2024年广东省肇庆市高考数学模拟试卷附答案解析

2024年广东省肇庆市高考数学模拟试卷

一、选择题：本题共8小题，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.

1.（5分）已知集合/={%|y=/0。2（2—%）},B={y\y=2X-2},贝!（）

A.（0,2）B.[0,2]C.（0,+8）D.（-8,2]

2.（5分）已知复数2=占，则复数z的虚部为（）

111.1.

A.—B.—C.—iD.—o'i

2222

3.（5分）将一枚质地均匀的骰子连续抛掷6次，得到的点数分别为1,2,4,5,6,x,则

这6个点数的中位数为4的概率为（）

1112

A.—B.—C.—D.一

6323

4.（5分）刍薨是《九章算术》中出现的一种几何体，如图所示，其底面N3CO为矩形，顶

棱尸0和底面平行，书中描述了刍薨的体积计算方法：求积术日，倍下袤，上袤从之，

以广乘之，又以高乘之，六而一，即^=3（24B+PQ）BC-h（其中”是刍薨的高，即顶

棱尸。到底面/BCD的距离），已知N5=28C=8,ZJ%。和△Q8C均为等边三角形，若

二面角P-/O-8和0-3C-N的大小均为120°,则该刍薨的体积为（）

PQ

99厂

A.30V3B.20V3C.—y/3D.48+4遮

5.（5分）中国空间站的主体结构包括天和核心舱、问天实验舱和梦天实验舱.假设中国空

间站要安排甲，乙，丙，丁4名航天员开展实验，其中天和核心舱安排2人，问天实验

舱与梦天实验舱各安排1人.若甲、乙两人不能同时在一个舱内做实验，则不同的安排

方案共有（）种.

A.8B.10C.16D.20

6.（5分）已知cos（a—看）+s讥a=字,

则sin（a-等）的值是（)

A--亨1V3

B.-"C.一D.一

44

7.（5分）已知点尸为抛物线C：y2=4x的焦点，过F的直线I与C交于43两点，则0尸|+2田元

的最小值为（)

第1页（共21页）

A.2V2B.4C.3+2V2D.6

111R

8.（5分）已知Q=S讥w，b=^cos^,c=仇彳贝！J（）

A.c〈a〈bB.c〈b〈aC.b〈c〈aD.b〈a<c

二、多选题：本题共3小题，在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.

（多选）9.（6分）已知数列｛即｝满足的=1,等1=碧，n€N*,则下列结论成立的有

ClfiTI-T~J.

（）

A.44=2

B.数列｛〃斯｝是等比数列

C.数列｛斯｝为递增数列

D.数列｛即-6｝的前〃项和S”的最小值为必

（多选）10.（6分）已知正方体NBCD-NLBICIDI的棱长为2,M为空间中动点，N为CD

中点，则下列结论中正确的是（）

A.若M为线段NN上的动点，则LW与囱Ci所成为的范围为偌，j]

B.若"为侧面ADD1/1上的动点，且满足〃平面ADC,则点”的轨迹的长度为夜

C.若M为侧面DCCYD1上的动点，且MB=W>则点M的轨迹的长度为丁兀

D.若M为侧面NDD14上的动点，则存在点M满足MB+MN=2百

（多选）11.（6分）已知/（x）=（x+1）Inx,g（x）=x（"+1）（其中e=2.71828…为自

然对数的底数），则下列结论正确的是（）

A.f（x）为函数/（x）的导函数，则方程『（x）]2-5f（x）+6=0有3个不等的实数解

B.3x6（0,+°°）,f（x）=g（x）

C.若对任意x>0,不等式g（Q+/几x）Wg（%/2_%）恒成立，则实数。的最大值为-1

Int1

D.若/（XI）=g（X2）=t（t>0）,则丁;_八的最大值为一

三、填空题：本题共3小题.

12.（5分）Q-妥K展开式的常数项为.

13.（5分）已知向量会，6为单位向量，且向量]与：+36共线，则|b+K|的最

小值为•

14.（5分）已知双曲线C；搐一||=l（a>0,b>0）的左，右焦点分别为尸i,尸2,P为C

第2页（共21页）

右支上一点，NPF2%=等，△PF#2的内切圆圆心为M，直线尸M■交X轴于点N,\PM\

=3也见，则双曲线的离心率为.

