山西省晋中市平遥县2023-2024学年高考全国统考预测卷数学试卷含解析

山西省晋中市平遥县第二中学2023-2024学年高考全国统考预测密卷数学试卷

注意事项：

1.答题前，考生先将自己的姓名、准考证号码填写清楚，将条形码准确粘贴在条形码区域内。

2.答题时请按要求用笔。

3.请按照题号顺序在答题卡各题目的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效；在草稿纸、试卷上答题无效。

4.作图可先使用铅笔画出，确定后必须用黑色字迹的签字笔描黑。

5.保持卡面清洁，不要折暴、不要弄破、弄皱，不准使用涂改液、修正带、刮纸刀。

一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1.设函数g(x)=e'+(l—G)x—aCaeR,e为自然对数的底数)，定义在尺上的函数/(x)满足/(—x)+/(x)=Y,

%1/(%)+12/(1一元)+%；，且/为函数y=g。)一%的一个零点，则实数

且当尤<0时，f\x)<X.若存在

a的取值范围为()

(@}厂

A.—,+ooB.(Je,+oo)C.h/e,+oo)D.—,+oo

12J_2)

,2

2.已知实数x,y满足匕+丁<1,贝!1卜+旷-2|+¥+V-6x+7|的最小值等于()

2

A.6&-5B.672-7C.屈—后D.9-60

3.设复数贝!J|z|=()

l+3z

A1B也1VI

C.-D.—

3322

4.某三棱锥的三视图如图所示，则该三棱锥的体积为()

H「-2-»<*<,2—玄H-2—»1

正视图侧视图

俯视图

11

A.—B.4

3

13

C.—D.5

3

5.函数f(x)=sin2x+Msinx-卜3x在［生,工］上单调递减的充要条件是()

A.m<-3B.m<-^C.m<--------D.m<4

3

6.已知双曲线。：鸟-1=1（。>°，6>°）的右焦点为/，若双曲线C的一条渐近线的倾斜角为f，且点R到该渐近线

ab3

的距离为石，则双曲线C的实轴的长为

A.1B.2

7.某四棱锥的三视图如图所示，记S为此棱锥所有棱的长度的集合，则（）.

A.2及生S，且26gsB.2正史S，且2退eS

C.2垃GS，且2百WSD.2A/2e5）且26eS

8.已知AABC的内角A,瓦C的对边分别是a,b,c,且不十六：1=2c?,若。为最大边，则”的取值范围

a2+b2c

9.已知抛物线C:V=6x的焦点为R，准线为/,A是/上一点，3是直线AF与抛物线。的一个交点，若£A=3M，

则1环|=()

75

A.-B.3C.-D.2

22

10.在正方体ABCD—44GR中，点尸、。分别为A3、AD的中点，过点。作平面戊使用P〃平面a,人。〃平

面a若直线片2c平面，则号的值为（）

MD,

11.设a,b为非零向量，贝!1"卜+0=同+卜卜是“a与b共线”的()

A.充分而不必要条件B.必要而不充分条件

C.充要条件D.既不充分也不必要条件

12.已知函数/(尤)=。卜2%—21nx)(a>0),D=若所有点(s,/⑺)，(s/e。)所构成的平面区域面积为

e2—i，则。=()

二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。

13.已知(2x-l)7=ao+aix+a*2+…+“7》7,则改=.

14.将函数/(%)=sinx的图象向右平移g个单位长度后得到y=g(x)函数的图象，则函数y=/⑴•g(x)的最大值

为.

15.在(=+«)"的二项展开式中，所有项的系数之和为1024,则展开式常数项的值等于.

X

16.已知等比数列｛为｝满足公比S”为其前〃项和，S],54,其构成等差数列，则§2020=.

三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

17.(12分)设点方(1,0),动圆尸经过点歹且和直线x=-l相切.记动圆的圆心尸的轨迹为曲线W.

(1)求曲线W的方程；

(2)过点/(0,2)的直线/与曲线W交于人、B两点,且直线/与x轴交于点C,设胚4=0AC，MB=0BC,

求证：a+,为定值.

