一元二次方程、分式方程的解法及应用（基础巩固）-2021年中考数学一轮基础知识复习和巩固提升训练

一元二次方程、分式方程的解法及应用一基础巩固

【知识梳理】

考点一、一元二次方程

1.一元二次方程的定义

只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是2的整式方程，叫做一元二次方程.

它的一般形式为ax?+bx+c=0(aWO).

2.一元二次方程的解法

(1)直接开平方法：把方程变成Y=加的形式，当m>0时，方程的解为x=土而；

当m=0时，方程的解丸2=0;当m<0时，方程没有实数解.

(AA2A2_4ar

(2)配方法：通过配方把一元二次方程。/+/^+。=0变形为》+—=———

(2a)4a2

的形式，再利用直接开平方法求得方程的解.

(3)公式法：对于一元二次方程办2+Z?x+c=0,当时，它的解为

-b+\lb2-Aac

x=----------------------.

2a

(4)因式分解法：把方程变形为一边是零，而另一边是两个一次因式积的形式，使每

一个因式等于零，就得到两个一元一次方程，分别解这两个方程，就得到原方程的解.

方法指导：

直接开平方法和因式分解法是解一元二次方程的特殊方法，配方法和公式法是解一元二

次方程的一般方法.

3.一元二次方程根的判别式

一元二次方程根的判别式为A=b?-4ac.

0>00方程有两个不相等的实数根；

0=00方程有两个相等的实数根；

0<00方程没有实数根.

上述由左边可推出右边，反过来也可由右边推出左边.

方法指导：/，。一方程有实数根.

4.一元二次方程根与系数的关系

如果一元二次方程ax?+bx+c=0(aW0)的两个根是xrx2,那么

bc

X1+X2='X1'X2=—•

aa

考点二、分式方程

1.分式方程的定义

分母中含有未知数的有理方程，叫做分式方程.

方法指导：

(1)分式方程的三个重要特征：①是方程；②含有分母；③分母里含有未知量.

(2)分式方程与整式方程的区别就在于分母中是否含有未知数(不是一般的字母系数),

分母中含有未知数的方程是分式方程，不含有未知数的方程是整式方程，如：关于X的方程

1-2=*和二一=」一都是分式方程，而关于x的方程Lx.Z.x和二d都是

xx-22x+labc

整式方程.

2.分式方程的解法

去分母法，换元法.

3.解分式方程的一般步骤

(1)去分母，即在方程的两边都乘以最简公分母，把原方程化为整式方程；

(2)解这个整式方程；

(3)验根：把整式方程的根代入最简公分母，使最简公分母不等于零的根是原方程的

根，使最简公分母等于零的根是原方程的增根.

口诀：“一化二解三检验”.

方法指导：

解分式方程时，有可能产生增根，增根一定适合分式方程转化后的整式方程，但增根不

适合原方程，可使原方程的分母为零，因此必须验根.

考点三、一元二次方程、分式方程的应用

1.应用问题中常用的数量关系及题型

(1)数字问题(包括日历中的数字规律)

关键会表示一个两位数或三位数，对于日历中的数字问题关键是弄清日历中的数字规

律.

(2)体积变化问题

关键是寻找其中的不变量作为等量关系.

(3)打折销售问题

其中的几个关系式：利润=售价-成本价(进价)，利润率=3利^X润100%.

成本价

明确这几个关系式是解决这类问题的关键.

(4)关于两个或多个未知量的问题

重点是寻找到多个等量关系，能够设出未知数，并且能够根据所设的未知数列出方程.

(5)行程问题

对于相遇问题和追及问题是列方程解应用题的重点问题，也是易出错的问题，一定要分

析其中的特点，同向而行一般是追及问题，相向而行一般是相遇问题.

注意：追及和相遇的综合题目，要分析出哪一部分是追及，哪一部分是相遇.

(6)和、差、倍、分问题

增长量=原有量X增长率；

现有量=原有量+增长量；

现有量=原有量-降低量.

2.解应用题的步骤

(1)分析题意，找到题中未知数和题给条件的相等关系；

(2)设未知数，并用所设的未知数的代数式表示其余的未知数；

(3)找出相等关系，并用它列出方程；

(4)解方程求出题中未知数的值；

(5)检验所求的答数是否符合题意，并做答.

方法指导：

方程的思想，转化(化归)思想，整体代入，消元思想，分解降次思想，配方思想，数

形结合的思想用数学表达式表示与数量有关的语句的数学思想.

注意：①设列必须统一，即设的未知量要与方程中出现的未知量相同；②未知数设出

后不要漏棹单位；③列方程时，两边单位要统一：④求出解后要双检，既检验是否适合方程,

还要检验是否符合题意.