四、解答题：本题共5小题，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.

15.(13分)为了更好地推广冰雪体育运动项目，某中学要求每位同学必须在高中三年的每

个冬季学期选修滑冰、滑雪、冰壶三类体育课程之一，且不可连续选修同一类课程若某

生在选修滑冰后，下一次选修滑雪的概率为最在选修滑雪后，下一次选修冰壶的概率为

32

在选修冰壶后，下一次选修滑冰的概率为口

(1)若某生在高■冬季学期选修了滑雪，求他在高三冬季学期选修滑冰的概率；

(2)苦某生在高一冬季学期选修了滑冰，设该生在高中三个冬季学期中选修滑冰课程的

次数为随机变量X,求X的分布列及期望，

16.(15分)在△48C中，角/,B,C的对边分别为a,b,c,已知a=l,cosC+ccos^-

26cos2=0.

(1)求8；

—>—>

(2)若4C=2CD,且BD=g,求c.

17.(15分)如图，在四棱锥尸-/BCD中，底面是边长为2的正方形，且PB=V^BC,点

O,。分别为棱CD,P8的中点，且。0，平面网C.

(1)证明：平面以。；

(2)求二面角P-4D-Q的大小.

18.(17分)已知椭圆C：各*l(a>b>0)的两焦点为(-1,0),F2(1,0),且椭

圆C过P(一疗字).

(1)求椭圆C的标准方程；

(2)设椭圆C的左、右顶点分别为/,B,直线/交椭圆C于N两点(M,N与A,

8均不重合)，记直线的斜率为所，直线的斜率为左2,且左1-2左2=0,设小AMN,

第3页(共21页)

的面积分别为Si,S2,求|S1-S2出勺取值范围.

19.(17分)已知/(x)=ae2x-W(其中e=2.71828…为自然对数的底数).

(1)当°=0时，求曲线y=/(x)在点(1,/(D)处的切线方程；

(2)当a=4时，判断/G)是否存在极值，并说明理由；

(3)Vxe/?,f(久)+51<0,求实数0的取值范围.

第4页(共21页)

2024年广东省肇庆市高考数学模拟试卷

参考答案与试题解析

一、选择题：本题共8小题，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.

1.（5分）已知集合/={%|y=1o02（2—％）},B={y\y-2X~2）,则（）

A.（0,2）B.[0,2]C.（0,+8）D.（-8,2]

【解答】解：集合Z={x\y=log2a-%）}，B={y\y=2X~2）,

：.A={x\2-x>0}={x\x<2},B={y\y>0}f

贝（0,2）.

故选：A.

2.（5分）已知复数2=占，则复数z的虚部为（）

111.1.

A.—B.一C.—iD.-Q-i

2222

【解答]解：z==-1

则复数z的虚部为：

故选：A.

3.（5分）将一枚质地均匀的骰子连续抛掷6次，得到的点数分别为1,2,4,5,6,x,则

这6个点数的中位数为4的概率为（）

1112

A.—B.-C.—D.一

6323

【解答】解：将一枚质地均匀的骰子连续抛掷6次，得到的点数分别为1,2,4,5,6,

X，

X的可能取值分别为1,2,3,4,5,6,有6种情况，

其中，这6个点数的中位数为4时，x的可能取值为4,只有1种情况，

.•.这6个点数的中位数为4的概率为P=

6

故选：A.

