江苏省南京市玄武2023-2024学年中考数学仿真试卷含解析

江苏省南京市玄武2023-2024学年中考数学仿真试卷

注意事项

1.考试结束后，请将本试卷和答题卡一并交回.

2.答题前，请务必将自己的姓名、准考证号用0.5毫米黑色墨水的签字笔填写在试卷及答题卡的规定位置.

3.请认真核对监考员在答题卡上所粘贴的条形码上的姓名、准考证号与本人是否相符.

4.作答选择题，必须用2B铅笔将答题卡上对应选项的方框涂满、涂黑；如需改动，请用橡皮擦干净后，再选涂其他

答案.作答非选择题，必须用05毫米黑色墨水的签字笔在答题卡上的指定位置作答，在其他位置作答一律无效.

5.如需作图，须用2B铅笔绘、写清楚，线条、符号等须加黑、加粗.

一、选择题（共10小题，每小题3分，共30分）

1.一组数据：3,2,5,3,7,5,X,它们的众数为5,则这组数据的中位数是（）

A.2B.3C.5D.7

2.抢微信红包成为节日期间人们最喜欢的活动之一.对某单位50名员工在春节期间所抢的红包金额进行统计，并绘

制成了统计图.根据如图提供的信息，红包金额的众数和中位数分别是（）

3

102030501口00金额（元）

A.20,20B.30,20C.30,30D.20,30

3.在AABC中，AB=3,BC=4,AC=2,D,E,F分别为AB,BC,AC中点，连接DF,FE,则四边形DBEF的周

长是（）

如果向北走6km记作+6km,那么向南走8km记作（

A.+8kmB.-8kmC.+14kmD.-2km

5.在△ABC中，AB=AC=13,BC=24,贝！JtanB等于（

512

13T

6.如图所示，若将AABO绕点。顺时针旋转180。后得到△AiBiO,则A点的对应点Ai点的坐标是（）

A.(3,-2)B.(3,2)C.(2,3)D.(2,-3)

7.截至2010年“费尔兹奖”得主中最年轻的8位数学家获奖时的年龄分别为29,28,29,31,31,31,29,31,则由

年龄组成的这组数据的中位数是()

A.28B.29C.30D.31

8.如图，以O为圆心的圆与直线y=-x+括交于A、B两点，若AOAB恰为等边三角形，则弧AB的长度为()

2C加r

A.—71B.713

3

9.如图，在平面直角坐标系中，△ABC与△AiBiG是以点P为位似中心的位似图形，且顶点都在格点上，则点P的

坐标为()

10.如图，比例规是一种画图工具，它由长度相等的两脚AC和BD交叉构成，利用它可以把线段按一定的比例伸长

或缩短.如果把比例规的两脚合上，使螺丝钉固定在刻度3的地方（即同时使OA=3OC,OB=3OD）,然后张开两脚,

使A,B两个尖端分别在线段a的两个端点上，当CD=1.8cm时，则AB的长为（）

A.7.2cmB.5.4cmC.3.6cmD.0.6cm

二、填空题（本大题共6个小题，每小题3分，共18分）

11.已知关于x的方程x2+kx-3=0的一个根是x=-l,则另一根为.

12.如图，矩形OABC的边OA,OC分别在x轴，y轴上，点B在第一象限，点D在边BC上，且NAOD=30。，四

边形OA，B，D与四边形OABD关于直线OD对称（点A，和A,点B，和B分别对应）.若AB=2,反比例函数y=-（k/0）

x

的图象恰好经过A，，B,则k的值为.