18.(12分)如图，直三棱柱ABC—4月。1中，底面ABC为等腰直角三角形，ABLBC,A41=2AB=4,M,N

分别为CG，8片的中点，G为棱AA上一点，若43,平面"NG.

(1)求线段AG的长；

(2)求二面角5—MG—N的余弦值.

19.(12分)已知函数/(九)=|x+l|.

(1)求不等式〃%)44—|2%—3|的解集;

(2)若正数机、〃满足根+2〃=zm,求证：f(m)+f(―2n)>8.

20.(12分)AABQ的内角A,3,C的对边分别为a,4c,J.(sinA+sinB)(a-b)+bsinC=csinC.

(1)求A;

(2)若b=2c,点。为边BC的中点，且AD=@,求AABC的面积.

21.(12分)设椭圆C:J+J=l的右焦点为口，过歹的直线/与C交于A3两点，点M的坐标为(2,0).

(1)当直线/的倾斜角为45。时，求线段的中点的横坐标；

(2)设点4关于x轴的对称点为C,求证：M,B,C三点共线；

(3)设过点拉的直线交椭圆于G,"两点，若椭圆上存在点P,使得OG+OH=2OP(其中。为坐标原点)，求实数

力的取值范围.

22.(10分)如图，已知四棱锥尸—A5CD的底面是等腰梯形，AD//BC,AD=2,BC=4,ZABC=60°,APAD

为等边三角形，且点尸在底面ABC。上的射影为AD的中点G,点E在线段上，且CE:£B=1:3.

(1)求证：DEJ_平面上4D.

(2)求二面角A—PC—。的余弦值.

参考答案

一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1、D

【解析】

先构造函数T(x)=/(x)-gd,由题意判断出函数T(x)的奇偶性，再对函数T(x)求导，判断其单调性，进而可求

出结果.

【详解】

构造函数T(x)=/(x)—

因为/(一力+/(X)=*，

所以T(x)+T(-x)=f(^)--x2+f(-%)--(-x)=f(%)+/(-x)-x2=0,

所以T(x)为奇函数，

当xWO时，T\x)=f\x)-x<0,所以T(x)在(—8,0]上单调递减，

所以T(x)在R上单调递减.

因为存在5e<x/(%)+^>/(l-x)+x>,

所以/(Xo)+g2/(l_Xo)+Xo，

1117

^rlUr(x0)+—xj+—>T(l-x0)+-(1-x0)+x0,

化简得T(/)»T(l_Xo)，

所以x0<l—%,即

令“⑺=g(x)-x=/-y/ex-a^x<g],

因为。为函数y=g(%)—x的一个零点，

所以人⑴在XVJ时有一个零点

11

因为当工«5时，”(%)=ex-y[e<—y[e=0,

所以函数从£)在％wg时单调递减，

由选项知。>0,--厂<。<5，

所以要使h(x)在％Wg时有一个零点,

只需使丸=解得半，

所以〃的取值范围为3-,+8,故选D.

【点睛】

本题主要考查函数与方程的综合问题，难度较大.

2、D

【解析】

设x=4icos0，y=sin。，去绝对值，根据余弦函数的性质即可求出・

【详解】

因为实数x,丁满足］+优,1,

设x=V^cos。，y=sin3，

x?+y~—21+1%2+-6x+7|=|2cos-0+sin~。-21+12cos-0+sin~0~6^/2-cos。+71=|-sin~3\+

2

|cos^-6A/2COS0+8|,

2

cos6-6A/2cos6»+8=(cos6-3回-10>0恒成立，

/.|+y~-21+1尤?+y~—6x+71=sin-。+cos-0—6A/^"COS6+8=9-6^/2-cos6..9-6>/21,

故贝!||/+/-2|+，+>2一6x+7|的最小值等于9—6五.

故选：D.

【点睛】

本题考查了椭圆的参数方程、三角函数的图象和性质，考查了运算能力和转化能力，意在考查学生对这些知识的理解

掌握水平.

3、D

【解析】

先用复数的除法运算将复数z化简，然后用模长公式求z模长.

【详解】

„2-z(2-z)(l-3z)-l-7z17.