4.（5分）刍薨是《九章算术》中出现的一种几何体，如图所示，其底面为矩形，顶

棱尸。和底面平行，书中描述了刍薨的体积计算方法：求积术曰，倍下袤，上袤从之，

以广乘之，又以高乘之，六而一，即了=卷（24B+PQ）BC-/i（其中/?是刍薨的高，即顶

棱尸。到底面/BCD的距离），已知48=22C=8,和△Q2C均为等边三角形，若

第5页（共21页）

二面角P-NO-2和。-3C-/的大小均为120°,则该刍薨的体积为（）

AB

99广

A.30V3B.20V3C.—y/3D.48+4遮

【解答】解：令点尸，。在平面N8CD的投影分别为P,Q1,

取BC的中点M,N,连接PM,QN,如图，

由尸尸」平面/BCD,/Du平面48cO,得尸PLAD,

由正△FID,^AD±PM,PP'CPM=P,PP',PMu平面PAO',

则NO_L平面尸MP',同理8C_L平面QNQ',由四边形48cA为矩形，得4D〃BC,

于是4D_L平面QN。'，而u面PMP',NQ'u平面QN0',则4D_LMP',AD

1NQ',

MN//AB,有MNUD,且P,M,N,Q'都在平面4BCD,因此点P,M,N,Q'

共线，

PP'//QQ',而PQ〃平面ABC。，平面PQ。，P'n平面ABCZ）=PQ',尸0u平面

PQQ'P',则P0〃PQ',

四边形尸0。'P'为平行四边形，PQ=P'Q',h=QQ'=PP，,

由4D_LPM,AD1.MN,得/PMN是二面角尸-4D-8的平面角，即NPW=120°,

则/=60°,又尸初=7^M60°=2百，

.".h=PMsm6Q°=3,P'M=PMcos6Q°-V3,

,:MN=AB=8,：.PQ=MN+2P'M=8+2g,

11

...该刍薨的体积为-=6（2A8+P。）BC'h,（2X8+8+2V3）X4X3=48+4A/3.

故选：D.

5.（5分）中国空间站的主体结构包括天和核心舱、问天实验舱和梦天实验舱.假设中国空

间站要安排甲，乙，丙，丁4名航天员开展实验，其中天和核心舱安排2人，问天实验

第6页（共21页）

舱与梦天实验舱各安排1人.若甲、乙两人不能同时在一个舱内做实验，则不同的安排

方案共有（）种.

A.8B.10C.16D.20

【解答】解：根据题意，分2步进行分析：

①在4名航天员中选出2人，在天和核心舱工作，甲乙不能同时入选，有鬣-最=5种

安排方法，

②剩下2人安排到问天实验舱与梦天实验舱工作，有2种情况，

则有5X2=10种安排方法.

故选：B.

6.（5分）已知cos（a—看）+sina=圣贝！-,）的值是（）

J311V3

A.一早B.-4C.-D.—

4444

【解答】解：cos（a—看）+s讥a=孚

贝1kosacosj+sinasiny-+sina=*cosa+^sina=

66，，4

^1V3711

故5cosa+—sina—sin（a+-）=—,

月f以s讥（a—歹）=-+a-7江）=-s讥（a+石）=-4,

故选：B.

7.（5分）已知点方为抛物线。：廿=4%的焦点，过少的直线/与。交于4"两点，则|4方|+22歹|

的最小值为（）

A.2V2B.4C.3+2V2D.6

【解答】解：・・•抛物线。方程为：/=4x,

：.p=2,F（1,0）,准线方程为、=-1,

设过厂的直线/的方程为y=攵（x-1）,左W0,

联立匕女,0,可得后f-（2乒+4）x+F=0,

U=4x

设/（xi,yO,B（工2,y2）f

•\xm=1,xi>0,

：.\AF\+2\BF\=.++2（,+k2）

-+%1+2%2=3+%1H-----之3+2V2>

ZXi

第7页（共21页）

当且仅当％i=jxi>0,即久i=鱼时等号成立，

・・・|4月+2|5方|的最小值为3+2V2.

故选：C.

1113

8.（5分）已知。=$沆可，b--^cos-^,c—ln-^,贝!］（）

A.c〈a〈bB.c〈b<aC.b〈c〈aD.b〈a〈c

71

【解答】解：根据题意，当aE（0,万）时，有sina<a<tana,

111

贝11a=sin—<-<tan—,

333

..1i1

又由a=sin—>0,b=^cos—>0,

333

.1

11…一

则工=1----1=3tan—>3x司=1,则有a>b,

b-cos-3$

312711

c=ln-=-In->Tne=5,

23833

,1

故有bVaV^Vc,即b<a<c.

故选：D.

二、多选题：本题共3小题，在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.

