2024届五年高考数学（理）真题分类训练：函数概念与基本初等函数Ⅰ

函数概念与基本初等函数I

3函数的概念、图象和性质

题组

一、选择题

1.［2023新高考卷I,5分］设函数/(X)=2x(x-。)在区间。7)单调递减，贝g

的取值范围是(D)

A.(-8,-NB.［-2,0)C.(0,0D.［2,+oo)

［解析］解法一由题意得y=x(x—a)在区间(。〃)单调递减，所以1,

解得a>2.故选D.

解法二取a=3,则V=x(x-3)=(x-1)2一§在。7)单调递减，所以

/(X)=0(x-抄在。7)单调递减，所以a=3符合题意，排除A,B,C,故选

D.

2.［2023新高考卷II,5分］若/'(x)=(x+a)ln||^为偶函数，则a=(B)

A—B.OCjD.l

［解析］设。(x)=In会/易知。(x)的定义域为(一8,一夕ug+8),且

g(—x)=In=In/=-In'=-g(x),所以g(x)为奇函数.若

/(X)=(x+a)lna卷为偶函数，则y=X+a也应为奇函数，所以。=0,

故选B.

【速解】因为门x)=(x+a)ln^^为偶函数，/(-7)=(a-7)ln5/(7)=

(a+7)In\=一(a+7)ln3,所以(a-7)ln3=-(a+7)In3,解得a=0,故选

B.

3.［2023全国卷乙，5分］已知/'(x)=芋-是偶函数，则a=(D)

eax—7

A.-2B.-7C.1D.2

［解析］解法一门X)的定义域为｛x|x#0,因为f(x)是偶函数，所以门x)=

/(-x),即=即e(7-a)x_eX+e-x,即e(，-a)x+

e^x_iQ-QX_i

第1页

e(。-T)X=ex+e-x,所以。一：=±7解得。=。(舍去)或a=2,故选

D.

解法二〃x)=4=：x，门x)是偶函数，又y=x是奇函数，所以

QQX—7e^a~'>X—Q~X

y=e(a-Ox-e-x是奇函数，故7=7即。=2,故选D.

4.［2023天津，5分］函数f(x)的图象如图所示，则f(x)的解析式可能为(D)

［解析］解法一由题图可知函数/'(x)的图象关于y轴对称，所以函数/'(x)是偶

函数.对于A,f(x)=5(e：；),定义域为以，门―x)=5々、)=—〃x),

所以函数人x)=写三是奇函数，所以排除A;对于B,〃x)=警，

定义域为R,R—x)=智产=—誓=-〃x),所以函数以x)=船是

X十/X十/XI/

奇函数，所以排除B;对于C,.(X)=5,展),定义域为R,八一x)=

x

5(亡、)=〃x),所以函数f(x)=是偶函数,又x?+2>0,e+

ef>0,所以门x)>。恒成立，不符合题意，所以排除C；分析知，选项D

符合题意，故选D.

第2页

解法二由题图可知函数/'(X)的图象关于y轴对称，所以函数〃X)是偶函数.因

为y=x2+Z是偶函数，y=ex-ef是奇函数，所以=x)=5(：王；)是奇

函数，故排除A；因为y=x2+7是偶函数，y=sinx是奇函数，所以

门x)=1^是奇函数，故排除B；因为X2+2>0,ex+e-x>0,所以

fW=5设；)>0恒成立,不符合题意，故排除C.分析知，选项D符合题

意，故选D.

【方法技巧】若两函数的定义域相同，则奇函数x奇函数=偶函数，奇函数x

偶函数=奇函数，偶函数x偶函数=偶函数，奇函数+奇函数=奇函数，偶函

数+偶函数=偶函数.

5.［2023新高考卷II,5分］已知函数f(x)=aex-Inx在区间(7,2)单调递增,

则。的最小值为(C)

A.e2B.eC.e-zD.e~2

［解析］因为函数/(x)=aex_Inx,所以r(x)=戊乂一♦因为函数人x)=

aex-lnx在(7,2)单调递增，所以r(x)二。在(7,2)恒成立，即。6乂一/10

在(7,2)恒成立，易知a>0,贝IJO</wxeX在(7,2)恒成立.设g(x)=xeX,

则Q(x)=(x+7)ex.当x£(7,2)时,g'(x)>0,g(x)单调递增，所以在

(7,2)上，g(x)>g(7)=e,所以(三e,即aN/=e-,故选C.