7—-----------=------------------------------=---------------="-------------I

1+3，(1+3z)(l-3z)101010'

【点睛】

本题考查复数的基本概念和基本运算,属于基础题.

4、B

【解析】

还原几何体的直观图，可将此三棱锥A-CRE放入长方体中，利用体积分割求解即可.

【详解】

如图，三棱锥的直观图为A-C2E,体积

匕-⑷E=%:方体AG—%-ABC~^E-CClDl~~^E-AT\F^^D^-ADC

=2x4x2—x2x2x2—x—x4x2x2—x—x2x2x2=4.

23232

故选:B.

【点睛】

本题主要考查了锥体的体积的求解，利用的体积分割的方法，考查了空间想象力及计算能力,属于中档题.

5、C

【解析】

先求导函数，函数在上单调递减则/‘(x)<0恒成立，对导函数不等式换元成二次函数，结合二次函数的性质

63

和图象，列不等式组求解可得.

【详解】

依题意，/(x)=2cos2x+mcosx+3=4cos2x+mcosx+1,

令cos』，则口耳当,故4r+〃+1«0在，乎］上恒成立;

4“x—1+mx—1+1…,0科，-4

42

结合图象可知，，「，解得8右

/3V3

4x—+mx----FL1,0n—一7

42

.,8百

rum<-------・

3

故选：C.

【点睛】

本题考查求三角函数单调区间.求三角函数单调区间的两种方法：

⑴代换法：就是将比较复杂的三角函数含自变量的代数式整体当作一个角"（或8,利用基本三角函数的单调性列不等

式求解；

⑵图象法：画出三角函数的正、余弦曲线，结合图象求它的单调区间.

6、B

【解析】

双曲线。的渐近线方程为y=±?x,由题可知？=tan工=6.

aa3

1国

设点E（c,0）,则点/到直线y=Gx的距离为=#),解得c=2,

所以，="+62=〃+3〃=442=4,解得。=1,所以双曲线C的实轴的长为2a=2,故选B.

7、D

【解析】

首先把三视图转换为几何体，根据三视图的长度，进一步求出个各棱长.

【详解】

根据几何体的三视图转换为几何体为：该几何体为四棱锥体，

如图所示：

所以：AB=BC=CD=AD=DE=2,

AE=CE=2正,BE=7（272）2+22=273.

故选：D.

【点睛】

本题考查三视图和几何体之间的转换，主要考查运算能力和转换能力及思维能力，属于基础题.

8、C

【解析】

,744多〃2所

由::=202,化简得到cosC的值，根据余弦定理和基本不等式，即可求解.

a2+b2

【详解】

a4+b4+c4+crb2得面+/)2+°4_//

由

a1+b2a2+b2

-r/亘2,22C2(a2+b2-c2)+a2b2

可得"+_c-=------------------------.

a2+b2

222222

病八殂(a+b-c)(c-a-^y+a^bn

分得-------------A------A------------------0，

a2+b2

整理得(1+〃—02)2=,所以£+"-c12=J_,

lab4

因为C为三角形的最大角，所以cosC=-=，

2

又由余弦定理c?=a?_|_b?—2abcosC—/+b?+ab—(Q+/?)2—ub

2(4+加2_("2)2=3(4+与2,当且仅当。=匕时，等号成立，

24

所以c〉走(a+力，即空出〈友，

2c3

又由a+Z?>c,所以?的取值范围是(1,竽］.

故选：C.

【点睛】

本题主要考查了代数式的化简，余弦定理，以及基本不等式的综合应用，试题难度较大，属于中档试题，着重考查了

推理与运算能力.

9、D

【解析】

根据抛物线的定义求得|”卜6,由此求得忸目的长.

【详解】

过3作3C，/,垂足为C,设/与x轴的交点为。.根据抛物线的定义可知忸司=忸。.由于工4=3所，所以

\AB\=2\BC\,所以NC4B=,所以|附=2即=6,所以|四=曰加=2.

本小题主要考查抛物线的定义，考查数形结合的数学思想方法，属于基础题.