13.亲爱的同学们，在我们的生活中处处有数学的身影.请看图，折叠一张三角形纸片，把三角形的三个角拼在一起,

就得到一个著名的几何定理，请你写出这一定理的结论：“三角形的三个内角和等于1

RF

14.将一副三角尺如图所示叠放在一起，则五二的值是

r-L

15.观察图形，根据图形面积的关系，不需要连其他的线，便可以得到一个用来分解因式的公式，这个公式是

3+•占川

16.如图,已知圆O的半径为2,A是圆上一定点,B是OA的中点,E是圆上一动点，以BE为边作正方形BEFG（B、E、F、

G四点按逆时针顺序排列），当点E绕。O圆周旋转时，点F的运动轨迹是_________图形

三、解答题（共8题，共72分）

17.（8分）为了保障市民安全用水，我市启动自来水管改造工程，该工程若甲队单独施工，恰好在规定时间内完成；

若由乙队单独施工，则完成工程所需天数是规定天数的3倍.若甲、乙两队先合作施工45天，则余下的工程甲队还

需单独施工23天才能完成.这项工程的规定时间是多少天？

18.（8分）在眉山市樱花节期间，岷江二桥一端的空地上有一块矩形的标语牌ABCD（如图）.已知标语牌的高AB=5m,

在地面的点E处，测得标语牌点A的仰角为30。，在地面的点F处，测得标语牌点A的仰角为75。，且点E,F,B,

C在同一直线上，求点E与点F之间的距离.（计算结果精确到0.1m,参考数据：后1.41,6M.73）

19.（8分）已知AC=DC,AC±DC,直线MN经过点A,作DBLMN,垂足为B,连接CB.

（1）直接写出ND与NMAC之间的数量关系；

（2）①如图1,猜想AB,BD与BC之间的数量关系，并说明理由;

②如图2,直接写出AB,BD与BC之间的数量关系；

（3）在MN绕点A旋转的过程中，当NBCD=30。，BD=0时，直接写出BC的值.

20.（8分）某校计划购买篮球、排球共20个.购买2个篮球，3个排球，共需花费190元；购买3个篮球的费用与购

买5个排球的费用相同.篮球和排球的单价各是多少元？若购买篮球不少于8个，所需费用总额不超过800元.请你

求出满足要求的所有购买方案，并直接写出其中最省钱的购买方案.

DF的位置关系，并

说明理由.

22.（10分）如图，甲、乙为两座建筑物，它们之间的水平距离BC为30m,在A点测得D点的仰角NEAD为45。,

在B点测得D点的仰角NCBD为60。.求这两座建筑物的高度（结果保留根号）.

23.（12分）如图，以D为顶点的抛物线y=-x2+bx+c交x轴于A、B两点，交y轴于点C,直线BC的表达式为y=

-x+1.求抛物线的表达式；在直线BC上有一点P,使PO+PA的值最小，求点P的坐标；在x轴上是否存在一点Q,

使得以A、C、Q为顶点的三角形与△BCD相似？若存在，请求出点Q的坐标；若不，存在，请说明理由.

24.如图，在平行四边形ABCD中，连接AC,做AABC的外接圆（30,延长EC交OO于点D,连接BD、AD,BC

与AD交于点F分，ZABC=ZADB»

(1)求证：AE是。O的切线；

(2)若AE=12,CD=10,求。。的半径。

参考答案

一、选择题(共10小题，每小题3分，共30分)

1、C

【解析】

分析：众数是指一组数据中出现次数最多的那个数据，一组数据可以有多个众数，也可以没有众数；中位数是指将数

据按大小顺序排列起来形成一个数列，居于数列中间位置的那个数据.根据定义即可求出答案.

详解：,••众数为5,；.x=5,J.这组数据为：2,3,3,5,5,5,7,...中位数为5,故选C.

点睛：本题主要考查的是众数和中位数的定义，属于基础题型.理解他们的定义是解题的关键.

2、C

【解析】

根据众数和中位数的定义，出现次数最多的那个数就是众数，把一组数据按照大小顺序排列，中间那个数或中间两个

数的平均数叫中位数.

【详解】

捐款30元的人数为20人，最多，则众数为30,

中间两个数分别为30和30,则中位数是30,

故选C.

【点睛】

本题考查了条形统计图、众数和中位数，这是基础知识要熟练掌握.

3、B

【解析】

113

试题解析：E、尸分另U为43、BC、AC中点，：.DF=-BC=2,DF//BC,EF=—AB=—,EF//AB,二.四边形

222

3

O5E歹为平行四边形，二四边形ZZBE尸的周长=2(DF+EF)=2x(2+-)=1.故选B.

2

4、B

【解析】

正负数的应用，先判断向北、向南是不是具有相反意义的量，再用正负数表示出来

【详解】

解：向北和向南互为相反意义的量.

若向北走6km记作+6km,

那么向南走8km记作-8km.

故选：B.

【点睛】

本题考查正负数在生活中的应用.注意用正负数表示的量必须是具有相反意义的量.

5、B

【解析】

如图，等腰△ABC中，AB=AC=13,BC=24,

过A作AD_LBC于D,贝|BD=12,

在R3ABD中，AB=13,BD=12,则,

AD=VAB2-BD2=5，

,,AD5

故tanB==—.

