2023-2024学年高二数学上学期期末模拟考试(二)（全解全析）

2023-2024学年高二数学上学期期末模拟考试

全解全析

一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是符

合题目要求的.

1.已知直线4：办+3歹+4=0与直线33x+y+6=0的交点在x轴上，则直线《的斜率为（）

2112

A.-B.-C.——D.——

3333

【答案】D

【解析】在直线方程3x+y+6=0中，令y=0,得x=-2,

即直线3x+y+6=0与x轴的交点为（-2,0）,

因为点（―2,0）在直线ax+3y+4=。上，所以—2a+3x0+4=0,即a=2,

242

所以心2x+3y+4=0,即所以直线4的斜率为

故选：D.

2.已知焦点在x轴上的椭圆的离心率为且它的长轴长等于圆。:/+/-2》-15=0的半径，则椭圆的

标准方程是（）

A—22

A.——+—=1B.二+2=1C.—+/=1D^+T=1

4316124

【答案】A

【解析】圆C的标准方程为（XT）2+/=16,圆C的半径为4,贝U2a=4,即"2,

又因为£=：=：,则c=l,所以，6="=7=万下=6，

a22

因为椭圆的焦点在x轴上，因此，该椭圆的标准方程是反十二=1.

43

故选：A.

3.5G技术在我国已经进入高速发展的阶段，5G手机的销量也逐渐上升，某手机商城统计了最近5个月手

机的实际销量，如下表所示：

时间X12345

销售量y（千只）0.50.81.01.21.5

若y与x线性相关，且线性回归方程为j>=0.24x+&,则下列说法不正确的是（）

A.由题中数据可知，变量y与x正相关

B.线性回归方程》=0.24x+&中&=0.26

C.x=5时，残差为0.02

D.可以预测x=6时该商场5G手机销量约为1.72（千只）

【答案】B

【解析】对于A,从数据看V随x的增加而增加，所以变量丁与x正相关，故A正确;

—1+2+3+4+5—0.5+0.8+1+1.2+1.5

对于B,由表中数据知,x=---------------=3,y=----------------------------=1,

所以样本中心点为（3,1）,

将样本中心点（3,1）代入，=0.24x+&中得力=1-3x0.24=0.28,故B错误；

对于C,线性回归方程为5=0.24X+0.28,

所以%=0.24x5+0.28=1.48,g=1.5-1.48=0.02>故C正确；

对于D,当x=6时该商场5G手机销量约为9=0.24x6+0.28=1.72（千只），故D正确.

故选：B.

4.现有红色、黄色、蓝色的小球各4个，每个小球上都标有不同的编号.从中任取3个小球，若这3个小球

颜色不全相同，且至少有一个红色小球，不同取法有（）

A.160种B.220种C.256种D.472种

【答案】A

【解析】若取出的球中有1个红球，不同的取法有C；C；=112种；

若取出的球中有2个红球，不同的取法有C：C；=48种.

故不同取法有112+48=160种.

故选：A.

5.在2023亚运会中，中国女子篮球队表现突出，卫冕亚运会冠军，该队某球员被称为3分球投手，在比

赛中，她3分球投中的概率为3:，非3分球投中的概率为4?，且她每次投球投3分球的概率为29,则该球员

453

投一次球得分的概率为（）

-2317

A.-B.1C.—D.—

423030

【答案】C

【解析】设事件N为“该球员投球得分”，事件B为“该球员投中3分球得分”，

由全概率公式：尸（』）=尸（8）尸（/忸）+尸（耳）尸（/方+

故选：C

一1

6.已知cos〈凡b〉=-彳，则下列说法错误的是（）

A.若3］分别是直线4,的方向向量，贝以4所成角余弦值是:

B.若原B分别是直线/的方向向量与平面a的法向量，贝心与a所成角正弦值是g

C.若瓦3分别是平面A8C、平面BCD的法向量，则二面角4-5C-O的余弦值是g

D.若3］分别是直线/的方向向量与平面a的法向量，则/与a所成角余弦值是逆.