6.［2022北京，4分］已知函数f(x)=总，则对任意实数x,有(C)

A./(-X)+/(x)=0B./(-X)-/(X)=0C./(-x)+

f(x)=7D./(-x)-/(x)='

［解析］函数/'(x)的定义域为R,〃—x)=—=/三，所以/'(—x)+

7+2~x1+2X

f(X)=-^—+-^—=7,故选C.

7+2x7+2x

7.(2022全国卷甲，5分)函数y=@-犷x).c°sx在区间的图象

大致为(A)

第3页

［解析］令y=f(x),贝叶(-X)=(3-x-3X)cos(-x)=-(3X-3-x)cosx=

一/"(x),所以函数y=(3x->rx)cosx是奇函数，且当X£(〃)时产一

3~乂>O,cosx>。，故f(x)>0,故选A.

【速解】取x=1,则y=(3-$cos1=5cos1>0■,取x=—1,则y=

(，一3)cos(-7)=-^cos7<。.结合选项知选A.

8.［2022新高考卷II,5分］已知函数/'(x)的定义域为R，且f(x+y)+

f(x-y)=/(x)/(y),/(7)=7,则£f(k)=(A)

k=J

A.-3B.-2C.0D.1

［解析］因为/'(；)=7,所以在f为+了)+〃,一了)=/炽)/(了)中,令

y=7,得/'(x+7)+/(x-7)=/(x)/(7),所以以x+7)+/(x-7)=

fM①，所以以x+2)+〃x)=〃x+7)②.由①②相加，得f(x+2)+

第4页

门x—7)=0,故/'(x+3)+〃x)=0,所以f(x+3)=—/*(x),所以

f(x+6)=-以x+3)=/(x),所以函数人x)的一个周期为6.在f(X+

V)+〃x—v)=f(x)〃v)中,令y=0,得f(x)+〃x)=f(x)/(0),所

以f(0)=2.令x=7,y=7,得f(2)+f(0)=f(7)f3,所以f(2)=—7.

由f(x+3)+f(x)=0,得f(7)+f(4)=0/(2)+f⑸=0J(3)+

f{6}=0,所以f(7)+f(2)+...+〃6)=。，根据函数的周期性知，

22

2f(k)=f(f)+f(2)+f(3)+f(4)=1-1-2-l=-3,故选A.

k=1

9.［2022全国卷乙，5分］已知函数/'(x),g(x)的定义域均为R,且f(x)+

g(2-x)=5,g(x)-f(x-4)=7.若y=g(x)的图象关于直线x=2对称,

22

。(2)=4,则£f(k)=(D)

k=7

A.-21B.-22C.-23D.-24

［解析］由y=g(x)的图象关于直线x=2对称，可得。(2+x)=g(2-x).在

f(x)+g(2-x)=5中，用一x替换x,可得/'(—x)+g(2+x)=5,可得

f(—x)=/(x)①，所以y=/(x)为偶函数.在g(x)-/(X—4)=7中，用

2-X替换x，得0(2-x)=/(-X—2)+7,代入门x)+g(2-X)=5中，得

fM+f(—x—2)=—2②，所以y=fW的图象关于点(一7,—7)中心对称，

所以门7)=门-7)=-7.由①②可得/(X)+/(X+2)=-2,所以/'(X+2)+

f(x+4)=-2,所以/(x+4)=/(x),所以函数f(x)是以4为周期的周期

函数.由门x)+g(2-x)=5可得以0)+g(2)=5,又。(2)=4,所以可得

f(6=7,又〃x)+〃x+2)=—2,所以门0)+门2)=-2,得门2)=-3,

22

又/'⑹=〃-7)=-1,f(4)=f(0)=1,所以2f(k)=6〃7)+6〃2)+

k=1

5f⑶+5/(4)=6x(-7)+6x(-③+5x(-7)+5x7=-24.故选D.

10.［2021全国卷乙，5分］设函数f(x)=W，则下列函数中为奇函数的是(B)

A.f(x—7)—7B.f(x—7)+7C.f(x+7)—7D.f(x+7)+7

第5页

［解析］因为f(x)=奈，所以/(X-7)=笠子=3,/(x+7)=

/TA/十(X-I)X

7-(x+7)_-x

7+(x+7)-x+2•

对于A,F(x)=/(x—7)-7=--7=号，定义域关于原点对称，但不满

足F(x)=-F(—x)；对于B,G(x)=/(x-7)+7=-+7=g定义域

关于原点对称，且满足G(x)=-G(-x)；对于c，(x+7)—7=祭一7,定

义域不关于原点对称；对于D,/(x+7)+7=祭+7,定义域不关于原点对称.