（多选）9.（6分）已知数列｛即｝满足的=1,等1=碧，n€N*,则下列结论成立的有

duTliJ.

（）

A.Q4=2

B.数列｛〃斯｝是等比数列

C.数列｛斯｝为递增数列

D.数列｛即-6｝的前〃项和S,的最小值为必

【解答】解：，N*,可得（〃）斯2nan，

a1=1。八Tli±/?iG+1+1=

则数列｛〃即｝是首项为I,公比为2的等比数列，

1-1232n-1a_i_i2n

可得〃即=2"I则Q4=K=2,a=—»-n---=—7，

nn

4ann+1

可得〃1=42<43<。4<。5<...<劭<…，即数列｛斯｝不为递增数列，故45正确，C错误；

由于时，an~6<0,〃三6时，an-6>0,可得数列｛斯-6｝的前〃项和S”的最小

值为S6,故。正确.

第8页（共21页）

故选：ABD.

（多选）10.（6分）已知正方体48CD-//iCbDi的棱长为2,“为空间中动点，N为CD

中点，则下列结论中正确的是（）

A.若M为线段NN上的动点，则LW与囱Q所成为的范围为吟，J]

B.若M为侧面4DD1/1上的动点，且满足血W〃平面ADiC,则点M的轨迹的长度为近

912v3

C.若M为侧面。CGD1上的动点，且=则点M的轨迹的长度为丁兀

D.若M为侧面NDDi/i上的动点，则存在点M满足MB+MN=2百

【解答】解：对于/,当朋■与N不重合时，过M作交CD于E,连接DM/,

D[E,

由2C_L平面CDDiCi,DiEu平面CDD\C\,得3C_LDi£,有ME_LDiE,显然affi1〃历Ci，

ZDiME为DiM与BiCi所成的角，tan^D^ME=第，当M与N重合时

则当M由点/向点N移动过程中，DiE逐渐增大，建逐渐减小，则券逐渐增大，

ME

因此tanZDiAffi^1,-<乙D、ME<-,当M与点、N重合时，有囱。±DiM,乙％ME=等

所以与3©成角的范围为吟，J],/错误；

对于3,取的中点凡£%的中点G,连接FN,GN,AD\DiC,AC,

如图，

第9页（共21页）

由中位线可知M7/D1G,GFUDiA,GCiu平面则NF〃平面NQC,

同理可得GF〃平面4DC,又NFCGP=尸且都在面GNF内，所以面GNF〃平面4DC，

因为“N〃平面/D1C,所以点MCGH则点M的轨迹的轨迹的长度FG=&,故B正确;

对于C,由3CL平面CD01C1,易得△BMC是直角三角形，

MB=CM=yjBM2-BC2=竽，

如图，

4V3rr7

点M的轨迹是以C为圆心，一二为半径的圆弧印，由COSN/CC1=导=2=

31C4V3

则4/CC1=同理NHCD=2

1OO

,77-4V3712V3

所以ZJ/C/=z，轨迹长度为F-x—=——7T,C正确；

0369

对于。，在平面/5CQ内延长CQ,截取DV=Z）N,连接8M交于点/（如图）

第10页（共21页）

BJ+NJ=BN'=V9T4=V13>2V3,

点〃■与点J重合时，MB+MN=BJ+NJ,

点M与点J不重合时，MB+MN>BJ+NJ,

所以不存在点M满足M8+MN=2b,D错误.

故选：BC.

(多选)11.(6分)已知/G)=(x+1)Inx,g(x)=x(eI+l)(其中e=2.71828…为自

然对数的底数)，则下列结论正确的是()

A.f(x)为函数f(x)的导函数，则方程『(x)]2-5f(x)+6=0有3个不等的实数解

B.(0,+8),f(%)=g(x)

C.若对任意x>0,不等式g(a+加x)Wg2-x)恒成立，则实数。的最大值为-1

D.若/(xi)=g(%2)=t。>0),则~~,、的最大值为工

2X2(%I+1)e

【解答】解：对于/,fCx)=(x+1)Inx,

1

/i(x)==14-Inx+—,

Y—1

h(%)=>0n%>1,

h(x)即，(x)在(0,1)上是减函数，在(1,+8)上是增函数,

当1―0时，f(x)f+8,f(1)=2；

当x—+8时，f(x)f+8；

又『(》)尸-"(x)+6=0?f(x)=2或3,

・,・方程仁(x)?-歹(x)+6=0有3个不等的实数解，故4正确;