3

【答案】C

【解析】对于A：因为直线与直线所成角范围为0,?，所以乙，所成角余弦值为kos〈1,B〉卜;，故A正确;

对于B：因为直线与平面所成角范围为O.?，所以/与a所成角正弦值sinS^cos〈扇3〉|=：,/与a所成角

余弦值为故BD正确；

对于C：因为二面角的平面角所成角范围为血。），所以二面角/-8C-。的余弦值可能为负值，故C错误;

故选：C

丫2“2

7.已知抛物线C：丁=-4后的焦点为厂，准线为/,且/与双曲线「:［-勺=1（。>01>0）的两条渐

ab

近线分别交于45两点，若△/斯是正三角形，则双曲线「的离心率为（）

AoA/7「26八5

A•D.Lz•------U・

3233

【答案】A

【解析】由抛物线C:/=_46X,可得尸卜6,0）,准线/的方程为尤=百，

所以小百，四，-叵］

、aJ1a）

因为443户是正三角形，△AB尸的高，勺焦点川-6,0）到准线/的距一

所以土史=4,即2=空,

所以△油下的边长为4,所以|AB卜4,

aa3

所以双曲线「的离心率e=q=g=Ja+b21b27如

故选：A.

A-3

8.已知圆G：（%-1）2+/=1，圆G：（x-〃）2+3-6）2=4,其中a,若两圆外切，则的取值范围为

Q+3

()

24C12

A.一7,°B.苧C.D.0,y

【答案】A

【解析】圆G：（X-1）2+/=1和圆。2：（X-。）2+（歹—6）2=4外切,

则而-以+^=1+2,整理得至1」（.-1）2+。2=9,

空表示圆（X-1）2+/=9的点尸S，6）与M（-3,3）形成直线的斜率,

a+3

设直线方程为y=k(x+3)+3,即6一y+3左+3=0,

\k+3k+3|24

当直线与圆相切时，d=''=3,解得左=0或左=_兰.

yjl+k27

根据图像知：kw-y,o

故选：A.

二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求,

全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.

9.已知空间向量2=（2,-1,2）,3=（4,3,0）,则下列说法正确的是（）

D.cosG，B)=g

A.阿=3B.2。—6=(0,—5,2)C.a.Lb

【答案】AD

【解析】因为3=(2,-1,2),3=(4,3,0),

所以同=j22+T+(_2]=3,故A正确；

2N-3=2(2,-1,2)-(4,3,0)=(0,-5,4),故B错误；

5.6=2x4+(-l)x3+2x0=5,所以N与B不垂直，故C错误；

,-----/一r\a-b51

又["77=5,所以侬/切=而=石=&,故D正确；

故选：AD

10.已知圆C:(x-iy+(y-l)2=4与直线x+加y-m-2=0,下列选项正确的是()

A.圆的圆心坐标为(1,1)B.直线过定点(-2,1)

C.直线与圆相交且所截最短弦长为2eD.直线与圆可以相离

【答案】AC

【解析】对于A中，由圆(x-l)2+(y-l)2=4,可得圆的圆心坐标为半径为，=2,所以A正确;

对于B中，由直线x+〃沙_加一2=0,可化为x-2+加(y-l)=0,

fx—2=0

令，C，解得X=2,y=l,所以直线恒过点尸(2,1),所以B不正确；

1=0

对于C中，由圆心坐标为c(l,l)和定点尸(2,1),可得d=|CP|=l,

根据圆的性质，当直线与CP垂直时，直线与圆相交且所截的弦长最短，

则最短弦长为2J产-相=26,所以C正确；

对于D中，由直线恒过定点，且|CP|=l<r,即点尸(2,1)在圆内，所以直线与圆相交，所以D不正确.

故选：AC.