故选B.

【速解】/(X)=关=三¥=白-7,为保证函数变换之后为奇函数，需

将函数y=f(x)的图象向右平移一个单位长度，再向上平移一个单位长度，

得到的图象对应的函数为y=/(X-7)+7,故选B.

【方法技巧】常见的偶函数有y=ax+a~x(a＞。且a+7),y=cosx,

y=x2n(nGZ),y=|x|等;常见的奇函数有y=ax-a~x,y=sinx,

2n+

V=tanx,y=x\nEZ),y=logQ-^1,y=log。(x+d7+x?)等，

其中a＞。且a+7.

11.[2021浙江，4分]已知函数/'(x)=x2+；,g(x)=sinx,则图象如图的函

数可能是(D)

A.y=/(X)+g(x)―；B.y=f(x)-g(x)-；C.y=

f(x)g(x)D.丫=黑

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［解析］易知函数/(X)=+T是偶函数，g(x)=sinx是奇函数，给出的图象

对应的函数是奇函数.选项A,y=/(x)+5(x)-^=x2+sinx为非奇非偶

函数，不符合题意，排除A；选项B,y=/(X)-。(x)-J=X?-sinx也

为非奇非偶函数，不符合题意，排除B；因为当xe("+8)时，门x)单调

递增，且f(x)>0,当XE(右)时，g(x)单调递增，且g(x)>0,所以y=

〃x)g(x)在(%)上单调递增，由图象可知所求函数在(七)上不单调，排除

C.故选D.

12.(2021全国卷甲，5分)设函数门x)的定义域为R,〃x+7)为奇函数，

〃x+2)为偶函数，当xt［7，N时，(x)=ax2+b若〃0)+/(3)=6,则

♦e=(D)

A.7B--1C.fD.|

［解析］由于f(x+7)为奇函数，所以函数人x)的图象关于点(7,0)对称，即有

f(x)+/'(2—x)=0,/(7)=0,所以a+b=。①.由于f(x+2)为偶函数,

所以函数人x)的图象关于直线x=2对称，即有f(x)-门4-x)=0,所以

f⑼+f⑶=-f^+f(r)=-4a-b+a+b=-3a=6②.根据①②可得

a=-2,b=2,所以当xe［7，N时，/(x)=-2x2+2.

根据函数门x)的图象关于直线x=2对称，且关于点(7,0)对称，可得函数

门X)的周期为4,所以/'©=/(9=—八|)=2*(1)2—2=*

13.［2021新高考卷II,5分］设函数/(X)的定义域为R,且f(x+2)为偶函

数，f(2x+7)为奇函数，贝IJ(B)

A.f(-3=0B./(-7)=0C./(2)=0D./(4)=0

［解析］因为函数f(x+2)是偶函数，所以以x+2)=〃-x+2),函数以X)

的图象关于直线x=2对称.因为函数/'(2X+7)是奇函数，所以/'(7)=0,且

函数门x)的图象关于点(7,0对称，所以函数以X)是以4为周期的周期函数，

所以门7)=门7+4)=A5)=0,又函数/(X)的图象关于直线x=2对称，

所以门5)=以4-5)=/"(_7)=0,故选B.

第7页

【方法技巧】若方X)+方法一X)=2b，则f(x)的图象关于点(ab)对称;

若f(x-a)=f(b-X)，则以X)的图象关于直线X=岁对称；若门X)的图

象关于点(a0)对称且关于直线X=b对称，则以X)的周期T=4\a-b\.

14.[2020新高考卷I,5分]若定义在R的奇函数f(x)在(-8,0单调递减，

且f(2)=0,则满足x/(x—7)>。的x的取值范围是(D)

A.[-7,7]U[5,+oo)7]U7]C.[-1,O\U

[7,+8)D.[-1,O[U[7,5]

[解析]由题意知ax)在(一8,0),9+00)单调递减，且『(一2)=以2)=f(6=

。.当x>。时，令f(X-7)>。，得0三x—7<2,：.7<x<5；当x<。时，令

/(X-7)<。彳导一2<x-7<07<x<7,又x<0,1<x<0

当x=。时，显然符合题意.综上，原不等式的解集为[-7刈U口司，选D.