BD12

故选B.

【点睛】考查的是锐角三角函数的定义、等腰三角形的性质及勾股定理.

6、A

【解析】

由题意可知，点A与点Ai关于原点成中心对称，根据图象确定点A的坐标，即可求得点Ai的坐标.

【详解】

由题意可知，点A与点Ai关于原点成中心对称，

••,点A的坐标是（-3,2）,

点A关于点O的对称点A，点的坐标是（3,-2）.

故选A.

【点睛】

本题考查了中心对称的性质及关于原点对称点的坐标的特征，熟知中心对称的性质及关于原点对称点的坐标的特征是

解决问题的关键.

7、C

【解析】

根据中位数的定义即可解答.

【详解】

解：把这些数从小到大排列为：28,29,29,29,31,31,31,31,

29+31

最中间的两个数的平均数是：——=30,

2

则这组数据的中位数是30；

故本题答案为：C.

【点睛】

此题考查了中位数，中位数是将一组数据从小到大（或从大到小）重新排列后，最中间的那个数（最中间两个数的平

均数），叫做这组数据的中位数.

8、C

【解析】

过点。作

Vy=-X+A/3,

AD(V3,0),C(0,V3),

ACOD为等腰直角三角形，ZODC=45°,

OE=OD-sin450=V3--.

22

•••△Q钻为等边三角形，

，Z(MB=60°,

“。=上=如4=0.

sin6002g

AB=2TI-r=2J^7t•—=n.故选C.

360063

9、A

【解析】

延长AiA>BiB和CiC,从而得到P点位置，从而可得到P点坐标.

【详解】

如图，点P的坐标为(-4,-3).

故选A.

【点睛】

本题考查了位似变换：如果两个图形不仅是相似图形，而且对应顶点的连线相交于一点，对应边互相平行，那么这样

的两个图形叫做位似图形，这个点叫做位似中心.

10、B

【解析】

，，—上「人―、TdCDOC”1.81

【分析】由已知可证△ABOsCDO,故=---，即=—.

ABOAAB3

【详解】由已知可得，AABO^CDO,

b,,CDOC

所以，--=

ABOA

sr1-81

所以，---=二，

AB3

所以，AB=5.4

故选B

【点睛】本题考核知识点：相似三角形.解题关键点：熟记相似三角形的判定和性质.

二、填空题(本大题共6个小题，每小题3分，共18分)

11、1

【解析】

设另一根为X”根据一元二次方程根与系数的关系得出-1・X2=-1,即可求出答案.

【详解】

设方程的另一个根为X2,

则-1XX2=-1,

解得：X2=l,

故答案为1.

【点睛】

b

本题考查了一元二次方程根与系数的关系：如果X“X2是一元二次方程ax2+bx+c=0(awo)的两根，那么xi+xz=-—,

a

c

X1X2=—.

a

12、逋

3

【解析】

解：；四边形ABCO是矩形，AB=1,

.,.设B(m,1),.*.OA=BC=m,

:四边形OA，B，D与四边形OABD关于直线OD对称，

，OA，=OA=m,ZAfOD=ZAOD=30°

，ZA,OA=60°,

过A，作A，E_LOA于E,

/.OE=—m,A,E=^-m,

22

.,.Ar(~m,走m),

22

•.•反比例函数V=A(k/0)的图象恰好经过点A，，B,

13、1

【解析】

本题主要考查了三角形的内角和定理.

解：根据三角形的内角和可知填：1.

14、2

3

【解析】

试题分析：VZBAC=ZACD=90°,AAB/7CD.

BEAB

AAAABE^AADCE....—=——.

ECCD

•.•在RtAACB中NB=45。，/.AB=AC.

AC/-

■:在RtACD中，ZD=30°,:.CD=------=，3AC.

tan30°

.BE_AB_AC73

"EC_CD-^AC_T'

15->(a+b)——ci~+2ab+b~

【解析】

由图形可得:(a+^)2=cr+2ab+b2

16、圆

【解析】

根据题意作图，即可得到点F的运动轨迹.

【详解】

如图，根据题意作下图，可知F的运动轨迹为圆。O，.

【点睛】

此题主要考查动点的作图问题，解题的关键是根据题意作出相应的图形，方可判断.

