2023届上海市高考模拟测数学试卷07（解析版）

高级中学名校试卷PAGEPAGE1上海市2023届高考数学模拟测试卷07一、填空题1．已知集合，集合，则__________．〖答案〗〖解析〗.故〖答案〗为：2．随机变量，，若，，则________〖答案〗〖解析〗∵随机变量服从，符合二项分布，由二项分布概率公式：得：∴，解得，又，∴.故〖答案〗为：.3．已知实数x、y满足，则的最小值为____________.〖答案〗〖解析〗依题意，当且仅当，即时等号成立.所以的最小值为.故〖答案〗为：.4．设为抛物线的焦点，点在上，过作轴的垂线，垂足为，若，则_________.〖答案〗4〖解析〗由抛物线的定义知，所以.故〖答案〗为：45．若函数，为奇函数，则参数a的值为___________．〖答案〗1〖解析〗当时，，当时，，故，而，故即，故〖答案〗为：1.6．用表示等差数列的前n项和，若，，则m的值为______．〖答案〗〖解析〗由，则，由，则，所以.故〖答案〗为：7．第31届世界大学生夏季运动会将在今年7月28日至8月8日在四川省成都市举行．有编号为1，2，3，4，5的五位裁判，分别就座于编号为1，2，3，4，5的五个座位上，每个座位恰好坐一位裁判，则恰有两位裁判编号和座位编号一致的坐法种数为________．〖答案〗20〖解析〗依题意，5人中选出2人，他们的编号与座位编号一致，有种方法，剩余3人都不坐与自己编号相同的座位有2种方法，由分步计数乘法原理得所求的坐法种数为．故〖答案〗为：208．若函数的图像可由函数的图像向右平移个单位所得到，且函数在区间上是严格减函数，则__________．〖答案〗〖解析〗由题意得，则，当时，，函数在区间上是严格减函数，故，即且，则，而，故，故〖答案〗为：9．设，，为虚数单位，若是关于的二次方程的一个虚根，则______．〖答案〗2〖解析〗将代入方程得：，即，即，所以，解得，所以.故〖答案〗为：210．如图，在四棱锥中，平面，，，，，直线与平面成角.设四面体外接球的圆心为，则球的体积为__________.〖答案〗〖解析〗在底面ABCD上，，AD⊥AB，DC＝2，AD＝AB＝1，所以∠ADB＝∠ABD＝45°，所以，在△BCD上，，由余弦定理可得：，所以，所以∠CBD＝90°．所以BD⊥CB．又因为PD⊥平面ABCD，所以PD⊥BC．又PD∩BD＝D，PD面PBD，BD面PBD所以BC⊥面PBD，所以BC⊥PB．则△PCD和△PBC均为直角三角形，当O点为PC中点时，OP＝OD＝OB＝OC，此时O为四面体PBCD的外接球的球心．∵直线PA与平面ABCD成45°角．PD⊥平面ABCD，则∠PAD＝45°，∴PD＝AD＝1，又，∴四面体PBCD外接球的半径为，所以四面体PBCD外接球的体积为．故〖答案〗为：．11．已知点，，若圆上存在点P满足，则实数a的取值的范围是____________．〖答案〗〖解析〗设点，则，而，则，整理得，即点的轨迹是原点为圆心，2为半径的圆，因为点在圆，即圆与圆有公共点，而圆的圆心为，半径为1，因此，即，解得或，所以实数a的取值的范围是.故〖答案〗为：

12．对于具有相同定义域D的函数和，若存在函数(k，b为常数)，对任给的正数m，存在相应的，使得当且时，总有，则称直线为曲线和的“分渐近线”．给出定义域均为的四组函数如下：①，；②，；③,；④,其中，曲线和存在“分渐近线”的是________．〖答案〗②④〖解析〗和存在分渐近线的充要条件是时，．对于①，，当时，令由于，所以为增函数，不符合时，，所以①不存在；对于②，，因为当且时，，所以存在分渐近线；对于③，，当且时，与均单调递减，但的递减速度比快，所以当时会越来越小，不会趋近于0，所以不存在分渐近线；对于④，，当时，，且因此存在分渐近线．故存在分渐近线的是②④．故〖答案〗为②④．二、单选题13．已知为两个随机事件，则“为互斥事件”是“为对立事件”的（