【速解】当x=3时,(3-7)=0,符合题意，排除B；当x=4时，/(4-

7)=<f(2)=0,此时不符合题意，排除选项A,C.故选D.

15.(2019全国卷田，5分)设门x)是定义域为R的偶函数，且在。+8)单

调递减，贝WC)

3223

A.f(log^7>fO>fOB.f(log^)7>f(2")>fQ)

c.f(2-)>fC>f(log^)D.〈O>f(2F>f(log^)

[解析]根据函数以x)为偶函数可知，/(log^)=/(-\Og34)=f(\og34),因

32

为0<2三<Iog34，且函数/(X)在0+8)单调递减，所以

f(^)>f(2F>/(log54)=f(log^).故选C.

16.(2019全国卷口,5分)设函数〃x)的定义域为R,满足以x+7)=

2f(x),且当xG(0,7]时，f(x)=x(x-7)若对任意xG(-oo,m],都有

fW则m的取值范围是(B)

A.(—8勺B.(-8,(]C.(—D.(—

[解析]当一7<x<。时，0<x+7<7,则/'(X)=T/(x+7)=T(x+7)x；

当1<XW2时，0<X—7<7,则f(x)=2f(x-7)=2(x—7)(x-2)；

第8页

当2<x三3时，0<x-2三7,则f(x)=2f(X-7)=22f(x—2)=

N(X-2)(X—3).....由此可得

翔+7)x,-1<x<0,

x(x—7)/7<

fW={I，Y一</’.由此作出函数f(X)的图象，如图所示.

2(x-7)(x-2),7<x<2,

22(x-2)［x-3),2<x<3,

由图可知当2<XW3时，令N(x-2)(x-3)=-也整理，得(3x-

7)(3x-8)=0,解得x=：或x=*将这两个值标注在图中.要使对任意XG

(一8,巾］都有^7^)之一《，必有即实数m的取值范围是(一8,刍，故

选B.

17.［2023全国卷甲，5分］若/'(x)=(X-片+ax+sin(x+］)为偶函数，

则a=2.

［解析］解法一因为门x)为偶函数，所以门—x)=〃x),即(—x—7)2—

ax+sin(-x+^)=(x-7)2+ax+sin(x+今，得a=2.

解法二因为Rx)为偶函数，所以“_今=八/，即(一］—7)2——

7)2+£a,得a=2.

18.［2022北京，5分］函数f(x)=-+，7—x的定义域是(一°°,0)u("7］.

［解析］因为f(x)=E+47-x,所以X#0,7-xNO,解得xt(-8,0u

w,n.

第9页

19.［2022北京，5分］设函数〃x)=「ax+/'X<°,若门x)存在最小值，

(x-2)2,x>a.

则。的一个取值为0(答案不唯一)：a的最大值为1.

［解析］当a=。时，函数/'(x)={存在最小值0,所以a的一个

(X-2)2,X>0

取值可以为0；当a<0时，若x<a,/(X)=-ax+7,此时函数f(x)不

可能存在最小值；当0<aw2时，若x<a,则f(x)=-ax+7,止匕时

/(X)£(-/+7,+8),若X之a,则/1(x)=(X-2)2£国+8),若函数

f(x)存在最小值，则一/+7］。，得0<。三7；当a>2时，若x<a,

则f(x)=-ax+7,止匕时f(x)e(—/+7,+8),若x二a,则f(x)=

(x—2)2e［(a_2产,+8),若函数人x)存在最小值，则

-a2+l>{a-2)2,此时不等式无解.综上,0三a三1,所以a的最大值为1.

20.［2021新高考卷I,5分］已知函数f(x)=x3(a•0-？x)是偶函数，贝|］

a=1.

［解析］因为门x)=x3(a•2X-7X)的定义域为R,且是偶函数，所以

f(-x)=/(X)对任意的XGR恒成立，所以(—x)3(a-2~x_0)=x3(a.

0-7x)对任意的XeR恒成立，所以x3(a-7)(0+，x)=。对任意的

xeR恒成立，所以a=7.

【速解】因为/'(x)=x3(a.2x-，x)的定义域为R,且是偶函数，所以

八一D=以"所以—6一2)=2。一三，解得a=7,经检验，/(X)=

X3(?—7X)为偶函数，所以。=7.

Y2—AY>2

21.［2021浙江，4分］已知atR,函数/'(x)={''若

\x-3\+a,x<2.

