上海市南洋2023-2024学年度高二年级下册4月段考数学试卷【解析版】

上海市南洋模范中学2023-2024学年度高二下学期4月段

考数学试卷【解析版】

一、填空题(本大题共有12小题，满分54分)考生应在答题纸相应编号的

空格内直接填写结果，1-6题每个空格填对得4分，7-12题每个空格填对得

5分，否则一律得0分.

1.已知双曲线C的焦点为(-2,0)和(2,0),离心率为0,则C的方程为.

2.直线x+y+l=0被圆C:/+(y_l)2=4截得的弦长为.

3.直线乙：3元一4y+9=0,Z2：5x+12y—3=0它们的夹角为

4.设直线/经过点A(-M),则当点3(2,-1)与直线/的距离最远时，直线/的方程

为.

5.若椭圆/+>2=1(根>0)的离心率为¥，则冽=.

22

6.已知耳，工为椭圆C：土+匕=1的两个焦点，P,。为C上关于坐标原点对称的两

164

点，且归。1=1耳闻，则四边形尸煌2区的面积为.

7.南宋晚期的龙泉窑粉青釉刻花斗笠盏如图1所示，忽略杯盏的厚度，这只杯盏的轴

截面如图2所示，其中光滑的曲线是抛物线的一部分，己知杯盏盛满茶水时茶水的深度

为3cm,则该抛物线的焦点到准线的距离为cm.

图1图2

8.已知圆A:(x+2)2+;/=9,圆B：a-2>+/=1,圆C与圆A、圆8外切，则圆心C的

轨迹方程为

9.设〃zeR,过定点A的动直线x+殁=0和过定点B的动直线"ir-y-〃z+3=。交于

点尸(x,y),则四-\PB\的最大值是.

10.已知椭圆=+当=1(。>办>0)与双曲线与-与=1.>0,〃>0)有相同的焦点

abmn

月、乙，点尸是两曲线的一个公共点，且N耳尸鸟=[,若双曲线为等轴双曲线，则椭圆

的离心率为.

11.已知A是抛物线犬=24（夕>0）上的一点，下为抛物线的焦点，。为坐标原点.当

|AF|=4时，ZG>E4=y,贝”0川=.

422

12.己知曲线叱：/+/=W2:x+y=m,其中〃z>0.

①当相=1时，曲线叱与明有4个公共点；

②当0<7"<1时，曲线叱围成的区域面积大于曲线网围成的区域面积；

③三相>1,曲线“围成的区域面积等于也围成的区域面积；

@Vm>0,曲线％围成的区域内整点（即横、坐标均为整数的点）个数不少于曲线也

围成的区域内整点个数.

其中，所有正确结论的序号是^.

二、选择题（本大题共有4题，满分18分,第13、14题每题4分，第15、

16题每题5分）每题有且只有一个正确选项.考生应在答题纸的相应位置，

将代表正确选项的小方格涂黑.

13.已知直线依+2y+6=0与直线x+（a-l）y+〃-i=o互相平行，贝。实数。的值为（）

A.-2B.2或-1C.2D.-1

14.设0为坐标原点，尸为抛物线丁=4x的焦点，A是抛物线上一点，若04A尸=-4,

则点A的个数为（）

A.0B.1C.2D.3

22

15.已知双曲线C:>云=1（°>0,6>0）的离心率为右，C的一条渐近线与圆

（x-2）2+（y-3）2=1交于A,8两点，则|AB|=（）

A.—B.C.童D.

5555

16.《九章算术》中记载了我国古代数学家祖昭在计算球的体积时使用的一个原理：“哥

势既同，则积不容异”，此即祖晅原理，其含义为：两个同高的几何体，如在等高处的

22

截面的面积恒相等，则它们的体积相等.已知双曲线C:J-2=l（a>0,"0）,若双曲线右

ab

焦点到渐近线的距离记为d,双曲线C的两条渐近线与直线y=i,y=T以及双曲线C

的右支围成的图形（如图中阴影部分所示）绕,轴旋转一周所得几何体的体积为0ds

（其中02=/+廿），则双曲线的离心率为（）

A.0B.2C.6D.与

三、解答题(本大题满分78分)本大题共有5题，解答下列各题必须在答

题纸相应编号的规定区域内写出必要的步骤

17.已知平面内两定点M(—1,O),N(1,O),动点P满足|PM+|PN|=26.

