函数模型的应用课件高一上学期数学人教A版（完整版）3

4.5.3函数模型的应用

（第一课时）一次函数模型：y=kx+b(k≠0)二次函数模型：y=ax2+bx+c(a≠0)指数函数模型：对数函数模型：幂函数模型：分段函数模型：y=max+n(m≠0,a>0且a≠1)y=mlogax+n(m≠0,a>0且a≠1)y=bxa+c(b≠0,a≠1)常见的数学函数模型

反比例函数型:解决实际应用问题的一般步骤：①审题：弄清题意,分清条件和结论,理顺数量关系；②建模：将文字语言转化为数学语言,利用数学知识,建立相应的数学模型;③解模：求解数学模型,得出数学结论;④还原：将用数学知识和方法得出的结论,还原为实际问题．例3.人口问题是当今世界各国普遍关注的问题.认识人口数量的变化规律，可以为制定一系列相关政策提供依据.早在1798年，英国经济学家马尔萨斯（，1766—1834）就提出了自然状态下的人口增长模型：y=y0ert，其中t表示经过的时间，y0表示t=0时的人口数，r表示人口的年平均增长率.

(1)根据国家统计局网站公布的数据，我国1950年末、1959年末的人口总数分别为55196万和67207万.根据这些数据，用马尔萨斯人口增长模型建立我国在1950～1959年期间的具体人口增长模型.（温馨提示：已知由e9r可得）要确定其中的初始量y0和年平均增长率r.①人口增长模型：y=y0ert；（

t是自变量，y是因变量）②t表示经过的时间，y0表示t=0时的人口数，r表示人口的年平均增长率；③1950年末、1959年末的人口总数分别为55196万和67207万；④已知e9r可得分析:认真审题,知道些什么条件？要求解什么？已知所求(2)利用(1)中的模型计算1951～1958年，各年末的人口总数．查阅国家统计局网站公布的我国在1951～1958年间各年末的实际人口总数，检验所得模型与实际人口数据是否相符.解：(1)由题意知y0=55196，设1951～1959年期间人口的年平均增长率为r，根据马尔萨斯人口增长模型，有67207=55196e9r由计算工具可得r≈0.021876.因此我国在1950～1959年期间的具体人口增长模型为y=55196et，t∈[0，9].年份19511952195319541955195619571958计算所得人口总数/万5641757665589406024361576629386433065753实际人口总数/万5630057482587966026661456628286456365994(2)分别取t=1，2，…，8，由y0=55196et可得我国在1951～1958年间各年末的人口总数．查阅国家统计局网站，得到我国在1951～1958年各年末的实际人口总数，如下表如示.根据1950～1959年我国人口总数的实际数据画出散点图，并画出函数y=55196et（t∈[0，9]）的图象。由图可以看出，所得模型与

1950～1959年的实际人口数据基本吻合．解：将y=130000代入y=55196e，由计算工具可得t≈39.15.所以，如果人口按照(1)中的模型增长，那么大约在1950年后的第40年（即1990年），我国的人口就已达到13亿.(3)以(1)中的模型作预测，大约在什么时候我国人口总数达到13亿?（温馨提示：已知e得）事实上，我国1990年的人口数为亿，直到2005年才突破13亿。对由函数模型所得的结果与实际情况不符，你有何看法？思考？

人口模型指的是在自然状态下的模型。但是因为我国人口基数较大，人口增长过快，与我国经济发展水平产生了较大矛盾，所以我国从20世纪70年代逐步实施了计划生育政策，因此这一阶段的人口增长模型的条件并不符合马尔萨斯人口增长模型，自然就出现了一模型得到的结果与实际不符的情况。注意：在用已知的函数模型刻画实际问题时，应注意模型的适用条件.例4：2010年，考古学家对古城水利系统中一条水坝的建筑材料（草裹泥）上提取的良渚草茎遗存进行碳14年代学检测，检测出碳14的残余量约为初始量的55.2%，能否以此推断此水坝大概是什么年代建成的？分析：因为死亡生物机体内碳14的初始量按确定的衰减率衰减，属于指数衰减，所以应选择函数y=kax(k∈R,且k≠0;a>0,且a≠1)建立数学模型．y代表是经过的时间，k代表的是碳14初始量，a代表一年后碳14还保留的比例，x代表经过的年份。问题：y=kax这里面的每一个字母都代表什么？也就是说我们只需要将解析式中的a求出就可以解决问题了，附加一个碳14的半衰期为5730年。解：设样本中碳14的初始量为k，衰减率为p(0<p<1)，经过x年后，残余量为y．根据问题的实际意义，可选择如下模型：y=k(1-p)x(k∈R,且k≠0;0<p<1;x≥0)．由碳14的半衰期为5730年，得