对于B,令F(%)="-x-LG(x)=x-1-Inx,

第11页(共21页)

1

则P(x)=，-l>0=x>0,GX%)=1-J>O=>%>1,

产(％)在(-8,0)上是减函数，在(0,+8)上是增函数，

G(X)在(-8,1)上是减函数，在(1,+8)上是增函数，

:・F(x)》F(0)=>/-x-1>0=F>x+1,

当且仅当x=0时，等号成立，

G(x)》G(1)=>x-1-lnx>0nx-1>Inx,当且仅当x=1时，等号成立，

・••当x>0时，

x(，+1)=x(x+1)>(x+1)lnx=g(x)>/(x),故B错误；

对于C,Vg(x)=x(^+1),H(x)=gr(x)=(x+1)^+1,

H'(x)=(x+2)，>0ox>-2,

H(x)即g'(x)在(-8,-2)上是减函数，在(-2,+8)上是增函数，

...g'(x)》g'(-2)=1-|>0,g(x)是增函数，

又g(a+lnx)Wg(xF2-x)对任意x>0恒成立，

,•a+lnx^xe^2-%对任意恒成立-历(X/2)-2对任意x>0恒成立,

t=xex~2(x>0)是增函数，值域为(0,+8),

.♦.QWt-Int-2对任意方>0恒成立，

令m。)=t-lnt-2G>0),则=1-；>0今

m(?)在(0,1)上是减函数，在(1,+8)上是增函数，

.♦.QWm(1)=QW-a的最大值为-1,故C正确；

对于。，*.*/(xi)=g(X2)=t(1>0),

X2

=>X2(e+1)=(%i+1)/71%!=t,

X2Zn%1

=>x2(e+1)=(Znx1)(e+1),

=>g(X2)=g(历XI),

X2

・\%2>0，x1>l,x2=lnxlf%[=e,

.Intm[%2(e*2+l)]

**2%2(^I+1)2%2(e*2+l)'

设k=第2(?犯+1)=g(%2)(%2〉0)，由g(x)是增函数知，左的取值范围(0,+8),

令n(k)=蝶(卜〉0),贝加级)=与段>0n0<7cVe,

故"(k)在(0,e)递增，在(e,+8)递减，

第12页（共21页）

1

九一九（？）一2?'

的最大值为上，故。错误.

故

故选：AC.

三、填空题：本题共3小题.

12.（5分）（x-日并展开式的常数项为60.

【解答】解：（X-昼）6展开式的通项公式为：4/-『（-2）"2r=Cr（_2»6-3r,

令6-3r=0,解得r=2,

故所求常数项为髭（-2）2=60.

故答案为：60.

7T1TT—Tf

13.（5分）已知向量a,6为单位向量，Ma-b=-向量c与a+36共线，贝U|6+c|的最

vn

小值为

14

->TT71T反

【解答】解：由a,b为单位向量，且a，b=—2，设a=（L0）,b=（—讶，三），

则存在实数入，ftc=A（a+36）=A（-1,孥）=（一,,竽4）,

可得力+1=（—»会堂+婴4）,则|，+入=J（—当2+（乎+号4）2=

V7A2+5A+1,

由二次函数的性质，可知:

