周培源力学竞赛辅导材料力学

力学竞赛辅导材料力学江汉大学机电建工学院力学教研室1材料力学◆材料力学与理论力学研究方法的异同1.理论力学的研究对象是刚体,材料力学的研究对象是变形体.所以,理论力学中有关静力等效的概念不能随意运用到材料力学中.如力和力偶的作用位置一般不能随便移动.分布载荷不能用合力随便代替等.2.刚化原理是刚体受力平衡过渡到变形体受力平衡的桥梁,即:已知变形体在力系作用下处于平衡,如果把变形体“刚化”,则平衡状态不变.从道理上讲,构件在受力时是同时发生形变的,所以应是对变形后的结构应用刚化原理,从而列出静力平衡方程.但是如果材料是小变形的条件下(即结构的改变量相对与结构的原始尺寸是很小的量),变形前后的尺寸变化对用静力平衡方程求的结果影响非常小,则一般就用变形前的尺寸求解平衡方程.3.理论力学研究的是质点系和刚体系统的平衡和运动,基本的思考路径为,受力分析,运动分析,建立方程求解.材料力学研究的是变形体结构在静力作用下的应力分布和变形.基本思考路径为,静力平衡或有条件的静力等效分析,几何变形分析,材料的力—形变关系的确立.其中,几何变形分析的难易往往决定整个问题的难易.4.材料的连续均匀,使我们可借助于连续函数及微积分计算,各向同性使得应力—应变关系变得简单,特别是材料的线弹性及小变形,使几何变形计算和应力—应变分析变得容易.尽管如此,变形的分析计算相对应力的分析计算还是要难一些的.2一.轴向拉压基本公式:横截面上的应力:斜截面上的应力与横截面应力关系:纵向伸长纵向应变横向应变弹性应变能弹性应变能密度功能关系(胡克定律)3难点:位移的计算、超静定问题(包括温度应力、装配应力)例1.在图示简单的杆系中,设AB和AC分别为直径为20cm和40cm的圆截面杆,E=200GPa,F=5kN.l=2m.试求A点的位移.30º30ºBCAll解:取A点分析受力Axy30º30º30º30º60º30ºADED'E'A'A"430º30ºBCAllAxy30º30º解:取A点分析受力用能量法可求本题A点的竖直位移5

例2.刚杆如图示,其横截面A=25cm².若在加载荷P之前,杆的下端与地面的间隙为

=0.3mm,已知P=200kN,E=210GPa.试求上下端的反力.1.5m1.5m

解:加载后,变形的叠加过程如图示1.5m1.5m

1.5m1.5m

由静力平衡由变形协调由(1)、(2)联立6

例2(又解).刚杆如图示,其横截面A=25cm².若在加载荷P之前,杆的下端与地面的间隙为

=0.3mm,已知P=200kN,E=210GPa.试求上下端的反力.1.5m1.5m

又解:先求伸长为的力P'1.5m1.5m

由静力平衡:此时,上端反力由变形协调所以有:7例3打入粘土的木桩长为L,顶上的载荷为F.设木桩的自重不计,而木桩上单位长度上的摩擦力按f=Ky2变化,K为常数.若F=420kN,L=12m,木桩截面A=640cm2,E=10GPa.试确定常数K的数值,并求木桩的缩短.解:由静力平衡在离底部任意y长时桩内的轴力由胡克定律8例4图示简单杆系,两杆长度均为l=3m,横截面面积A=10cm2.材料的应力–应变关系如图示.E1=70GPa,E2=10GPa.试分别计算当F=80kN和F=120kN时,节点B的位移.解:取B点分析受力由静力学平衡方程式可得:当F=80kN时当F=120kN时由形变协调:9由形变协调:当F=80kN当F=120kN10例5.图示结构,AB为刚性杆,设l1、l2

分别表示1、2杆的长度,

1

和2

分别表示它们的伸长,则当求解两斜杆的内力时,相应的变形协调条件是什么?解:需要寻求的是纯几何关系注意小变形的条件由相似比可得:角度可认为变形前后是相等的B¢例6.铸铁压缩试件是沿最大剪应力面破坏的.但实践表明其破坏截面与水平面不成450.而是大约530.试说明原因并证明.在铸铁压缩试验中,铸铁的破坏面是最大剪应力面,之所以不是450的斜面,主要是由于受压的材料有滑动内摩擦力所致.11设一铸铁压缩试件如图.其内摩擦系数为f=0.28.试计算受压破坏时的破坏面的法线与轴线的夹角

≈530.