11.下列说法正确的有()

4

A.从3名男生，2名女生中选取2人，则其中至少有一名女生的概率为不

B.若随机变量则方差D(3X+2)=20

C.若随机变量4~N(2,52),PG<0)=0.34,则尸(2<J<4)=0.16

D.已知随机变量X的分布列为尸(X=，)=而不("123),则尸(X=2)=§

【答案】BCD

【解析】对于A,从3名男生，2名女生中选取2人,

+「27

则其中至少有一名女生的概率尸=322=而,故A错误；

（

对于B,随机变量X〜810,§,贝IJ期望刀（x）=10x：1x：2=]20,

所以。（3X+2）=9D（X）=20,故B正确；

对于C,随机变量4〜N（2,〃）且尸4<0）=0.34,

则尸(2<(<4)=/(0<专<2)=/(€<2)—尸©<0)=0.5—0.34=0.16,故C正确;

对于D,因为尸（皿）=岛『2,3）,所以玖'=1)=£玖*=2)=?,玖X=3)=9

2612

所以£+・+4=1,解得°=g,所以尸(X=2)=|,故D正确.

故选：BCD.

22

12.已知椭圆C：A+q=l（a>6>0）的左、右焦点分别为片，耳，过心的直线/交椭圆C于43两点（A在8

ab

的上方），丽・丽=0,且|/片|=3忸闻，则（）

A.小嵋月是等腰三角形B.的面积为g/c./的斜率为/D.C的离心率为正

32

【答案】ACD

由丽・丽=0得丽，丽，因为|/用=3忸招

设幽=f,则根据椭圆性质有|/制=3胃/阊=2a-3f,忸4|=2a-f,

在直角A/B4中，|"；|2+MM2=忸丁二^疔+偿”2^=（2”疔

化简得a=3/,所以|/用=〃,|/用=°,|/同=?所以A正确；

则L明=?|/用|/同=；4?=+2,所以B不正确；

在直角八41片中，|明|=a,|盟|=a,闺词=2c

贝U/+/=4c2n/=2c2n£=1,所以D正确；

a2

由£=1=2=1,结合图像可知/的斜率为-1,所以c正确；

a2c

故答案为：ACD

三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.

13.已知二项式1+m］的展开式中的常数项为15,则。=.

【答案】±1

【解析】由题设，二项式展开式通项为4+|=屋£/-3，/=0,1,...,6,

令6—3/=0=r=2,故〃2(3；=15。2=15na=±1.

故答案为：±1

14•点(4,0)到双曲线［一/=1的一条渐近线的距离为.

【答案】2

【解析】由已知可得，a=6,6=1,

1R

双曲线的渐近线方程为y=±^=x=±^-x.

hJl4l__

所以，点(4,0)到了=苧x，即x_百了=0的距离。—J］。+/6)2.2.

故答案为：2.

15.在密室逃脱游戏中，小明闯过第一关的概率5为连续闯过前两关的概率为2彳.事件/表示小明第一

63

关闯关成功，事件3表示小明第二关闯关成功，则尸(叫/)=.

【答案】|4

2

【解析】由题意，得尸(/)=|,P(AB)=g,所以尸(叫/)=霁事=］=；

6

故答案为：!4

f,.2__

16.已知椭圆C:土+4=1(0<6<2)的右焦点为£。外的一点人满足而=2砺(。为坐标原点)，过点A的

4b

__3

直线与C交于2。两点，且不=也，若直线尸尸尸的斜率之积为-:，则6=.

【答案】6

【解析】解：如图，取线段尸。的中点为连接（W,尸尸,

则由题意可得，网=斗阿，又闷=2画,所以P尸〃MO.

因为直线尸。,PF的斜率之积为3，所以心°•七"=-：3.

.+-=1

设尸（为,必）,0h,%）,贝IJ£b\,两式相减可得（项+.）（为-工2）+（.+%）!%一%）=0,

，区=14b

[4b2

(“+%)(%-%)

整理得二一了，即即。.左。〃=一1=—,所以〃=3,所以6=

(再+%2)(再一%)4

故答案为：百.

四、解答题：本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.

17.（10分）平面直角坐标系中，已知圆C的圆心是C（0,l）,且经过点M（百,0）,直线/的方程为x+y+%=0.