）A．充分非必要条件 B．必要非充分条件C．充要条件 D．非充分非必要条件〖答案〗B〖解析〗根据互斥事件和对立事件的概念可知，互斥不一定对立，对立一定互斥，所以“A､B为互斥事件”是“A､B为对立事件”的必要非充分条件.故选：B14．如图，一组数据，的平均数为5，方差为，去除，这两个数据后，平均数为，方差为，则（

）A．， B．， C．， D．，〖答案〗D〖解析〗由题意可得：，则，故，∵是波幅最大的两个点的值，则去除，这两个数据后，整体波动性减小，故.故选：D.15．如图，四边形ABCD是边长为1的正方形，平面ABCD，平面ABCD，且，点G为MC的中点.则下列结论中不正确的是（

）A． B．平面平面ABNC．直线GB与AM是异面直线 D．直线GB与平面AMD无公共点〖答案〗D〖解析〗因为平面ABCD，平面ABCD，则，取的中点，连接，如图，点G为MC的中点，则，且，于是四边形是平行四边形，，在正方形中，，则，因此四边形为平行四边形，，而，点G为MC的中点，有，所以，A正确；因为，平面，平面，则平面，又，平面，平面，则平面，而平面，所以平面平面ABN，B正确；取DM中点O，连接，则有，即四边形为梯形，因此直线必相交，而平面AMD，于是直线GB与平面AMD有公共点，D错误；显然点平面，点平面，直线平面，点直线，所以直线GB与AM是异面直线，C正确.故选：D16．已知曲线：，为上一点，①的取值范围为；