解:对于任意角相应截面的剪力为即是作函数由横斜截面应力变换公式可知:令不合题意,故取考查函数可知:因而对应的截面有最大的剪力.12二.圆轴扭转基本公式:斜截面上的应力与横截面应力关系:剪切弹性应变能密度横截面上的应力:相对扭转角或(T在l

长内为常量)单位长度扭转角剪应力互等定理:在互相垂直的平面上,剪应力必然成对存在,且数值相等,两者垂直于二平面的交线,方向同指或同背离此交线.13极惯矩抗扭截面系数RRrR

空心圆轴薄壁圆筒实心圆轴14例1.厚度

=8mm的钢质圆筒,平均直径D=200mm.圆筒两端受扭转力偶矩M=30kN.m的作用,试求横截面上的切应力.如果筒长L=1m,试求纵向截面上承受的剪力的大小.MMMM解:由薄壁筒扭转之切应力计算公式:由剪切互等定理可得:而薄壁筒内切应力沿壁厚大致相等于是有:15★圆轴扭转补充例题例2.图示圆轴有A、B两个凸缘,该圆轴在力偶Me

作用下发生了扭转变形.这时将一个薄壁圆筒与轴的凸缘焊接在一起,然后解除力偶Me.设圆轴和圆筒的抗扭刚度分别是G1Ip1和G2Ip2.求轴内和筒内的扭矩.(凸缘视为刚体.)解:属装配应力设所求圆轴和圆筒上扭矩分别为T1和T2.由整体平衡可得:由形变协调可得:由扭转变形可得:16例3.由两种不同的材料构成的圆筒与圆柱组成一等截面圆轴.里层和外层材料的切变模量分别为G1和G2

且G1<G2.圆轴受扭时,里层和外层之间无相对滑动.关于横截面上切应力分布有(a)、(b)、(c)、(d)四种所示的结论.试判断哪一种是正确的?例4.直径为d的圆截面杆,材料的应力—应变关系如图示.求整个截面全屈服时的极限扭矩.17圆轴受扭时，里、外层之间无相对滑动，这表明二者形成一个整体，同时产生扭转变形。根据平面假定，二者组成的组合截面，在轴受扭后依然保持平面，即其直径保持为直线，但要相当于原来的位置转过一角度。因此，在里、外层交界处二者具有相同的切应变。由于内层（实心轴）材料的剪切弹性模量小于外层（圆环截面）的剪切弹性模量，所以内层在二者交界处的切应力一定小于外层在二者交界处的切应力。18三.弯曲内力—剪力和弯矩(2)简单载荷下的剪力方程和弯矩方程,剪力–弯矩图(3)利用微积关系作剪力–弯矩图(1)剪力和弯矩正负号的规定在剪力图中某点处切线的斜率,等于相应截面处的载荷集度,弯矩图中某点处切线的斜率,等于相应截面处的剪力.一段梁中,若载荷为零,则剪力图为水平直线,而弯矩图为梁长的一次函数.若载荷为均匀分布,则剪力图为梁长的一次函数,而弯矩图为梁长的二次数.若载荷为线性分布,则剪力图为梁长的二次函数,而弯矩图为梁长的三次函数,依次类推……一段梁中,集中力引起剪力的突变;集中力偶引起弯矩的突变,但对梁内的剪力没有影响.剪力图中,距原点某处的剪力等于该段梁上的载荷集度面积和集中外力的代数和.弯矩图中,距原点某处的弯矩等于该段梁上的剪力面积和集中外力偶矩的代数和.19ABCED1m1m2m1m10kN2kN2kN/m4kN·m7kN7kN3kN7kN2kN2kN（＋）（＋）（－）7kN·m4kN·m8kN·m2kN·m（＋）（＋）（－）例1.20例2.组合梁受载荷如图示,求作剪力图和弯矩图.解:分别取CE梁及整体分析其平衡由载荷图求剪力图由剪力图求弯矩图可得:21例3.图示为双杠之一梁,每一梁由两根立柱支撑,设两柱之间的跨度为l;每一梁具有两个外伸段,设每一外伸段的长度均为a,假定运动员在双杠上作动作时在每个梁上只有一个作用点,力的作用线垂直于横梁.试决定在双杠的设计中,l与a的长度的最佳比值,(即运动员在上运动时,其上的弯矩值的变化最小)设梁与立柱间的连接为铰接.(第二届题)解:当运动员在中点时,杠梁的最有最大弯矩为当运动员在杠梁的两端时,杠梁的立柱处根部最有最大弯矩为Pa令则有222.物理方程(胡克定律)3.静力学关系平面弯曲中横截面上弯曲正应力的公式1.几何变形★:平面纯弯曲梁上的横截面只存在正应力,以中性轴为界分为拉力区和压力区.中性轴过截面的形心.四.弯曲应力23横截面对z轴的惯性矩横截面对y轴的惯性矩抗弯截面系数常用截面的轴惯矩:矩形截面24Rr平移轴定理:截面对某一轴的惯性矩,等于该截面对平行此轴且过质心的轴的惯性矩加上该截面面积乘以两轴距离的平方.252002003030z42.5例1.铸铁梁的载荷和横截面尺寸如图示,许应拉应力[