（1）求圆C的标准方程；

⑵若/与圆C相切，求机的值；

（3）若直线/被圆截得的弦长|M?V卜26,求加的值.

【答案】（l）f+（了-以=4；（2）加=2近一1或-2亚-1：（3）加=-1+也或-1-VI.

【解析】（1）由题意知，r=\CM\=^（0-^）2+（1-0）2=2,

所以圆C的方程为/+Q-炉=4.

|0+1+m||m+l|

（2）若/与圆C相切，则圆心C到直线/的距离4=Vi2+i2

解得加=2夜_]或-2亚-]

（3）设圆心C到直线/的距离为d',

因为|肱V|=2g,所以屋=1,

|0+l+m||m+l|

由点到直线的距离公式得小』小=1,解得加=—1+或一1-万.

VI2+12V2

18.(12分)2023年9月23日第19届亚运会在中国杭州举行，其中电子竞技第一次列为正式比赛项目.某

中学对该校男女学生是否喜欢电子竞技进行了调查，随机调查了男女生人数各200人，得到如下数据:

男生女生合计

喜欢120100220

不喜欢80100180

合计200200400

(1)根据表中数据，采用小概率值a=0.05的独立性检验，能否认为该校学生对电子竞技的喜欢情况与性别有

关？

(2)为弄清学生不喜欢电子竞技的原因，采用分层抽样的方法从调查的不喜欢电子竞技的学生中随机抽取9

人，再从这9人中抽取3人进行面对面交流，求“至少抽到一名男生”的概率;

(3)将频率视为概率，用样本估计总体，从该校全体学生中随机抽取10人，记其中对电子竞技喜欢的人数为

X,求X的数学期望.

n(ad-be)

参考公式及数据：/=，其中〃=a+6+c+d.

(a+6)(c++c)(6+d)

a0.150.100.050.0250.01

Xa2.0722.7063.8415.0246.635

【答案】(1)采用小概率值a=0.05的独立性检验，能认为该校学生对电子竞技的喜欢情况与性别有关

37

(2)—

-42

⑶E(X)=:

【解析】(1)2x2列联表如下表所示:

男生女生合计

喜欢120100220

不喜欢80100180

合计200200400

零假设济：该校学生对电子竞技的喜欢情况与性别无关,

400x(120x100-80x100?

z2：—源.040>3.841,

-200x200x220x18099

P(z2>3.841)=0.05,

采用小概率值a=0.05的独立性检验，可推断〃。不成立，即能认为该校学生对电子竞技的喜欢情况与性别

有关，

（2）采用分层抽样的方法从抽取的不喜欢电子竞技的学生中随机抽取9人，这9人中男生的人数为4,女

C3in37

生的人数为5,再从这9人中抽取3人进行面对面交流，“至少抽到一名男生”的概率为1-港=1-虱=方.

2201111

（3）由题意可知喜欢电子竞技的概率为前=记，所以X〜3（10,右），

故£（X）=10xU=U.

202

19.（12分）某公司为确定下一年度投入某种产品的宣传费，需了解年宣传费x（单位：千元）对年销售量

y（单位：t）和年利润z（单位：千元）的影响.对近8年的年宣传费x；和年销售量％0=1,2,…,8）数据作

了初步处理，得到下面的散点图及一些统计量的值.

62o

60o

、7

啾58o

灯56o

融

出54o

52o

50O

343638404244464850525456

年宣传费/千元

888

之(叫-W)2t(吗-刃)(％一刃

Xy

Z=11=11=1Z=1

46.65636.8289.81.61469108.8

[8

表中叫=北，而=g£叫.

3/=1

（1）根据散点图判断，y=a+bx^y=c+d^哪一个适宜作为年销售量y关于年宣传费X的回归方程类型？

（2）根据（1）的判断结果及表中数据，建立〉关于x的回归方程；

（3）已知这种产品的年利润z与x,y的关系为i=0.2y-x.根据（2）的结果回答下列问题：年宣传费尤=49

时，年销售量及年利润的预测值是多少？年宣传费x为何值时，年利润的预测值最大？

【答案】⑴y=c+d4；

(2)y=6877+100.6;

（3）年销售量预测值为576.6,年利润的预测值为66.32,当尤=46.24时，z有最大值.