②的取值范围为；③不存在点，使得；

④的取值范围为.则上述命题正确的个数是（

）A．1个 B．2个 C．3个 D．4个〖答案〗C〖解析〗对于①，曲线得到，画出图形如下：其中为渐近线，

由曲线和图形可知，故①错误；对于②，可看做曲线上的点到原点的距离，显然无最大值，当点位于椭圆上时，距离原点的距离取得最小值，则，故当时，取得最小值，最小值为1，则的取值范围为，②正确；对于③，因为直线与渐近线平行，故不存在点，使得，③正确；对于④，表示点到直线的距离的倍，又直线与渐近线平行，且距离为，故，由图形可知，在上时，到直线的距离取得最大值，设，则到直线的距离为，当且仅当时等号成立，故的取值范围为，④正确.故选：C三、解答题17．在中，角的对边分别，.（1）求；（2）若的周长为4，面积为，求.（1）解：因为，所以，即，所以，因为，所以,所以又，故，所以，即；（2）解：由余弦定理，得，即，又，所以，即整理得，由面积为，即，所以，.18．如图，为圆O的直径，点在圆O上，，矩形所在平面和圆O所在的平面互相垂直，已知．（1）求证：平面平面；（2）当的长为何值时，二面角的大小为？（1）证明：∵平面平面，，平面平面，∴平面．∵平面，∴，又为圆O的直径，∴，而，平面，∴平面，∵平面，∴平面平面．（2）解：设中点为G，以O为坐标原点，的方向分别为x，y，z轴的正方向建立空间直角坐标系，设，则，，，，∴，，设平面的法向量为，则，即，令，可得取平面的一个法向量为，，即，解得，则当的长为时，二面角的大小为．19．某校举行了一次数学竞赛，为了了解本次竞赛学生的成绩情况，从中抽取了部分学生（男女生各一半）的分数（得分取正整数，满分为100分）作为样本（样本容量为）进行统计，按照，，，，的分组作出如图所示的频率分布直方图，已知得分在，的频数分别为16，4．（1）求样本容量和频率分布直方图中的，的值；（2）70分以下称为“不优秀”，其中男．女姓中成绩优秀的分别有24人和30人，请完成列联表，并判断是否有的把握认为“学生的成绩优秀与性别有关”？男生女生总计优秀不优秀总计0.100.050.0100.0050.0012.7063.8416.6357.87910.828附：，．解：（1）由题意可知，样本容量，，（2）100位学生中男女生各有50名，成绩优秀共有54名，所以学生的成绩优秀与性别列联表如下表;男生女生总计优秀243054不优秀262046总计5050100，没有90%的把握认为“学生的成绩优秀与性别有关”.20．已知椭圆的左右焦点分别为，，为上的动点.（1）若，设点的横坐标为，试用〖解析〗式将表示成的函数；（2）过点的直线与的另一个交点为，为关于轴的对称点，直线与轴交于点，求关于的表达式；（3）试根据的不同取值，讨论满足为等腰锐角三角形的点的个数.解：（1）设，其中，，由得左焦点，则；（2）设点、的坐标为、，由得，于是，由题意，的坐标为,因为、、三点共线，所以，即，将和代入并整理,得，即，即，将代入得，于是.（3）设,于是,，且，当或或时,为等腰三角形，根据椭圆的对称性，只需讨论和两种情况，此时，当等腰三角形的顶角为锐角时即为等腰锐角三角形，①若且为锐角，如图1：在中，，则有，即，解得，由对称性知当时，如图2：以为腰的等腰锐角三角形有2个，②若且为锐角，如图3：首先大于的最小值，∵的最小值为，于是由得即，又∵为锐角，，于是，即，整理得，解得，结合，解得，又，所以，由对称性知当时，如图4：以为腰的等腰锐角三角形的点的个数为4个，综上:当时，只有以为腰的等腰锐角三角形，满足这样的点的个数共有4个，如图4.当时，以为腰的等腰锐角三角形的点的个数为4个，以的等腰锐角三角形有2个，满足这样的点共有6个，图2与图4合并.当时，以为腰的等腰锐角三角形有2个，满足这样的点的个数共有2个,如图2.21．设是定义在上的奇函数.若是严格减函数，则称为“函数”.（1）分别判断和是否为函数，并说明理由；（2）若是函数，求正数的取值范围；（3）已知奇函数及其导函数定义域均为.判断“在上严格减”是“为函数”的什么条件，并说明理由.解：（1）设，所以，所以和均为定义在上的奇函数.当时，函数严格减，故是函数.而当和时，，故不是函数.（2），设，定义域为，，所以是定义在上的奇函数.当时，不是函数，下设.当时，令，则.再设，则.设，所以当时，，函数单调递减，当时，，函数单调递增，所以，即恒成立，所以当时，，所以当时，；当时，.因为，所以当时，当时，，即恒成立，则函数严格单调递增，当时，，即恒成立，则函数严格单调递减，所以正数的取值范围是.（3）函数是定义在上的奇函数，且在上严格减，故为函数.但当或时取值相等，从而不是上严格减的函数.故“在上严格减”不是“为函数”的必要条件.下证“在上严格减”是“为函数”的充分条件.对任意，定义.则由得，且由严格减得,当时，，故当时，，即.现任取，考虑.则，且当时，.由关于函数的讨论知，此时.故当时，，即：对任意，.移项得，故在上严格减，即为函数.综上，“在上严格减”是“为函数”的充分非必要条件.上海市2023届高考数学模拟测试卷07一、填空题1．已知集合，集合，则__________．〖答案〗〖解析〗.故〖答案〗为：2．随机变量，，若，，则________〖答案〗〖解析〗∵随机变量服从，符合二项分布，由二项分布概率公式：得：∴，解得，又，∴.故〖答案〗为：.3．已知实数x、y满足，则的最小值为____________.〖答案〗〖解析〗依题意，当且仅当，即时等号成立.所以的最小值为.故〖答案〗为：.4．设为抛物线的焦点，点在上，过作轴的垂线，垂足为，若，则_________.〖答案〗4〖解析〗由抛物线的定义知，所以.故〖答案〗为：45．若函数，为奇函数，则参数a的值为___________．〖答案〗1〖解析〗当时，，当时，，故，而，故即，故〖答案〗为：1.6．用表示等差数列的前n项和，若，，则m的值为______．〖答案〗〖解析〗由，则，由，则，所以.故〖答案〗为：7．第31届世界大学生夏季运动会将在今年7月28日至8月8日在四川省成都市举行．有编号为1，2，3，4，5的五位裁判，分别就座于编号为1，2，3，4，5的五个座位上，每个座位恰好坐一位裁判，则恰有两位裁判编号和座位编号一致的坐法种数为________．〖答案〗20〖解析〗依题意，5人中选出2人，他们的编号与座位编号一致，有种方法，剩余3人都不坐与自己编号相同的座位有2种方法，由分步计数乘法原理得所求的坐法种数为．故〖答案〗为：208．若函数的图像可由函数的图像向右平移个单位所得到，且函数在区间上是严格减函数，则__________．〖答案〗〖解析〗由题意得，则，当时，，函数在区间上是严格减函数，故，即且，则，而，故，故〖答案〗为：9．设，，为虚数单位，若是关于的二次方程的一个虚根，则______．〖答案〗2〖解析〗将代入方程得：，即，即，所以，解得，所以.故〖答案〗为：210．如图，在四棱锥中，平面，，，，，直线与平面成角.设四面体外接球的圆心为，则球的体积为__________.〖答案〗〖解析〗在底面ABCD上，，AD⊥AB，DC＝2，AD＝AB＝1，所以∠ADB＝∠ABD＝45°，所以，在△BCD上，，由余弦定理可得：，所以，所以∠CBD＝90°．所以BD⊥CB．又因为PD⊥平面ABCD，所以PD⊥BC．又PD∩BD＝D，PD面PBD，BD面PBD所以BC⊥面PBD，所以BC⊥PB．则△PCD和△PBC均为直角三角形，当O点为PC中点时，OP＝OD＝OB＝OC，此时O为四面体PBCD的外接球的球心．∵直线PA与平面ABCD成45°角．PD⊥平面ABCD，则∠PAD＝45°，∴PD＝AD＝1，又，∴四面体PBCD外接球的半径为，所以四面体PBCD外接球的体积为．故〖答案〗为：．11．已知点，，若圆上存在点P满足，则实数a的取值的范围是____________．〖答案〗〖解析〗设点，则，而，则，整理得，即点的轨迹是原点为圆心，2为半径的圆，因为点在圆，即圆与圆有公共点，而圆的圆心为，半径为1，因此，即，解得或，所以实数a的取值的范围是.故〖答案〗为：