⑴求动点P的轨迹C的方程；

⑵若直线y=x+l与曲线C交于不同的两点A、B,求g理.

18.已知直线/：x-y+l=0和圆C:x2+y2-2x+4y-4=0.

(1)判断直线/与圆c的位置关系；若相交，求直线,被圆C截得的弦长；

(2)求过点(4,-1)且与圆C相切的直线方程.

19.某市为改善市民出行，大力发展轨道交通建设，规划中的轨道交通s号线线路示意

图如图所示，已知N是东西方向主干道边两个景点，P、。是南北方向主干道边两

个景点，四个景点距离城市中心。均为3®i,线路段上的任意一点N到景点M

的距离比到景点的距离都多6km,线路段上任意一点到。的距离都相等，线路

段上的任意一点到景点。的距离比到景点尸的距离都多6km,以。为原点建立平面直

(1)求轨道交通s号线线路示意图所在曲线的方程；

(2)规划中的线路段上需建一站点G到景点Q的距离最近，问如何设置站点G位

置？

20.已知双曲线C:=-弓=l(a>0,10)的左、右焦点为片，居.

ab

(1)若双曲线的离心率为应，且M(0,26)，叫B是正三角形，求C的方程；

13TT

(2)若。=1,点〃在双曲线C的右支上，且直线耳闻的斜率为若求A

(3)在(1)的条件下,若动直线/与C恰有1个公共点P且与C的两条渐近线分别交于A.B

记，AOP的面积为A，30P的面积为邑(。是坐标原点)，问：：是否存在最小

3]»2

值？若存在，求出该最小值，若不存在，请说明理由.

21.已知抛物线C：y2=4x的焦点为R过尸的直线/交c于A,8两点，过尸与/垂

直的直线交C于。，E两点，其中8,。在无轴上方，M,N分别为AB,DE的中点.

(1)若|AB|=6,求点M的横坐标；

⑵证明：直线过定点；

(3)设G为直线AE与直线30的交点，求GMN面积的最小值.

【分析】根据给定条件，求出双曲线C的实半轴、虚半轴长，再写出C的方程作答.

【详解】令双曲线C的实半轴、虚半轴长分别为匕，显然双曲线C的中心为原点，焦点在

无轴上，其半焦距c=2,

由双曲线C的离心率为血,得(=3,解得a=则回招-标=后,

22

所以双曲线C的方程为三-匕=1.

22

YV

故答案为：—=1

2.2亚

【分析】利用点到直线的距离公式，结合圆的弦长公式计算即得.

【详解】圆C：尤2+(y_l)2=4的圆心C(O,1),半径厂=2,

所以所求弦长为2,以一屋=2商-(6)2=2立.

故答案为：20

3.arctan—

33

【分析】直接利用夹角公式得到答案.

【详解】设两条直线4：3x-4y+9=0的斜率为忆4：5x+12y—3=0的斜率为k'，

无35

这两条直线的夹角为004。4彳，则上=

2412

_^__3

由两条直线的夹角公式得tan6=VS=果彳=(J,所以。=arctan当.

1+KK[。$3333

1X——

124

故答案为：arctan||,

4.3x-2y+5=0

【分析】由题可知当直线时，点3与直线/的距离最大，即求直线方程.

【详解】当直线时，点B与直线/的距离最大，

此时直线AB的斜率为匕㈢=二，

-1-23

3

所以直线/的斜率为

2

3

所以止匕时/的方程为＞-1=5（尤+1）,即为3x-2y+5=o.

故答案为：3x-2y+5=0.