t]=40MPa.许应压应力[c]=160MPa.试按正应力强度条件校核梁的强度.若载荷不变,但将T形横截面倒置,即翼缘在下成为⊥形,是否合理?何故?首先,确定梁内弯矩的极值.（＋）（－）20kN·m10kN·m中性轴过形心,故须确定形心的位置.C2m3m1m20kN10kN/mABCD30kN10kN26在B点处在C点处故结构是安全的.如果T形梁倒置,则在B处有结构不安全.（＋）（－）20kN·m10kN·m2002003030z42.5C(可略去)27例2截面为正方形的梁按图示两种方式放置,试问那一种方式比较合理?看一看哪一个对z轴的惯性矩大?a对于上图形或对于下图形28a关于抗弯截面系数上图中下图中显然,下图的放置更合理.29例3.在边长为2a的正方形的中部挖去一个边长为a的正方形,则该图形对y轴的惯性矩为多少?由前面的例题可知,边长为2a的正方形对y轴的惯性矩为2a由对同一轴的惯性矩及图形的组合关系该图形对y轴的惯性矩为同理可有:例4.矩形截面梁纯弯曲,设材料的抗拉弹性模量Et大于其抗压弹性模量Ec,则正应力的分布应是:30例5为改善载荷分布,在主梁AB上安置辅助梁CD.设主梁和辅助梁的抗弯截面系数分别为W1和W2,材料相同,试求辅助梁的合理长度.解:对辅助梁,最大弯矩应满足:对主梁,最大弯矩应满足:将上两式相除材料相同,故[]相同.即是(对于同一种型材,只要二梁的最大弯矩值一样即可.)31例6.一直径为d的钢丝绕在直径为D的轴上,已知钢丝的屈服极限为

s,弹性模量为E.若使钢丝不产生塑性变形,则轴的直径D的最小值应为多少?解:由图中可知由上式可得若不产生塑性变形,则应有:所以有:钢丝在弹性变形范围内恒有:相应地,钢丝内最大应力为:32例7.均布载荷下的简支梁由圆管及实心圆杆套合而成,变形后两杆仍密切接触.两杆材料的弹性模量分别是E1和E2,且E1=2E2.试求两杆各自承担的最大弯矩值.解:设圆管承受弯矩为M1,圆杆承受弯矩为M2.由静力学关系:变形后,同一截面处的曲率相等.联立求解可得:33由题意及已知条件代入上二式可得:34—挠曲线近似微分方程而对于弯曲小变形转角和挠度都是很小的量xyw=w(x)又所以,考查略去高阶小量注意或可有:五.弯曲变形35例1.(习6.4(d))用积分法求简支梁的挠曲线方程.解:建立坐标如图示求支反力得:截面法取受力对象如图,分别剪力AC、CB段内的弯矩方程.若取右段分析36由由由由由(1)、(2)联立37整理后可得:38三.用叠加法求梁的转角和挠度几个常用结构简单载荷下最大挠度和转角值,设梁长为l,EI=常数ABMPABMABPABqABqBA39例1.图示悬臂梁的抗弯刚度EI=30×103N.m2,弹簧的刚度为k=175×103N/m.若梁与弹簧间的孔隙为

=1.25mm,问当集中力F=450N作用于梁的自由端时,弹簧将分担多大的力?解:先考虑下降挠度对应的力F1

梁及弹簧共同承担的力为:由位移相等可得:40例2.一根足够长的钢筋放置在水平刚性平台上.钢筋单位长度的重量为q,抗弯刚度为EI.钢筋的一端伸出桌边B的长度为a.试求钢筋自由端A的挠度.(第五届题)解:考虑先满足MD=0计算模型如下图为满足

D=0,则令于是有:41例3.求如下连续梁铰链处转角的间断值.(第三届题)对于AC梁的C点对于BC梁的C点42表现一点应力状态的媒体—单元体单元体:表现一点应力状态的无限小的闭合多面体.一般取正六面体.主平面:单元体上无切应力的平面称为主平面.主应力:主平面上的正应力,称为主应力.一点的应力状态,对于正六面体的单元体,至多有三对主应力.如果有一对主应力不为零,称此点的应力状态为单向应力状态;如果有两对主应力不为零,称此点的应力状态为平面应力状态;如果三对主应力都不为零,称此点的应力状态为空间应力状态.

六.平面应力状态分析431.注意(I)、(II)式中所设坐标轴x、y

的取向.2.角是所求截面外法线与x

轴正向的夹角,以逆时针为正,顺时针为负.

3.上面各公式左边各项本身均为代数量.(含正负号)任意一点平面应力状态下应力随截面的变化规律44★任意两个互相垂直截面上应力的关系对于任意一方向角为的截面上的应力,我们有对于方向角为

=+900

的截面上的应力,我们有对比后可得:45由可得上两个主应力平面法向与x轴正向的夹角和主应力和主平面最大最小剪应力值.★1.平面应力状态下的任一点都存在两个互相正交的主平面.主平面上