12．对于具有相同定义域D的函数和，若存在函数(k，b为常数)，对任给的正数m，存在相应的，使得当且时，总有，则称直线为曲线和的“分渐近线”．给出定义域均为的四组函数如下：①，；②，；③,；④,其中，曲线和存在“分渐近线”的是________．〖答案〗②④〖解析〗和存在分渐近线的充要条件是时，．对于①，，当时，令由于，所以为增函数，不符合时，，所以①不存在；对于②，，因为当且时，，所以存在分渐近线；对于③，，当且时，与均单调递减，但的递减速度比快，所以当时会越来越小，不会趋近于0，所以不存在分渐近线；对于④，，当时，，且因此存在分渐近线．故存在分渐近线的是②④．故〖答案〗为②④．二、单选题13．已知为两个随机事件，则“为互斥事件”是“为对立事件”的（

）A．充分非必要条件 B．必要非充分条件C．充要条件 D．非充分非必要条件〖答案〗B〖解析〗根据互斥事件和对立事件的概念可知，互斥不一定对立，对立一定互斥，所以“A､B为互斥事件”是“A､B为对立事件”的必要非充分条件.故选：B14．如图，一组数据，的平均数为5，方差为，去除，这两个数据后，平均数为，方差为，则（

）A．， B．， C．， D．，〖答案〗D〖解析〗由题意可得：，则，故，∵是波幅最大的两个点的值，则去除，这两个数据后，整体波动性减小，故.故选：D.15．如图，四边形ABCD是边长为1的正方形，平面ABCD，平面ABCD，且，点G为MC的中点.则下列结论中不正确的是（