三、解答题（共8题，共72分）

17、这项工程的规定时间是83天

【解析】

依据题意列分式方程即可.

【详解】

设这项工程的规定时间为x天，根据题意得

纥匕+石J+三

解得x=83.

检验：当x=83时，3x#0.所以x=83是原分式方程的解.

答：这项工程的规定时间是83天.

【点睛】

正确理解题意是解题的关键，注意检验.

18、7.3米

【解析】

：如图作FH_LAE于H.由题意可知NHAF=NHFA=45。，推出AH=HF,设AH=HF=x,贝！JEF=2x,EH=g'x,在

RtAAEB中，由/E=30。，AB=5米，推出AE=2AB=10米，可得x+S"x=10,解方程即可.

【详解】

解：如图作FH_LAE于H.由题意可知NHAF=NHFA=45。,

/.AH=HF,设AH=HF=x,贝！|EF=2x,

在RtAAEB中，,:ZE=30°,AB=5米，

.•.AE=2AB=10米，

,*.X+73X=10,

.\x=5yf2~5，

/.EF=2x=10/3-10-7.3米，

答：E与点F之间的距离为7.3米

【点睛】

本题考查的知识点是解直角三角形的应用-仰角俯角问题，解题的关键是熟练的掌握解直角三角形的应用-仰角俯角问

题.

19、(1)相等或互补；(2)①BD+AB=&BC；②AB-BD=及BC；(3)BC=g+l或者—1.

【解析】

(1)分为点C,D在直线MN同侧和点C,D在直线MN两侧，两种情况讨论即可解题，

(2)①作辅助线，证明△BCD丝AFCA,得BC=FC,NBCD=NFCA,NFCB=90。,即△BFC是等腰直角三角形，即可

解题，②在射线AM上截取AF=BD,连接CF,证明△BCD^^FCA,得△BFC是等腰直角三角形，即可解题，

(3)分为当点C,D在直线MN同侧，当点C,D在直线MN两侧，两种情况解题即可，见详解.

【详解】

解：(1)相等或互补；

理由：当点C,D在直线MN同侧时，如图1,

VAC±CD,BD±MN,

...NACD=NBDC=90。，

在四边形ABDC中，ZBAD+ZD=3600-ZACD-ZBDC=180°,

*.•ZBAC+ZCAM=180°,

；.NCAM=ND；

当点C,D在直线MN两侧时，如图2,

VZACD=ZABD=90°,ZAEC=ZBED,

，NCAB=ND,

,:ZCAB+ZCAM=180°,

.,.ZCAM+ZD=180°,

即：ND与NMAC之间的数量是相等或互补;

(2)①猜想：BD+AB=V2BC

如图3,在射线AM上截取AF=BD,连接CF.

又,.,/□=NFAC,CD=AC

/.△BCD^AFCA,

.,.BC=FC,ZBCD=ZFCA

；AC_LCD

.\ZACD=90°

BPZACB+ZBCD=90°

.\ZACB+ZFCA=90°

即NFCB=90°

：.BF=®BC

VAF+AB=BF=V2BC

--.BD+AB=V2BC?

M

B

图3

D

②如图2,在射线AM上截取AF=BD,连接CF,

又,，ND=NFAC,CD=AC

/.△BCD^AFCA,

/.BC=FC,ZBCD=ZFCA

；AC_LCD

.\ZACD=90°

即NACB+NBCD=90°

/.ZACB+ZFCA=90°

即NFCB=90°

•••BF="BC

；AB-AF=BF=Vig。

；.AB-BD=yfiBC；

D

(3)①当点C,D在直线MN同侧时，如图3-1,

由(2)①知，AACF^ADCB,

；.CF=BC,ZACF=ZACD=90°,

；.NABC=45。，

VZABD=90°,

；.NCBD=45。，

过点D作DGLBC于G,

在RtABDG中，ZCBD=45°,BD=夜，

.•.DG=BG=1,

在RtACGD中，ZBCD=30°,

/.CG=73,DG=G

.,.BC=CG+BG=73+1,

②当点C,D在直线MN两侧时，如图2-1,

过点D作DGLCB交CB的延长线于G,

同①的方法得，BG=1,CG=g",

/.BC=CG-BG=73-1

即：BC=73+1或6—1,

本题考查了三角形中的边长关系，等腰直角三角形的性质，中等难度,分类讨论与作辅助线是解题关键.