10、B

【解析】

作出图形，设平面a分别交42、G2于点E、F,连接。石、DF、EF,取CD的中点G,连接PG、Cfi,

连接AG交用2于点N,推导出5/〃GG,由线面平行的性质定理可得出£G〃。/，可得出点歹为C4的中点,

MD,

同理可得出点E为AD的中点，结合中位线的性质可求得看的值.

Mni

【详解】

如下图所示：

设平面a分别交A。1、CQi于点E、F,连接。石、DF、EF,取CD的中点G,连接PG、QG,连接AC交

42于点N,

四边形ABC。为正方形，P、G分别为A3、CD的中点，则BP//CG且BP=CG,

二四边形3CGP为平行四边形，；.PGHBC豆PG=BC,

B.CJ/BC且B〔Ci=BC,:.PG//BG且PG=耳6，则四边形BgGP为平行四边形,

ByP//Cfi,4P〃平面a,则存在直线au平面a,使得用巴/a,

若GGu平面a,则Ge平面a,又。c平面a,则C£)u平面a,

此时，平面a为平面CDRG，直线4。不可能与平面a平行,

所以，。16<2平面",，。16〃。，，。16〃平面々，

CGu平面CDQG，平面平面e=D尸，，。尸〃GG,

.QF//DG,所以，四边形C]GDB为平行四边形，可得。]石=。6=^8=：。12,

11MD.1

二斤为G4的中点，同理可证E为A2的中点，BREF=M,.•.MDi=_DiN=—B[D],因此，--L=-.

24"43

故选：B.

【点睛】

本题考查线段长度比值的计算，涉及线面平行性质的应用，解答的关键就是找出平面a与正方体各棱的交点位置，考

查推理能力与计算能力，属于中等题.

11、A

【解析】

根据向量共线的性质依次判断充分性和必要性得到答案.

【详解】

若卜+q=M+W，则。与b共线，且方向相同，充分性；

当a与b共线，方向相反时，,+匕卜卜|+同，故不必要.

故选：A.

【点睛】

本题考查了向量共线，充分不必要条件，意在考查学生的推断能力.

12、D

【解析】

依题意，可得/'(x)>0,Ax)在1,1上单调递增，于是可得Ax)在上的值域为[a(e+2),e2a],继而可得

a^e2-e-2^^1--=e2-1,解之即可.

【详解】

解：/3=人二]=水x—2),因为,a>0,

所以尸(x)>0,〃尤)在-,1上单调递增，

e

则“X)在pl上的值域为[a(e+2),e2a],

因为所有点6/⑺)(取eD)所构成的平面区域面积为e2-l,

所以a(e?-e-2)[1—1=

解得。=三，

e-2

故选：D.

【点睛】

本题考查利用导数研究函数的单调性，理解题意，得到“(e2-e-2)(l-3=e2-1是关键，考查运算能力，属于中档题.

e

二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。

13、-84

【解析】

根据二项展开式的通项公式即可得结果.

【详解】

7rr

解：(2x-l)7的展开式通式为：7；+i=C；(2x)-(-l)

当r=5时，7；=C|(2x)2(-l)5=-84x2,

则a2——84.

故答案为：-84

【点睛】

本题考查求二项展开式指定项的系数，是基础题.

3

14、

4

【解析】

由三角函数图象相位变换后表达g(x)函数解析式，再利用三角恒等变换与辅助角公式整理/(x)g(x)的表达式，进而

由三角函数值域求得最大值.

【详解】

将函数/⑺=sinx的图象向右平移3个单位长度后得到y=g(x)=sin函数的图象,

=sinxflsinx-^cosXlsin^-^sinxcosx

贝！ly=/(x)g(x)=sinx

(22J22

l-cos2x_^.ll_lflV3J

=1sin2x=cos2x+sinl-lcosfx-^

22224212242I23)

所以，当cos2x—f=-1函数最大，最大值为9=W

I3J424

..3

故答案为：一

4

【点睛】

本题考查表示三角函数图象平移后图象的解析式，还考查了利用三角恒等变换化简函数式并求最值，属于简单题.

15>15

【解析】

利用展开式所有项系数的和得n=5,再利用二项式展开式的通项公式，求得展开式中的常数项.

