专题12 几何图形初步（角、线段、平行线）（讲义）（原卷版）

专题12几何图形初步（角、线段、平行线）核心知识点精讲掌握直线、射线、线段的相关概念；理解掌握角的相关概念、计算、余角和补角的性质；掌握相交线的有关角，并能进行区分；掌握平行线的定义、性质以及判定；考点1直线、射线和线段1.几何图形从实物中抽象出来的各种图形，包括立体图形和平面图形。立体图形：有些几何图形的各个部分不都在同一平面内，它们是立体图形。平面图形：有些几何图形的各个部分都在同一平面内，它们是平面图形。2.点、线、面、体（1）几何图形的组成点：线和线相交的地方是点，它是几何图形中最基本的图形。线：面和面相交的地方是线，分为直线和曲线。面：包围着体的是面，分为平面和曲面。体：几何体也简称体。（2）点动成线，线动成面，面动成体。3.直线的概念：一根拉得很紧的线，就给我们以直线的形象，直线是直的，并且是向两方无限延伸的。4.射线的概念：直线上一点和它一旁的部分叫做射线。这个点叫做射线的端点。5.线段的概念：直线上两个点和它们之间的部分叫做线段。这两个点叫做线段的端点。6.点、直线、射线和线段的表示在几何里，我们常用字母表示图形。一个点可以用一个大写字母表示。一条直线可以用一个小写字母表示。一条射线可以用端点和射线上另一点来表示。一条线段可用它的端点的两个大写字母来表示。7.直线的性质（1）经过两个点有一条直线，并且只有一条直线。它可以简单地说成：过两点有且只有一条直线。（2）过一点的直线有无数条。（3）直线是是向两方面无限延伸的，无端点，不可度量，不能比较大小。（4）直线上有无穷多个点。（5）两条不同的直线至多有一个公共点。8.线段的性质（1）所有连接两点的线中，线段最短。也可简单说成：两点之间线段最短。（2）连接两点的线段的长度，叫做这两点的距离。（3）线段的中点到两端点的距离相等。（4）线段的大小关系和它们的长度的大小关系是一致的。9.线段垂直平分线的性质定理及逆定理定义：垂直于一条线段并且平分这条线段的直线是这条线段的垂直平分线。线段垂直平分线的性质定理：线段垂直平分线上的点和这条线段两个端点的距离相等。逆定理：和一条线段两个端点距离相等的点，在这条线段的垂直平分线上。考点2角1.角的相关概念有公共端点的两条射线组成的图形叫做角，这个公共端点叫做角的顶点，这两条射线叫做角的边。当角的两边在一条直线上时，组成的角叫做平角。平角的一半叫做直角；小于直角的角叫做锐角；大于直角且小于平角的角叫做钝角。如果两个角的和是一个直角，那么这两个角叫做互为余角，其中一个角叫做另一个角的余角。如果两个角的和是一个平角，那么这两个角叫做互为补角，其中一个角叫做另一个角的补角。2.角的表示：角可以用大写英文字母、阿拉伯数字或小写的希腊字母表示，具体的有一下四种表示方法：①用数字表示单独的角，如∠1，∠2，∠3等。②用小写的希腊字母表示单独的一个角，如∠α，∠β，∠γ，∠θ等。③用一个大写英文字母表示一个独立（在一个顶点处只有一个角）的角，如∠B，∠C等。④用三个大写英文字母表示任一个角，如∠BAD，∠BAE，∠CAE等。注意：用三个大写英文字母表示角时，一定要把顶点字母写在中间，边上的字母写在两侧。3.角的度量角的度量有如下规定：把一个平角180等分，每一份就是1度的角，单位是度，用“°”表示，1度记作“1°”，n度记作“n°”。把1°的角60等分，每一份叫做1分的角，1分记作“1’”。把1’的角60等分，每一份叫做1秒的角，1秒记作“1””。1°=60’=360”4.角的性质（1）角的大小与边的长短无关，只与构成角的两条射线的幅度大小有关。（2）角的大小可以度量，可以比较（3）角可以参与运算。5.角的平分线及其性质一条射线把一个角分成两个相等的角，这条射线叫做这个角的平分线。角的平分线有下面的性质定理：（1）角平分线上的点到这个角的两边的距离相等。（2）到一个角的两边距离相等的点在这个角的平分线上。