【解析】（1）根据散点图可以看出这些点在曲线上，所以y=c+适宜作为年销售量y关于年宣传费x

的回归方程类型；

8

八£(吗一河(％一刃1088人

(2)d=上―...........=--=68,c=563-6.8x68=100.6,

E(叱-而『16

i=l

所以立y关于x的回归方程为，=68«+100.6；

(3)当x=49时，y=68x7+100.6=576.6,

z=0.2x576.6-49=66.32；

z=0.2y-x=0.2(68«+100.6)-尤=-(«-6.8)+66.36，

当正=6.8时，即x=46.24时，z有最大值66.36.

20.(12分)如图，在四棱锥尸-ABCD中，尸N，平面ABCD,底面4BCD为梯形，其中AB//CD,/BAD=90。,

P4=AD=CD=2,AB=4,点M是尸8的中点.

（1）证明：PB=2CM；

（2）求二面角尸的正弦值.

【答案】（1）证明过程见解析；（2）,

【解析】（1）因为尸平面N3CD,/。,/8<=平面48。,

所以尸/_L4D,E4_L/3,

因为/84D=90。，所以NB_L4D,

建立如图所示的空间直角坐标系，

4（0,0,0）,尸（0,0,2）,3（0,4,0）,C（2,2,0）,河（0,2,1）,

因为尸8=^42+（-2）2=2亚,CM=^(-2)2+12=V5，

所以P8=2CN；

(2)=(2,2,0),=(O,0,2),^7=(0,2,1),

设平面尸/C的法向量为加=(无),Z),

m-AC=2x+2y=0/、

于是有_.n玩=-1,1,0,

m-AP=2z=0

设平面/CAI的法向量为行=(x,%z),

n-AC=2a+2b=0

于是有

n-AM=2.b+c=0

设二面角为e,

|m-n|V3

jcos0l=|cosC'n

同洞几万『+2(_1)2+「+223

所以二面角尸-/C-M的正弦值为：sin6>=Jl-cos?)=?_A/6

9-V

21.(12分)在平面直角坐标系xOy中，已知点G(板,0),直线£：x=2亚,动点H到点G的距离与直线工

的距离之比为Y2.

2

(1)求动点H的轨迹E的方程;

(2)设曲线E与x轴交于A、8两点，过X轴上点-4,0)作一直线尸。与椭圆交于尸，。两点(异于A,B),

若直线/P与8。的交点为N,记直线MV与/P的斜率分别为勺，k2,求

【答案】⑴工+且=1;⑵

423

亚丫*y2=包,整理得二+上=1,

【解析】(1)设女①了)，依题意,

\x-2y/2\242

所以动点H的轨迹E是椭圆，其方程为《+己=1.

42

(2)由(1)知,不妨令4(-2,知8(2,0),设N(x,y),P(x”必),。卜2，4)，

显然直线尸。不垂直于夕轴，设直线产。的方程：x=my-4,

x=my-4

由2消去x并整理得(/+2)/_8叩+12=0,有△=64/-48(/+2)>0,即/>6,

——+—=1

I42

于是M+%=:加。，弘％=产。，即有y=：(必+%)，

m+2m+22myi2

即可』g

由P,N,A和0,N,B三点共线,

y2(%1+2)x+2

3，、/

力(必+%)-6%

而西=叼1-4,迎=机力-4,从而.,2'=M产％R2_3

3-J，

%（国+2）%（加乂-2）

5(%+%)-2%

X—2

因此土上=-3,解得x=—l,而匕=士他

x+2

k.x+21

所以U=-7=7.

k2x+43

X2《=1（。>6>0）的长轴长为2振，且其离心率小于孝，P为椭圆C