5.2或g

【详解】当力＞1时，焦点在九轴上，则/=病，/=〃2_],

[TillcVrn2-173

ami

当o〈根＜1时，焦点在y轴上，则/=[,d=«-府

则e，一4E立二力」

a122

故答案为：2或

6.8

【分析】根据已知可得P耳，尸与，设IP耳|=人|尸乙|=〃，利用勾股定理结合根+〃=8,求

出机〃，四边形尸耳。工面积等于根〃，即可求解.

【详解】因为R。为。上关于坐标原点对称的两点，

且|PQI=I片81,所以四边形尸耳。工为矩形，

^\PFX\=m\PF2\=n,贝！J根+〃=8,机？+/=,

所以64=（机+〃了=m2+2mn+n2=48+2mn,

m〃=8,即四边形P耳。工面积等于8.

故答案为：8.

27

7.

~8~

【分析】以抛物线的顶点为坐标原点，对称轴为＞轴，建立直角坐标系，设抛物线的标准方

程为元2=20（〃＞0）,根据题意得到点的坐标，代入求出参数〃的值，即可得解.

【详解】如图，以抛物线的顶点为坐标原点，对称轴为y轴，建立直角坐标系，依题意可得

A的坐标为3)

Q1

设抛物线的标准方程为f=2py(p>0),则宁=6p,解得p=?~.

故该抛物线的焦点到准线的距离为一27cm.

O

27

故答案为：—

O

8.X?-《=1,X€(1,+<»)

【分析】设圆C的半径为「，根据题意可得|G4|=r+3,|CB2厂+1,两式相减，再结合双曲线

的定义即可得解.

【详解】设圆C的半径为人

圆A:(x+2)-+y?=9的圆心A(—2,0),半径4=3,

圆B：a-2)2+y2=i的圆心以2,0),半径4=1,

因为圆C与圆A、圆3外切，

贝1||。1|=厂+3,1cBl=r+l,

所以5-侬=2<4=|明,

所以点C的轨迹是以A8为焦点的双曲线的右支,

又2c=4,2a=2,则c=2,a=1,=c?—/=3,

2

所以其轨迹方程为Y一]=1,X€(1,+00).

2

故答案为：X2-^-=1,XG(1,+OO).

9.5

【详解】试题分析：易得40,0),现1,3).设&；"),则消去加得：x2+/-x-3y=0,所以

点P在以AB为直径的圆上，PA±依，所以a2=10,陷,解区卷上=5.

法二、因为两直线的斜率互为负倒数，所以24，尸3,点P的轨迹是以AB为直径的圆.以

下同法一.

【考点定位】1、直线与圆；2、重要不等式.

【分析】设|明|=日产阊=t,由椭圆和双曲线的定义，解方程可得s,/,再由余弦定理，可

得0,机与c的关系，结合离心率公式，可得4，e?的关系，计算可得所求值.

【详解】设伊司=s,|PE|=f,闺闾=2c,P为第一象限的交点，设椭圆的离心率为生,双曲

线的离心率为e?,

c—//7Ic—-L»77

由椭圆和双曲线的定义可得，，解得，

[5—Z=2m[t=a-m

jr

在三角形耳尸与中，

ZFXPF2=-9

22

由余弦定理可得，4c2=52+^2-2^cos^-=«2+m2+2am++m2-2am-^a-m^,

2

/73；2i3

即有/+3〃=4c2,可得冬+咚n=4,即为=+丁=4,

C2C1eie2

由双曲线为等轴双曲线，所以e?=及，可得与=萼.

故答案为：典.

11.721

【分析】过A作准线的垂线AC,过产作AC的垂线，垂足分别为C8,结合条件及抛物线

的定义可求得P,在VAFO中，利用余弦定理即可求出结果.

【详解】由抛物线的对称性，不妨设A在第一象限，

过A作准线的垂线AC,过歹作AC的垂线，垂足分别为C,5.如图所示，

由题意知，ZBFA=ZOFA-,因为|”|=4,易知|AB|=2,

又A点到准线的距离为：d=|AB|+怛C|=p+2=4,解得0=2,

在Y4FO中,=1JAF|=4,ZOFA=—

由余弦定理得10Al2=\OF^+\FA^-2\OF\-\FA\cosZOFA=16+l-2xlx4x(-^)=21,

所以|OA|=向，

故答案为：拒1.