八八①)=3,则a=2

［解析］因为>2,所以历=6-4=2,所以=〃2)=7+

a=3,解得a=2.

22.［2021新高考卷II,5分］写出一个同时具有下列性质①②③的函数f(x):

£(x)三X八(答案不唯一).

第10页

①/(X/Xz)=f(X7)f(X2)；②当x€0+8)时，/1(x)>0■,③尸(X)是奇

函数.

［解析］若函数f(x)=x2,贝，(X7X2)=X取2/(x7)=x5/(x^)=xj,所

以f(x?X2)=f(X7)f(X2)；因为广(x)=2x,/'(-x)=-2x=-/'(x),

所以f'(x)为奇函数，且当x>。时，f，(x)>0.故函数f(x)=x2符合题意.

23.［2020北京，5分］函数f(x)=匕+Inx的定义域是(Q+8).

［解析］函数"x)=Inx的自变量满足「+7#"x>0,即定义域为

X+/X>0,

9+8).

2

24.［2020江苏，5分］已知y=f(x)是奇函数，当XX。时，f(x)=x3则

f(一8)的值是-4.

22

［解析］由题意可得以-8)=-/(,?)=-83=一(/"=-22=-4.

25.［2019全国卷II,5分］已知f(x)是奇函数，且当x<。时，/(x)=-eax.

若/'(In2)=8,则a=*.

［解析］因为函数以x)为奇函数，所以/'(In2)=-/(-In2)=e-aln^=今=8,

所以a=-3.

考点4指数函数、对数函数、筹函数

题组

选择题

1.［2023天津，5分］若a=1.O105,b=1.010-6,c=0.6°5,则a,b,c的大小关

系为(D)

A.c>a>bB.c>b>aC.a>b>cD.b>a>c

［解析］解法一因为函数-x)=7.O7X是增函数，且0.6>0.5>0,所以

1.0106>1.010-5>1,即b>a>7；因为函数g(x)=06是减函数，且

0.5>0,所以0.6。5V0.6°=7,即C<7.综上，b>a>C.故选D.

解法二因为函数r(x)=7.O7X是增函数，且0.6>0.5,所以7.07“>1.0105,

即b>a；因为函数以x)=x&5在(Q+8)上单调递增，且1.01>0.6>0,

所以1.01°-5>0.6°5,即a>C.综上，b>a>c.故选D.

第11页

a7

2.[2022天津，5分]已知a=2,b=(9°7,C=log2plj!lJ(C)

A.a>c>bB.b>c>aC.a>b>cD.c>a>b

07

[解析]因为a=2>2°=1,0<b=7<($，=7,c=log2^<

log27=0,所以a>b>c,故选C.

3.[2022天津，5分]化简(Zog43+log初(1。932+1。9遍)的值为(8)

A.1B.2C.4D.6

[解析](Zog43+log55)(log52+logP2)={2\o^2?3+log^.?)(Iog52+log彳2)=

(log25+-^log25)(log52+^log52)=^xlog25x|x\og32=2,故选B.

7

4.[2022新高考卷I,5分]设a=O.le01,b=9-,cIn0.9㈣C)

A.a<b<cB.c<b<aC.c<a<bD.a<c<b

[解析]设u(x)=xeX(0<X<0.1],i/(x)=-^—(0<x<0.T),w(x)=-

ln(7—x)(0<xW0.7),则当0<xW0.7时，u(x)>0,u(x)>0,

w(x)>。.①设/'(x)=ln[u(x)]-ln[u(x)]=lnx+x-[lnx-ln(7-x)]=

x+ln(7—x)(0<x<0.V),则f'(x)=1一；=—<。在(0。7]上恒成立,

所以门X)在00.7]上单调递减，所以-0.7)<0+ln(7—0)=0,即

ln[u(0.7)]-ln[u。7)]<0,所以ln[u(0.7)]<ln[u(0.7)],又函数y=Inx

在。+8)上单调递增，所以u(0.7)<u(O7),即O.le01

设g(x)=设x)-w(x)=xex+ln(7—x)(0<x三0.7),则g'(x)=(x+

7)ex--—1=(7*k7(0<x<0,1),设h(x)=(7-x2)ex-1(0<x<

1—X1—X

0.1),则h'(x)=(7-2x-x2)eX>。在(a〃7]上恒成立,所以h(x)在

上单调递增，所以以x)>(7-*xe。-7=0,即g，(x)>0在(0。7]上恒

成立，所以。(x)在(0。7]上单调递增，所以g(0.7)>0xe0+ln(7—0)=0,

即g(O7)=u(0.7)-w(0.7)>0,所以O.le01>-In0.9,即a>c.综上，

c<a<b,故选C.