6.余角和补角（1）余角：如果两个角的和等于90°（直角），就说这两个角互为余角．即其中一个角是另一个角的余角．（2）补角：如果两个角的和等于180°（平角），就说这两个角互为补角．即其中一个角是另一个角的补角．（3）性质：等角的补角相等．等角的余角相等．（4）余角和补角计算的应用，常常与等式的性质、等量代换相关联．注意：余角（补角）与这两个角的位置没有关系．不论这两个角在哪儿，只要度数之和满足了定义，则它们就具备相应的关系．考点3相交线1.相交线中的角两条直线相交，可以得到四个角，我们把两条直线相交所构成的四个角中，有公共顶点但没有公共边的两个角叫做对顶角。我们把两条直线相交所构成的四个角中，有公共顶点且有一条公共边的两个角叫做临补角。临补角互补，对顶角相等。直线AB，CD与EF相交（或者说两条直线AB，CD被第三条直线EF所截），构成八个角。其中∠1与∠5这两个角分别在AB，CD的上方，并且在EF的同侧，像这样位置相同的一对角叫做同位角；∠3与∠5这两个角都在AB，CD之间，并且在EF的异侧，像这样位置的两个角叫做内错角；∠3与∠6在直线AB，CD之间，并侧在EF的同侧，像这样位置的两个角叫做同旁内角。2.垂线两条直线相交所成的四个角中，有一个角是直角时，就说这两条直线互相垂直。其中一条直线叫做另一条直线的垂线，它们的交点叫做垂足。直线AB，CD互相垂直，记作“AB⊥CD”（或“CD⊥AB”)，读作“AB垂直于CD”（或“CD垂直于AB”）。垂线的性质：性质1：过一点有且只有一条直线与已知直线垂直。性质2：直线外一点与直线上各点连接的所有线段中，垂线段最短。简称：垂线段最短。考点4平行线1.平行线的概念在同一个平面内，不相交的两条直线叫做平行线。平行用符号“∥”表示，如“AB∥CD”，读作“AB平行于CD”。同一平面内，两条直线的位置关系只有两种：相交或平行。2.平行线公理及其推论平行公理：经过直线外一点，有且只有一条直线与这条直线平行。推论：如果两条直线都和第三条直线平行，那么这两条直线也互相平行。3.平行线的判定（1）两条直线被第三条直线所截，如果同位角相等，那么两直线平行。简称：同位角相等，两直线平行。（2）两条直线被第三条直线所截，如果内错角相等，那么两直线平行。简称：内错角相等，两直线平行。（3）两条直线被第三条直线所截，如果同旁内角互补，那么两直线平行。简称：同旁内角互补，两直线平行。4.平行线的性质（1）两直线平行，同位角相等。（2）两直线平行，内错角相等。（3）两直线平行，同旁内角互补。【题型1：直线、射线和线段】【典例1】（2023•茂南区二模）小光准备从A地去往B地，打开导航、显示两地距离为37.7km，但导航提供的三条可选路线长却分别为45km，50km，51km（如图）．能解释这一现象的数学知识是（）A．两点之间，线段最短 B．垂线段最短 C．三角形两边之和大于第三边 D．两点确定一条直线1．（2023秋•高州市校级月考）夜晚时，我们看到的流星划过属于（）A．点动成线 B．线动成面 C．面动成体 D．以上答案都不对2．（2023•广东模拟）在墙壁上固定一根横放的木条，至少需要（）A．1枚钉子 B．2枚钉子 C．3枚钉子 D．随便多少枚钉子【题型2：角】【典例2】（2023•平远县一模）一个角的补角比这个角的余角的3倍少10°，这个角为（）A．20° B．30° C．40° D．50°1．（2022•东莞市一模）如图，OA是北偏东30°方向的一条射线，若∠BOA＝90°，则OB的方位角是（）A．西北方向 B．北偏西30° C．北偏西60° D．西偏北60°2．（2023•香洲区校级一模）如图，将一副三角尺按不同位置摆放，哪种摆放方式中∠α与∠β相等（）A． B． C． D．3．（2023•顺德区模拟）已知∠1＝70°，∠2与∠1互为余角，则∠2＝（）A．10° B．20° C．