20、（1）篮球每个50元，排球每个30元.（2）满足题意的方案有三种：①购买篮球8个，排球12个；②购买篮球9,

排球11个；③购买篮球2个，排球2个；方案①最省钱

【解析】

试题分析：（1）设篮球每个x元，排球每个y元，根据费用可得等量关系为：购买2个篮球，3个排球，共需花费190

元；购买3个篮球的费用与购买5个排球的费用相同，列方程求解即可；

（2）不等关系为：购买足球和篮球的总费用不超过1元，列式求得解集后得到相应整数解，从而求解.

试题解析：解：（D设篮球每个x元，排球每个y元，依题意，得：

2x+3y=190

3x=5y

答：篮球每个50元，排球每个30元.

(2)设购买篮球机个，则购买排球(20-m)个，依题意，得：

50m+30(20-/n)<1.

解得：

又,.,，论8,.*.8</n<2.

•.•篮球的个数必须为整数，.只能取8、9、2.

,满足题意的方案有三种：①购买篮球8个，排球12个，费用为760元；②购买篮球9,排球11个，费用为780元;

③购买篮球2个，排球2个，费用为1元.

以上三个方案中，方案①最省钱.

点睛：本题主要考查了二元一次方程组及一元一次不等式的应用；得到相应总费用的关系式是解答本题的关键.

21、(1)见解析；(1)见解析.

【解析】

(1)由全等三角形的判定定理AAS证得结论.

(1)由(1)中全等三角形的对应边相等推知点E是边DF的中点，Z1=Z1；根据角平分线的性质、等量代换以及等

角对等边证得DC=FC,则由等腰三角形的“三合一”的性质推知CE1DF.

【详解】

解：(1)证明：如图，•••四边形ABCD是平行四边形，

；.AD〃BC.

又•.•点F在CB的延长线上,

，AD〃CF.

AZ1=Z1.

•.•点E是AB边的中点，

/.AE=BE,

Z1=Z2

V在小ADE与4BFE中，＜NDEA=ZFEB,

AE=BE

/.△ADE^ABFE(AAS).

(1)CE±DF.理由如下：

如图，连接CE,

由(1)知，△ADE四△BFE,

/.DE=FE,即点E是DF的中点，Z1=Z1.

VDF平分NADC,

•*.Z1=Z2.

/.Z2=Z1.

/.CD=CF.

ACE1DF.

22、甲建筑物的高AB为(30出一30)m,乙建筑物的高DC为30

【解析】

如图，过A作AFLCD于点F,

在RtABCD中，NDBC=60。，BC=30m,

CD

,:——=tanNDBC,

BC

.\CD=BC»tan60o=3073m,

，乙建筑物的高度为30Gm；

在RtAAFD中，ZDAF=45°,

/.DF=AF=BC=30m,

，AB=CF=CD-DF=(3073-30)m,

•••甲建筑物的高度为（306-30）m

912

23、(1)y=-x2+2x+l；(2)P(-,—)；(1)当Q的坐标为(0,0)或(9,0)时，以A、C、Q为顶点的三角形与

77

△BCD相似.

【解析】

(1)先求得点B和点C的坐标，然后将点B和点C的坐标代入抛物线的解析式得到关于b、c的方程，从而可求得b、

c的值；(2)作点O关于BC的对称点O，，则O，(l,1),则OP+AP的最小值为AO,的长，然后求得AO,的解析式,

最后可求得点P的坐标；(1)先求得点D的坐标，然后求得CD、BC、BD的长，依据勾股定理的逆定理证明△BCD

为直角三角形，然后分为AAQC^ADCB和小ACQ^ADCB两种情况求解即可.

【详解】

(1)把x=0代入y=-x+l,得：y=l,

AC(0,1).

把y=0代入y=-x+1得：x=l,

,*.B(1,0),A(-1,0).

—9+3Z>+c=0

将C(0,1)、B(1,0)代入y=-x?+bx+c得：〈，解得b=2,c=l.

c=3

.••抛物线的解析式为y=-x2+2x+l.

(2)如图所示：作点O关于BC的对称点O，，则O,(1,1).

与。关于BC对称，

/.PO=PO,.

...OP+AP=OT+AP<AOf.

AOP+AP的最小」值=O，A=卜一了+（3-0）2=2.

33

O，A的方程为y=-x+-

44

9

-33x=—

y——x—7

P点满足44解得：<

12

y=-x+3