【速解】a=o.le01-0.K1+0.1+0.005)=0.1105,b«0.111...,c=-

Inf7+(-0.7)]--{-0.1-0.005-0.0003)=0.1053,故C<a<b.

第12页

【方法技巧】当XT。时，ex«7+x+y,

ln(7+x)~x--+—,V/+x~1+---X2.

''23’28

5.［2021新高考卷II,5分］若a=log52,b=\og83,c=j,贝U(C)

A.c<b<aB.b<a<cC.a<c<bD.a<b<c

［解析］a=\og^2=\og^J4<logjV5=g=c,b=Iogg3=log5V9>log5V8=

3=C,所以a<c<b.故选C.

6.［2020新高考卷II,5分］已知函数/'(x)=lg(x2-4x-5)在(a,+oo)上单

调递增，则a的取值范围是(D)

A.(—8,—7］B.(-8,2\C.［2,+8)D.［5,+8)

［解析］由x2—4x—5>0,解得x>5或x<—7,所以函数f(x)的定义域为

(-0°,-7)U(5+00).又函数y=X2-4x-5在(仿+0°)上单调递增，在

(一8,一7)上单调递减，所以函数/(X)=lg(x2-4x-5)在(仿+8)上单调递

增，所以a>5,故选D.

【方法技巧】复合函数的单调性：如果y=f(u)和u=g(x)的单调性相同，

那么y=f(g(x))是增函数；如果y=/(u)和u=g(x)的单调性相反，那么

y=/(g(x))是减函数.

7.［2020全国卷II,5分］设函数f(x)=ln|2x+7|-ln|2x-7|,则/'(x)(D)

A.是偶函数，且在(3+8)单调递增B.是奇函数，且在(-=，9单调递减

C.是偶函数，且在(-8,-今单调递增D.是奇函数，且在(-8,-今单调递减

［解析］由/X+1+0'得函数以x)的定义域为(—8,—今U(-1JUg+8),

2X-1+0,Z222

其关于原点对称,因为f(-x)=ln|2(-x)+7|-ln|2(-x)-7|=ln|2x-

7|-ln|2x+7|=-/(x),所以函数f(x)为奇函数，排除A,C.当xt

(一;乡时，/(x)=ln(2x+7)-ln(7-2x),易知此时函数门x)单调递增，

排除B.当x€(一叫一方时，/(x)=ln(-2x-7)-ln(7-2x)=lnf^=

ZZX-/

ln(7+-^-),易知此时函数f(x)单调递减，故选D-

ZX-/

第13页

8.［2020全国卷II,5分］若？-2y<3-x-3-y，则(A)

A.In(y—x+7)>0B.In(y—x+7)<0C.In|x-y|>

0D.In|x-y\<0

x

［解析］由0-2?<3~x—3-n,得2乂-3-x<2v_3-y>,即2x-(^)<#一

(勺丫.设以「)=0—,则以x)</(y).因为函数z=0在R上为增函数，

z=—(勺-在R上为增函数，所以门£)=0—(勺t在R上为增函数，则由

fW<f(y)，得x<y,所以y-x>0,所以y-x+1>7,所以

ln(y-x+7)>0,故选A.

9.［2020全国卷I,5分］若？+log2a=加+2log4b，则(B)

A.a>2bB.a<2bC.a>b2D.a<b2

X

［解析］令/1(x)=0+log2x，因为y=2在(0,+oo)上单调递增，y=log^x在

Xa

(0,+8)上单调递增，所以/1(x)=2+\og2x在。+oo)上单调递增.又2+

2b

log2a=加+2\og4b=22b+log2b<2+log2(2b),所以f(a)<f(2b),

所以a<2b.故选B.