【详解】

因为的二项展开式中，所有项的系数之和为4n=1024,n=5,

故［W+石)的展开式的通项公式为Tr+i=C'yr£1。，令m-10=0,解得r=4,可得常数项为Ts=c，3=15,故填15.

【点睛】

本题主要考查了二项式定理的应用、二项式系数的性质，二项式展开式的通项公式，属于中档题.

16、0

【解析】

利用等差中项以及等比数列的前几项和公式即可求解.

【详解】

由Sz，54,臬是等差数列可知

2s4=52+56=>2炉=1+/=>(炉—1^=0

因为4彳1,所以q=T,82020=0

故答案为：0

【点睛】

本题考查了等差中项的应用、等比数列的前〃项和公式，需熟记公式，属于基础题.

三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

17、(1)y2=4x；(2)见解析.

【解析】

(1)已知P点轨迹是以R为焦点，直线x=-1为准线的抛物线，由此可得曲线W的方程；

2

(2)设直线方程为丁=履+2,kwO,则C(-7,0),设4>1，%),3。,,当)，由直线方程与抛物线方程联立消元应

k

用韦达定理得西+々，X1X2>由MA=tzAC，用横坐标表示出然后计算并代入西+々，

七人2可得结论.

【详解】

(1)设动圆圆心尸(X,y),由抛物线定义知：P点轨迹是以F为焦点,直线l=-1为准线的抛物线，设其方程为

y2^2px(p>0),则5=1,解得。=2.

曲线W的方程为V=4x；

2

(2)证明：设直线方程为丁二丘+2,心0,则C(—7,0),设4项,弘)1(犬2，%)，

k

Y—+2

由《，得k2/+(4左_4)X+4=0,①，

y=4%

e4k—44

贝！J为+马=--瓦一X1X2=②,

由M4=tzAC，MB=0BC，得

(%,%—2)=a(—%jj)，(%2,%-2)=B(—x、——,—y)>

kk2

—kx,〃~kx

整理得a=E'°=G7

.•.a+尸=二^+二^，代人②得

kx、+23+2kxxx2+2Z(x+%)+4

-724_4k—4、

一2kXyy-2左7X(—)

a+/3=——/---------

,24c74k—4.

女~x9+2左x(——)+4

【点睛】

本题考查求曲线方程，考查抛物线的定义，考查直线与抛物线相交问题中的定值问题.解题方法是设而不求的思想方

法,即设交点坐标4(为,％),3(々,％)，设直线方程＞=区+机，直线方程代入抛物线(或圆锥曲线)方程得一元二次

方程，应用韦达定理得士+%2，七%2，代入题中其他条件所求式子中化简变形•

18、(1)AG=1(2)6

5

【解析】

(1)先证得A3]J.GN,设43与GN交于点E,在ABNE中解直角三角形求得BE，4E,由此求得AG的值.

(2)建立空间直角坐标系，利用平面3MG和平面NMG的法向量，计算出二面角5-MG-N的余弦值.

【详解】

\B1平面MNG

(1)由题意,>^AB±GN,

GNu平面MNGi

设与GN交于点E,在ABNE中,可求得5E=竽，则4石=半

可求得AG=3,则AG=1

(2)以用为原点，8姿方向为X轴，方向为y轴，44方向为Z轴，

建立空间直角坐标系.

5(4,0,0),M(2,2,0),G(3,0,2),N(2,0,0)

3M=(—2,2,0),3G=(—1,0,2),易得平面3MG的法向量为4=(2,2,1).

W=(0,2,0),NG=(1,0,2),易得平面MWG的法向量为巧=(2,0,—1).

设二面角3—MG—N为。，由图可知。为锐角，所以

cos^_JA2kL_^__2/l

卬“"3.石一5.

即二面角3—MG—N的余弦值为仓.

5

【点睛】

本小题主要考查根据线面垂直求边长，考查二面角的求法，考查空间想象能力和逻辑推理能力，属于中档题.