当4=—金时，自+a有最小值「x（一金）2+5x（一1）+1=13_721

28

V21

故答案为：

14

14.（5分）已知双曲线C；*||=l（a>0,b>0）的左，右焦点分别为为，F2,P为C

右支上一点，^PF2F1=^,aPFiF2的内切圆圆心为M，直线PW交X轴于点N,\PM\

,7

=3\MN\,则双曲线的曷心率为

【解答】解：设圆M与x轴相切于点/,

由双曲线的定义知，|尸为|-|尸尸2|=2a,

因为圆”是△尸尸1尸2的内切圆，

所以|尸尸1|-|尸尸2|=|尸1蜀T尸M|=2a,

第13页（共21页）

而「M+EM=|尸1尸2|=2C,所以用M=C-a,

所以点/恰为双曲线的右顶点，即XM=。，

因为"尸2平分/尸尸2为，且/尸尸才1=丁，

所以NMR2尸1=多

27r——

所以直线放2的倾斜角为百，其斜率为一百，

所以直线A/F2的方程为尸-百(x-c),

把XA尸。代入直线A/F2的方程，得_FA・遮(c-a),即|肱4|=百(c-a),

过点尸作轴于点Q，

因为『M=3|MN|,所以|PN|=4|MN|,所以|尸0|=4|肱4|=4旧(c-a),

7T2

在RtZXPQ尸2中，ZPF2Q=所以尸尸2|=同°。|=8(c-a),

所以|尸尸1|=|P尸2|+2a=8c-6a,

22

在中，由余弦定理知，|PFi|=|PF2|+|尸1?2『-2\PF1\■\F1F2\COS^PF2F1,

1

所以(8c-6a)2=[8(c-a)]2+(2c)2-2(8c-6a)•(2c)•(—1)，

整理得5c2-12QC+7〃2=0,

两边同时除以砂，得5e2-12e+7=0,解得e=(或e=l(舍)，

7

所以双曲线的离心率为g.

第14页(共21页)

-7

故答案为：--

四、解答题：本题共5小题，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.

15.（13分）为了更好地推广冰雪体育运动项目，某中学要求每位同学必须在高中三年的每

个冬季学期选修滑冰、滑雪、冰壶三类体育课程之一,且不可连续选修同一类课程若某

生在选修滑冰后，下一次选修滑雪的概率为最在选修滑雪后，下一次选修冰壶的概率为

32

在选修冰壶后，下一次选修滑冰的概率为二

（1）若某生在高一冬季学期选修了滑雪，求他在高三冬季学期选修滑冰的概率；

（2）苦某生在高一冬季学期选修了滑冰，设该生在高中三个冬季学期中选修滑冰课程的

次数为随机变量X,求X的分布列及期望，

【解答】解：（1）根据题意，若高一选修滑雪，设高三冬季学期选修滑冰为随机事件

则P⑷奇

（2）该生在高中三个冬季学期中选修滑冰课程的次数X的可能取值为1,2.

…，、32,3113…22,117

P（X=1）=耳*可+4乂可=而，P（X=2）=5><3+4X3=20-

所以X的分布列为:

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X12

P137

2020

E(X)=20+2X20=20，

16.(15分)在△48C中，角/,B,C的对边分别为a,b,c,己知a=l,cosC+ccoS-

2bcos5=0.

(1)求5

—>―»

(2)若4C=2CD,且=心，求c.

【解答】解：(1)因为。=1,所以cosC+ccos/-26cos5=acosC+ccos4-26cosB=0.

由正弦定理可得siib4cosc+sinCcos4-2sin5cos5=sin(A+C)-2sin5cos5=0.

又因为4+5+C=TI,所以sin(A+C)=sia5W0,

1

可得cos8=2，BE.(0,TT),

解得2=J;

(2)因为£7=2cb,设CD=x,则/C=2x,

在△4BC中，由余弦定理可得：cosB=C2+；”2=,

即c2+l-4X2=C,

1_|_4丫2^-「2-y"2_o

在△45。与△5CQ中,cos乙BCA=晨,cos乙BCD=^-=-,

所以6x2-c2-3=0,

所以c2-3c-3=0,解得c=型等(负值舍弃)，

所以，=¥.

17.(15分)如图，在四棱锥P-/BCD中，底面是边长为2的正方形，且PB=V^8C,点

O,。分别为棱CO,心的中点，且。。，平面P5C.

(1)证明：。。〃平面

(2)求二面角P-AD-Q的大小.

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P/

AB

【解答】（1）证明：取以中点G,连接G0,GD,

:点。为网中点，J.GQ//AB,GQ=^AB,

:底面是边长为2的正方形，。为CD中点，

1

J.DO//AB,DO^^AB,

J.GQ//OD,GQ=OD,

，四边形GQOD是平行四边形，

：。0,平面&1。，GOu平面BID,

，。0〃平面PAD.