10.［2020全国卷III,5分］已知55<7,<夕.设a=Iog53,b=Iog85,

C=log75<?,lj!ij(A)

A.a<b<cB.b<a<cC.b<c<aD.c<a<b

5

［解析］5V依=InIn51n5<4n8,所以:>需=\og85=b洞理

4

13<沪n\n7,<InQ=41n13<51n8,所以，黑=log75<9=c；^=

Iog55In3In8In3ln87/n3+ln8、,ln24o_匕/小―

-^7=—­—=<7-^--—=Lz宝x)<7,所以a<b7.综上r可r知,

log5oIn5In5(In5)z(In5)z2In25

a<b<^<c，故选A.

b

1L［2O19浙江，4分］在同一直角坐标系中，函数y=5,y=loga(x+

9m>0,且a,7)的图象可能是(D)

第14页

［解析］若0<a<7,则函数是增函数，y=log0（x+9是减函数且其

图象过点（一,0）,结合选项可知，选项D可能成立；若a>7,则丫=一是减

函数，而了=1。9。仪+勺是增函数且其图象过点（3。），结合选项可知，没有

符合的图象.故选D.

【速解】分别取a==和a=2,在同一坐标系内画出相应函数的图象（图

略），通过对比可知选D.

12.［2019全国卷I,5分］已知a=logzO.2,b=2a2,c=0.2°3,贝］（B）

A.a<b<cB.a<c<bC.c<a<bD.b<c<a

［解

0203

析卜a=\og20.2<\og21=O,b=2>2°=1,O<C=O.2<0.2°=7,

a<c<b.故选B.

第15页

13.［2019全国卷II,5分］若a>b,贝iJ(C)

A.In(a-b)>0B,5a<◎C.a3-b3>0D.\a\>\b\

［解析］由函数y=Inx的图象(图略)知，当O<a-b<7时，ln(a-b)<

0,故A不正确；因为函数y=3X在R上单调递增，所以当a>b时，守>

侬,故B不正确；因为函数y=x3在R上单调递增，所以当a>b时，a3>

b3,即。3一^3>0,故C正确；当b<a<0时，|a|<|b|,故D不正确.

选C.

【速解】当a=〃3当=一〃4时,In(a-b)<0,3°>,\a\<|b|,故排除

A,B,D.选C.

考点5函数与方程

题组

一、选择题

1.［2023全国卷甲，5分］函数y=/(X)的图象由函数y=cos(2x+》的图象

向左平移£个单位长度得到，则y=f(x)的图象与直线y==x-=的交点个

oZZ

数为(C)

A.1B.2C.3D.4

［解析］把函数y=cos(2x+》的图象向左平眈个单位长度后得到函数f(x)=

cos［2(x+2)+曰=cos(2x+勺)=—sin2x的图象.作出函数f(x)的部分图象

和直线y=Tx-］如图所示.观察图象知，共有3个交点.故选C.

乂3Y。

2.［2020天津，5分］已知函数/'(x)-'若函数g(x)=/(x)-

-x,x<0.

|kx2-2x|(keR)恰有4个零点,则k的取值范围是(D)

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A.(―8,—gu(Rz+8)B.(—8,一今u(QRZ)

c.(-oo,o)u(〃R5)D.(-oo,o)u(R2+oo)

［解析］由题意可知X=。为g(x)的一个零点.函数g(x)=/(x)-\kx2-

2x|(ktJR)恰有4个零点，即函数Rx)与h(x)=|kx2—2x|的图象有4个

交点，其中①。)为其中一个交点，当x>0时，由x3=|kx2—2x|可得x2=

|kx-2|,当x<0时，由一x=|kx2-2x|可得7=|kx-2|,令0(x)=

。

{''p(x)=|kx-2|(x#0),则函数y="(X)与y=〃(x)的图象有3

l,x<0,

个交点.若k<0,如图1所示，函数y=(p(x)与y=〃(x)的图象有3个交点，

所以k<。符合题意.若k>0,如图2所示，需证当x>京时，函数y=B(x)

与y=〃(x)的图象有2个交点.当x>:时，(p(x)=x2,〃(x)=kx-2,令

B(X)=〃(x),贝卜2-kx+2=0,因为x2-kx+2=。有两个不同实根，所

以A>0,即/<2一8>0,解得k>R5.综上，当k<0或k>R5时，函数

g(x)=f(x)-|kx2-2x|恰有4个零点.

3.［2019浙江，4分］设a,b£R,函数/'(x)=

,x,x<a

若函数y=fW-ax-b恰有3个零点,则

'\3-{a+7)x2+叭x>0.

(C)

A.a<-1,b<0B.a<-7,b>0C.a>-1,b<0D.a>-1,b>

0

［解析］当x<。时,y=f(x)-ax-b=x-ax-b=(7-a)x-b，则y=

/(x)-ax-b最多有1个零点.

