2024年北京市石景山区2024届高三一模数学试卷

2024北京石景山高三一模

数学

本试卷共9页，150分。考试时长120分钟。考生务必将答案答在答题卡上，在试卷上作答无效。考试

结束后，将本试卷和答题卡一并交回。

第一部分(选择题共40分)

一、选择题：共10小题，每小题4分，共40分。在每小题列出的四个选项中，选出符合

题目要求的一项。

1.已知集合人:卜卜?一2%一3<o｝,5=｛x|x>l｝,则AB=

A.(-1,3)B.(-3,l)C.(-l,l)D.(l,3)

2.下列函数中，在区间(-1,1)上为减函数的是

A.f(x)=sinxB.f(x)=cosxC./(x)=ln(x+l)D./(x)=2~x

3.一袋中有大小相同的4个红球和2个白球.若从中不放回地取球2次，每次任取1个球，记“第一次取到

红球”为事件A,“第二次取到红球”为事件5,则P(3|A)=

4234

A.—B.-C.-D.-

15555

4.设a,7是三个不同平面，且aiy=l,13y=m,则“〃/m”是“a〃/”的

A.充分不必要条件B.必要不充分条件

C.充要条件D.既不充分也不必要条件

5.等差数列｛4｝的首项为1,公差不为0.若%,Q3M6成等比数列，则｛%｝的前5项和为

A.-15B.-3C.5D.25

6.直线丁=丘+1与圆f+(y+l)2=16相交于A5两点，则线段钻的长度可能为

A.5B.7C.9D.14

7.已知函数/O)=2sin(0x+0)(口〉0,|夕|<5)的部分图象如图所示，则/(—兀)的值是

A.g

B.1

C.-1

D.-V3

8.设a=2°3,b=sin—,c=ln2,则

12

K.c<b<aB.b<c<aC.a<b<cD.b<a<c

9.中国民族五声调式音阶的各音依次为：宫、商、角、徵、羽，如果用这五个音，排成一个没有重复音的

五音音列，且商、角不相邻，徵位于羽的左侧，则可排成的不同音列有

A.18种B.24种C.36种D.72种

10.对于曲线C:x-2+》2=i,给出下列三个命题：

①关于坐标原点对称；

②曲线C上任意一点到坐标原点的距离不小于2；

③曲线C与曲线|x|+|y1=3有四个交点.

其中正确的命题个数是

A.OB.lC.2D.3

第二部分（非选择题共110分）

二、填空题共5小题，每小题5分，共25分。

11.复数z在复平面内对应的点为（-1,2）,则』=.

Z

12.斜率为1的直线I经过抛物线/=4x的焦点为F,且与该抛物线相交于A8两点,

则|AB|=.

13.已知向量a,》满足|川=2,"与分的夹角为二，则当实数彳变化时，防-Xal的最小值为

6

,”、匕江,,、R+3ar,x<l

14.设函数/（x）=<,.

3x+a,x>l

①若/（尤）有两个零点，则实数。的一个取值可以是;

②若/（元）是R上的增函数，则实数。的取值范围是.

15.黎曼函数在高等数学中有着广泛应用，其一种定义为：xe[0,l]时，

Lx=K(p,qeN*,K为既约真分数)

.若数歹|。〃=尺（金），

R(x)=]Qqq〃£N*,

n

0,x=0,1和(0,1)内的无理数

给出下列四个结论:

②%+2<4+1；

1

<—;

2

小白,n+1

④'In—.

i=\'

其中所有正确结论的序号是.

三、解答题共6小题，共85分。解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程。

16.（本小题13分）

在锐角A4BC中，角的对边分别为a,6,c,且26sinA-百a=0.

（I）求角3的大小；

（II）求cosA+cosC的取值范围.

17.（本小题14分）

如图，在四棱锥P—ABCD中，PA±平面ABCD，

PA=AD=CD=2,BC=3,PC=2瓜

（I）求证：CD_L平面PAD；

（II）再从条件①、条件②这两个条件中选择一个作为已知,

求平面PBC与平面X4D所成锐二面角的大小.

条件①：AB=非;

条件②：3C〃平面

注：如果选择的条件不符合要求，第（H）问得0分；如果选择多个符合要求的条件分别解答，按

第一个解答计分.

18.（本小题13分）

为研究北京西部地区2次生林和油松人工林的森林群落植物多样性问题，某高中研究性学习小组暑假

以妙峰山油松次生林和老山油松人工林为研究对象进行调查，得到两地区林下灌木层，乔木层，草本层的

抽样调查数据.其中两地区林下灌木层获得数据如表1,表2所示：

表1:老山油松人工林林下灌木层表2：妙峰山油松次生林林下灌木层

植物名称植物类型株数植物名称植物类型株数

酸枣灌木28黄柏乔木幼苗6

荆条灌木41朴树乔木幼苗7

孩儿拳头灌木22栾树乔木幼苗4

河朔莞花灌木4鹅耳杨乔木幼苗7

臭椿乔木幼苗1德叶蛇葡萄木质藤本8

黑枣乔木幼苗1毛樱桃灌木9

构树乔木幼苗2三裂绣线菊灌木11

元宝械乔木幼苗1胡枝子灌木10

大花渡疏灌木10

（I）从抽取的老山油松人工林林下灌木层的植物样本中任选2丁香灌木8

株，求2株植物的类型都是乔木幼苗的概率;

（II）以表格中植物类型的频率估计概率，从妙峰山油松次生林林下灌木层的所有植物中随机抽取3株

（假设每次抽取的结果互不影响），记这3株植物的植物类型是灌木的株数为X.求X的分布列和数学期望;

（III）从老山油松人工林的林下灌木层所有符合表1中植物名称的植物中任选2株，记此2株植物属于不

同植物名称的概率估计值为从妙峰山油松次生林的林下灌木层所有符合表2中植物名称的植物中任选

2株，记此2株植物属于不同植物名称的概率估计值为£.请直接写出《与巴大小关系.(结论不要求证明)

19.(本小题15分)

已知函数/(x)=(i/>0).

(I)求曲线y=/(x)在点(0J(0))处的切线方程;

(II)求/(x)在区间［-1,1］上的最大值与最小值；

(III)当a=l时，求证：/(x)>lnx+x+l.

20.(本小题15分)

已知椭圆C：W+，=l(a>6>。)的离心率为Y，短轴长为2拒.

(I)求椭圆C的方程；

3

(II)设O为坐标原点，过点会分别