30° D．110°4．（2022•花都区一模）如图，点O是直线AB上一点，∠AOC＝50°，则∠BOC的度数为．．5．（2021•饶平县校级模拟）时钟上6：40时针和分针的夹角是度．【题型3：相交线】【典例3】（2022•中山市一模）如图，直线l1，l2相交于点O，∠1＝70°，则∠2＝70°．1．（2023•霞山区一模）如图，直线AB、CD相交于点O，OE是∠AOD的平分线，∠AOC＝26°，∠AOE的度数为（）A．26° B．154° C．77° D．82°2．（2023•广东模拟）如图，当剪刀口∠AOB增大10°时，∠COD的度数（）A．不变 B．减少10° C．增大10° D．增大20°3．（2023•中山市校级一模）如图，直线AB、CD相交于点O，射线OM平分∠BOD，若∠AOC＝42°，则∠AOM等于（）A．161° B．159° C．169° D．138°4.（2023•韶关一模）如图，∠1和∠2是同位角的是（）A． B． C． D．【题型4：平行线】【典例4】如图，直线a∥b，直线AB⊥AC，若∠1＝50°，则∠2＝（）A．30° B．40° C．45° D．50°1．（2023•宝安区校级三模）光线在不同介质中的传播速度是不同的，因此当光线从水中射向空气时要发生折射，由于折射率相同，所以在水中平行的光线，在空气中也是平行的，如图，若∠1＝50°，∠2＝158°，则∠3的度数为（）A．50° B．68° C．72° D．78°2．（2023•连平县二模）如图，将一块含有60°角的直角三角尺放置在两条平行线上，若∠1＝35°，则∠2为（）A．25° B．15° C．35° D．45°3．（2023•禅城区二模）如图，烧杯内液体表面AB与烧杯下底部CD平行，光线EF从液体中射向空气时发生折射，光线变成FH，点G在射线EF上，已知∠HFB＝20°，∠FED＝60°，则∠GFH的度数为（）A．20° B．40° C．60° D．80°4．（2023•梅县区一模）若直线a、b、c、d在同一平面内，且a∥b，a⊥c，b⊥d，则（）A．a∥d B．b∥c C．a⊥b D．c∥d5．（2023•深圳三模）小刚利用如图所示的方法可以折出“过已知直线外一点和已知直线平行”的直线，现将实物抽象出数学图形则可得AD∥BC，过已知点A作线段AB交BC于点B，∠BAC＝35°，则∠ABC的度数为（）A．50° B．55° C．60° D．65°一．选择题（共7小题）1．（2023秋•高明区期末）开学整理教室时，老师总是先把每一列最前和最后的课桌摆好，然后再依次摆中间的课桌，一会儿一列课桌摆在一条线上，整整齐齐，这是因为（）A．两点之间，线段最短 B．经过一点有无数条直线 C．两点确定一条直线 D．两点之间线段的长度，叫做这两点之间的距离2．（2023秋•北京期末）如图，甲从点O出发向北偏东50°方向走到点A，乙从点O出发向南偏西20°方向走到点B，则∠AOB的度数是（）A．70° B．120° C．150° D．160°3．（2023秋•长寿区期末）下列结论中，不正确的是（）A．两点确定一条直线 B．两点之间，直线最短 C．等角的余角相等 D．等角的补角相等4．（2023秋•普宁市期末）如图，下列表示角的方法，错误的是（）A．∠1与∠AOB表示同一个角 B．∠AOC也可用∠O来表示 C．图中共有三个角：∠AOB、∠AOC、∠BOC D．∠β表示的是∠BOC5．（2023秋•铁西区期末）如图，一束平行于主光轴的光线经凸透镜折射后，其折射光线与一束经过光心O的光线相交于点P，点F为焦点．若∠1＝155°，∠2＝30°，则∠3的度数为（）A．35° B．45° C．55° D．65°6．（2023秋•青羊区期末）如图，Rt△ABC的直角顶点A在直线a上，点B、C在直线b上，且a∥b，若∠1＝59°，则∠2的度数为（）A．29° B．