当x10时，y=f(x)-ax-b='xS-3m+I)-x2+ax-ax-b=

-x3-^a+T)x2-b,y'=x2-(a+7)x,

第17页

当。+7三0,即aw-7时,y'10,y=f(x)-ax-b在园+8)上单调递

增，则y=/(x)-ax-b在图+oo)上最多有1个零点;

当a+7>。，即a>-7时，令y'>。彳导xe(a+7,+℃)，令y，<0,得xE

(Qa+7)，所以y=/(x)-ax-b在国a+T)上单调递减，在［a+1,+°0)

上单调递增，则y=fW-ax-b在国+oo)上最多有2个零点.

由已知函数y=/(x)-ax-b恰有3个零点，知y=f(x)-ax-b在

(-8,0)上有1个零点，在国+8)上有2个零点，则

Y~<0,

{a>—1,

-b>0,

=(a+7尸_g(a+7)(a+7)2—b<0,

解得一7<a<7,-幺。+I)3<b<0.故选C.

b

二、填空题

4.［2023天津，5分］若函数f(x)=ax2-2x-\x2-ax+7|有且仅有两个

零点，则Q的取值范围为(-8,0)U(OU(7,+8).

［解析］当a=7时，函数f(x)只有一个零点-7,不符合题意;当a=。时，函数

门x)只有一个零点-7,不符合题意;当a=-7时，函数门x)有两个零点，分

别为-7和-三，符合题意.

若。半。且a#±1,分以下两种情况：

①当X2-ax+7>。时J(x)=ax2-2x-\x2-ax+1\=ax2-2x-

(x2-ax+7)=(a-T)x2+(a-2)x-7=(x+7)［(a-7)x-7］,令

fW=0,由a#。且a+±1,得x?=-7/2=」,且X?#x2.又xi=-

7时，ax2-2x-(x2-ax+7)=a+2-(x2-ax+7)=0,所以a=

(x2-ax+7)-2,则x2-ax+0时，a>-2且a+0,a1-,x=—

2CL—7

时，ax2-2x-(x2-ax+7)(x2-ax+7)=0,所以

{u.-/)u.-/

=x2-ax+7,则x?—ax+1>。时,a<2且a*0,a#±7.②当x2一

广(a—b7)

ax+7<0时，/(x)=ax2-2x-\x2-ax+7|=ax2-2x+(x2-ax+

第18页

7)=(a+7)x2—①+2)x+7=(x-7)［(a+7)x-7］，令/'(x)=。，由a*0

且a#±7,得X3=7,X4=±,且X3#X4.同理，X3=7时,X?—QX+

1<。，贝ija>2；x4=七时,x2-ax+1<。，则a<-2.

综上，a的取值范围为(一8,0)U(0,7)u(7,+8).

5.［2022天津，5分］记/'(x)=min{|x|-2,x2-ax+3a-5},若f(x)至

少有3个零点，则实数a的取值范围是17〃+8).

［解析］令g(x)=x2-ax+3a-5,方程x?-ax+3a-5=。的判别式A=

a2-12a+20.

(1)当A<。时，函数g(x)=x2-ax+3a-5无零点，从而f(x)不可能

至少有3个零点.

(2)当A=。时，a=2或a=10,

①当a=2时，/(X)=min{|x|-2,x2-2x+1］=\x\-2,此时/1(x)有

2个零点，不符合要求；

②当a=70时，/(x)=min{|x|-2,x?-70x+25)有3个零点，符合要

求.

(3)当A>。时，a<2或a>10,

①如图，当a>70时，函数g(x)=x2-ax+3a-5的图象的对称轴为直线

x=%>5,若门x)至少有3个零点，则要求g(2)=a—0,即ax7,

从而a>70；

②当a<2时，函数g(x)=x2-ax+3a-5的图象的对称轴为直线x=-<

1,此时门x)只有2个零点，不符合题意.综上所述，a>10.

第19页

6.［2021北京，5分］已知/(X)=|lgx|—kx—2,给出下列四个结论:

①若k=O,则门x)有两个零点；

②衣<0,使得r(x)有一个零点;

③土<0,使得/(X)有三个零点;

@3k>0,使得f(x)有三个零点.

以上正确结论的序号是①(2位.

［解析］作出函数y=ligx|和y=kx+2的大致图象如图所示，

对于①，当k=0时，显然直线y=2与y=|lgx|的图象有两个交点，即函数

f(x)=|lgx|-kx-2有两个零点，所以①正确；

对于②，由图可知，Bk0<0,使得直线丫=k.x+2与y=|lgx