（2）解：'JDQL^^PBC,BCu平面P2C,：.DQLBC,

又：底面是边长为2的正方形，，。。，台。，

°nr）c=D,，台。，平面

•.•OQu平面。CQ,J.BC1.OQ,

又：C0u平面DC0,：.BCLCQ,

,:PB=2遍,：.QB=V6,,:BC=2,QC=V2,

:底面是边长为2的正方形，=2vLDQ=&,：.DQ=CQ,

:。为CD中点，AOQ±DC,

y^'：BCkOQ,DSBC=C,，OQ_L平面ABC。，

取NB中点£,以OE,OC,。。所在直线分别为x,y,z轴，

建立如图所示的空间直角坐标系。-xyz,

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贝I」O(0,0,0),Q(0,0,1),A(2,-1,0),B(2,1,0),D(0,-1,0),P(-

2,-1,2),

—>—>

所以筋=(一4,0,2),4。=(-2,0,0),4Q=(-2,1,1),

设平面E4。的一个法向量为m=(%,y,z),则znl/P,7nlZD,

则仲声=—4x+2z=0,令产i,可得益=(o,1,0),

(TH•AD=-2%=0

TTTTT

设平面Q4D的一个法向量为n=(xly',z),则nl力Q,nlAD,

(TT

则丝—z=0,令片1,可得7=(。，L一1),

.n-AD=-2x'=0

mi|Jt、m-n1V2

|m||n|v22

由图可知，二面角P-40-。为锐二面角，

71

所以二面角P-AD-Q的大小为

18.(17分)已知椭圆C：Q*l(a>b>0)的两焦点为(-1,0),尸2(1,0),且椭

圆C过P(一^1).

(1)求椭圆C的标准方程；

(2)设椭圆C的左、右顶点分别为4,B,直线/交椭圆C于河，N两点(M,N与A,

3均不重合)，记直线的斜率为向，直线BN的斜率为无，且左1-2左2=0,设AAMN,

△BMV的面积分别为Si,S2,求国-S2|的取值范围.

【解答】解：⑴因为椭圆C的两焦点为(-b0),Fi(1,0),且过点P(-后字).

C不=1=:

(滔+研=1

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解得4=2,b=V3,c=l,

、%2y2

则椭圆C的方程为了+—=1;

43

(2)易知/(-2,0),B(2,0),

不妨设M（xi,yi）,N（X2,”）,

若直线MN的斜率为0,

此时M,N两点关于了轴对称，

所以左1+左2=0,不符合题意，

则直线MN的斜率存在且不为0,

不妨设直线ACV的方程为x=W+/w（加W±2）,

X=ty+m

联立卜2y2，消去X并整理得（3及+4）/+6/叩+3/2-12=0,

E+w=1

此时△=48（3?+4-加2）＞0,

由韦达定理得为+'2=-翳，为％=嚏青，

因为点M是椭圆上一点，

,^n-4-t,._7171_y?_3(1—?)_3

此时心.施”=诉•年乏=/=不了-=一不

则々3M,七=-g-»

因为版BMM•七2=7~~朵泮F―第一~~元

(巧—2)(%2-2)(tyi+m-2)(ty2+^-2)

____________Z1Z2_____________

/yi、2+1(瓶一2)(yi+丫2)+O-2)2

3m2-12「

=__________3隹+4__________=3(_2—4)=3(m+2)3

隹(3m2_i2)_6t2n2)+(_2)24(??1—2)24(77l—2)8'

3t2+43t2+4()

所以Hl=-1,

,,,4c32

止匕时4=48(3产o+4-J)=48(3产+甘)〉0,

则直线九W恒过x轴上一定点。(一(，0),

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6tm_4t_3m2-12_32

则yi+m=

五甲二衣为、2=3t2+4=3(3隹+4)'

1919

所以|S1-&|=|2171-y2ll-2-(-3)|-2lyi-yzl|2-(-3)||

2i__________名而等8V3(3同+4)—④

=可21为一旷21=+%)2-4)7/2=-------