12.①③④

【解析】当m=1时，由f+＞2=x4+y2可解得交点坐标，即可判断①；当0(加＜1时，可

知x,ye(O,l),当X取同一个值时，靖＜%2即可判断②；当山＞1时，x,”(o,间，当叱与

%的方程中x取同一个大于1的数，可得短＞%2即可判断③；分别讨论当0〈机VI和勿＞1

时的整数点比较可判断④，进而可得正确答案.

422

【详解】对于①：当相=1时，曲线叫：尤2+/=1,W2:x+y=m,令/+/=/+/可

得丁(尤2-1)=0,当x=o时，y=±i,当尤=±1时，y=0,所以叱与也有4个公共点分别

为(0,1),(0,-1),(1,0),(-1,0),共4个，故①正确；

对于②：当0＜相＜1时，由叱与区的方程可知x,ye(O,l),当x取同一个值时，

22424

W1:y^=m-x,W2:y^=irr-x,当0＜x＜l时,x＞x»所以短＜月，

所以曲线叱围成的区域面积小于曲线巩围成的区域面积；故②不正确；

对于③：当勿＞1时，x,y«0,根)，当叱与吗的方程中为取同一个大于1的数，可得城＞必)

所以立＞1,曲线暝围成的区域面积等于％围成的区域面积；故③正确；

对于④：当0＜m41时，曲线叱围成的区域内整点个数等于曲线弘围成的区域内整点个数，

当R＞1时，x取同一个大于1的数，可得靖此时曲线“围成的区域内整点个数较

多，所以曲线叱围成的区域内整点个数不少于曲线也围成的区域内整点个数，故④正确;

故答案为：①③④

【点睛】关键点点睛：本题解题的关键点是分情况讨论0<〃出1和切>1时，当X取同一个

值时，两个曲线方程中y的大小的比较，此类多采用数形结合的思想.

13.D

【分析】两直线斜率存在时，两直线平行则它们斜率相等，据此求出。的值，再排除使两直

线重合的a的值即可.

【详解】直线办+2y+6=0斜率必存在，

故两直线平行，则-3=-一二，即一2=0,解得a=2或-1,

当〃=2时，两直线重合，a=-l.

故选：D.

14.C

【分析】设利用坐标运算计算。4以尸，然后解方程即可.

【详解】由已知网1,。)，设A]?,%)

则以=1%；=

.-.A(l,±2)

故选：C.

15.D

【分析】根据离心率得出双曲线渐近线方程，再由圆心到直线的距离及圆半径可求弦长.

【详解】由e=JL贝1]:=二^=1+4=5,

aaa

b

解得2=2,

a

所以双曲线的一条渐近线为y=2x,

则圆心(2,3)到渐近线的距离d=-31=与,

7F7T5

所以弦长IAB|=2Jr?-屋=2,

故选：D

16.A

【分析】先利用方程组求出直线与渐近线交点坐标，从而求出截面积，再利题设所给信息建

立等量关系，构造关于离心率的齐次式，从而求出结果.

【详解】令＞=加（-14加41）,可得截面为一个圆环.

所以截面的面积为兀（/+喂-哈）=3，

由对称性和祖晒原理可得所得几何体的体积为⑦/=y/ldcn=-Jlnbc，

即有4/=2氏2,

即有2/=/（/-/）,

解得/=2〃,

所以e=£=应.

故选：A.

【分析】（1）由椭圆的定义即可得解.

（2）联立直线与椭圆方程结合韦达定理、弦长公式即可得解.

【详解】（1）由椭圆的定义知，P点的轨迹为椭圆，

其中c=1,a=A/3,b=5/2,

22

所以所求动点P的轨迹C的方程为上+乙=1.