）A． B．平面平面ABNC．直线GB与AM是异面直线 D．直线GB与平面AMD无公共点〖答案〗D〖解析〗因为平面ABCD，平面ABCD，则，取的中点，连接，如图，点G为MC的中点，则，且，于是四边形是平行四边形，，在正方形中，，则，因此四边形为平行四边形，，而，点G为MC的中点，有，所以，A正确；因为，平面，平面，则平面，又，平面，平面，则平面，而平面，所以平面平面ABN，B正确；取DM中点O，连接，则有，即四边形为梯形，因此直线必相交，而平面AMD，于是直线GB与平面AMD有公共点，D错误；显然点平面，点平面，直线平面，点直线，所以直线GB与AM是异面直线，C正确.故选：D16．已知曲线：，为上一点，①的取值范围为；

②的取值范围为；③不存在点，使得；

④的取值范围为.则上述命题正确的个数是（

）A．1个 B．2个 C．3个 D．4个〖答案〗C〖解析〗对于①，曲线得到，画出图形如下：其中为渐近线，

由曲线和图形可知，故①错误；对于②，可看做曲线上的点到原点的距离，显然无最大值，当点位于椭圆上时，距离原点的距离取得最小值，则，故当时，取得最小值，最小值为1，则的取值范围为，②正确；对于③，因为直线与渐近线平行，故不存在点，使得，③正确；对于④，表示点到直线的距离的倍，又直线与渐近线平行，且距离为，故，由图形可知，在上时，到直线的距离取得最大值，设，则到直线的距离为，当且仅当时等号成立，故的取值范围为，④正确.故选：C三、解答题17．在中，角的对边分别，.（1）求；（2）若的周长为4，面积为，求.（1）解：因为，所以，即，所以，因为，所以,所以又，故，所以，即；（2）解：由余弦定理，得，即，又，所以，即整理得，由面积为，即，所以，.18．如图，为圆O的直径，点在圆O上，，矩形所在平面和圆O所在的平面互相垂直，已知．（1）求证：平面平面；（2）当的长为何值时，二面角的大小为？（1）证明：∵平面平面，，平面平面，∴平面．∵平面，∴，又为圆O的直径，∴，而，平面，∴平面，∵平面，∴平面平面．（2）解：设中点为G，以O为坐标原点，的方向分别为x，y，z轴的正方向建立空间直角坐标系，设，则，，，，∴，，设平面的法向量为，则，即，令，可得取平面的一个法向量为，，即，解得，则当的长为时，二面角的大小为．19．某校举行了一次数学竞赛，为了了解本次竞赛学生的成绩情况，从中抽取了部分学生（男女生各一半）的分数（得分取正整数，满分为100分）作为样本（样本容量为）进行统计，按照，，，，的分组作出如图所示的频率分布直方图，已知得分在，的频数分别为16，4．（1）求样本容量和频率分布直方图中的，的值；（2）70分以下称为“不优秀”，其中男．女姓中成绩优秀的分别有24人和30人，请完成列联表，并判断是否有的把握认为“学生的成绩优秀与性别有关”？男生女生总计优秀不优秀总计0.100.050.0100.0050.0012.7063.8416.6357.87910.828附：，．解：（1）由题意可知，样本容量，，（2）100位学生中男女生各有50名，成绩优秀共有54名，所以学生的成绩优秀与性别列联表如下表;男生女生总计优秀243054不优秀262046总计5050100，没有90%的把握认为“学生的成绩优秀与性别有关”.20．已知椭圆的左右焦点分别为，，为上的动点.（1）若，设点的横坐标为，试用〖解析〗式将表示成的函数；（2）过点的直线与的另一个交点为，为关于轴的对称点，直线与轴交于点，求关于的表达式；（3）试根据的不同取值，讨论满足为等腰锐角三角形的点的个数.解：（1）设，其中，，由得左焦点，则；（2）设点、的坐标为、，由得，于是，由题意，的坐标为,因为、、三点共线，所以，