于是

所以由样本中碳14的残余量约为初始量的％可知，即解得由计算工具得x≈4912．因为2010年之前的4912年是公元前2903年，所以推断此水坝大概是公元前2903年建成的．4.5.3函数模型的应用

（第二课时）例5.假设你有一笔资金用于投资，现有三种投资方案供你选择，这三种方案的回报如下：方案二：第一天回报10元，以后每天比前一天多回报10元；方案三：第一天回报元，以后每天的回报比前一天翻一番。方案一：每天回报40元；1.投资方案选择的原则：投入资金相同，回报量多者为优.2.例题中涉及哪些数量关系？投资天数，回报金额3.要对三个方案作出选择，就要对它们的增长情况进行分析，如何分析？每天的回报数、增加量、累计回报数解：设第x天所得回报是y元，则方案一可以用函数y=40(x∈N*)进行描述；方案二可以用函数y=10x(x∈N*)进行描述；

三个模型中，第一个是常数函数，后两个都是增函数.

要对三个方案作出选择，就要对它们的增长情况进行分析.

我们先用信息技术计算一下三种方案所得回报的增长情况（见下表）.x/天方案一方案二方案三y/元增加量/元y/元增加量/元y/元增加量/元140100.4240200.8340301.6440403.2540506.46406012.87407025.68408051.294090102.4…………3040300214748364.8000000000…0101010101010101010…10…从表格中获取信息，体会三种函数的增长差异。oxy2040608010012014042681012底为2的指数函数模型比线性函数模型增长速度要快得多。指数爆炸从图象上把握不同函数模型的增长：由表和图可知，方案一的函数是常数函数，方案二、方案三的函数都是增函数，但方案三的函数与方案二的函数的增长情况很不相同.尽管方案一、方案二在第1天所得回报分别是方案三的100倍和25倍，但它们的增长量固定不变，而方案三是“指数增长”，其“增长量”是成倍增加的，从第7天开始，方案三比其他两个方案增长得快得多，这种增长速度是方案一、方案二所无法企及的.从每天所得回报看，在第1~3天，方案一最多；在第4天，方案一和方案二一样多，方案三最少；在第5~8天，方案二最多；第9天开始，方案三比其他两个方案所得回报多得多，到第30天，所得回报已超过2亿元.根据以上分析,你认为该作出何种选择?累计回报表

天数方案1234567891011一4080120160200240280320360400440二103060100150210280360450550660三0.41.22.8612.425.250.8102204.4409.2818.8思考投资1~6天，应选择方案一；投资7天，应选择方案一或方案二；投资8~10天，应选择方案二；投资11天（含11天）以上，应选择方案三。1.不同函数模型的增长特点：常数函数

一次函数

指数函数没有增长匀速增长急剧增长保持不变直线上升指数爆炸2.分析函数模型的方法：解析法列表法图象法

①本例涉及了哪几类函数模型？一次函数对数函数指数函数②你能用数学语言描述符合公司奖励方案的条件吗?a.销售利润达到10万元时进行奖励；b.奖金总数不超过5万元；c.奖金不超过利润的25%；d.公司总的利润目标为1000万元.4006008001000120020012345678xyo对数增长模型比较适合于描述增长速度平缓的变化规律。y=5

它在区间[10，1000]上递增，所以它符合奖金总数不超过5万元的要求.<5