31° C．59° D．61°7．（2023•绵阳）光线在不同介质中的传播速度是不同的，因此当光线从水中射向空气时，要发生折射，由于折射率相同，所以在水中平行的光线，在空气中也是平行的．如图，∠1＝122°，∠2的度数为（）A．32° B．58° C．68° D．78°二．填空题（共5小题）8．（2023秋•玄武区校级期末）已知线段AB＝8cm，点C在直线AB上，BC＝2cm，点D为线段AC的中点，则线段DB的长为cm．9．（2023秋•凤城市期末）如图，铁路上有A、B、C、D四个火车站，相邻两站之间的距离各不相同，则从A到B售票员应准备种不同的车票．10．（2023秋•同安区期末）如图，从A地到B地有三条路线，分别记为路线a，b，c，则从A地到B地的最短路线是b，其中蕴含的数学原理是．11．（2023春•平舆县期末）四边形ABCD中，AD∥BC，AB∥CD，要使四边形ABCD是矩形，还需满足的条件可以为（只需填一个你认为合适的条件即可）．12．（2023秋•三元区期末）若m∥n，∠1＝105°，则∠2＝．三．解答题（共3小题）13．（2022秋•章丘区期末）如图，OB是∠AOC的角平分线，OD是∠COE的角平分线，如果∠AOB＝40°，∠COE＝60°，求∠BOD的度数．解：∵OB是∠AOC的角平分线，∠AOB＝40°，∴∠BOC＝＝40°，∵OD是∠COE的角平分线，∠COE＝60°，∴∠COD＝=12＝∴∠BOD＝∠COD+＝°+°＝°．14．（2023秋•苏州期末）如图，点B是线段AC上一点，D是AB的三等分点（D靠近A），E是BC的中点，若BE=15AC＝3cm，求15．（2022春•海曙区期末）已知：如图，EF∥CD，∠1+∠2＝180°．（1）判断GD与CA的位置关系，并说明理由．（2）若DG平分∠CDB，若∠ACD＝40°，求∠A的度数．一．选择题（共7小题）1．（2023秋•南沙区期末）如图，点O在直线AB上，若∠BOC＝39°，则∠AOC的大小是（）A．78° B．51° C．151° D．141°2．（2022秋•金乡县期末）若一个角比它的余角的2倍少30°，则这个角的补角的度数为（）A．110° B．120° C．130° D．140°3．（2022秋•汇川区期末）如图，点C是线段AB的中点，点N是线段AC的三等分点．若线段AB的长为12，则线段BN的长度是（）A．10 B．8 C．7或9 D．8或104．（2023秋•南开区期末）如图，从A地到B地的四条路线中，最短路线是（）A．1 B．2 C．3 D．45．（2023秋•黔江区期末）如图，AB∥CD，∠ABE＝150°，∠BEF＝70°，则∠DFE的度数为（）A．30° B．40° C．50° D．60°6．（2023春•余杭区月考）如图，AB∥CD，点E在直线CD上，若∠A＝57°，∠BED＝38°，则∠AEB的度数为（）A．38° B．57° C．85° D．95°7．（2022秋•市中区期末）有下列说法：①射线AB与射线BA表示同一条射线；②若线段AB＝BC，则点B是线段AC的中点；③两点确定一条直线；④两点之间，线段最短；⑤对顶角相等．其中正确的有（）A．1个 B．2个 C．3个 D．4个二．填空题（共4小题）8．（2022秋•蒲城县期末）如图是一个正方体的平面展开图，已知该正方体任意两个相对面的数字之和为6，则ba的相反数为．9．（2023秋•碧江区期末）计算：45°10′﹣21°35′20″＝．10．（2023春•温州月考）如图，已知AB∥CD，∠1＝135°，则∠2＝．11．（2023春•永吉县期末）如图，在△ABC中，D为线段BC上一动点，当∠ADB＝90°时，在线段AB，AC，AD中，线段AD最短，理由是．三．解答题（共3小题）12．（2023秋•大埔县期末）如图，已知C，D是线段AB上的两点，C是AD的中点，CD＝3DB，BD＝