先证明出ZC_L平面/QB，然后得到/C_L48；

（2）建立空间直角坐标系，求出直线Ad的方向向量与平面8cq4的法向量的坐标，直

线4台与平面BCG月所成角的正弦值，即为直线43的方向向量与平面3CG耳的法向量的

余弦值的绝对值，利用坐标运算求出即可.

【详解】（1）

作/C的中点O，连接

因为/G44=60°,/C=CCj所以△NCC1是正三角形，

又点。为/C的中点，所以4<9_LNC，

又因为=点。为NC的中点，所以

因为4OcO8=O，又因为4O,O8u平面，所以/C1平面4。8，

又因为48u平面所以NC_L48；

答案第111页，共22页

由平面/CG4，平面ABC，平面ACCXAXn平面ABC=/C，

因为4（9u平面NCG4，

又由（1）知4。，/。，所以40,平面48C，

分别以为x,-z轴建立空间直角坐标系，设/c=2a,

则A（0,-a,0）,B1也a,0,0）,C（0,a,0）,

4（0,0,百4）,耳百a）,C\（0,2a,Ga）,

所以台耳=（°，。，百。），8C=卜豉,a,0）,设平面BCCiBi的法向量）=（》/，z）,

-n=ay+=0n=

所以,取非零向量

•n=一6ax+ay=0

又因为N]=（Ga,0,-炯,设直线与平面BCC.B,所成角为。,

AB-n\

}2百aVio

所以sin。=cos（A[B,n

卜力卜同J6ax45"I-

所以直线4,与平面8cq4所成角的正弦值为巫.

5

答案第121页，共22页

3

19.(1)A

32

⑵分布列见解析，研》)=)曹95

【分析】

(1)根据题意，由全概率公式代入计算，即可得到结果；

(2)根据题意，由条件可知X的可能取值为20,30,40,50,60,然后分别计算其对应概率，

即可得到分布列，再由期望的计算公式即可得到结果.

【详解】(1)设第一次取出的4块均通过检测为事件4,第一次取出的4块中恰有3块通

过检测为事件4,第二次取出的1块通过检测为事件耳，第二次取出的2块均通过检测为

事件不，这一块晶圆合格为事件C，

尸(c)=尸(4)尸⑷4)+尸⑷尸⑷4)

1

X—x

232

(2)X的可能取值为20,30,40,50,60，并且

11

产(X=20)=C；x—x—=

224

1111

产(X=30)=C；X—X—X—=—

2224

P(X=40)=C；

答案第131页，共22页

：；1Y13

尸(X=50)=C：x|+Cxx—x—=——

I2j216

P(X=60)=C：x|x^x|U

所以丫的分布列为

,A

2030405060

/]_]_33]_

4416168

11331295

ra^)=20x_+30x_+40x-+50x-+60xrv.

22

20.⑴二+匕=1卜工±2）

43v'

（2）证明见解析

【分析】

（1）根据已知条件，结合直线的斜率公式，即可求解；（2）设出直线/尸的方程，再联立

椭圆方程，推得（3+4左2）x2+16/x+16公.12=0，再结合角平分线的性质，并分类讨论,

即可求证.

【详解】（1）设点尸的坐标为（龙/）/的斜率为上I的斜率为二二，

X+2x—2

222

由七=化简可得上+匕=1（"±2），

x+2x-2443V

P22

所以点的轨迹方程为匕+匕=1（"±2）;

43、一

（2）“点3关于直线FM的对称点在PF上”等价于“FM平分z_PFB”，

答案第141页，共22页

-中♦~~・八♦'—4“A

LiOFx

设直线⑷3的方程为、=小+2）（后HO）,则0（2,4左）,M（2,2左），设点尸（%,%），

y=k（x+2）（3+4左2）工2+16左2》+16左2-12二=0-8左2+6_12k

由f2,得，得3+4/且为3+正，

—+^v=1

[43

①当刊Fx轴时，%=1,此时左=±g,所以《1,二弓J,。（2,±2）4（2,±1）,

此时，点M在/尸EB的角平分线所在的直线〉=计1或y=_x+l上，则FA/平分乙PF8,

②当左H土工时，尸”的斜率为原PF

F=2J=Wy所以的方程为

PF2

2x0-i1-4k

4kx+（4k2-l）y-4k^0'

所以点〃到直线p尸的距离

8人+2左（4左2一1）-4左44+2左（4/一1）2M4店+1）

2+/=附=|附，

J16F+（4/-l）2J（4/+l）24%

则点B关于直线FM的对称点在PF上.

综上证明：点3关于直线出的对称点在尸尸上

21.(1)2

答案第151页，共22页

⑵(1,0)

【分析】⑴当“=°且0=1时，求得/'(x)=lru+Ll,令Mx)=hu+^+l,利用导数

求得函数“X)的单调性，进而求得函数的最值；

(2)当6=°时，求得/，(x)=in(x+a)+上，令g(x)=/'(x),求得g.)=土乌，分

।(JC+d)

和"0,两种情况讨论，得到八x)mm=ln(-。)+2,分类讨论，结合康+工》，即可

X

求解.

【详解】(])解：当a=0且6=1时,/(x)=(x+l)lnx,x£(0,+oo)，可得

/r(x)=Inx+—+1,

令函数=lnx+4+l,xw(0,+o)),则有h'[x)=———y=—

XXXX

当X£(O,1)时，〃(x)<0,g)为减函数；

当X£(L+oo)时，/(x)>0,//(x)为增函数，

所以,(x)min="1)=2,即广(x)的最小值为2.

(2)解：当6=o时，/(x)=xln(x+a)，可得x£(-a,+8),

则/，(x)=ln(x+a)+^,令g(x)=/'(x),可得g，(x)=^L^+",="+2。，，

x+a(X+Q)(x+a)2(X+“)2

答案第161页，共22页

①当〃>0时,因为X+2Q>-Q+2Q=Q>0,所以g，(x)>0.

即/'（X）在（一/+8）上为增函数，故/（x）不可能存在两个极值点;

②当〃<0时，解/(工)=0，得x=-2a，显然一2a〉一Q,

故当％w时，g\x)<0为减函数，

当％£(-2a,+8)时，g'(x)>0/(%)为增函数,

所以d=f(-2。)=In(-〃)+2，

⑴当In(-。)+220，即a«-e一2时，>0J/(x)在(-Q,+OO)上为增函数，

故/(x)不存在极值点，

(ii)当ln(-a)+2<0,即—e"vavO时，

因为一—a<-2a‘所以f\-——a\=\n-+\--=21n(-^)-ln2+—+1»

212J2Q—a

又由第(1)问知：3+工+122,所以曲+121,

71一

贝121n(—-----=2In(—a)+——22，所以>3-ln2>0'

又因为1_Q〉—2Q,所以r(l_a)=l_Q>0,

因为丁，(一2")=ln(-4)+2<0,

（一2刈使得八无）=°