32

（2）设A（茗,另）,8（%,%）,

y=x+l

联立直线与椭圆的方程归.J1,消建理得：546一=。,

18.（1）相交，截得的弦长为2.

⑵x=4或4x+3y-13=0.

【分析】（1）利用点到直线的距离公式以及直线与圆的位置关系求解；

（2）利用直线与圆相切与点到直线的距离公式的关系求解.

【详解】（1）由圆C：V+y2-2x+4y-4=0可得，圆心C（l,-2）泮径r=叵叵匝=3,

2

圆心C（l,—2）到直线/:尤—y+l=。的距离为d=--尸一-=2c<r,

V2

所以直线/与圆C相交，

直线/被圆C截得的弦长为2折二彳=2.

（2）若过点（4-1）的直线斜率不出在，则方程为*=4,

此时圆心C（L-2）到直线x=4的距离为4-1=3=r,满足题意；

若过点（4,-1）且与圆C相切的直线斜率存在,

贝U设切线方程为>+1=依尤-4）,即近一y—必一1=0,

|-3k+1|4

贝U圆心至（J直线区一v一4左一1=。的距离为=3,解得左=_§,

'k2+1

413

所以切线方程为—1=0,即4%+3y—13=0,

综上，过点（4-1）且与圆。相切的直线方程为％=4或4x+3y-13=0.

3

19.(1)x\x\+y\y\=-9；(2)G

2

【分析】（1）由题意结合双曲线即圆的定义可得轨道交通s号线线路示意图所在曲线的方程;

（2）G（x0,九），由。（0,3底），写出两点间的距离，化为关于%的函数，利用配方法求最

值.

【详解】解：（1）:线路段上的任意一点到N景点的距离比到景点M的距离都多6km,

线路AB段所在的的曲线是以定点M,N为左右焦点的双曲线的左支，

贝旗方程为d-V=9（x<0,y2。）；

•..线路5c段上任意一点到。的距离都相等，

线路BC段所在的曲线是以。为圆心，以。8为半径的圆，

则其方程为寸+丁=9（x<0,y<0）；

•..线路CD段上的任意一点到景点。的距离比到景点P的距离都多6km,

线路CO段所在的曲线是以定点Q,尸为上下焦点的双曲线的下支，

贝旗方程为…②=—9（x20,y<0）.

故轨道交通s号线线路示意图所在曲线的方程为》国+引m=-9；

（2）设G（x°,几），由以0,3⑹，则|GQ|=Jx；+W-,

由（1）得，片一需=9,即阿="。一6以）+27.

则lGQ]=12+18-

当％=平时，|ceL=3^.

则站点为G--76,^-时，站点G到景点。的距离最近.

【点睛】本题考查轨迹方程的求法，训练了利用配方法求最值，考查运算求解能力，是中档

题.

2

20.(1)f---匕V=1

44

(2)6=2+0

(3)存在，最小值为1

【分析】(1)由双曲线的离心率公式以及aMG8是正三角形的条件可求得a,b的值，则

双曲线方程可求；

(2)结合题干中的条件，利用正余弦定理求解即可;

(3)设/:%=，利+/,联立直线方程与双曲线方程，结合韦达定理得出。+邑=5。钻=4,再

11

利用基本不等式求不+7的最小值即可.

02

【详解】(1)由题意得6=£=0,又M(0,2屈,且△西工是正三角形,

a

2瓜

所以c=方=2y/2,

22

所以0=2,6=2,故双曲线C的方程为土-匕=1.

44

(2)直线的斜率为.•.tan4ff；M=:,a>0,.-.sinZM^,又NF、MF,=注,

bbc4

t_2c

设|用M1，则I耳Ml=，+2,.•.在△MT谯中由正弦定理可得：丫忑，：」=2日

c~T

在^M大工中由余弦定理可得：4c2=(2y/2+2)2+(2A/2)2+2-2A/2-(272+2)•,

22

解得c=7+4al，•«Z?=6+4A/2，即Z?=2+A/2-

11%=冲+1

(3)7+不存在最小值.不妨设/：%=噂+，，联立<f2,消X得

32-----------=1

I44

(m2—l)y2+2mty+产一4=0,

苏-1w0

由4得4m2+〃=4,

A=4根2』_4(根2_1)(r_4)=0

x=my+1

联立,得，---)，同理得,—---

y=x1-m1-m1+m1+m

4—4m2

所以s.=二4,

1+m1-m2

l+±-A±^-_

即S|+S2=S0A"4,所以1S2耶2S,S2

11

当且仅当S1=Sz时等号成立.所以三+不存在最小值，且最小值为1.