19、(1){%|0<%<2};(2)见解析

【解析】

X<—1

⑴/(x)<4-|2x-3|等价于(I)<-(x+l)-(2x-3)44或(11).2或(in)

(x+l)-(2x-3)<4

3

%〉一

2,分别解出，再求并集即可;

(x+l)+(2x-3)<4

(2)利用基本不等式及加+2"=〃?〃可得加+2”28,代入/(m)+/(-2〃)=W+l|+卜2"+112M+24可得最值.

【详解】

3

x<—1-l<x<-

(1)/(x)<4—|2x—3|等价于(I)</八八八，/或(n)<2或(ni)

-(x+l)-(2x-3)<4

(x+l)-(2x-3)<4

(x+l)+(2x-3)<4

x<—1

由(I)得：<2nx

I3

一3

—1V%<—3

由(II)得：\2^0<x<-

.>02

x>_3

由(in)得：\2^-<x<2.

2

X<2

•••原不等式的解集为{%|0<%<2};

(2)m>0,n>0,m+2n=mn9

1/、1(m+2nf

:.m+2n=—(m-2n)<—x-------,

2V724

/.m+2n>8,

m=2n\m=4-

当且仅当。，即。时取等号，

m+2n=mn[n=2

/(m)+f(—2n)=|m+1|+1—2n+1|>|m+2n|>8,

当且仅当—2〃+l<0即”2」时取等号，

2

.1./(m)+/(-2n)>8.

【点睛】

本题考查分类讨论解绝对值不等式，考查三角不等式的应用及基本不等式的应用，是一道中档题.

20、(1)A=|；(2)5^=273.

【解析】

(1)利用正弦定理边化角，再利用余弦定理求解即可.

UUUUUUUUIU

⑵为AD为AABC的中线，所以2AD=AB+AC再平方后利用向量的数量积公式进行求解，再代入b=2c可解得

c=2,。=4，再代入面积公式求解即可.

【详解】

(1)由(sinA+sinB)(a-^)+£>sinC=csinC,

可得/-/+庆=。2,

由余弦定理可得cosA="+L-矿=

2bc2

故A=&.

3

UUIUuuuuuu

(2)因为AQ为AABC的中线，所以2AD=A5+AC,

222

两边同时平方可得4AD=AB'+AC+2\AB\-\AC\cosA,

^28=c2+b2+bc.

因为b=2c,所以c=2,b=4.

所以MBC的面积S—：后"=25

【点睛】

本题主要考查了利用正余弦定理与面积公式求解三角形的问题，同时也考查了向量在解三角形中的运用，属于中档题.

2

21、(1)43的中点的横坐标为;；(2)证明见解析；(3)(-2,2)

【解析】

y=x-l

(1)因为直线/的倾斜角为45。，尸(L。)，所以直线A3的方程为了=%-1,联立方程组一「消去y并整理,

—+V=1

I2，

得3%2—4X=0,贝!=

323

2

故线段A3的中点的横坐标为§.

(2)根据题意得点Ca,-

若直线的斜率为0,则直线的方程为y=0,A、C两点重合，显然M,B,C三点共线；

若直线的斜率不为0,设直线的方程为》=%+1,

x=my+1

联立方程组f2消去X并整理得(m2+2)y2+2my-1=0,

---by=1

12/

2m1

则乂+%=——2—，%%=——S一-，设直线BM.CM的斜率分别为kBM、kCM,

m+2~m'+2

则

k_k=f_X=%-2)+x(%-2)=%(孙-1)+必(妆2T)=2町%一(％+%)=

BMCM2-々2-占(占-2)(%-2)(租％-1)1-巩％+%)+"/%%

-2m2m

-2------12

m-+2m-+2=0)即演“二自材，即M,B,C三点共线.

12mm

l+—;------石——

m+2m+2

(3)根据题意，得直线G"的斜率存在，设该直线的方程为'=内工-2),

设尸(%,%),G(X3,%)，8(X4,%)，

y=k(x-2)

联立方程组尤2,,消去丁并整理，得(1+2/)无2_8/》+8/_2=0,

—+V=1

12，

1只白2O7,2_Q

由4=64/-4(1+2左2)(8左2一2)>0,整理得人?<一,又三+%=-^^,退匕——T，