【基础巩固训练】

一、选择题

1.用配方法解方程/-2》-5=0时，原方程应变形为()

A.（x+l）~=6B.（x-i『=6C.（x+2）~=9D.（x-2）2=9

2.关于x的一元二次方程——加x+27〃-1=0的两个实数根分别是xp々，且

x；+考=7,贝1J（占-超）2的值是（）

A.1B.12C.13D.25

3.关于x的一元二次方程kx2+2x+l=0有两个不相等的实数根,则k的取值范围是（）

A.k>-1B.-1C.kNOD.k<l且k#0

4.若关于x的一元二次方程（m-l）x2+5x+m2-3m+2=0的常数项为0,则m的值

等于（）

A.1B.2C.1或2D.0

5.在一幅长为80cm,宽为50cm的矩形风景画的四周镶一条相同宽度的金色纸边，制

成一幅矩形挂图，如图所示，如果要使整个挂图的面积是5400cm。，设金色纸边的宽为xcm,

那么x满足的方程是（）.

A.x~+130x—1400=0

C.x2-130x-1400=0

D.x~—65x—350=0

6.甲、乙两地相距S千米，某人从甲地出发，以v千米/小时的速度步行，走了a小时

后改乘汽车，又过b小时到达乙地，则汽车的速度（）

、scS-av八S-av八2s

A.-----B.------C.------D.-----

a+bba+ba+b

二、填空题

7.方程卫-_2_=0的解是.

xx-2

8.如果方程a*+2x+l=0有两个不等实根，则实数a的取值范围是.

9.某种商品原价是120元，经两次降价后的价格是100元，求平均每次降价的百分率.设

平均每次降价的百分率为X,可列方程为.

10.当根为时，关于x的一元二次方程N-4x+加-}=0有两个相等的实

数根；此时这两个实数根是.

xm

11.如果分式方程——二——无解，则m=.

x+1x+1

1m

12.已知关于x的方程一一一二m有实数根，则m的取值范围

xx-1

是.

三、解答题

13-⑴解方程：一;

⑵解方程：c+x+；g

14.一列火车从车站开出，预计行程450千米，当它开出3小时后，因特殊任务多停一

站，耽误30分钟，后来把速度提高了0.2倍，结果准时到达目的地，求这列火车的速度.

15.已知关于x的方程x?+(2m-1)x+mJO有实数根,

(1)求m的取值范围；

(2)若方程的一个根为1,求m的值；

（3）设a、6是方程的两个实数根，是否存在实数m使得a2+B?-a8=6成立？如果

存在，请求出来，若不存在，请说明理由.

16.如图，利用一面墙，用80米长的篱笆围成一个矩形场地

墙

■Dl[C

AI----------1B

（1）怎样围才能使矩形场地的面积为750平方米？

（2）能否使所围的矩形场地面积为810平方米，为什么？

答案与解析

一、选择题

1.【答案】B；

【解析】根据配方法的步骤可知在方程两边同时加上一次项系数一半的平方，

整理即可得到B项是正确的.

2.【答案】C；

2

【解析】(xj+x2)-2%1%2=m~-2(2m-1)=7,

解得m=5(此时不满足根的判别式舍去)或m=-1.

—

原方程化为x+x3=01(X]—x2)"=(%)+-4XJX2=1+12=13.

3.【答案】D；

【解析】依题意列方程组

22~4k>0

；k卉0'

解得k<l且k/0.故选D.

4.【答案】B；

【解析】有题意nr—3m+2=0,且加—1^0,解得m=2.

5.【答案】B；

【解析】(80+2x)(50+2x)=5400,化简得-+65x—350=0.

6.【答案】B；

【解析】由已知，此人步行的路程为av千米，所以乘车的路程为(S-an)千米。

又已知乘车的时间为b小时，故汽车的速度为老二丝千米/小时，应选R

b

二、填空题

7.【答案】x=6；

【解析】去分母得：3(x-2)-2x=0,

去括号得:3x-6-2x=0,

整理得：x=6,

经检验得x=6是方程的根.故答案为：x=6.

8.【答案】a<l且aWO；

【解析】00且

9.【答案】120(1-%)2=100；

【解析】平均降低率公式为a(l-x)"=b(a为原来数，x为平均降低率，n为降低

次数，b为降低后的量.)

10.【答案】m=-|；X1=X2=2.

【解析】由题意得，△=(—4尸一4(m—4)=0

即16—4m+2=0,m=-|-.

当m=?时，方程有两个相等的实数根％=xz=2.

11.【答案】-1;

【解析】原方程可化为：x=m.

V原分式方程无解Ax=-L故代入一次方程有m=-1.

所以，当m=-1时，原分式方程无解.

12.【答案】当且m#0时：

4

【解析】原方程可化为：mx2-x+l=0

当m=0时，得x=l,原分式方程无解，不符合题意舍去.

当mW0时，Zl=12—40,解之mW，

4

所以，当mW』且mWO时，原分式方程有实数根.

4

三、解答题

13.【答案与解析】

(1)部分移项得：

x_13-x1

4x-44-x2

.x13-x1

**4--x-4-x-4-2

.x_1

••-

42

,x=2

经检验：x=2是原分式方程的根.

(2)原方程可化为：

/.x2+x=3或x2+x=一

3

—i+Voii/—■

角牛之得：X]2=--------，x=—±-v21

122334,426

经检验：2-1±迎七4=-‘土」后均是原分式方程的根・

14.【答案与解析】

设这列火车的速度为x千米/时

0450—3x

根据题意,得竺3+