【点睛】圆锥曲线中最值与范围问题的常见求法：（1）几何法，若题目的条件能明显体现几

何特征和意义，则考虑利用图形性质来解决；（2）代数法，若题目的条件能体现一种明确的

函数关系，则可首先建立目标函数，再求这个函数的最值.

21.(1)2

(2)证明见解析

(3)8

【分析】（1）由抛物线焦半径公式可得；

（2）思路一设出两直线AB、CO方程，直曲联立，用韦达定理表示坐标，点斜式写

出直线方程，再由两直线垂直得到叫铀=7,找到定点；思路二设出A,B两点坐标，直曲

联立，用韦达定理得到坐标，再得到直线方程，找到定点；

（3）法一表示出50削=；|%-明忖尤2-%|,用基本不等式得到|加-%|24,用直线过定

点得至“q-%上4,最后得到面积的最小值；法二由图形的几何关系得到&GMN=品边彩4MlN，

再由（2）中的法2可得最后由基本不等式得到面积的最小值.

【详解】⑴由题意知X”=亨-勺3-1=2

（2）思路一：由C：y2=4x,故尸（1,0）,由直线A3与直线8垂直，

故两只直线斜率都存在且不为0,

设直线A3、CD分别为x=gy+l,x=m2y+l,有m1m?=-1,

A&，M）、8（孙%）、现％，%）、。（又，％），

联立C：y2=4x与直线A8,即有「一，

［尤=«11y+1

消去x可得丁-4%>-4=0,A=16喈+16>0,

故%+%=4加［、％%=-4，

则玉+%2=m1yl+l+m1y2+1=%（X+%）+2=4诉+2,

故号=2喈+1,胃=2外，

即M（2喈+1,2仍）,同理可得N（2mf+1,2m2）,

当2琳+1工2冠+1时，则/MN：尸痛普常用卜一2"-1）+2班，

即尸曾丑（-2琳-1）+2州=—^-四生+2叫（网+町）

叫一1nl'）%+叫叫+仍n^+niy

x2"+1-2mm2-2若x1—2mm2

—l—l,

%+叫也+叫也+叫也+犯

x1+21/_\

由m1m2=T，即'=-I----------------=---（x-3）,

m2+m1小？+叫加2+叫

故x=3时，有y=（3-3）=0,

m2+m1

此时MN过定点，且该定点为（3,0）,

当2/+1=2欣+1时，即堀=*时，由叫m2=-1,即叫=±1时，

有“v：x=2+l=3,亦过定点（3,0）,

故直线MN过定点，且该定点为（3,0）；

思路二：设A（%,yJ,3（%,%）,不妨设玉<9.

\y2=4x

设/：X=my+1,则〃?>0.由「',得y2-4〃zy-4=0,A=16，w；+16>0

[尤=my+1

故%+%=4根,yiy2=-4,X+%=,为+%=加(X+%)+2=2.2+L

222

所以M(2M+1,2,W).

同理可得N(义+1,-2].

mJ

若〃冲1,则直线MN：y=7(x-2M-1)+2〃?=；'(尤一3),MN过点(3,0).

"-1''m~

若利=1,则直线肱V：龙=3,MV过点(3,0).

综上，直线MN过定点(3,0).

(3)思路一：由A(%，M)、3(孙％)、E(W，%)、。(%,％)，

则3：'=之7(尤一石)+%，由寸=4%、学=4%，

r.;y3-y.LIV,4xy；)；+/14尤x%

dbfr>22l”/I十)1十

改